第四章線性方程組解的結(jié)構(gòu)§4.4線性方程組在幾何中的應(yīng)用§4.2齊次線性方程組解的結(jié)構(gòu)§4.1線性方程組解的存在性定理§4.3非齊次線性方程組解的結(jié)構(gòu)1其通解的結(jié)構(gòu)如何?如何寫(xiě)出其向量形式的通解?齊次線性方程組解的結(jié)構(gòu)本章以向量為工具討論線性方程組解的結(jié)構(gòu)主要內(nèi)容:非齊次線性方程組解的結(jié)構(gòu)如果當(dāng)齊次線性方程組有無(wú)窮多解時(shí),問(wèn)題:1.2.如果當(dāng)非齊次線性方程組有無(wú)窮多解時(shí),其通解的結(jié)構(gòu)如何?如何寫(xiě)出其向量形式的通解?2§4.1線性方程組解的存在性定理對(duì)于非齊次方程組非齊次方程組解的判別定理

齊次方程組解的判別定理對(duì)于齊次方程組3

第四章線性方程組解的結(jié)構(gòu)§4.4線性方程組在幾何中的應(yīng)用§4.2齊次線性方程組解的結(jié)構(gòu)§4.1線性方程組解的存在性定理§4.3非齊次線性方程組解的結(jié)構(gòu)4記Ax=0的解集為:(1)1.解向量:的一個(gè)解向量.2.解向量的性質(zhì):(2)不妨設(shè)是N(A)的最大無(wú)關(guān)組(稱為根底解系)那么:由(1),(2)可知(取任意實(shí)數(shù))§4.2齊次線性方程組解的結(jié)構(gòu)5通過(guò)下面的例子,來(lái)解決以上問(wèn)題例1問(wèn)題:對(duì)于給定的方程組如何求其根底解系?解:6是解嗎?線性無(wú)關(guān)嗎?任一解都可由

表示嗎?根底解系所含向量的個(gè)數(shù)=?是基礎(chǔ)解系嗎?令自由變量為任意實(shí)數(shù)

說(shuō)明:1.根底解系不惟一2.但所含向量的個(gè)數(shù)唯一且等于n-R(A)7齊次方程組解的結(jié)構(gòu)定理齊次方程組的基礎(chǔ)解系所含向量個(gè)數(shù)為設(shè)一個(gè)根底解系為:那么通解為:例２．設(shè)ｎ階矩陣Ａ的秩為ｎ－１，Ａ的每行元素之和為零，寫(xiě)出ＡＸ＝０的通解．解：的根底解系所含向量個(gè)數(shù)為那么通解為：8例2設(shè),是的兩個(gè)不同的解向量,k取任意實(shí)數(shù),那么Ax=0的通解是例3設(shè),證明重要結(jié)論證記則由說(shuō)明都是的解因此移項(xiàng)9例4.的列向量組是齊次線性方程組的根底解系,B是m階可逆矩陣,試證:AB的列向量組也是齊次線性方程組的根底解系.證明:那么AB的列向量組是齊次線性方程組的解向量由條件可知A的列向量組線性無(wú)關(guān)且含m個(gè)向量所以AB的列向量組線性無(wú)關(guān),即是方程組的根底解系.10

第四章線性方程組解的結(jié)構(gòu)§4.4線性方程組在幾何中的應(yīng)用§4.2齊次線性方程組解的結(jié)構(gòu)§4.1線性方程組解的存在性定理§4.3非齊次線性方程組解的結(jié)構(gòu)11(1)設(shè)都是(1)的解,則是(2)的解.(2)設(shè)是(1)的解,是(2)的解,則仍是(1)的解.設(shè)是(1)的一個(gè)解(固定),則對(duì)(1)的任一解x是(2)的解,從而存在使得由此得:1.解向量:2.性質(zhì):§4.3非齊次線性方程組解的結(jié)構(gòu)12非齊次方程組解的結(jié)構(gòu)定理的一特解解,那么當(dāng)非齊次線性方程組有無(wú)窮多解時(shí)其通解為:例5.的三個(gè)解向量解:的根底解系含一個(gè)向量13例6解14例7設(shè)是非齊次Ax=b的兩個(gè)不同的解其對(duì)應(yīng)的齊次方程組的基礎(chǔ)解系,那么Ax=b的通解是(多項(xiàng)選擇)15例8.方程組問(wèn):a為何值時(shí),方程組有唯一解?無(wú)解?無(wú)窮多解?有無(wú)窮多解時(shí)求出通解.解:所以有無(wú)窮多解,16因?yàn)橄禂?shù)矩陣的秩不等于增廣矩陣的秩,所以方程組無(wú)解.例9.的三個(gè)解向量,17例10設(shè)線性方程組的系數(shù)矩陣為A,存在解:那么B的列向量組為AX=0的解向量例11齊次線性方程組,那么以下結(jié)論正確的選項(xiàng)是18例１2方程組問(wèn)ａ為何值時(shí)，方程組有唯一解，無(wú)解，無(wú)窮多個(gè)解？在方程組有無(wú)窮多個(gè)解時(shí)求出通解．〔考試題〕解：方程組有唯一解即當(dāng)ａ＝０