10．2事件的相互獨立性三個臭皮匠，賽過諸葛亮？

如何從數(shù)學(xué)角度解釋這句話呢？假設(shè)諸葛亮想出計謀的概率是0.9，臭皮匠甲、乙、丙各自想出計謀的概率分別是0.6、0.6、0.5。記A=“甲想出計謀”,B=“甲想出計謀”,C=“甲想出計謀”,D=“臭皮匠想出計謀”。小明解釋如下P（D）=P(AUB∪C)=P(A)+P(B)+P(C)=0.6+0.6+0.5=1.7＞0.9,你認(rèn)為小明的解釋合理嗎？概率的取值范圍A、B、C可以同時發(fā)生P(A)+P(B)P(A)+P(B)-P(AB)1≤復(fù)習(xí)回顧事件的關(guān)系含義符號表示概率關(guān)系互斥事件事件A、B不可能同時發(fā)生A∩B=?P(A∪B)=對立事件事件A、B有且僅有一個發(fā)生A∩B=?,A∪B=ΩP(A)+P(B)=1子事件若事件A發(fā)生，則B發(fā)生A?BP(A)

P(B)和事件事件A和B至少有一個發(fā)生A∪BP(A∪B)=積事件事件A和B都發(fā)生A∩B(或AB)P(AB)=?P(A)+P(B)P(A)+P(B)-P(AB)≤新知探究一下面兩個隨機試驗各定義了一對隨機事件A和B，你覺得事件A發(fā)生與否會影響事件B發(fā)生的概率嗎？

試驗1：分別拋擲兩枚質(zhì)地均勻的硬幣，A=“第一枚硬幣正面朝上”，B=“第二枚硬幣反面朝上”.

試驗2：一個袋子中裝有標(biāo)號為1,2,3,4的4個小球，除標(biāo)號外沒有別的區(qū)別.采用有放回方式從袋中依次任意摸出兩球.設(shè)A=“第一次摸到球的標(biāo)號小于3”，B=“第二次摸到球的標(biāo)號小于3”.

分別計算P(A),P(B),P(AB),你發(fā)現(xiàn)三者有何關(guān)系？

從探究一，我們可以得到相互獨立的概念事件A、B,若P(AB)=P(A)·P(B),則稱事件A、B相互獨立。數(shù)學(xué)表達(dá)事件A發(fā)生與否不影響事件B發(fā)生的概率。直觀理解

例1、使用相互獨立的概念判斷事件A、B是否相互獨立(1)A=“小明今晚打王者”，B=“明天打雷”(2)投一枚質(zhì)地均勻的骰子，僅投一次，A=“投出點數(shù)為奇數(shù)”

，B=“投出點數(shù)為偶數(shù)”判斷兩個事件相互獨立（1）直觀理解：由事件本身的性質(zhì)直接判斷（2）數(shù)學(xué)表達(dá)：計算P(AB)，P(A)·P(B),看是否滿足P(AB)=P(A)·P(B)例2、驗證必然事件、不可能事件與任意事件相互獨立直觀理解：任意的事件發(fā)生與否不影響必然事件Ω和不可能事件?發(fā)生的概率數(shù)學(xué)證明：Ω∩A=A，P(Ω∩A)=P(A)=P(A)·1=P(A)·P(Ω)，?∩A=?，P(?∩A)=P(?)=0=0·P(A)=P(?)·P(A).

除了驗證，我們還可以給出證明

解題步驟：寫出樣本空間，確定概率模型；列出題中涉及的事件，理清事件間的關(guān)系；根據(jù)事件間的關(guān)系準(zhǔn)確選取概率公式進(jìn)行計算；也可考慮計算其對立事件的概率，再間接求出符合條件的事件概率

對兩個事件獨立，我們有P(AB)=P(A)P(B)，對三個事件相互獨立呢？

對三個事件A、B、C兩兩互斥，我們有P（A∪B∪C）=P(A)+P(B)+P(C)

對三個事件A、B、C兩兩獨立，是否有P(ABC)=P(A)P(B)P(C)呢？

0.30.82.六個相同的球，標(biāo)有數(shù)字1,2,3,4,5,6，有放回地抽取2次，每次取一個球，甲=“第一次取出的球的數(shù)字是1”，乙=“第二次取出的球數(shù)字是2”，丙=“兩次取出的球的數(shù)字之和是8”，丁=“兩次取出的球的數(shù)字之和是7”則（）A.甲、丙獨立B.甲、丁獨立C.乙、丙獨立D.丙、丁獨立課堂練習(xí)1.事件A、B相互獨立，P(A)=0.5,P(B)=0.6,則P(AB)=P(A∪B)=

3.解釋開頭提到的諺語。

近防火炮問題某型火炮每秒鐘能發(fā)射200發(fā)，我們認(rèn)為每一發(fā)擊中目標(biāo)的概率均為0.4%，求火炮開火一秒鐘之后，能成功攔截的概率。每天不中獎相互獨立，記Ai=第i天不中獎，記A=十年都不中P(A)=P(A?A?…A3650)=(1-0.001%)3650≈0.964B=開火一秒鐘之后，能成功攔截Ai=第i發(fā)未成功攔截P(B)=1-P(A?A?…A