第24講抽屜原理二內容概述抽屜原理在教字、表格、圖形等具體問題中有較復雜的應用．能夠根據已知條件合理地選取和設計“抽屜”與“蘋果”，有時還應構造出達到最佳狀態(tài)的例子．典型問題興趣篇將60個紅球、8個白球排成一條直線，至少會有多少個紅球連在一起？答案：7詳解：60÷（8＋1）=6……6,6＋1=7個。2．17名同學參加一次考試，考試題是3道判斷題（答案只有對或錯），每名同學都在答題紙上依次寫上了3道題目的答案．請問：至少有幾名同學的答案是一樣的？答案：3詳解：答案的結果有23=8種情況，即8個抽屜。17÷8=2……1，2＋1=3名。3．任意寫一個由數字1、2組成的六位數，從這個六位數中任意截取相鄰兩位，可得一個兩位數，請證明：在從各個不同位置上截得的所有兩位數中，一定有兩個相等．詳解：兩位數的情況共4種：12,21,11,22。六位數可以截取出5個兩位數，所以必有重復。4．將1至6這6個自然數隨意填在圖2，4-1的六個圓圈中，試說明：圖中至少有一行的數字之和不小于8。詳解：1＋2＋3＋4＋5＋6＋7=21,21÷3=7，圖形總共有3行，第一行只有一個數，最大填6，那么后兩行至少有一行是大于7的整數，即不小于8。5．從l，2，3，…，99，100這100個數中任意選出51個數，請說明：(1)在這51個數中，一定有兩個數的差等于50；詳解：構造差為50的抽屜：（1,51）、（2,52）、……、（50,100），共50個抽屜。選出51個數，必有兩數來自一組，即差為50.(2)在這51個數中，一定有兩個數差1．詳解：構造差為1的抽屜：（1,2）、（3,4）、……、（99,100），共50個抽屜。必有兩數來自一組，即差為1.從1，2，3，…，21這些自然數中，最多可以取出多少個數，使得其中每兩個數的差都不等于4？答案：12詳解：構造差為4的抽屜：（1,5）、（2,6）、（3,7）、（4,8）、（9,13）、（10，14）、（11，15）、（12,16）、（17,21）、（18）、（19）、（20）共12個抽屜，最多取12個數。從1至11這11個自然數中至少選出多少個不同的數，才能保證其中一定有兩個數的和為12？答案：7詳解：構造和為12的抽屜：（1,11）、（2,10）、（3,9）、（4,8）、（5,7）、（6）共6個抽屜，至少取7個。(1)任給4個自然數，請說明：一定有兩個數的差是3的倍數；詳解：將全部自然數按照除以3的余數分成3組，則4個數中必有兩數來自于同一組，即除以3同余，那么這兩個數的差是3的倍數。(2)至少取幾個數，才能保證一定有兩個數的差是7的倍數？詳解：將全部自然數按照除以7的余數分成7組，則8個數中必有兩數來自于同一組，即除以7同余，那么這兩個數的差是7的倍數。至少找出多少個不同的兩位數，才能保證其中一定存在兩個數，它們的差是個位數字與十位數字相同的兩位數．答案：12詳解：即差是11的倍數，將全部自然數按照除以11的余數分成11組，那么至少取出12個數，才能保證必有兩數來自于同一組。在一個邊長為2厘米的等邊三角形內（包括邊界）選出5個點，請證明：一定有兩個點之間的距離不大于1．詳解：順次連接三角形的各邊中點，將原三角形分成4個相等的邊長為1的小等邊三角形，選5個點，必有兩點來自同一個小三角形，那么這兩點的距離肯定不超過1.拓展篇1．如圖24—2，將2行5列的方格紙每一格染成黑色或白色，請說明：不管怎么染，總有兩列的染色方式是一樣的．詳解：圖形共有5列，而每列染色的情況共有4種：白白、白黑、黑白、黑黑，必有重復。任意寫一個由數字l、2、3組成的三十位數，從這個三十位數中任意截取相鄰三位，可得一個三位數，請證明：在從各個不同位置上截得的所有三位數中，一定有兩個相等．詳解：由數字1、2、3組成的三位數共33=27種，三十位數可截取28個三位數，必有重復。3．27只小猴分140顆花生，每只小猴最少分1顆，最多分9顆，請問：其中至少有幾只小猴分到的花生顆數一樣多？答案：4詳解：1＋2＋…＋9=45,140÷45=3……5，3＋1=4只。能否在4×4方格表的每個格子中填l、2、3中的一個數字，使得每行、每列以及它的兩條對角線上的和互不相同？答案：不能詳解：4行、4列、2條對角線，共需要10個不同的和，而由1、2、3中取出4個數的和有4、5、……、12，共只有9種，所以不能。從l至99這99個自然數中，最多可以取出多少個數，使得其中每兩個數的和都不等于100？最多可以取出多少個數，使得其中每兩個數的差不等于5？答案：50,50詳解：和為100的抽屜共有50個，（1,99）、（2,98）、……、（50），最多取50個數。差為5的抽屜共50個(10個數一大組，每大組分5小組)，最多取50個數。如果在1，2，…，n中任取19個數，都可以保證其中必有兩個數的差是6，那么n最大是多少？答案：36詳解：12個數一大組，每大組分成差為6的6個小組，每組2數。取19個數，最多18組，那么n=36.從1至50這50個自然數中至少要選出多少個數，才能保證其中必有兩個數互質？答案：26詳解：相鄰兩個自然數互質，構造抽屜：（1,2）、（3,4）、……、（49,50），共25個抽屜。至少取26個數。從1至30這30個自然數中取出若干個數，使其中任意兩個數的和都不能被7整除．請問：最多能取出多少個數？答案：15詳解：按照除以7的余數構造抽屜：（余1:5個）、（余2：5個）、（余3:4個）、（余4:4個）、（余5:4個）、（余6:4個）、（余0:4個），余1組和余6組不能同時選擇，所以選擇元素個數多的余1組，同理選擇余2組，余3組和余4組任選一組，余0組最多從中選1個元素，那么5＋5＋4＋1=15個。請說明：任意5個數中必有3個數的和是3的倍數．詳解：將全部自然數按照除以3的余數分成3組，那么如果5個數中存在3個數除以3的余數相同，那這3個數之和是3的倍數；如果5個數中不存在3個數除以3同余，則必然存在3個數除以3分別余0、1、2，那這3個數的和是3的倍數。任選7個不同的數，請說明：其中必有2個數的和或者差是10的倍數。詳解：按除以10的余數分類，構造6個抽屜：（0）、（1,9）、（2,8）、（3,7）、（4,8）、（5），選7個數，必有2數來自于同一組。有9個人，每人至少與另外5個人互相認識．試證明：可以從中找到3個人，他們彼此相互認識．詳解：設這9人為A、B、C、D、E、F、G、H、I，不妨設A認識B、C、D、E、F這5人，B除了認識A外還認識4人，這4人必然有一人是C、D、E、F這4人中的一人。(1)在一個邊長為1的正方形里放入3個點，以這3個點為頂點連出的三角形面積最大是多少？答案：詳解：正方形內最大的三角形是與正方形等底等高的三角形，面積是正方形面積的一半。(2)在一個邊長為1的正方形中隨意放入9個點，這9個點任何三點不共線，請說明：這9個點中一定有3個點構成的三角形面積不超過．詳解：將正方形等分成4個小正方形，9個點至少有3個點落入同一個小正方形，然后利用（1）的結論。超越篇1．從l至12這12個自然數中最多能選出幾個數，使得在選出的數中，每一個數都不是另一個數的倍數？答案：6詳解：根據倍數關系構造抽屜：（1,2,4,8）、（3,9）、（5,10）、（6,12）、（7）、（11）共6個抽屜，所以最多能選出6個數。(1)請說明：在任意的68個自然數中，必有兩個數的差是67的倍數；詳解：將全部自然數按照除以67的余數分成67組，則68個數中必有兩數來自于同一組，即除以67同余，那么這兩個數的差是67的倍數。(2)請說明：在1，11，111，1111，…，這一列數中必有一個是67的倍數．詳解：將這列數按照除以67的余數分成67組，則必有兩數來自于同一組，即這兩個數的差是67的倍數，而這兩個數的差定是形如11…100…0這樣的數，那么前面那若干個1組成的數必定是67的倍數，即屬于此數列。3．求證：對于任意的8個自然數，一定能從中找到6個數a、b、c、d、e、f，使得(a–b)×(c–d)×(e–f)是105的倍數．詳解：這8個數中必有兩數是除以7同余的，即它們的差是7的倍數，剩下的6個數中，必有兩個數是除以5同余的，即它們的差是5的倍數，再剩下的4個數中，必有兩個數是除以3同余的，即它們的差是3的倍數，這三個差相乘，便為105的倍數。從l至25這25個自然數中最多取出多少個數，使得在取出來的這些數中，任何一個數都不等于另兩個不同數的乘積．答案：22詳解：這25個數中2的倍數最多，其次是3的倍數…，當去掉2、3、4時，結論成立。5．25名男生與25名女生坐在一張圓桌旁，請說明：至少有一人，他（或她）的兩邊都是女生．詳解：將每個位置1~50編號，則至少有13個女生在奇數號或偶數號，不妨設在奇數號，那么總共25個奇數中選出13個，必有相鄰兩奇數號上坐女生。6．時鐘的表盤上按標準的方式標著1，2，3，…，11，12這12個數，在其上任意做n個120°的扇形，每一個都恰好覆蓋4個數，每兩個覆蓋的數不全相同．如果從這任做的n個扇形中總能恰好取出3個，這3個扇形能覆蓋整個鐘面的全部12個數，求n的最小值．答案：9詳解：全部的可能情況共4種：，先保證從每組里都選出兩個，那么這是再選一個，無論來自哪組，都可湊出一整組。2×4＋1=9個。(1)將一個5×5的方格表每個方格都染成黑、白兩種顏色之一，請證明：一定存在一個長方形，四個頂點處的四個方格同色；詳解：總共25個格子，顏色多的至少有13個，不妨設黑色多，而且至少有3行比白色多，假設其中的2行如下圖1所示，這2行中必有1列兩個都是黑色，稱為特殊列，那么黑色多的第3行至少有3個，若這3個都沒有在特殊列，則結論成立，若這3個有1個落在特殊列，那么另2個不論落在哪列，特殊列都會與之搭配。將一個4×19的方格表每個方格都染成黑、白、紅三種顏色之一，請證明：一定存在一個長方形，四個頂點處的四個方格同色．詳解：顏色最多的至少有26個，而且至少是（7,7,6,6）這樣組合，如果前3行按照（7,7,6）排列的話，至少產生一個特殊列，將表格分成4部分，那第四行的6個必有兩個在同一區(qū)域，則結論成立