第05講概率與統(tǒng)計(jì)【易錯(cuò)點(diǎn)總結(jié)】條件概率與事件的獨(dú)立性1.相互獨(dú)立事件一般地，當(dāng)P(AB)＝P(A)P(B)時(shí)，就稱(chēng)事件A與B相互獨(dú)立(簡(jiǎn)稱(chēng)獨(dú)立).如果事件A與B相互獨(dú)立，則eq\o(A,\s\up6(－))與eq\o(B,\s\up6(－))，A與B，eq\o(A,\s\up6(－))與eq\o(B,\s\up6(－))也相互獨(dú)立.2.條件概率(1)概念：一般地，當(dāng)事件B發(fā)生的概率大于0(即P(B)>0)時(shí)，已知事件B發(fā)生的條件下事件A發(fā)生的概率，稱(chēng)為條件概率，記作P(A|B)，而且P(A|B)＝eq\f(P（A∩B）,P（B）).(2)兩個(gè)公式①利用古典概型，P(B|A)＝eq\f(n（AB）,n（A）)；②概率的乘法公式：P(AB)＝P(A)P(B|A).3.全概率公式一般地，如果樣本空間為Ω，A，B為事件，則BA與Beq\o(A,\s\up6(－))是互斥的，且B＝BΩ＝B(A＋eq\o(A,\s\up6(－)))＝BA＋Beq\o(A,\s\up6(－))，從而P(B)＝P(BA＋Beq\o(A,\s\up6(－)))＝P(BA)＋P(Beq\o(A,\s\up6(－)))，當(dāng)P(A)>0且P(eq\o(A,\s\up6(－)))>0時(shí)，有P(B)＝P(A)P(B|A)＋P(eq\o(A,\s\up6(－)))P(B|eq\o(A,\s\up6(－))).隨機(jī)變量及其分布列1.離散型隨機(jī)變量一般地，如果隨機(jī)試驗(yàn)的樣本空間為Ω，而且對(duì)于Ω中的每一個(gè)樣本點(diǎn)，變量X都對(duì)應(yīng)有唯一確定的實(shí)數(shù)值，就稱(chēng)X為一個(gè)隨機(jī)變量.其所有可能的取值都是可以一一列舉的隨機(jī)變量稱(chēng)為離散型隨機(jī)變量.2.離散型隨機(jī)變量的分布列一般地，若離散型隨機(jī)變量X的取值范圍是{x1，x2，…，xn}，如果對(duì)任意k∈{1，2，…，n}，概率P(X＝xk)＝pk都是已知的，則稱(chēng)X的概率分布是已知的，離散型隨機(jī)變量X的概率分布可以用如下形式的表格表示，這個(gè)表格稱(chēng)為X的概率分布或分布列.Xx1x2…xk…xnPp1p2…pk…pn3.離散型隨機(jī)變量的分布列的性質(zhì)(1)pk≥0，k＝1，2，…，n；(2)eq\o(∑,\s\up6(n),\s\do4(k＝1))pk＝p1＋p2＋…＋pn＝1.4.離散型隨機(jī)變量的數(shù)學(xué)期望與方差、標(biāo)準(zhǔn)差一般地，如果離散型隨機(jī)變量X的分布列如下表所示Xx1x2…xk…xnPp1p2…pk…pn(1)均值稱(chēng)E(X)＝x1p1＋x2p2＋…＋xnpn＝eq\o(∑,\s\up6(n),\s\do4(i＝1))xipi為離散型隨機(jī)變量X的均值或數(shù)學(xué)期望(簡(jiǎn)稱(chēng)為期望).(2)方差D(X)＝[x1－E(X)]2p1＋[x2－E(X)]2p2＋…＋[xn－E(X)]2pn＝eq\o(∑,\s\up6(n),\s\do4(i＝1))[xi－E(X)]2pi，能夠刻畫(huà)X相對(duì)于均值的離散程度(或波動(dòng)大小)，這稱(chēng)為離散型隨機(jī)變量X的方差.(3)標(biāo)準(zhǔn)差稱(chēng)eq\r(D（X）)稱(chēng)為離散型隨機(jī)變量X的標(biāo)準(zhǔn)差，它也可以刻畫(huà)一個(gè)離散型隨機(jī)變量的離散程度(或波動(dòng)大小).5.均值與方差的性質(zhì)(1)E(aX＋b)＝aE(X)＋b.(2)D(aX＋b)＝a2D(X)(a，b為常數(shù)).二項(xiàng)分布與超幾何分布1.n次獨(dú)立試驗(yàn)與二項(xiàng)分布(1)n次獨(dú)立重復(fù)試驗(yàn)在相同條件下重復(fù)n次伯努利試驗(yàn)時(shí)，人們總是約定這n次試驗(yàn)是相互獨(dú)立的，此時(shí)這n次伯努利試驗(yàn)也常稱(chēng)為n次獨(dú)立重復(fù)試驗(yàn).(2)二項(xiàng)分布一般地，如果一次伯努利試驗(yàn)中，出現(xiàn)“成功”的概率為p，記q＝1－p，且n次獨(dú)立重復(fù)試驗(yàn)中出現(xiàn)“成功”的次數(shù)為X，則X的取值范圍是{0，1，…，k，…，n}，而且P(X＝k)＝Ceq\o\al(k,n)pkqn－k，k＝0，1，…，n，因此X的分布列如下表所示X01…k…nPCeq\o\al(0,n)p0qnCeq\o\al(1,n)p1qn－1…Ceq\o\al(k,n)pkqn－k…Ceq\o\al(n,n)pnq0注意到上述X的分布列第二行中的概率值都是二項(xiàng)展開(kāi)式(q＋p)n＝Ceq\o\al(0,n)p0qn＋Ceq\o\al(1,n)p1qn－1＋…＋Ceq\o\al(k,n)pkqn－k＋…＋Ceq\o\al(n,n)pnq0中對(duì)應(yīng)項(xiàng)的值，因此稱(chēng)X服從參數(shù)為n，p的二項(xiàng)分布，記作X～B(n，p).2.兩點(diǎn)分布與二項(xiàng)分布的均值、方差(1)若隨機(jī)變量X服從兩點(diǎn)分布，則E(X)＝p，D(X)＝p(1－p).(2)若X～B(n，p)，則E(X)＝np，D(X)＝np(1－p).3.超幾何分布一般地，若有總數(shù)為N件的甲、乙兩類(lèi)物品，其中甲類(lèi)有M件(M<N)，從所有物品中隨機(jī)取出n件(n≤N)，則這n件中所含甲類(lèi)物品數(shù)X是一個(gè)離散型隨機(jī)變量，X能取不小于t且不大于s的所有自然數(shù)，其中s為M與n中的較小者，t在n不大于乙類(lèi)物品件數(shù)(即n≤N－M)時(shí)取0，否則t取n減乙類(lèi)物品件數(shù)之差(即t＝n－(N－M))，而且P(X＝k)＝eq\f(Ceq\o\al(k,M)Ceq\o\al(n－k,N－M),Ceq\o\al(n,N))，k＝t，t＋1，…，s，這里的X稱(chēng)為服從參數(shù)為N，n，M的超幾何分布，記作X～H(N，n，M).4.正態(tài)分布(1)正態(tài)曲線φ(x)＝eq\f(1,σ\r(2π))e－eq\f(（x－μ）2,2σ2)，φ(x)的解析式中含有μ和σ兩個(gè)參數(shù)，其中：μ＝E(X)，即X的均值；σ＝eq\r(D（X）)，即X的標(biāo)準(zhǔn)差.φ(x)也常常記為φμ，σ(x).(2)正態(tài)曲線的一些性質(zhì)①正態(tài)曲線關(guān)于x＝μ對(duì)稱(chēng)(即μ決定正態(tài)曲線對(duì)稱(chēng)軸的位置)，具有中間高、兩邊低的特點(diǎn)；②正態(tài)曲線與x軸所圍成的圖形面積為1；③σ決定正態(tài)曲線的“胖瘦”；σ越大，說(shuō)明標(biāo)準(zhǔn)差越大，數(shù)據(jù)的集中程度越弱，所以曲線越“胖”；σ越小，說(shuō)明標(biāo)準(zhǔn)差越小，數(shù)據(jù)的集中程度越強(qiáng)，所以曲線越“瘦”.(3)正態(tài)總體在三個(gè)特殊區(qū)間內(nèi)取值的概率值P(μ－σ≤X≤μ＋σ)≈68.3%；P(μ－2σ≤X≤μ＋2σ)≈95.4%；P(μ－3σ≤X≤μ＋3σ)≈99.7%.(4)正態(tài)分布的均值與方差若X～N(μ，σ2)，則E(X)＝μ，D(X)＝σ2.獨(dú)立性檢驗(yàn)1.變量的相關(guān)關(guān)系(1)相關(guān)關(guān)系：兩個(gè)變量有關(guān)系，但又沒(méi)有確切到可由其中的一個(gè)去精確地決定另一個(gè)的程度，這種關(guān)系稱(chēng)為相關(guān)關(guān)系.(2)相關(guān)關(guān)系的分類(lèi)：正相關(guān)和負(fù)相關(guān).(3)線性相關(guān)：如果變量x與變量y之間的關(guān)系可以近似地用一次函數(shù)來(lái)刻畫(huà)，則稱(chēng)x與y線性相關(guān).2.相關(guān)系數(shù)(1)r＝eq\f(\o(∑,\s\up12(n),\s\do8(i＝1))（xi－eq\o(x,\s\up12(－))）（yi－eq\o(y,\s\up12(－))）,\r(\o(∑,\s\up12(n),\s\do8(i＝1))（xi－eq\o(x,\s\up12(－))）2\o(∑,\s\up12(n),\s\do8(i＝1))（yi－eq\o(y,\s\up12(－))）2))＝eq\f(\o(∑,\s\up12(n),\s\do8(i＝1))xiyi－n\a\vs4\al(eq\o(x,\s\up12(－)))\a\vs4\al(eq\o(y,\s\up12(－))),\r(（\o(∑,\s\up12(n),\s\do8(i＝1))xeq\o\al(2,i)－neq\o(x,\s\up12(－))2）（\o(∑,\s\up12(n),\s\do8(i＝1))yeq\o\al(2,i)－ny2）)).(2)當(dāng)r>0時(shí)，成對(duì)樣本數(shù)據(jù)正相關(guān)；當(dāng)r<0時(shí)，成對(duì)樣本數(shù)據(jù)負(fù)相關(guān).(3)|r|≤1；當(dāng)|r|越接近1時(shí)，成對(duì)樣本數(shù)據(jù)的線性相關(guān)程度越強(qiáng)；當(dāng)|r|越接近0時(shí)，成對(duì)樣本數(shù)據(jù)的線性相關(guān)程度越弱.3.一元線性回歸模型(1)我們將eq\o(y,\s\up6(^))＝eq\o(b,\s\up6(^))x＋eq\o(a,\s\up6(^))稱(chēng)為y關(guān)于x的回歸直線方程，其中eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(\o(b,\s\up6(^))＝\f(\o(∑,\s\up12(n),\s\do8(i＝1))（xi－eq\o(x,\s\up12(－))）（yi－eq\o(y,\s\up12(－))）,\o(∑,\s\up12(n),\s\do8(i＝1))（xi－eq\o(x,\s\up12(－))）2)＝\f(\o(∑,\s\up12(n),\s\do8(i＝1))xiyi－n\a\vs4\al(eq\o(x,\s\up12(－)))\a\vs4\al(eq\o(y,\s\up12(－))),\o(∑,\s\up12(n),\s\do8(i＝1))xeq\o\al(2,i)－neq\o(x,\s\up12(－))2)，,\o(a,\s\up6(^))＝\o(y,\s\up6(^))－\o(b,\s\up6(^))eq\o(x,\s\up12(－)).))(2)殘差：觀測(cè)值減去預(yù)測(cè)值，稱(chēng)為殘差.4.2×2列聯(lián)表和χ2如果隨機(jī)事件A與B的樣本數(shù)據(jù)的2×2列聯(lián)表如下.Aeq\o(A,\s\up6(－))總計(jì)Baba＋beq\o(B,\s\up6(－))cdc＋d總計(jì)a＋cb＋da＋b＋c＋d記n＝a＋b＋c＋d，則χ2＝eq\f(n（ad－bc）2,（a＋b）（c＋d）（a＋c）（b＋d）).5.獨(dú)立性檢驗(yàn)統(tǒng)計(jì)學(xué)中，常用的顯著性水平α以及對(duì)應(yīng)的分位數(shù)k如下表所示.α＝P(χ2≥k)0.10.050.010.0050.001K2.7063.8416.6357.87910.828要推斷“A與B有關(guān)系”可按下面的步驟(1)作2×2列聯(lián)表.(2)根據(jù)2×2列聯(lián)表計(jì)算χ2的值.(3)查對(duì)分位數(shù)k，作出判斷.如果根據(jù)樣本數(shù)據(jù)算出χ2的值后，發(fā)現(xiàn)χ2≥k成立，就稱(chēng)在犯錯(cuò)誤的概率不超過(guò)α的前提下，可以認(rèn)為A與B不獨(dú)立(也稱(chēng)為A與B有關(guān))；或說(shuō)有1－α的把握認(rèn)為A與B有關(guān).若χ2<k成立，就稱(chēng)不能得到前述結(jié)論.這一過(guò)程通常稱(chēng)為獨(dú)立性檢驗(yàn).【重難點(diǎn)剖析】考點(diǎn)一：條件概率與事件的獨(dú)立性1．從編號(hào)為的20張卡片中依次不放回地抽出兩張，記：第一次抽到數(shù)字為6的倍數(shù)，：第二次抽到的數(shù)字小于第一次，則=（

）A． B． C． D．【答案】B【詳解】記事件：第一次抽到的數(shù)字為的倍數(shù)；事件：第二次抽到的數(shù)字小于第一次；則數(shù)字為的倍數(shù)的數(shù)有：，所以，第二次抽到的數(shù)字小于第一次的情況分為：第一次抽到的數(shù)字為，第二次則抽到，共5種；第一次抽到的數(shù)字為12，第二次則抽到，共11種；第一次抽到的數(shù)字為18，第二次則抽到，共17種.則，.故選：B.2．某地區(qū)氣象臺(tái)統(tǒng)計(jì)，該地區(qū)下雨的概率是，刮風(fēng)的概率為，在下雨天里，刮風(fēng)的概率為，則既刮風(fēng)又下雨的概率為（

）A． B． C． D．【答案】C【詳解】記“下雨”，“刮風(fēng)”，“刮風(fēng)又下雨”，則，所以.故選：C3．某個(gè)家庭有三個(gè)孩子，已知其中一個(gè)孩子是男孩，則另外兩個(gè)都是女孩的概率為（

）A． B． C． D．【答案】A【詳解】解：由題意，某家庭有三個(gè)孩子，已知其中一個(gè)孩子是男孩，基本事件有：（女女男），（女男女），（男女女），（女男男），（男女男），（男男女），（男男男），共有7個(gè)，其中另外兩個(gè)都是女孩包含的基本事件有：（男女女），（女男女），（女女男），共有3個(gè)，則至少有兩個(gè)孩子是女孩的概率是.故選：A.4．某人外出出差，委托鄰居給家里植物澆一次水，設(shè)不澆水，植物枯萎的概率為0.8，澆水，植物枯萎的概率為0.15.鄰居記得澆水的概率為0.9.則該人回來(lái)植物沒(méi)有枯萎的概率為（

）A．0.785 B．0.845 C．0.765 D．0.215【答案】A【詳解】解：記為事件“植物沒(méi)有枯萎”，為事件“鄰居記得給植物澆水”，則根據(jù)題意，知，，，，因此．故選：A．5．若，，，則事件與的關(guān)系是（

）A．事件與互斥 B．事件與對(duì)立C．事件與相互獨(dú)立 D．事件與既互斥又相互獨(dú)立【答案】C【詳解】∵，∴，∴事件與相互獨(dú)立、事件與不互斥，故不對(duì)立.故選：C考點(diǎn)二：隨機(jī)變量6．下列說(shuō)法正確的是（

）A．離散型隨機(jī)變量的均值是上的一個(gè)數(shù)B．離散型隨機(jī)變量的均值反映了隨機(jī)變量取值的平均水平C．若離散型隨機(jī)變量的均值，則D．離散型隨機(jī)變量的均值【答案】B【詳解】對(duì)于，離散型隨機(jī)變量的均值是一個(gè)常數(shù)，不一定在上，故錯(cuò)誤，對(duì)于B，散型隨機(jī)變量的均值反映了隨機(jī)變量取值的平均水平，故B正確，對(duì)于C，離散型隨機(jī)變量的均值，則，故C錯(cuò)誤，對(duì)于D，離散型隨機(jī)變量的均值，故D錯(cuò)誤．故選：B．7．已知隨機(jī)變量服從正態(tài)分布，若，則（

）A． B．1 C． D．2【答案】B【詳解】由于隨機(jī)變量服從正態(tài)分布，且，而，所以，所以.故選：B8．為了保障我國(guó)民眾的身體健康，產(chǎn)品在進(jìn)入市場(chǎng)前必須進(jìn)行兩輪檢測(cè)，只有兩輪都合格才能進(jìn)行銷(xiāo)售，否則不能銷(xiāo)售，已知某產(chǎn)品第一輪檢測(cè)不合格的概率為，第二輪檢測(cè)不合格的概率為，兩輪檢測(cè)是否合格相互之間沒(méi)有影響，若產(chǎn)品可以銷(xiāo)售，則每件產(chǎn)品獲利40元，若產(chǎn)品不能銷(xiāo)售，則每件產(chǎn)品虧損80元，已知一輪中有4件產(chǎn)品，記一箱產(chǎn)品獲利X元，則等于（

）A． B． C． D．【答案】C【詳解】由題意得該產(chǎn)品能銷(xiāo)售的概率為，易知的取值范圍為，設(shè)表示一箱產(chǎn)品中可以銷(xiāo)售的件數(shù)，則，所以，，所以，，，故.故選：C.9．在一個(gè)袋中裝有質(zhì)地大小一樣的6個(gè)黑球，4個(gè)白球，現(xiàn)從中任取4個(gè)小球，設(shè)取的4個(gè)小球中白球的個(gè)數(shù)為X，則下列結(jié)論正確的是（

）A． B．隨機(jī)變量服從二項(xiàng)分布C．隨機(jī)變量服從幾何分布 D．【答案】C【詳解】解：由題意知隨機(jī)變量服從超幾何分布，故B錯(cuò)誤，C正確；的取值分別為0，1，2，3，4，則，，，，，，故A，D錯(cuò)誤．故選：C．10．在某校的一次化學(xué)考試中，全體考生的成績(jī)近似地服從正態(tài)分布，已知成績(jī)?cè)?0分以上（含90分）的學(xué)生有32名.則參加考試的學(xué)生總數(shù)約為（

）（參考數(shù)據(jù)：，，）A．202 B．205 C．206 D．208【答案】A【詳解】因化學(xué)考試的成績(jī)服從正態(tài)分布，顯然期望，標(biāo)準(zhǔn)差，于是得，所以參加考試的學(xué)生總數(shù)約為.故選：A考點(diǎn)三：統(tǒng)計(jì)模型11．某地政府調(diào)查育齡婦女生育意愿與家庭年收入高低的關(guān)系時(shí)，隨機(jī)調(diào)查了當(dāng)?shù)?000名育齡婦女，用獨(dú)立性檢驗(yàn)的方法處理數(shù)據(jù)，并計(jì)算得，則根據(jù)這一數(shù)據(jù)以及臨界值表，判斷育齡婦女生育意愿與家庭年收入高低有關(guān)系的可信度（

）參考數(shù)據(jù)如下：，.A．低于 B．低于 C．高于 D．高于【答案】C【詳解】由于，而，所以可信度高于.故選：C12．通過(guò)隨機(jī)詢(xún)問(wèn)相同數(shù)量的不同性別大學(xué)生在購(gòu)買(mǎi)食物時(shí)是否看營(yíng)養(yǎng)說(shuō)明，得知有的男大學(xué)生“不看”，有的女大學(xué)生“不看”，若有99%的把握認(rèn)為性別與是否看營(yíng)養(yǎng)說(shuō)明之間有關(guān)，則調(diào)查的總?cè)藬?shù)可能為（

）A．150 B．170 C．240 D．175【答案】C【詳解】設(shè)男女大學(xué)生各有m人，根據(jù)題意畫(huà)出2×2列聯(lián)表，如下圖：看不看合計(jì)男m女m合計(jì)2m所以，因?yàn)橛?9%的把握認(rèn)為性別與對(duì)產(chǎn)品是否滿(mǎn)意有關(guān)，所以，解得，所以總?cè)藬?shù)2m可能為240．故選：C．13．關(guān)于線性回歸的描述，下列命題錯(cuò)誤的是（

）A．回歸直線一定經(jīng)過(guò)樣本點(diǎn)的中心 B．殘差平方和越小，擬合效果越好C．決定系數(shù)越接近1，擬合效果越好 D．殘差平方和越小，決定系數(shù)越小【答案】D【詳解】對(duì)A，回歸直線一定經(jīng)過(guò)樣本點(diǎn)的中心正確；對(duì)B，殘差平方和越小，擬合效果越好正確；對(duì)C，決定系數(shù)越接近1，擬合效果越好正確；對(duì)D，殘差平方和越小，擬合效果越好，決定系數(shù)越接近1，故D錯(cuò)誤；故選：D14．由樣本數(shù)據(jù)，對(duì)兩個(gè)變量和進(jìn)行回歸分析，則下列說(shuō)法錯(cuò)誤的是（

）A．由樣本數(shù)據(jù)得到的回歸直線必過(guò)點(diǎn)B．殘差平方和越小的模型，擬合的效果越好C．用決定系數(shù)來(lái)刻畫(huà)回歸效果，越小，說(shuō)明模型的擬合效果越好D．若變量和之間的相關(guān)系數(shù)為，變量和之間具有較強(qiáng)的線性相關(guān)關(guān)系【答案】C【詳解】回歸方程必過(guò)樣本中心，A正確；殘差平方和越小，代表估計(jì)值和測(cè)量值越接近，即擬合的效果越好，B正確；越接近1，模型的擬合效果越好，C錯(cuò)誤；若，則變量和之間具有較強(qiáng)的線性相關(guān)關(guān)系，D正確；故選：C．15．對(duì)具有線性相關(guān)關(guān)系的變量x，y有一組觀測(cè)數(shù)據(jù)其回歸直線方程是，且，則當(dāng)時(shí)，的估計(jì)值為（

）．A． B． C． D．【答案】A【詳解】因?yàn)?，所以，因?yàn)榛貧w直線方程是，所以，所以，解得：，所以，所以當(dāng)時(shí)，的估計(jì)值為：.故選：A.【基礎(chǔ)過(guò)關(guān)】一、單選題1．隨機(jī)變量X服從正態(tài)分布，且，則下列說(shuō)法一定正確的是（

）A． B． C． D．【答案】B【詳解】因?yàn)椋烧龖B(tài)分布的對(duì)稱(chēng)性可得，故B正確，A錯(cuò)誤，而正態(tài)分布的方差無(wú)法確定，故C，D均錯(cuò)誤.故選：B．2．針對(duì)某種突發(fā)性的流感病毒，各國(guó)的醫(yī)療科研機(jī)構(gòu)都在研制疫苗．已知甲、乙兩個(gè)機(jī)構(gòu)各自研制成功的概率分別為和，而且兩個(gè)機(jī)構(gòu)互不影響，則恰有一個(gè)機(jī)構(gòu)研制成功的概率為（

）A． B． C． D．【答案】B【詳解】依題意，有一個(gè)機(jī)構(gòu)研制成功的概率為.故選：B3．“五一”勞動(dòng)節(jié)放假期間，甲、乙、丙去北京旅游的概率分別為，，，假定三人的行動(dòng)相互之間沒(méi)有影響，那么這段時(shí)間內(nèi)至少有1人去北京旅游的概率為（

）A． B． C． D．【答案】B【詳解】∵甲、乙、丙去北京旅游的概率分別為，，．∴他們不去北京旅游的概率分別為，，．∵至少有1人去北京旅游的對(duì)立事件是沒(méi)有人去北京旅游，∴至少有1人去北京旅游的概率為：．故選：B4．某市高三理科學(xué)生有名，在一次調(diào)研測(cè)試中，數(shù)學(xué)成績(jī)服從正態(tài)分布，已知，若按成績(jī)采用分層抽樣的方式抽取100份試卷進(jìn)行分析，則應(yīng)從分以上的試卷中抽取的份數(shù)為（

）A．60 B．40 C．30 D．15【答案】C【詳解】，.故選：C5．某工廠生產(chǎn)的零件的尺寸(單位：)服從正態(tài)分布，任選一個(gè)零件，尺寸在的概率為（

）附：若，則．A．B．C．D．【答案】B【詳解】由零件的尺寸(單位：)服從正態(tài)分布，可知，故，由可得，故尺寸在的概率為，故選：B6．某次國(guó)際象棋比賽規(guī)定，勝一局得3分，平一局得1分，負(fù)一局得0分，某參賽隊(duì)員比賽一局勝的概率為a，平局的概率為b，負(fù)的概率為c（），已知他比賽一局得分的數(shù)學(xué)期望為1，則ab的最大值為（

）A． B． C． D．【答案】B【詳解】解：由題意，比賽一局得分的數(shù)學(xué)期望為，故，又，故，解得，當(dāng)且僅當(dāng)，即時(shí)等號(hào)成立.故選：B.7．投壺是從先秦延續(xù)至清末的漢民族傳統(tǒng)禮儀和宴飲游戲，在春秋戰(zhàn)國(guó)時(shí)期較為盛行．如圖為一幅唐朝的投壺圖，假設(shè)甲、乙是唐朝的兩位投壺游戲參與者，且甲、乙每次投壺投中的概率分別為，每人每次投壺相互獨(dú)立．若約定甲投壺2次，乙投壺3次，投中次數(shù)多者勝，則甲最后獲勝的概率為（

）A． B． C． D．【答案】B【詳解】由題意可得，甲最后獲勝的情況有3種①甲投中1次，乙投中0次，則概率為②甲投中2次，乙投中1次，則概率為③甲投中2次，乙投中0次，則概率為，所以甲最后獲勝的概率為，故選：B8．甲、乙兩人進(jìn)行羽毛球比賽，現(xiàn)采用三局兩勝的比賽制度，規(guī)定每局比賽都沒(méi)有平局（必須分出勝負(fù)），且每一局甲贏的概率都是，隨機(jī)變量表示最終的比賽局?jǐn)?shù)，若，則的數(shù)學(xué)期望的取值范圍是（

）A． B． C． D．【答案】A【詳解】隨機(jī)變量可能的取值為2，3．．，故的分布列為：23故．因?yàn)椋剩蔬x：A．二、多選題9．設(shè)X是隨機(jī)變量，那么（

）A．若，則B．若，，則C．若，，則D．若，則【答案】ABC【詳解】對(duì)于A，因?yàn)?，所以，所以，所以A正確，對(duì)于B，因?yàn)?，，所以，所以B正確，對(duì)于C，因?yàn)?，所以，因?yàn)椋?，所以，所以C正確，對(duì)于D，因?yàn)椋?，所以，所以，所以D錯(cuò)誤，故選：ABC10．對(duì)具有線性相關(guān)關(guān)系的變量有一組觀測(cè)數(shù)據(jù)，已知，，則（

）A．?dāng)?shù)據(jù)的平均數(shù)為0B．若變量的經(jīng)驗(yàn)回歸方程為，則實(shí)數(shù)C．變量的樣本相關(guān)系數(shù)越大，表示模型與成對(duì)數(shù)據(jù)的線性相關(guān)性越強(qiáng)D．變量的決定系數(shù)越大，表示模型與成對(duì)數(shù)據(jù)擬合的效果越好【答案】BD【詳解】解：因?yàn)?，所?對(duì)于選項(xiàng)A，的平均數(shù)為，故選項(xiàng)A錯(cuò)誤；對(duì)于選項(xiàng)B，若變量的經(jīng)驗(yàn)回歸方程是，則，故選項(xiàng)B正確；對(duì)于選項(xiàng)C，當(dāng)變量為負(fù)相關(guān)時(shí)，相關(guān)性越強(qiáng)，相關(guān)系數(shù)越小（越接近于），故選項(xiàng)C錯(cuò)誤；對(duì)于選項(xiàng)D，變量的決定系數(shù)越大，殘差平方和越小，則變量擬合的效果越好，故選項(xiàng)D正確.故選：BD.三、填空題11．甲乙參加某個(gè)五局三勝的比賽，每局他們獲勝的可能性相同，最終勝者將獲得2000元獎(jiǎng)金，前兩局甲獲勝后，因?yàn)槠渌露袛嗔吮荣悾瑒t甲應(yīng)得_____元獎(jiǎng)金才公平．【答案】1750【詳解】因?yàn)樵撐寰秩齽俚谋荣惷烤謨扇双@勝的可能性相同，所以在前兩局甲獲勝后，甲獲勝的概率為，甲應(yīng)得元.故答案為：.12．為了監(jiān)控某種零件的一條生產(chǎn)線的生產(chǎn)過(guò)程，檢驗(yàn)員每天從該生產(chǎn)線上隨機(jī)抽取，并測(cè)零件的直徑尺寸，根據(jù)長(zhǎng)期生產(chǎn)經(jīng)驗(yàn)，可以認(rèn)為這條生產(chǎn)線正常狀態(tài)下生產(chǎn)的零件直徑尺寸服從正態(tài)分布，若x落在內(nèi)的零件個(gè)數(shù)為2718，則可估計(jì)所抽取的這批零件中直徑x高于22的個(gè)數(shù)大約為_(kāi)__________.（附：若隨機(jī)變量服從正態(tài)分布，則，，.）【答案】455【詳解】解：由正態(tài)分布可知：，，，，，，直徑高于的個(gè)數(shù)大約為.故答案為：455四、解答題13．某公司的一次招聘中，應(yīng)聘者都要經(jīng)過(guò)三個(gè)獨(dú)立項(xiàng)目的測(cè)試，如果通過(guò)兩個(gè)或三個(gè)項(xiàng)目的測(cè)試即可被錄用．若甲、乙、丙三人通過(guò)每個(gè)項(xiàng)目測(cè)試的概率都是．(1)求甲被錄用的概率；(2)設(shè)甲、乙、丙三人中被錄用的人數(shù)為，求的分布列．【答案】(1)(2)分布列見(jiàn)解析【詳解】（1）由題意得甲通過(guò)兩個(gè)項(xiàng)目測(cè)試的概率為，通過(guò)三個(gè)項(xiàng)目測(cè)試的概率為，所以甲被錄用的概率為.（2）由（1）得每個(gè)人被錄用的概率為，的所有可能取值為0，1，2，3，所以，，，，所以的分布列為：14．為考查某種疫苗預(yù)防疾病的效果，進(jìn)行動(dòng)物實(shí)驗(yàn)，得到統(tǒng)計(jì)數(shù)據(jù)如下：未發(fā)病發(fā)病合計(jì)未注射疫苗注射疫苗合計(jì)現(xiàn)從所有試驗(yàn)動(dòng)物中任取一只，取到“注射疫苗”動(dòng)物的概率為．(1)求列聯(lián)表中的數(shù)據(jù)，，，的值；(2)能夠有多大把握認(rèn)為疫苗有效？附：【答案】(1)，，，(2)有%的把握認(rèn)為疫苗有效（1）設(shè)“從所有試驗(yàn)動(dòng)物中任取一只，取到“注射疫苗”動(dòng)物”為事件，由已知得，所以，代入可得，，．（2）．所以有%的把握認(rèn)為疫苗有效.15．5G技術(shù)對(duì)社會(huì)和國(guó)家十分重要．從戰(zhàn)略地位來(lái)看，業(yè)界一般將其定義為繼蒸汽機(jī)革命、電氣革命和計(jì)算機(jī)革命后的第四次工業(yè)革命．為了解行業(yè)發(fā)展?fàn)顩r，某調(diào)研機(jī)構(gòu)統(tǒng)計(jì)了某公司五年時(shí)間里在通信5G技術(shù)上的研發(fā)投入（億元）與收益（億元）的數(shù)據(jù)，結(jié)果如下：研發(fā)投入（億元）12345收益（億元）4556646872(1)利用相關(guān)系數(shù)說(shuō)明是否可以用線性回歸模型擬合與的關(guān)系（當(dāng)時(shí)，可以認(rèn)為兩個(gè)變量有很強(qiáng)的線性相關(guān)性）；(2)求關(guān)于的線性回歸方程．參考數(shù)據(jù)：，，．參考公式：相關(guān)系數(shù)，線性回歸方程中，，，其中，為樣本平均值．【答案】(1)答案見(jiàn)解析(2)（1）由表中數(shù)據(jù)可得，，∴，又，，∴．∴與兩個(gè)變量高度相關(guān)，可以用線性回歸模型擬合．（2）由表中數(shù)據(jù)可得，則，∴，故關(guān)于的線性回歸方程為．【能力提升】一、單選題1．為落實(shí)疫情防控“動(dòng)態(tài)清零”總方針和“四早”要求，有效應(yīng)對(duì)奧密克戎變異株傳播風(fēng)險(xiǎn)，確保正常生活和生產(chǎn)秩序，某企業(yè)決定于每周的周二、周五各做一次抽檢核酸檢測(cè).已知該企業(yè)組裝車(chē)間的某小組有6名工人，每次獨(dú)立、隨機(jī)的從中抽取3名工人參加核酸檢測(cè).設(shè)該小組在一周內(nèi)的兩次抽檢中共有名不同的工人被抽中，下列結(jié)論不正確的是（

）A．該小組中的工人甲一周內(nèi)被選中兩次的概率為B．C．該小組中的工人甲一周內(nèi)至少被選中一次的概率為D．【答案】B【詳解】依題意每次抽取，工人甲被抽到的概率，所以工人甲一周內(nèi)被選中兩次的概率為，故A正確；依題意的可能取值為，則，意味著第一次從6人中選中的3人，第二次仍然為這3人，則，同理可得：，所以，故B錯(cuò)誤；對(duì)于，工人甲一周內(nèi)兩次均未被選中的概率為，所以工人甲一周內(nèi)至少被選中一次的概率為，故正確；，意味著第一次先從6人中選中3人，第二次抽到的3人中，含有第一次抽到的3人中的2人，另外一人從沒(méi)有抽到的3人中抽取，故概率為：，同理可得：，所以，故D正確.故選：B.2．甲、乙兩人弈棋，根據(jù)以往總共次的對(duì)弈記錄，甲取勝次，乙取勝次.兩人進(jìn)行一場(chǎng)五局三勝的比賽，最終勝者贏得元獎(jiǎng)金.第一局、第二局比賽都是甲勝，現(xiàn)在比賽因意外中止.鑒于公平，獎(jiǎng)金應(yīng)該分給甲（

）A．元 B．元 C．元 D．元【答案】C【詳解】依題意知：甲乙勝負(fù)的概率都是假設(shè)比賽繼續(xù)，甲只需三場(chǎng)中贏得一場(chǎng)即獲得全額獎(jiǎng)金，甲獲勝的概率（元）故選：C3．一個(gè)籠子里關(guān)著7只貓，其中有3只黑貓?4只白貓.到了給貓喂食時(shí)間時(shí)，把籠子打開(kāi)一個(gè)小口，使得每次只能鉆出1只貓.貓爭(zhēng)先恐后地往外鉆，如果7只貓都鉆出了籠子，事件表示“第k只出籠的貓是黑貓”，，則下列結(jié)論錯(cuò)誤的是（

）A． B．C． D．【答案】B【詳解】由題意，可得，對(duì)于A中，事件表示第只出籠的貓都是黑貓，則，所以A正確；對(duì)于B中，事件表示第1只或第2只出籠的貓是黑貓，則，所以B不正確；對(duì)于C中，，所以C正確；對(duì)于D中，表示第5只和第2只貓時(shí)黑貓，可得，所以，所以D正確，故選：B4．甲、乙、丙三名同學(xué)計(jì)劃暑假?gòu)奈锢怼⒒瘜W(xué)、生物三個(gè)學(xué)科中各自任意選一門(mén)進(jìn)行學(xué)習(xí)，每人選擇各個(gè)科目的概率為，且每人選擇相互獨(dú)立，則至少有兩人選擇物理的前提下甲同學(xué)選擇物理的概率為（

）A． B． C． D．【答案】D【詳解】記事件為“至少有兩人選擇物理”，事件為“甲同學(xué)選擇物理”，則，，∴．故選：D5．在乒乓球的一局比賽中，先得11分的一方為勝方，10平后，先得2分的一方為勝方．甲乙兩人進(jìn)行乒乓球比賽，在每一個(gè)回合的比賽中，甲得1分的概率為，現(xiàn)在決勝局比賽中，甲、乙的比分暫時(shí)為，則最終甲以贏得比賽的概率為（

）A． B． C． D．【答案】C【詳解】由題意可得，甲、乙的比分暫時(shí)為后，其后比分為，，則甲、乙的比分暫時(shí)為后，甲乙又進(jìn)行了6場(chǎng)比賽，每場(chǎng)比賽結(jié)果相互獨(dú)立，前2場(chǎng)甲一勝一負(fù)，中間2場(chǎng)甲一勝一負(fù)，最后2場(chǎng)甲連勝.則甲、乙的比分暫時(shí)為后，最終甲以贏得比賽的概率為故選：C二、填空題6．有3臺(tái)車(chē)床加工同一型專(zhuān)的零件，第1臺(tái)加工的次品率為6%，第2?3臺(tái)加工的次品率均為5%，加工出來(lái)的零件混放在一起，已知第1?2?3臺(tái)車(chē)床加工的零件數(shù)分別占總數(shù)的25%，30%，45%，現(xiàn)從加工出來(lái)的零件中任取一個(gè)零件，在取到的零件是次品的前提下，是第1臺(tái)車(chē)床加工的概率為_(kāi)__________.【答案】【詳解】記為事件“零件為第（）臺(tái)車(chē)床加工，為事件“任取一個(gè)零件為次品”，則所以所以.故答案為：.7．一個(gè)袋中共有5個(gè)大小形狀完全相同的紅球、黃球和綠球，其中黃球有1個(gè)．每次從袋中拿一個(gè)小球，不放回，拿出黃球即停．記拿出的綠球個(gè)數(shù)為，且，則隨機(jī)變量的數(shù)學(xué)期望______．【答案】####1.5【詳解】設(shè)綠球共有n個(gè)，當(dāng)，紅球有3個(gè)，則，不符合；當(dāng)，紅球有2個(gè)，則，不符合；當(dāng)，紅球有1個(gè)，則，符合；所以紅球有1個(gè)，黃球有1個(gè)，綠球有3個(gè)，故可能值為，且，，，，所以.故答案為：三、解答題8．電視傳媒公司為了解某地區(qū)電視觀眾對(duì)某類(lèi)體育節(jié)目的收視情況，隨機(jī)抽取了名觀眾進(jìn)行調(diào)查．如圖是根據(jù)調(diào)查結(jié)果繪制的觀眾日均收看該體育節(jié)目時(shí)間的頻率分布直方圖：將日均收看該體育節(jié)目時(shí)間不低于分鐘的觀眾稱(chēng)為“體育迷”．將上述調(diào)查所得到的頻率視為概率．(1)現(xiàn)在從該地區(qū)大量電視觀眾中，采用隨機(jī)抽樣方法每次抽取名觀眾，抽取次，記被抽取的名觀眾中的“體育迷”人數(shù)為．若每次抽取的結(jié)果是相互獨(dú)立的，求的分布列及數(shù)學(xué)期望．(2)用分層抽樣的方法從這名“體育迷”中抽取名觀眾，再?gòu)某槿〉某槿∶^眾中隨機(jī)抽取名，表示抽取的是“體育迷”的人數(shù)，求的分布列．【詳解】（1）“體育迷”對(duì)應(yīng)的頻率為：，用頻率估計(jì)概率，可知從該地區(qū)大量電視觀眾中，隨機(jī)抽取名觀眾，該觀眾是“體育迷”的概率為，則；所有可能的取值為，；；；；的分布列為：數(shù)學(xué)期望.（2）根據(jù)分層抽樣原則知：抽取的人中，有“體育迷”人，非“體育迷”體育迷人，則所有可能的取值為，；；；的分布列為：9．峰谷電是目前在城市居民當(dāng)中開(kāi)展的一種電價(jià)類(lèi)別.它是將一天24小時(shí)劃分成兩個(gè)時(shí)間段，把8：00﹣22：00共14小時(shí)稱(chēng)為峰段，執(zhí)行峰電價(jià)，即電價(jià)上調(diào)；22：00﹣次日8：00共10個(gè)小時(shí)稱(chēng)為谷段，執(zhí)行谷電價(jià)，即電價(jià)下調(diào).為了進(jìn)一步了解民眾對(duì)峰谷電價(jià)的使用情況，從某市一