考點(diǎn)規(guī)范練35空間向量及其運(yùn)算一、基礎(chǔ)鞏固1.若向量c垂直于不共線的向量a和b,d=λa+μb(λ,μ∈R,且λμ≠0),則()A.c∥dB.c⊥dC.c不平行于d,c也不垂直于dD.以上三種情況均有可能2.已知a=(λ+1,0,2),b=(6,2μ-1,2λ),若a∥b,則λ與μ的值可以是()A.2,12 B.-C.-3,2 D.2,23.已知a=(-2,1,3),b=(-1,2,1),若a⊥(a-λb),則實(shí)數(shù)λ的值為()A.-2 B.-143 C.145 D4.已知A,B,C,D是空間不共面的四點(diǎn),且滿足AB·AC=0,AC·AD=0,AB·AD=0,M為BCA.鈍角三角形 B.銳角三角形C.直角三角形 D.不確定5.下列命題:①若向量a,b共線,則向量a,b所在的直線平行;②若向量a,b所在的直線為異面直線,則向量a,b一定不共面;③若三個(gè)向量a,b,c兩兩共面,則向量a,b,c共面;④已知空間的三個(gè)向量a,b,c,則對(duì)于空間的任意一個(gè)向量p總存在實(shí)數(shù)x,y,z使得p=xa+yb+zc.其中正確命題的個(gè)數(shù)是()A.0 B.1 C.2 D.36.在空間四邊形ABCD中,AB·CD+A.-1 B.0 C.1 D.27.已知向量a=(1,0,-1),則下列向量中與a的夾角為60°的是()A.(-1,1,0) B.(1,-1,0)C.(0,-1,1) D.(-1,0,1)8.若平面α,β的法向量分別為n1=(2,-3,5),n2=(-3,1,-4),則()A.α∥β B.α⊥βC.α,β相交但不垂直 D.以上均不正確9.如圖所示,在三棱柱ABC-A1B1C1中,AA1⊥底面ABC,AB=BC=AA1,∠ABC=90°,點(diǎn)E,F分別是棱AB,BB1的中點(diǎn),則異面直線EF和BC1所成的角是.

10.已知點(diǎn)O(0,0,0),A(1,2,3),B(2,1,2),P(1,1,2),點(diǎn)Q在直線OP上運(yùn)動(dòng),當(dāng)QA·QB最小時(shí),點(diǎn)Q的坐標(biāo)是11.在直三棱柱ABC-A'B'C'中,AC=BC=AA',∠ACB=90°,D,E分別為AB,BB'的中點(diǎn).(1)求證:CE⊥A'D;(2)求異面直線CE與AC'所成角的余弦值.二、能力提升12.在平行六面體ABCD-A'B'C'D'中,若AC'=xAB+2yBC-3zCC',則x+y+z=(A.1 B.76 C.56 D13.已知空間四邊形ABCD的每條邊和對(duì)角線的長(zhǎng)都等于a,點(diǎn)E,F分別是BC,AD的中點(diǎn),則AE·AF的值為(A.a2 B.12a2 C.14a2 D.314.已知PA垂直于正方形ABCD所在的平面,M,N分別是CD,PC的中點(diǎn),并且PA=AD=1.在如圖所示的空間直角坐標(biāo)系中,MN=.

三、高考預(yù)測(cè)15.如圖所示的直三棱柱ABC-A1B1C1,在其底面△ABC中,CA=CB=1,∠BCA=90°,棱AA1=2,M,N分別是A1B1,A1A的中點(diǎn).(1)求BN的模;(2)求cos<BA1(3)求證:A1B⊥C1M.

考點(diǎn)規(guī)范練35空間向量及其運(yùn)算1.B解析由題意得,c垂直于由a,b確定的平面.∵d=λa+μb,∴d與a,b共面.∴c⊥d.2.A解析∵a∥b,∴存在k∈R,使b=ka,即(6,2μ-1,2λ)=k(λ+1,0,2),∴6=解得λ3.D解析由題意知a·(a-λb)=0,即a2-λa·b=0,∴14-7λ=0.∴λ=2.4.C解析∵M(jìn)為BC的中點(diǎn),∴AM=1∴AM·AD==12AB·∴AM⊥AD,△AMD為直角三角形.5.A解析若a與b共線,則a,b所在直線也可能重合,故①不正確;根據(jù)自由向量的定義知,空間任兩個(gè)向量a,b都共面,故②不正確;三個(gè)向量a,b,c中任兩個(gè)一定共面,但它們?nèi)齻€(gè)卻不一定共面,故③不正確;只有當(dāng)a,b,c不共面時(shí),空間任意一向量p才能表示為p=xa+yb+zc,故④不正確,綜上可知,四個(gè)命題中正確的個(gè)數(shù)為0,故選A.6.B解析(方法一)如圖,令A(yù)B=a,AC=b,AD=c,則AB·CD+AC·DB+AD·BC=AB·(AD?=a·(c-b)+b·(a-c)+c·(b-a)=a·c-a·b+b·a-b·c+c·b-c·a=0.(方法二)在三棱錐A-BCD中,不妨令其各棱長(zhǎng)都相等,由正四面體的對(duì)棱互相垂直可知,AB·CD=0,AC·DB=0,故AB·CD+7.B解析對(duì)于選項(xiàng)B,設(shè)b=(1,-1,0),則cos<a,b>=a·因?yàn)?°≤<a,b>≤180°,所以<a,b>=60°,故選B.8.C解析∵n1·n2=2×(-3)+(-3)×1+5×(-4)≠0,∴n1與n2不垂直.又-32≠-13≠-∴n1與n2也不共線.∴α與β相交但不垂直.9.60°解析以BC,BA,BB1所在的直線為x軸、y軸、z軸、建立空間直角坐標(biāo)系,如圖.設(shè)AB=BC=AA1=2,則C1(2,0,2),E(0,1,0),F(0,0,1),則EF=(0,-1,1),BC1∴EF·B∴cos<EF,BC∴EF和BC1所成的角為60°.10.43,43,83解析設(shè)OQ=λOP=(λ,λ,2λ),則QA=(1-λ,2-λ,3-2λ),QB=(2-λ,1-故QA·QB=(1-λ)(2-λ)+(2-λ)(1-λ)+(3-2λ)(2-2λ)=6λ2-16λ+10=6所以當(dāng)λ=43時(shí),QA·QB取得最小值此時(shí)OQ=所以點(diǎn)Q的坐標(biāo)是4311.(1)證明設(shè)CA=a,CB=b,CC'=c根據(jù)題意,得|a|=|b|=|c|,且a·b=b·c=c·a=0,∴CE=b+12c,A'D=-c+12b∴CE·A'D=-12c2+1∴CE⊥A'D,即(2)解∵AC'=-a+c,|AC'|=2|a|,|CE|=52|AC'·CE=(-a+c)·b+12c=1∴cos<AC',CE即異面直線CE與AC'所成角的余弦值為101012.B解析∵AC'=AC+CC'=AD+AB+CC'=AB+BC+CC'=xAB+2yBC13.C解析如圖,設(shè)AB=a,AC=b,AD=c,則|a|=|b|=|c|=a,且a,b,c三個(gè)向量?jī)蓛傻膴A角為60°.AE=12(a+b),∴AE·AF=12(a+=14(a·c+b·c=14(a2cos60°+a2cos60°)=14a14.22解析連接PD,∵M(jìn),N分別為CD,PC∴MN=12PD.又P(0,0,1),D∴PD=02+(-1)15.解如圖,建立空間直角坐標(biāo)系Oxyz.(1)依題意得B(0,1,0),N(1,0,1),∴|B