【強(qiáng)烈推薦】高一數(shù)學(xué)必修3公式總結(jié)以及例題_圖文

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高一數(shù)學(xué)必修3公式總結(jié)以及例題

§1算法初步

秦九韶算法：通過(guò)一次式的反復(fù)計(jì)算逐步得出高次多項(xiàng)式的值，對(duì)于一個(gè)多項(xiàng)式，只要作n次乘法和n次加法即可。表達(dá)式如下：n次

anxnan1xn1...a1anxan1xan2x...xa2xa1

例題：秦九韶算法計(jì)算多項(xiàng)式3x64x55x46x37x28x1,當(dāng)x0.4時(shí),

需要做幾次加法和乘法運(yùn)算?答案：6，6

即:3x4x5x6x7x8x1

理解算法的含義：一般而言，對(duì)于一類問(wèn)題的機(jī)械的、統(tǒng)一的求解方法稱為算法，其意義具有廣泛的含義，如：廣播操圖解是廣播操的算法，歌譜是一首歌的算法，空調(diào)說(shuō)明書(shū)是空調(diào)使用的算法…(algorithm)

1.描述算法有三種方式：自然語(yǔ)言，流程圖，程序設(shè)計(jì)語(yǔ)言（本書(shū)指?jìng)未a）.

2.算法的特征：

①有限性：算法執(zhí)行的步驟總是有限的，不能無(wú)休止的進(jìn)行下去

②確定性：算法的每一步操作內(nèi)容和順序必須含義確切，而且必須有輸出，輸出可以是

一個(gè)或多個(gè)。沒(méi)有輸出的算法是無(wú)意義的。

③可行性：算法的每一步都必須是可執(zhí)行的，即每一步都可以通過(guò)手工或者機(jī)器在一定

時(shí)間內(nèi)可以完成，在時(shí)間上有一個(gè)合理的限度

3.算法含有兩大要素：①操作：算術(shù)運(yùn)算，邏輯運(yùn)算，函數(shù)運(yùn)算，關(guān)系運(yùn)算等②控制結(jié)

構(gòu):順序結(jié)構(gòu)，選擇結(jié)構(gòu)，循環(huán)結(jié)構(gòu)

流程圖：（flowchart）:是用一些規(guī)定的圖形、連線及簡(jiǎn)單的文字說(shuō)明表示算法及程序

結(jié)構(gòu)的一種圖形程序，它直觀、清晰、易懂，便于檢查及修改。

注意：1.畫(huà)流程圖的時(shí)候一定要清晰，用鉛筆和直尺畫(huà)，要養(yǎng)成有開(kāi)始和結(jié)束的好習(xí)慣

2.拿不準(zhǔn)的時(shí)候可以先根據(jù)結(jié)構(gòu)特點(diǎn)畫(huà)出大致的流程，反過(guò)來(lái)再檢查，比如：遇到判斷框時(shí)，往往臨界的范圍或者條件不好確定，就先給出一個(gè)臨界條件，畫(huà)好大致流程，然后檢查這個(gè)條件是否正確，再考慮是否取等號(hào)的問(wèn)題，這時(shí)候也就可以有幾種書(shū)寫(xiě)方法了。

3.在輸出結(jié)果時(shí)，如果有多個(gè)輸出，一定要用流程線把所有的輸出總結(jié)到一起，一起

終結(jié)到結(jié)束框。

共25頁(yè)第

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直到型循環(huán)當(dāng)型循環(huán)Ⅰ.順序結(jié)構(gòu)（sequencestructure）：是一種最簡(jiǎn)單最基本的結(jié)構(gòu)它不存在條件判斷、控制

轉(zhuǎn)移和重復(fù)執(zhí)行的操作，一個(gè)順序結(jié)構(gòu)的各部分是按照語(yǔ)句出現(xiàn)的先后順序執(zhí)行的。

Ⅱ.選擇結(jié)構(gòu)（selectionstructure）：或者稱為分支結(jié)構(gòu)。其中的判斷框，書(shū)寫(xiě)時(shí)主要是注

意臨界條件的確定。它有一個(gè)入口，兩個(gè)出口，執(zhí)行時(shí)只能執(zhí)行一個(gè)語(yǔ)句，不能同時(shí)執(zhí)行，其中的A,B兩語(yǔ)句可以有一個(gè)為空，既不執(zhí)行任何操作，只是表明在某條件成立時(shí)，執(zhí)行某語(yǔ)句，至于不成立時(shí)，不執(zhí)行該語(yǔ)句，也不執(zhí)行其它語(yǔ)句。

Ⅲ.循環(huán)結(jié)構(gòu)（cyclestructure）：它用來(lái)解決現(xiàn)實(shí)生活中的重復(fù)操作問(wèn)題，分直到型（until）

和當(dāng)型(while)兩種結(jié)構(gòu)(見(jiàn)上圖)。當(dāng)事先不知道是否至少執(zhí)行一次循環(huán)體時(shí)（即不知道循環(huán)次數(shù)時(shí)）用當(dāng)型循環(huán)。

基本算法語(yǔ)句：本書(shū)中指的是偽代碼（pseudocode），且是使用BASIC語(yǔ)言

編寫(xiě)的,是介于自然語(yǔ)言和機(jī)器語(yǔ)言之間的文字和符號(hào)，是表達(dá)算法的簡(jiǎn)單而實(shí)用的好方法。偽代碼沒(méi)有統(tǒng)一的格式，只要書(shū)寫(xiě)清楚，易于理解即可，但也要注意符號(hào)要相對(duì)統(tǒng)一，避免引起混淆。如：賦值語(yǔ)句中可以用xy，也可以用xy;表示兩變量相乘時(shí)可以用“*”，也可以用“”

Ⅰ.賦值語(yǔ)句（assignmentstatement）：用表示，如：xy，表示將y的值賦給x，

其中x是一個(gè)變量，y是一個(gè)與x同類型的變量或者表達(dá)式.

一般格式：“變量表達(dá)式”，有時(shí)在偽代碼的書(shū)寫(xiě)時(shí)也可以用“xy”，但此時(shí)的“=”不是數(shù)學(xué)運(yùn)算中的等號(hào)，而應(yīng)理解為一個(gè)賦值號(hào)。

注：1.賦值號(hào)左邊只能是變量，不能是常數(shù)或者表達(dá)式，右邊可以是常數(shù)或者表達(dá)式?！?”

具有計(jì)算功能。如：3=a,b+6=a,都是錯(cuò)誤的，而a=3*5–1,a=2a+3都是正確的。2.一個(gè)賦值語(yǔ)句一次只能給一個(gè)變量賦值。如：a=b=c=2,a,b,

c=2都是錯(cuò)誤的，而a=3是正確的.

例題：將x和y的值交換

pxpxxyxy,同樣的如果交換三個(gè)變量x,y,z的值:yzypzp

Ⅱ.輸入語(yǔ)句（inputstatement）:Reada,b表示輸入的數(shù)一次送給a,b

輸出語(yǔ)句（outstatement）：Printx,y表示一次輸出運(yùn)算結(jié)果x,y注：1.支持多個(gè)輸入和輸出，但是中間要用逗號(hào)隔開(kāi)！2.Read語(yǔ)句輸入的只能是變量而不是表達(dá)式3.Print語(yǔ)句不能起賦值語(yǔ)句，意旨不能在Print語(yǔ)句中用“=”4.Print語(yǔ)句可以輸出常量和表達(dá)式的值.5.有多個(gè)語(yǔ)句在一行書(shū)寫(xiě)時(shí)用“；”隔開(kāi).

例題：當(dāng)x等于5時(shí)，Print“x=”;x在屏幕上輸出的結(jié)果是x=5

Ⅲ.條件語(yǔ)句（conditionalstatement）：

1.行If語(yǔ)句:IfAThenB注：沒(méi)有EndIf

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2.塊If語(yǔ)句：注：①不要忘記結(jié)束語(yǔ)句EndIf，當(dāng)有If語(yǔ)句嵌套使用時(shí)，

有幾個(gè)If，就必須要有幾個(gè)EndIf②.ElseIf是對(duì)上一個(gè)條件的否定，即已經(jīng)不屬于上面的條件，另外ElseIf后面也要有EndIf③注意每個(gè)條件的臨界性，即某個(gè)值是屬于上一個(gè)條件里，還是屬于下一個(gè)條件。④為了使得書(shū)寫(xiě)清晰易懂，應(yīng)縮進(jìn)書(shū)寫(xiě)。格式如下：

例題:用條件語(yǔ)句寫(xiě)出求三個(gè)數(shù)種最大數(shù)的一個(gè)算法.

或者

注：1.同樣的你可以寫(xiě)出求三個(gè)數(shù)中最小的數(shù)。

2.也可以類似的求出四個(gè)數(shù)中最小、大的數(shù)

Ⅳ.循環(huán)語(yǔ)句（cyclestatement）：當(dāng)事先知道循環(huán)次數(shù)時(shí)用For循環(huán)，即使是N次也是已知次數(shù)的循環(huán)

當(dāng)循環(huán)次數(shù)不確定時(shí)用While循環(huán)Do循環(huán)有兩種表達(dá)形式，與循環(huán)結(jié)構(gòu)的兩種循環(huán)相對(duì)應(yīng).

While循環(huán)是前測(cè)試型的，即滿足什么條件才進(jìn)入循環(huán)，其實(shí)質(zhì)是當(dāng)型循環(huán)，一般在解決有關(guān)問(wèn)題時(shí)，可以寫(xiě)成While循環(huán)，較為簡(jiǎn)單，因?yàn)樗臈l件相對(duì)好判斷.2.凡是能水激石則鳴，勵(lì)激志則宏！知識(shí)改變命運(yùn)，勤奮成就未來(lái)！共25頁(yè)第3頁(yè)3/31/2013

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用While循環(huán)書(shū)寫(xiě)的循環(huán)都能用For循環(huán)書(shū)寫(xiě)3.While循環(huán)和Do循環(huán)可以相互轉(zhuǎn)化4.Do

循環(huán)的兩種形式也可以相互轉(zhuǎn)化，轉(zhuǎn)化時(shí)條件要相應(yīng)變化5.注意臨界條件的判定.

135...99的一個(gè)算法.（見(jiàn)課本P21）例題：設(shè)計(jì)計(jì)算

S1

S1

ForIFrom3To99Step2SSIEndForPrintS

S1

I1

WhileI99

SSI

I1

WhileI97II2

SSIEndWhilePrintS

II2

EndWhile

PrintS

S1S1

I1Do

SSIII2

LoopUntilI100(或者I99)PrintS

I1Do

II2

SSILoopUntilI99

PrintS

S1S1I1I1DoWhileI99(或者I100)SSIII2Loop

DoWhileI97(或者I99)II2

SSILoopPrintS

PrintS

顏老師友情提醒：1.一定要看清題意，看題目讓你干什么，有的只要寫(xiě)出算法，有的只要求寫(xiě)出偽代碼，而有的題目則是既寫(xiě)出算法畫(huà)出流程還要寫(xiě)出偽代碼。

2.在具體做題時(shí)，可能好多的同學(xué)感覺(jué)先畫(huà)流程圖較為簡(jiǎn)單，但也有的算法偽代碼比較好寫(xiě)，你也可以在草稿紙上按照你自己的思路先做出來(lái)，然后根據(jù)題目要求作答。一般是先寫(xiě)算法，后畫(huà)流程圖，最后寫(xiě)偽代碼。

3.書(shū)寫(xiě)程序時(shí)一定要規(guī)范化，使用統(tǒng)一的符號(hào)，最好與教材一致，由于是新教材的原因，再加上各種版本，可能同學(xué)會(huì)看到各種參考書(shū)上的書(shū)寫(xiě)格式不一樣，而且有時(shí)還會(huì)碰到我們沒(méi)有見(jiàn)過(guò)的語(yǔ)言，希望大家能以課本為依據(jù)，不要被鋪天蓋地的資料所淹沒(méi)！

Ex:1.對(duì)于任意給定的N,一定存在自然數(shù)n,使得12.用循環(huán)語(yǔ)句寫(xiě)出求1

111

...N23n

1111

...的一個(gè)算法.234100

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3.設(shè)計(jì)一個(gè)計(jì)算1

111...的一個(gè)算法,并畫(huà)出流程圖,寫(xiě)出偽代碼.23100

a

答案：1nn12.SS

I

1aa-1SSnEndFor

EndWhlie

PrintS

ReadNS0n0WhileSN

S0a1

ForIFrom1to100

算法:

S1S0S2I1

3.S如果I100則

3

1

SSII1轉(zhuǎn)S3

I

否則輸出S

6

7.市話話費(fèi)計(jì)算方式為：自接通起。3分鐘內(nèi)（含3分鐘）0.2元，超過(guò)3分鐘的部分每分鐘0.1

元（不足1分鐘按1分鐘計(jì)），輸入一個(gè)證書(shū)作為通話時(shí)長(zhǎng)，用條件語(yǔ)句描述通話話費(fèi)。

8.某電視機(jī)廠20XX年全年生產(chǎn)電視機(jī)60萬(wàn)臺(tái)，計(jì)劃從20XX年開(kāi)始每年的產(chǎn)量比上一年增長(zhǎng)15%，設(shè)計(jì)一個(gè)算法，計(jì)算從哪一年開(kāi)始，該廠的電視機(jī)產(chǎn)量超過(guò)300萬(wàn)臺(tái)，只寫(xiě)出偽代碼.9.（斐波那契數(shù)列）假定一對(duì)大兔子沒(méi)一個(gè)月可以生一對(duì)小兔子，而小兔子出生后兩個(gè)月就有生育能力，問(wèn)從一對(duì)小兔子開(kāi)始，一年后能繁殖多少兔子？這就是著名的斐波那契數(shù)列問(wèn)題，其規(guī)律是從第三個(gè)月開(kāi)始，每個(gè)月的兔子數(shù)量都是前兩個(gè)月的兔子數(shù)量的和。用循環(huán)語(yǔ)句描述這一算法。

10.一個(gè)三位數(shù)的十位和個(gè)位上的數(shù)字交換，得到一個(gè)新的三位數(shù)，新舊兩個(gè)三位時(shí)都能被4整

除，設(shè)計(jì)一個(gè)算法求滿足條件的三位數(shù)的個(gè)數(shù)，并寫(xiě)出偽代碼.11.若x,y是兩個(gè)互質(zhì)的數(shù)，則一定存在整數(shù)u,v，使得uxvy1,設(shè)x33,y35設(shè)計(jì)

一個(gè)算法求出一組滿足條件的u,v,并用偽代碼表示.

答案：1.152.求m,n的最大公約數(shù)3.e1

111

...4.2!3!n!

5.6.b=c=

7.解：8.解：

ReadX

IfX3ThenY0.2

ElseIfIntX-3X-3ThenY0.2IntX-310.1Else

Y0.2IntX-30.1EndIfPrintY

S60I2002WhileS300

S10.15S

II1

EndWhilePrintI

9.解：

S1

T1

a1b1

ForIFrom1to12S2PSTForIFrom3to12STCab

或者

TPSSCEndForabPrintPbC

EndForPrintS

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7

10.解：

I0

ForNFrom100to999step4

XIntNYIntN100X/10

ZN-100X-10Y

IfInt100X10ZY/4100X10ZY/4Then

II1

EndIf

EndFor

PrintI

11.解：

v1

WhileInt1-35v/331-35v/33

vv1

EndWhile

u1-35v/33

Printu,v

算法案例

這一節(jié)要求較低，但要掌握幾個(gè)重要的算法，對(duì)于今后的進(jìn)一步學(xué)習(xí)和提高數(shù)學(xué)的素養(yǎng)都有著重要的意義。（要求掌握的用矩形框框起來(lái)）

1．求最大公約數(shù)(greatestcommonfactor)輾轉(zhuǎn)相除法----Euclidalgorithm

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輾轉(zhuǎn)相除法-----VB程序

PrivateSubCommand1_Click()

DimMAsLong,NAsLong,rAsLong

M=Val(Text1.Text)'取數(shù)據(jù)M

N=Val(Text2.Text)'取數(shù)據(jù)N

IfM<>Int(M)OrM<1OrN<>Int(N)OrN<1Then'檢驗(yàn)數(shù)據(jù)合法性！Text3.Text="數(shù)據(jù)錯(cuò)誤！"

Else

Do

r=MModN

M=N'求出最大公約數(shù)

N=r

LoopUntilr=0

Text3.Text=CStr(M)

EndIf

EndSub

PrivateSubCommand2_Click()

IfText1.Text<>""ThenText1.Text=""'清除文本框1

IfText2.Text<>""ThenText2.Text=""'清除文本框2

IfText3.Text<>""ThenText3.Text=""'清除文本框3

EndSub

PrivateSubCommand3_Click()

End

EndSub

★★★★★★★★★★★★★★★★★★★★★★★★★★★★PrivateSubCommand1_Click()

a=InputBox("輸入第一個(gè)自然數(shù)")

b=InputBox("輸入第二個(gè)自然數(shù)")

WhileaModb<>0

r=aModb

a=b

b=r

Wend

MsgBox("最大公約數(shù)為："&b)

EndSub

PrivateSubCommand2_Click()

End

EndSub

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2．孫子定理-----VB程序

PrivateSubCommand1_Click()

m=2

WhilemMod3<>2OrmMod5<>3OrmMod7<>2m=m+1

Wend

MsgBox"不定方程的一個(gè)解為"&mEndSub

PrivateSubCommand2_Click()

End

EndSub

PrivateSubCommand3_Click()

m=2

DoWhilem<10000

Do

m=m+1

LoopUntilmMod3=2AndmMod5=3

AndmMod7=2

Printm

Loop

EndSub

孫子問(wèn)題-----Excel宏程序

Sub孫子問(wèn)題()

m=2

WhilemMod3<>2OrmMod5<>3OrmMod7<>2m=m+1

Wend

MsgBox"不定方程的一個(gè)解為"&m

EndSub

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它的運(yùn)算涉及到數(shù)輪的知識(shí)，如數(shù)輪倒數(shù)，同余式等，這在以后的高校中會(huì)有更深入地介紹。

其表述有如下幾種方式

意義為：3m25m37m2

3.二分法問(wèn)題不作要求，有興趣的同學(xué)可以自行閱讀，它是一種很重的數(shù)學(xué)思想，

我們以后在高校里會(huì)再學(xué)習(xí)。（見(jiàn)課本P29）

說(shuō)明：里面出現(xiàn)了跳轉(zhuǎn)語(yǔ)句的表達(dá)方法：也就是在各語(yǔ)句的前面標(biāo)上標(biāo)號(hào)，在需要運(yùn)行跳轉(zhuǎn)時(shí)就可用“GotoX”,其中X表示某行語(yǔ)句的標(biāo)號(hào)。這種表達(dá)方式比較自由，在不知用何種語(yǔ)句才能實(shí)現(xiàn)想到達(dá)的地方時(shí)，就可以以Goto…直接跳轉(zhuǎn)，方便易行，但在以后的編程終究要盡量少用這種跳轉(zhuǎn)，因?yàn)樘貏e是對(duì)于大型的程序設(shè)計(jì)，Goto語(yǔ)句用多了，就不易于檢查，而且它破壞了語(yǔ)言結(jié)構(gòu)的規(guī)范性，容易出錯(cuò)。由于我們高一階段的要求比較低，所以也就不要有這種擔(dān)心。，

一些常用的函數(shù)

1.Int(x)：求小于等于x的最大整數(shù)

2.Fix(x)：返回x的整數(shù)部分

3.Cint(x)：將x的小數(shù)部分四舍五入取整

4.Exp(x)：求e的x次方

5.Sqr(x)：求x的平方根

6.Sgn(x)：符號(hào)函數(shù)，即當(dāng)x>0時(shí)，返回1；0；當(dāng)x<0時(shí)，返回-1

7.RND(x)：產(chǎn)生一個(gè)（0，1）之間的隨機(jī)數(shù)，當(dāng)x<0時(shí)，返回相同的隨機(jī)數(shù)；當(dāng)x>0時(shí)，

返回隨機(jī)系列的下一個(gè)隨機(jī)數(shù)；當(dāng)x>0時(shí)，返回上一次生成的隨機(jī)數(shù)

8.Int(Rand((上界-下界)+1))+1產(chǎn)生上界——下界之間的隨機(jī)數(shù)

顏老師說(shuō)明：不要求大家都記憶，以后在計(jì)算機(jī)語(yǔ)言的學(xué)習(xí)中還會(huì)再學(xué)習(xí)

§2統(tǒng)計(jì)

基本定義：

（1）總體：在統(tǒng)計(jì)中,所有考查對(duì)象的全體叫做全體.

(2)個(gè)體：在所有考查對(duì)象中的每一個(gè)考查對(duì)象都叫做個(gè)體.

(3)樣本：從總體中抽取的一部分個(gè)體叫做總體的樣本.

(4)樣本容量：樣本中個(gè)體的數(shù)目叫做樣本容量.

抽樣方法：

（1）簡(jiǎn)單隨機(jī)抽樣（simplerandomsampling）：設(shè)一個(gè)總體的個(gè)數(shù)為N.如果通過(guò)逐個(gè)抽取的方法從中抽取一個(gè)樣本,且每次抽取時(shí)每個(gè)個(gè)體被抽到的概率相等,就稱這樣的抽樣為簡(jiǎn)單的隨機(jī)抽樣,簡(jiǎn)單隨機(jī)抽樣常用的方法有抽簽法和隨機(jī)數(shù)表法.（關(guān)于制簽和隨機(jī)數(shù)表的制作，請(qǐng)參照課本第41頁(yè)）

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(2)系統(tǒng)抽樣(systematicsampling):將總體平均分成幾個(gè)部分，然后按照一定的規(guī)則，從每一部分抽取一個(gè)個(gè)體作為樣本。先用隨機(jī)的方法將總體進(jìn)行編號(hào)，如果N不能被n整除就從中用隨機(jī)數(shù)表法剔除幾個(gè)個(gè)體，使得能整除，然后分組，一般是樣本容量是多少，就分幾組，間隔k

N

，n

然后從第一組中用簡(jiǎn)單實(shí)際抽樣的方法抽取一個(gè)個(gè)體，假設(shè)編號(hào)為l，然后就可以將編號(hào)為

實(shí)際就是從每一組抽取與第一組相同編號(hào)l,lk,l2k...ln1k的個(gè)體抽出作為樣本，

的個(gè)體。

(3)分層抽樣（stratifedsampling）：當(dāng)已知總體是由有差異明顯的幾部分組成時(shí)，常將總體分成幾部分，然后按各部分所占的比例進(jìn)行抽樣，這種抽樣叫做分層抽樣，其中所分成的各部分叫做層.

樣本容量越大，估計(jì)越精確！

顏老師友情提醒：1.把每一種抽樣的具體步驟看清楚，要求會(huì)寫(xiě)過(guò)程2.個(gè)體數(shù)N的總體中抽取一個(gè)樣本容量為n的樣本，那么在整個(gè)抽樣過(guò)程中每個(gè)個(gè)體被抽到的概率都相等，且等于

n

.其實(shí)三種抽樣的每一個(gè)個(gè)體都是等幾率的被抽到的N

3.三種抽樣都是不放回的抽樣4.在具體問(wèn)題中對(duì)于樣本，總體，個(gè)體應(yīng)該時(shí)代單位的,如考察一個(gè)班級(jí)的學(xué)生的視力狀況，從中抽取20個(gè)同學(xué)，則個(gè)體應(yīng)該是20名同學(xué)的視力，而不是20名同學(xué)，樣本容量則為20，同樣的總體也是全班級(jí)同學(xué)的視力

兩種抽樣方法的區(qū)別與聯(lián)系：

★典型例題剖析：

例1、一個(gè)總體含有6個(gè)個(gè)體，從中抽取一個(gè)樣本容量為2的樣本，說(shuō)明為什么在整個(gè)抽樣過(guò)程中每個(gè)個(gè)體被抽到的概率相等.

解：設(shè)任意一個(gè)個(gè)體為α，那么個(gè)體α被抽到分兩種情況：

（1）第一次被抽到：根據(jù)等可能事件概率得P1=

1，6

（2）第二次被抽到：即是個(gè)體α第一次沒(méi)被抽到、第二次被抽到這兩件事都發(fā)生.

51,個(gè)體α第一次沒(méi)被抽第二次被抽到的概率是.65

511

根據(jù)相互獨(dú)立事件同時(shí)發(fā)生的概率公式,個(gè)體α第二次被抽到的概率是P2=×=.(也

656

個(gè)體α第一次沒(méi)被抽到的概率是

可這樣分析：根據(jù)等可能事件的概率求得，一共取了兩次，根據(jù)分步原理所有可能結(jié)果為6×5=30，個(gè)體α第一次沒(méi)被抽到第二次被抽到這個(gè)隨機(jī)事件所含的可能結(jié)果為5×1=5，所以個(gè)體α第二次被抽到的概率是P2=

51

=)306

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12

個(gè)體α在第一次被抽到與在第二次被抽到是互斥事件,根據(jù)互斥事件的概率加法公式,在先后抽取2個(gè)個(gè)體的過(guò)程中,個(gè)體α被抽到的概率P=P1+P2=111+=.663

1)3由個(gè)體α的任意性,說(shuō)明在抽樣過(guò)程中每個(gè)個(gè)體被抽到的概率都相等(都等于

點(diǎn)評(píng)：注意區(qū)分“任一個(gè)個(gè)體α每次抽取時(shí)被抽到的概率”與“任一個(gè)個(gè)體α在整個(gè)抽樣過(guò)程中個(gè)體α被抽到的概率”的區(qū)別,一般地,如果用簡(jiǎn)單隨機(jī)抽樣從個(gè)體數(shù)為N的總體中抽取一個(gè)容量為n的樣本,那么“任一個(gè)個(gè)體α每次抽取時(shí)被抽到的概率”都相等且等于

樣過(guò)程中被抽到的概率”為1,“任一個(gè)個(gè)體α在整個(gè)抽Nn.N

例2、（1）在120個(gè)零件中，一級(jí)品24個(gè)，二級(jí)品36個(gè)，三級(jí)品60個(gè)，從中抽取一個(gè)容量為20的一個(gè)樣本，

求①每個(gè)個(gè)體被抽到的概率，

②若有簡(jiǎn)單隨機(jī)抽樣方法抽取時(shí)，其中個(gè)體α第15次被抽到的的概率，

③若用分層抽抽樣樣方法抽取時(shí)其中一級(jí)品中的每個(gè)個(gè)體被抽到的概率.

解：①因?yàn)榭傮w個(gè)數(shù)為120，樣本容量為20，則每個(gè)個(gè)體被抽到的概率P1=

②因?yàn)榭傮w個(gè)數(shù)為120，則體α第15次被抽到的的概率P2=

③用分層抽樣方法：按比例201=120611202011=分別在一級(jí)品、二級(jí)品、三級(jí)品中抽取24×=4個(gè)，12066

114136×=6個(gè)，60×=10，所以一級(jí)品中的每個(gè)個(gè)體被抽到的概率為P3==.66246

1注：其實(shí)用分層抽樣方法抽取時(shí)二級(jí)品、三級(jí)品中每個(gè)體被抽到的概率也都為.6

n點(diǎn)評(píng)：本題說(shuō)明兩種抽樣方法都能保證在抽樣過(guò)程中，每個(gè)個(gè)體被抽到的概率都相等.且為.N

例3、某地區(qū)有3000人參加今年的高考，現(xiàn)從中抽取一個(gè)樣本對(duì)他們進(jìn)行分析，每個(gè)考生被抽到的概率為1，求這個(gè)樣本容量.10

n1解：設(shè)樣本容量為n，則=，所以n=300.300010

點(diǎn)評(píng)：“在整個(gè)抽樣過(guò)程中個(gè)體α被抽到的概率”為n這一結(jié)論的逆用.N

例4、下列抽取樣本的方式是否屬于簡(jiǎn)單隨機(jī)抽樣?說(shuō)明理由.

(1)從無(wú)限多個(gè)個(gè)體中抽取50個(gè)個(gè)體作樣本.

(2)盒子里共有100個(gè)零件,從中選出5個(gè)零件進(jìn)行質(zhì)量檢驗(yàn).在抽樣操作時(shí),從中任意拿出一個(gè)零件進(jìn)行質(zhì)量檢驗(yàn)后再把它放回盒子里.

解：(1)不是簡(jiǎn)單隨機(jī)抽樣.由于被抽取樣本的總體個(gè)數(shù)是無(wú)限的.

(2)不是簡(jiǎn)單隨機(jī)抽樣.由于不符合“逐個(gè)抽取”的原則,且抽出的結(jié)果可能是只有一個(gè)零件重復(fù)出現(xiàn).

點(diǎn)評(píng)：簡(jiǎn)單隨機(jī)抽樣的特點(diǎn)：

(1)它要求被抽取樣本的總體個(gè)數(shù)是有限的.

(2)它是從總體中逐個(gè)地進(jìn)行抽取.

(3)它是一種不放回抽樣.

例5、某校有學(xué)生1200人,為了調(diào)查午休對(duì)學(xué)習(xí)成績(jī)的影響情況,計(jì)劃抽取一個(gè)樣本容量為60水激石則鳴，勵(lì)激志則宏！知識(shí)改變命運(yùn)，勤奮成就未來(lái)！共25頁(yè)第12頁(yè)3/31/2013

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的樣本,問(wèn)此樣本若采用簡(jiǎn)單隨機(jī)抽樣將如何進(jìn)行?

解：可用兩種方法：

方法一：（抽簽法）

（1）編號(hào)：將1200名學(xué)生進(jìn)行隨機(jī)編號(hào)為1，2，?，1200，（可按學(xué)生的學(xué)號(hào)或按學(xué)生的生日進(jìn)行編號(hào)）.

（2）制簽：做1200個(gè)大小、形狀相同的號(hào)簽，分別寫(xiě)上這1200個(gè)數(shù)，放在個(gè)容器里，并進(jìn)行均勻攪拌.

（3）逐個(gè)抽取：連續(xù)抽取60個(gè)號(hào)簽，號(hào)簽對(duì)應(yīng)的同學(xué)即為樣本.

方法二：（隨機(jī)數(shù)表法）

（1）編號(hào)：將1200名學(xué)生進(jìn)行編號(hào)分別為0000，0001，?，1199，

（2）選數(shù)：在課本附表1隨機(jī)數(shù)表中任選一個(gè)數(shù)作為開(kāi)始.(如從第11行第7列的數(shù)9開(kāi)始)

(3)讀數(shù)：從選定的數(shù)開(kāi)始向右（或向上、向下、向左）讀下去，選取介于范圍的號(hào)碼，直到滿60個(gè)號(hào)碼為止.

(4)抽?。撼槿∨c讀出的號(hào)碼相對(duì)應(yīng)的學(xué)生進(jìn)行分析.

點(diǎn)評(píng)：抽簽法和隨機(jī)數(shù)表法是常見(jiàn)的兩種簡(jiǎn)單隨機(jī)抽樣方法，本問(wèn)題顯然用隨機(jī)數(shù)表法更方便一些，因?yàn)榭傮w個(gè)數(shù)較多.另外隨機(jī)數(shù)表法編號(hào)時(shí),位數(shù)要一樣,首數(shù)確定后,可向左、向右、向上、向下各個(gè)確定的方向進(jìn)行抽取.

例6、某工廠中共有職工3000人,其中,中、青、老職工的比例為5∶3∶2，從所有職工中抽取一個(gè)樣本容量為400的樣本，應(yīng)采取哪種抽樣方法較合理？且中、青、老年職工應(yīng)分別抽取多少人？

解：采用分層抽抽樣樣方法較為合理.由樣本容量為400,中、青、老職工的比例為5∶3∶2,所以應(yīng)抽取中年職工為400×

應(yīng)抽取青年職工為400×53=200人,應(yīng)抽取青年職工為400×=120人,10102=80人.10

例6.見(jiàn)課本P43例1.

點(diǎn)評(píng)：因?yàn)榭傮w由三類差異較明顯的個(gè)體構(gòu)成，所以應(yīng)采用分層抽抽樣樣方法進(jìn)行抽取.總體分布的估計(jì)

ⅰ.頻率分布表：見(jiàn)課本第51頁(yè)：★例1

1.注意全距，組距的確定。一般是先查出最大值，最小值，其差值取適當(dāng)?shù)牧孔鳛槿?，正常情況下分為十組左右，組距全距，也就是合理分組組數(shù)

2.分組的時(shí)候一般取左閉右開(kāi)區(qū)間，最后一個(gè)區(qū)間取閉區(qū)間，然后填寫(xiě)分組、頻數(shù)、頻率、合計(jì)

3.如果全距不利于分組（如不能被組數(shù)整除）就可適當(dāng)?shù)脑龃笕啵丛谧笥覂啥嗽黾酉嗤牧?/p>

4.分組過(guò)少，總體的特征不明顯；分組過(guò)多，總體特征不利于比較

ⅱ.頻率分布直方圖：1.橫軸表示數(shù)據(jù)的內(nèi)容，每一線段表示一個(gè)組的組距，注意橫軸要有單位

2.縱軸表示的是：頻率3.每個(gè)小矩形的面積都是該組所對(duì)應(yīng)的頻率組距

ⅲ.頻率分布折線圖：1.由頻率分布直方圖直接得到，取值區(qū)間的兩端點(diǎn)分別向外延伸半個(gè)組水激石則鳴，勵(lì)激志則宏！知識(shí)改變命運(yùn)，勤奮成就未來(lái)！共25頁(yè)第13頁(yè)3/31/2013

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距并取此組距上再x軸上的點(diǎn)，然后順次連接直方圖中每一個(gè)小矩形上底邊的中點(diǎn)，形成折線圖2.當(dāng)樣本容量足夠大，分組的組距取得足夠小時(shí)，折線圖取與一條平滑的曲線，稱這條曲線為總體分布的密度曲線，而且曲線與橫軸圍成的面積為13.在總體密度曲線中，總體在區(qū)間（a,b）內(nèi)取值的可能性就是直線x=a,x=b,y=0和總體密度曲線圍成的面積4.累計(jì)頻率分布曲線上任意一點(diǎn)Pa,b的縱坐標(biāo)標(biāo)b表示的連續(xù)型總體，取小于等于a的值的可能性

ⅳ.三者的特點(diǎn)

頻率分布表：數(shù)據(jù)翔實(shí)、具體、清晰明了，便于查閱

頻率分布直方圖：形象直觀，對(duì)比效果強(qiáng)烈

頻率分布折線圖：能夠反映變化趨勢(shì)

ⅴ.莖葉圖的特點(diǎn)：優(yōu)點(diǎn)——簡(jiǎn)單易行，雜亂的數(shù)據(jù)在用莖葉圖表示后能直觀地反映出數(shù)據(jù)的

水平狀況、穩(wěn)定程度；所有的數(shù)據(jù)都可以在莖葉圖中找到.缺點(diǎn)——分析只是粗略的，對(duì)差異不大的兩組數(shù)據(jù)不易分析，另外，對(duì)位數(shù)較多的數(shù)據(jù)不易操作，數(shù)據(jù)較多時(shí)效果

不是很好.

注意點(diǎn)：1.對(duì)重復(fù)出現(xiàn)的數(shù)據(jù)要重復(fù)記錄，不能遺漏2.莖要從小到大自上而下的排列，中

間用一條豎線隔開(kāi)3.葉也要按照從小到大的順序排列，對(duì)于兩組數(shù)據(jù)的可以用兩條

豎線把莖和葉隔開(kāi)，左邊的葉最好按照從大到小的順序排列，右邊的葉按照從小到大的

順序排列4.莖葉圖一般在衡量一位或者兩位運(yùn)動(dòng)員在比賽時(shí)的得分情況

（例題見(jiàn)課本P58）

總體特征數(shù)的估計(jì)

反映總體某種特征的量較總體特征數(shù)，比如平均數(shù)、中位數(shù)、方差、眾數(shù)等

a1a2...an1n

ⅰ.平均數(shù)（average）或均值（mean）：aainni1

其原理：最小二乘法——設(shè)與實(shí)驗(yàn)數(shù)據(jù)近似的值為x則它與這n個(gè)實(shí)驗(yàn)數(shù)據(jù)的離差為xa1,xa2,xa3,...,xan由于上面的離差有正有負(fù)，故不易直接相加，就考慮離差的平方和fxxa1xa2...xan222

nx22a1a2...anxa1a2...an22

a1a2...an1n

所以當(dāng)xai時(shí)，離差的平方和的函數(shù)取得最小，誤差也就最小，故nni1

而用a1a2...an作為這組數(shù)據(jù)的理想近似值.n

ⅱ.平均數(shù)的求法:題目類型有離散型和連續(xù)型兩種情況

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15

nx1x2...xn1n

①xxi②加權(quán)平均數(shù):xx1p1x2p2...xnpnxipinni1i1（其中p1,p2,...，這里也是為我們今后將要學(xué)習(xí)的數(shù)學(xué),pi為x1,x2,...,xi對(duì)應(yīng)的頻率）

期望作鋪墊

見(jiàn)課本例2P6465注：特別地，對(duì)于連續(xù)型的隨機(jī)變量在分好組后，其x1,x2,...,xi應(yīng)該取每一組的組中值近似的表示

1nⅲ.樣本方差（variance）:sxixni122

=[(x1x)(x2x)(x3x)(xnx)]

21n

樣本標(biāo)準(zhǔn)差(standarddeviation)：sxxini11n2222

說(shuō)明：1.平均數(shù)、中位數(shù)、眾數(shù)是描述數(shù)據(jù)集中趨勢(shì)的統(tǒng)計(jì)量

2.方差、標(biāo)準(zhǔn)差是反映一組數(shù)據(jù)波動(dòng)大小或穩(wěn)定程度或各個(gè)數(shù)據(jù)與平均數(shù)的離散程度的統(tǒng)計(jì)量，記住它們的表達(dá)形式，在選擇題中常出現(xiàn)關(guān)于它們的判斷

21n23.一個(gè)重要結(jié)論：sxixni12

4.方差與越大，穩(wěn)定性越差

5.關(guān)于它們的運(yùn)算，分連續(xù)型和離散型兩種情況，見(jiàn)課本P6768對(duì)于離散型的隨機(jī)變量也要注意選擇組中值

例題：從兩塊玉米地里各抽取10株玉米苗，分別測(cè)得它們的株高如下（單位：cm）:

甲：25414037221419392142

乙：27164427441640401640

根據(jù)以上數(shù)據(jù)回答下面的問(wèn)題：

（1）哪種玉米苗長(zhǎng)得高？

（2）哪種玉米苗長(zhǎng)得齊？

[分析]：看哪種玉米苗長(zhǎng)得高，只要比較甲乙兩種玉米苗的平均高度即可；要比較哪種玉米苗長(zhǎng)得齊，只要比較哪種玉米苗高的方差即可，方差越小，越整齊，因?yàn)榉讲罘从车氖且唤M數(shù)據(jù)的穩(wěn)定程度12541403722141939214230cm10解：（1）1x乙2716442744164040164031cm10x甲x甲x乙乙種玉米長(zhǎng)得高

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22222225304130403037302230143012s甲2222（2）101930393021304230

104.2cm2

2s乙1222222731316313403124431128.8cm210

22x甲x乙甲種玉米長(zhǎng)得齊

評(píng)：1.特別注意本題中的兩問(wèn)的說(shuō)法的不同，所以算法就不同2.一般的說(shuō)哪組數(shù)據(jù)齊、穩(wěn)定、

波動(dòng)情況等都是通過(guò)方差來(lái)判斷

ⅳ.幾個(gè)重要的結(jié)論：對(duì)于一組數(shù)據(jù)x1,x2,...,xn的平均數(shù)為x方差為s2標(biāo)準(zhǔn)差為s①若xi,i1,2,...,n都增加a,則平均數(shù)為xa方差為s標(biāo)準(zhǔn)差為s2

也可以這樣解釋：同時(shí)增加a，也就是相當(dāng)數(shù)據(jù)平移了，不會(huì)改變數(shù)據(jù)的波動(dòng)程度，所以方差

和標(biāo)準(zhǔn)差都不會(huì)變.

②若xi,i1,2,...,n都遞增a%，則平均數(shù)為1a%x方差為1a%s2標(biāo)準(zhǔn)差為2

1a%s

③若xi,i1,2,...,n都變?yōu)樵瓉?lái)的a倍，則平均數(shù)為ax方差為as標(biāo)準(zhǔn)差為as22

例題:已知x1,x2,...,xn的方差為2，則2x13,2x23,...,2xn3的標(biāo)準(zhǔn)差為？

解法1：（公式推導(dǎo)法）2x32x23...2xn3x1x2...xnx12x3nn

1n

方差2xi32x36i121n4xix4s24286i12

標(biāo)準(zhǔn)差22

解法2：（推理法）

因?yàn)閿?shù)據(jù)的每一項(xiàng)都是先2倍后加上3，而加上3對(duì)方差沒(méi)有影響，2倍后則方差變

為原來(lái)的4倍，即方差標(biāo)為8，則標(biāo)準(zhǔn)差為22.

線性回歸方程

ⅰ.變量之間的關(guān)系：①確定的函數(shù)關(guān)系②相關(guān)關(guān)系（有一定的關(guān)系，但不能用函數(shù)表達(dá)出來(lái)）ⅱ.對(duì)于一組數(shù)據(jù)探討它們滿足的關(guān)系，可以先畫(huà)出散點(diǎn)圖，看它們的大致趨勢(shì)，然后選擇一種函數(shù)進(jìn)行數(shù)據(jù)擬合，電腦和計(jì)算器一般給出6種擬合函數(shù)，也就是說(shuō)對(duì)于一組數(shù)據(jù)可以用各種水激石則鳴，勵(lì)激志則宏！知識(shí)改變命運(yùn)，勤奮成就未來(lái)！共25頁(yè)第16頁(yè)3/31/2013

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函數(shù)模型來(lái)擬合，只不過(guò)擬合度不同而已，當(dāng)擬合度R越接近于1則擬合得越好，本教材之研究線性擬合，也就是求線性回歸方程

ⅲ.線性回歸分析：理論依據(jù)——最小二乘法見(jiàn)課本P72ⅳ.設(shè)線性回歸方程為ybxa，關(guān)鍵在于求a,b

2

nn

nxiyixiyii1i1i1b2nn

2

nxixii1i1

n

x

i1

ni1

n

i

yinxy

2i

x

i1

n

n

i

xyiy

i

x

nx2

x

i1

x

2

aybx

ⅴ.相關(guān)系數(shù)：r

xy

ii1

n

i

nxy

稱為y與x的樣本相關(guān)系數(shù)

n

n222xinxyiny2i1i1

當(dāng)r0時(shí),正相關(guān);當(dāng)r0時(shí),負(fù)相關(guān);r1,r越接近于1線性相關(guān)程度越高r越接近于0線性相關(guān)程度越低

ⅵ.顏老師說(shuō)明：

1.由于公式的復(fù)雜，數(shù)據(jù)有的也較多，所以在具體做題目時(shí)可以列出表格來(lái)，對(duì)應(yīng)填進(jìn)去，然后用公式計(jì)算，這樣就不會(huì)產(chǎn)生慌亂的感覺(jué)

2.做題目時(shí)要細(xì)心，不要亂，在我們高一階段一般只給出5～6組數(shù)據(jù)，算起來(lái)已經(jīng)不是很難了

3.當(dāng)然這種擬合（我們主要學(xué)習(xí)線性擬合——就是求線性回歸方程）在電腦里都可作出來(lái)圖像來(lái)，而且求出相應(yīng)的擬合度，有興趣的同學(xué)可以在Excel軟件里試一試

4.表格形式：

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§3.概率

事件：隨機(jī)事件（randomevent），確定性事件:必然事件(certainevent)和不可能

事件(impossibleevent)

隨機(jī)事件的概率(統(tǒng)計(jì)定義)：一般的，如果隨機(jī)事件A在n次實(shí)驗(yàn)中發(fā)生了m次，當(dāng)實(shí)

驗(yàn)的次數(shù)n很大時(shí)，我們稱事件A發(fā)生的概率為PAmn

說(shuō)明：①一個(gè)隨機(jī)事件發(fā)生于具有隨機(jī)性，但又存在統(tǒng)計(jì)的規(guī)律性，在進(jìn)行大量的重復(fù)事件

時(shí)某個(gè)事件是否發(fā)生，具有頻率的穩(wěn)定性，而頻率的穩(wěn)定性又是必然的，因此偶然性和必然性

對(duì)立統(tǒng)一②不可能事件和確定事件可以看成隨機(jī)事件的極端情況③隨機(jī)事件的頻率是指事

件發(fā)生的次數(shù)和總的試驗(yàn)次數(shù)的比值，它具有一定的穩(wěn)定性，總在某個(gè)常數(shù)附近擺動(dòng)，且隨著試

驗(yàn)次數(shù)的不斷增多，這個(gè)擺動(dòng)的幅度越來(lái)越小，而這個(gè)接近的某個(gè)常數(shù)，我們稱之為概事件發(fā)生

的概率④概率是有巨大的數(shù)據(jù)統(tǒng)計(jì)后得出的結(jié)果，講的是一種大的整體的趨勢(shì)，而頻率是具體

的統(tǒng)計(jì)的結(jié)果⑤概率是頻率的穩(wěn)定值，頻率是概率的近似值

概率必須滿足三個(gè)基本要求：①對(duì)任意的一個(gè)隨機(jī)事件A，有0PA1

②用和分別表示必然事件和不可能事件,則有P1,P0③如果事件

A和B互斥,則有:PABPAPB

古典概率（Classicalprobabilitymodel）：①所有基本事件有限個(gè)②每個(gè)基本事件發(fā)生

的可能性都相等滿足這兩個(gè)條件的概率模型成為古典概型

如果一次試驗(yàn)的等可能的基本事件的個(gè)數(shù)為個(gè)n，則每一個(gè)基本事件發(fā)生的概率都是1，n

如果某個(gè)事件A包含了其中的m個(gè)等可能的基本事件，則事件A發(fā)生的概率為PAmn

幾何概型（geomegtricprobabilitymodel）：一般地，一個(gè)幾何區(qū)域D中隨機(jī)地取一點(diǎn)，記

事件“改點(diǎn)落在其內(nèi)部的一個(gè)區(qū)域d內(nèi)”為事件A，則事件A發(fā)生的概率為

PAd的側(cè)度（這里要求D的側(cè)度不為0，其中側(cè)度的意義由D確定，一般地，線D的側(cè)度

段的側(cè)度為該線段的長(zhǎng)度；平面多變形的側(cè)度為該圖形的面積；立體圖像的側(cè)度為其體積）

幾何概型的基本特點(diǎn)：①基本事件等可性②基本事件無(wú)限多

顏老師說(shuō)明：為了便于研究互斥事件，我們所研究的區(qū)域都是指的開(kāi)區(qū)域，即不含邊界，在區(qū)

域D內(nèi)隨機(jī)地取點(diǎn)，指的是該點(diǎn)落在區(qū)域D內(nèi)任何一處都是等可能的，落在任何部分的可能

性大小只與該部分的側(cè)度成正比，而與其形狀無(wú)關(guān)。

互斥事件(exclusiveevents)：不能同時(shí)發(fā)生的兩個(gè)事件稱為互斥事件

對(duì)立事件（complementaryevents）：兩個(gè)互斥事件中必有一個(gè)發(fā)生,則稱兩個(gè)事件為對(duì)立事件，

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事件A的對(duì)立事件記為：A

獨(dú)立事件的概率：若A,B為相互獨(dú)立的事件事件,則PABPAPB，

若A1,A2,...,An為兩兩獨(dú)立的事件,則PA1A2...AnPA1PA2...PAn顏老師說(shuō)明：①若A,B為互斥事件,則A,B中最多有一個(gè)發(fā)生,可能都不發(fā)生，但不可能同時(shí)發(fā)生，從集合的關(guān)來(lái)看兩個(gè)事件互斥，即指兩個(gè)事件的集合的交集是空集②

對(duì)立事件是指的兩個(gè)事件，而且必須有一個(gè)發(fā)生，而互斥事件可能指的很多事件，但最多只有一個(gè)發(fā)生，可能都不發(fā)生③對(duì)立事件一定是互斥事件④從集合論來(lái)看：表示互斥事件和對(duì)立事件的集合的交集都是空集，但兩個(gè)對(duì)立事件的并集是全集，而兩個(gè)互斥事件的并集不一定是全集⑤兩個(gè)對(duì)立事件的概率之和一定是1，而兩個(gè)互斥事件的概率之和小于或者等于1⑥若事件A,B是互斥事件，則有PABPAPB⑦一般地，如果

A1,A2,...,An兩兩互斥，則有PA1A2...AnPA1PA2...PAn⑧

PA1PA⑨在本教材中A1A2...An指的是A1,A2,...,An中至少發(fā)生一個(gè)

⑩★在具體做題中，希望大家一定要注意書(shū)寫(xiě)過(guò)程，設(shè)處事件來(lái)，利用哪種概型解題，就按照那種概型的書(shū)寫(xiě)格式，最重要的是要設(shè)出所求的事件來(lái)，具體的格式請(qǐng)參照我們課本上（新課標(biāo)試驗(yàn)教科書(shū)-蘇教版）的例題

例題選講：

例1.在大小相同的6個(gè)球中，4個(gè)是紅球，若從中任意選2個(gè)，求所選的2個(gè)球至少有一個(gè)是紅球的概率？

【分析】題目所給的6個(gè)球中有4個(gè)紅球，2個(gè)其它顏色的球，我們可以根據(jù)不同的思路有不同的解法

解法1：（互斥事件）設(shè)事件A為“選取2個(gè)球至少有1個(gè)是紅球”，則其互斥事件為A意

義為“選取2個(gè)球都是其它顏色球”

11114

PA1-PA1-

(65)151515

14

答：所選的2個(gè)球至少有一個(gè)是紅球的概率為.

1565

15種情況，設(shè)事件A為“選取2個(gè)解法2：（古典概型）由題意知，所有的基本事件有2

43

14球至少有1個(gè)是紅球”，而事件A所含有的基本事件數(shù)有422

14

所以PA

15

14

答：所選的2個(gè)球至少有一個(gè)是紅球的概率為.

15

PA

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解法3：（獨(dú)立事件概率）不妨把其它顏色的球設(shè)為白色求，設(shè)事件A為“選取2個(gè)球至少有1個(gè)是紅球”，事件A有三種可能的情況：1紅1白；1白1紅；2紅，對(duì)應(yīng)的概率分別為：42244342244314,,，則有PA65656565656515

14答：所選的2個(gè)球至少有一個(gè)是紅球的概率為.15

評(píng)價(jià)：本題重點(diǎn)考察我們對(duì)于概率基本知識(shí)的理解，綜合所學(xué)的方法，根據(jù)自己的理解用不同的方法，但是基本的解題步驟不能少!

變式訓(xùn)練1：在大小相同的6個(gè)球中，2個(gè)是紅球，4個(gè)是白球，若從中任意選取3個(gè)，求至少有1個(gè)是紅球的概率？

解法1：（互斥事件）設(shè)事件A為“選取3個(gè)球至少有1個(gè)是紅球”，則其互斥事件為A，意

義為“選取3個(gè)球都是白球”

433C4144321PA3PA1-PA1-654555C6(654)21

答：所選的3個(gè)球至少有一個(gè)是紅球的概率為4.5

365420種情況，設(shè)事件A為“選321

取3個(gè)球至少有1個(gè)是紅球”，而事件A所含有的基本事件數(shù)有

4316422C414216，所以PA2205

4答：所選的3個(gè)球至少有一個(gè)是紅球的概率為.5

解法3：（獨(dú)立事件概率）設(shè)事件A為“選取3個(gè)球至少有1個(gè)是紅球”，則事件A的情況如解法2：（古典概型）由題意知，所有的基本事件有C6下：

紅白白24316545

43211紅2白白白紅6545

4231白紅白6545

2141紅紅白65415

24112紅1白紅白紅65415

4211白紅紅65415

114所以PA335155

答：所選的3個(gè)球至少有一個(gè)是紅球的概率為4.5

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變式訓(xùn)練2：盒中有6只燈泡，其中2只次品，4只正品，有放回的從中任抽2次，每次抽取1只，試求下列事件的概率：（1）第1次抽到的是次品

（2）抽到的2次中，正品、次品各一次解：設(shè)事件A為“第1次抽到的是次品”，事件B為“抽到的2次中，正品、次品各一次”

214224424424

，PB（或者PB）6366966669

14

答：第1次抽到的是次品的概率為，抽到的2次中，正品、次品各一次的概率為

39

則PA

變式訓(xùn)練3：甲乙兩人參加一次考試共有3道選擇題，3道填空題，每人抽一道題，抽到后不放

回，求（1）甲抽到選擇題而乙抽到填空題的概率？（2）求至少1人抽到選擇題的概率？【分析】（1）由于是不放回的抽，且只抽兩道題，甲抽到選擇題而乙抽到填空題是獨(dú)立的，所以可以用獨(dú)立事件的概率（2）事件“至少1人抽到選擇題”和事件“兩人都抽到填空題”時(shí)互斥事件，所以可以用互斥事件的概率來(lái)

解：設(shè)事件A為“甲抽到選擇題而乙抽到填空題”，事件B為“至少1人抽到選擇題”，則為“兩人都抽到填空題”

P31P31333333

（1）PA或者PA265106510P6

P32114321PB1PB1（2）PB則或者PB2556555P6

答：甲抽到選擇題而乙抽到填空題的概率為

34

，少1人抽到選擇題的概率為.105

變式訓(xùn)練4：一只口袋里裝有5個(gè)大小形狀相同的球，其中3個(gè)紅球，2個(gè)黃球，從中不放回摸

出2個(gè)球，球兩個(gè)球顏色不同的概率？

【分析】先后抽出兩個(gè)球顏色相同要么是1紅1球，要么是1黃1球略解:PA

3223363

或者PA254545C55

變式訓(xùn)練5：設(shè)盒子中有6個(gè)球，其中4個(gè)紅球，2個(gè)白球，每次人抽一個(gè)，然后放回，若連續(xù)

抽兩次，則抽到1個(gè)紅球1個(gè)白球的概率是多少？略解:PA

422442244666666669

例2.急救飛機(jī)向一個(gè)邊長(zhǎng)為1千米的正方形急救區(qū)域空頭急救物品，在該區(qū)域內(nèi)有一個(gè)長(zhǎng)寬分別為80米和50米的水池，當(dāng)急救物品落在水池及距離水池10米的范圍內(nèi)時(shí)，物品會(huì)失效，假設(shè)急救物品落在正方形區(qū)域內(nèi)的任意一點(diǎn)是隨機(jī)的（不考慮落在正方形區(qū)域范圍之外的），求發(fā)放急救物品無(wú)效的概率？

【分析】為題屬于幾何概型，切是平面圖形，其測(cè)度用面積來(lái)衡量

解：如圖，設(shè)急救物品投放的所有可能的區(qū)域，即邊長(zhǎng)為1千米的正方形為區(qū)域D，事件“發(fā)放急救物品無(wú)效”為A，距離水池10米范圍為區(qū)域d，即為圖中的陰影部分，則有

PA

d測(cè)度D測(cè)度

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805028010250104

10001000

102

答：略

顏老師說(shuō)明：這種題目要看清題目意思，為了利用幾何概率，題目中一般都會(huì)有落在所給的大的區(qū)域之外的不計(jì)的條件，但如果涉及到網(wǎng)格的現(xiàn)象是一般則不需要這個(gè)條件，因?yàn)槌鲆粋€(gè)網(wǎng)格，就會(huì)進(jìn)入另外一個(gè)網(wǎng)格，分析是同樣的

變式訓(xùn)練1：在地上畫(huà)一正方形線框，其邊長(zhǎng)等于一枚

硬幣的直徑的2倍，向方框中投擲硬幣硬幣完全落在正方形外的不計(jì)，求硬幣完全落在正方形內(nèi)的概率？略解：PA

d測(cè)度D測(cè)度

224

22

3244141

變式訓(xùn)練2：如圖，設(shè)有一個(gè)正方形網(wǎng)格，其中每個(gè)小正三角形的邊長(zhǎng)都是a,現(xiàn)有一直徑等于

的硬幣落在此網(wǎng)格上，求硬幣落下后與網(wǎng)格有公共點(diǎn)的概率？

【分析】因?yàn)閳A的位置由圓心確定，所以要與網(wǎng)格線有公共點(diǎn)只要圓心到網(wǎng)格線的距離小于等于半徑

解：如圖，正三角形ABC內(nèi)有一正三角形A1B1C1，其中

ABa,A1DB1EA1F

A1D1

a,ADBE6tan30

3aa1a，A1B1AB2ADa336

當(dāng)圓心落在三角形A1B1C1之外時(shí)，硬幣與網(wǎng)格有公共點(diǎn)

有公共點(diǎn)的概率P

SABC-SA1B1C1

SA1B1C1

2

A

D

a

E

B

3232

1aa4430.8232a4

答：硬幣落下后與網(wǎng)格有公共點(diǎn)的概率為0.82.變式訓(xùn)練

中，AB5,AC7,在正方形內(nèi)3：如圖，已知矩形ABCD

任取一點(diǎn)P,求APB90的概率？

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15

522

略解：PA

5756

變式訓(xùn)練4：平面上畫(huà)了彼此相距2a的平行線把一枚半徑r<a的

硬幣，任意的拋在這個(gè)平面上，求硬幣不與任何一條平行線相碰的概率？

解：設(shè)事件A為“硬幣不與任何一條平行線相碰”為了確定硬幣的位置，有硬幣的中心向距離最近的平行線作垂線OM，垂足為M，