第1頁（共1頁）2024年高考數(shù)學(xué)復(fù)習(xí)新題速遞之平面向量（2023年12月）一．選擇題（共8小題）1．已知向量＝（﹣3，2，5），﹣＝（1，5，﹣1），則||＝（）A．61 B． C．13 D．2．在平面四邊形ABCD中，，，，則tan∠BAD的值是（）A．﹣2 B． C．﹣3 D．3．兩游艇自某地同時出發(fā)，一艇以10km/h的速度向正北方向行駛，另一艇以8km/h的速度向北偏東θ（0°＜θ＜90°）角的方向行駛．若經(jīng)過30min，兩艇相距km，則θ＝（）A．30° B．45° C．60° D．75°4．已知向量，，則在上的投影向量的坐標是（）A．（﹣2，﹣2） B．（2，2） C．（0，﹣3） D．（0，3）5．已知向量，且，則（）A． B． C． D．6．已知邊長為2的菱形ABCD中，，點E是BC上一點，滿足，則＝（）A． B． C． D．﹣37．已知向量，，且，則＝（）A．3 B．4 C．5 D．68．已知向量，向量，則向量在向量上的投影向量為（）A． B． C． D．二．多選題（共4小題）（多選）9．在△ABC中，|+|＝|﹣|＝4，?＝4，則（）A．B＝ B．A＝ C．AC＝2 D．△ABC的面積為4（多選）10．關(guān)于平面向量，有下列四個命題，其中說法正確的是（）A．，，若，則k＝6 B．若且，則 C．若點G是△ABC的重心，則 D．若向量，，則向量在向量上的投影向量為（多選）11．八卦是中國文化的基本哲學(xué)概念，如圖1是八卦模型圖，其平面圖形記為圖2的正八邊形ABCDEFGH，其中|OA|＝2，則下列結(jié)論正確的是（）A． B． C． D．在上的投影向量為﹣（多選）12．已知平面向量，，則下列說法正確的是（）A．＝ B．在方向上的投影向量為 C．與共線的單位向量的坐標為 D．若向量與向量共線，則λ＝0三．填空題（共5小題）13．若正三棱錐A﹣BCD的底面邊長為6，高為，動點P滿足，則的最小值為．14．已知向量，若與共線，則＝．15．在△ABC中，內(nèi)角A，B，C的對邊分別是a，b，c，若a2﹣b2＝3bc，sinC＝2sinB，則A＝．16．已知，均為單位向量，它們夾角為60°，那么|+2|＝．17．已知向量，若，則m＝．四．解答題（共5小題）18．已知a，b，c是△ABC的內(nèi)角A，B，C的對邊，AD是BC邊上的中線，設(shè)∠BAD＝α，且α+C＝90°．（1）試判斷△ABC的形狀；（2）若b＝8，c＝6，試求∠ADC的余弦值．19．△ABC的內(nèi)角A，B，C的對邊分別為a，b，c，D為BC中點，設(shè)．（1）求B；（2）若△ADC的面積等于，求：a+c的最小值．20．在△ABC中，內(nèi)角A，B，C所對的邊分別為a，b，c，已知△ABC的面積為，a﹣b＝1，．（1）求c和cosA的值；（2）求cos（2A﹣C）的值．21．如圖，在直角三角形ABC中，∠BAC＝90°，CB＝2CA＝2．點D，E分別是線段AB，BC上的點，滿足．（1）求的取值范圍；（2）是否存在實數(shù)λ，使得？若存在，求出λ的值；若不存在，請說明理由．22．在△ABC中，角A，B，C的對邊分別為a，b，c，且．（1）求角A的大??；（2）若D是線段BC的中點，且，求△ABC的面積．

2024年高考數(shù)學(xué)復(fù)習(xí)新題速遞之平面向量（2023年12月）參考答案與試題解析一．選擇題（共8小題）1．已知向量＝（﹣3，2，5），﹣＝（1，5，﹣1），則||＝（）A．61 B． C．13 D．【考點】平面向量數(shù)量積的坐標表示、模、夾角．【專題】轉(zhuǎn)化思想；轉(zhuǎn)化法；空間向量及應(yīng)用；數(shù)學(xué)運算．【答案】B【分析】先求出，再結(jié)合向量模公式，即可求解．【解答】解：＝（﹣3，2，5），﹣＝（1，5，﹣1），則＝（﹣4，﹣3，6），故．故選：B．【點評】本題主要考查向量的坐標運算，屬于基礎(chǔ)題．2．在平面四邊形ABCD中，，，，則tan∠BAD的值是（）A．﹣2 B． C．﹣3 D．【考點】平面向量數(shù)量積的性質(zhì)及其運算．【專題】數(shù)形結(jié)合；綜合法；平面向量及應(yīng)用；邏輯推理；數(shù)學(xué)運算．【答案】C【分析】由題可得四邊形ABCD的對角線垂直且相等，建立平面直角坐標系，設(shè)OD＝n，OA＝m，AC＝BD＝r，由平面向量的坐標運算可得，解三角形可得tan∠OAB，tan∠OAD，再由tan∠BAD＝tan（∠OAB+∠OAD）和兩角和的正切公式計算即可．【解答】解：因為，，所以四邊形ABCD的對角線垂直且相等，所以以兩對角線的交點O為坐標原點，BD所在直線為x軸，AC所在直線為y軸，建立平面直角坐標系，如圖所示，設(shè)OD＝n，OA＝m，AC＝BD＝r，則B（n﹣r，0），D（n，0），A（0，m），C（0，m﹣r），所以，，，因為，所以，解得，所以＝＝＝1，＝＝2，所以tan∠BAD＝tan（∠OAB+∠OAD）＝＝＝﹣3．故選：C．【點評】本題考查平面向量的坐標運算和兩角和的正切公式，屬于中檔題．3．兩游艇自某地同時出發(fā)，一艇以10km/h的速度向正北方向行駛，另一艇以8km/h的速度向北偏東θ（0°＜θ＜90°）角的方向行駛．若經(jīng)過30min，兩艇相距km，則θ＝（）A．30° B．45° C．60° D．75°【考點】解三角形．【專題】轉(zhuǎn)化思想；轉(zhuǎn)化法；解三角形；邏輯推理．【答案】C【分析】畫出圖，再利用余弦定理，即可得解．【解答】解：如圖，設(shè)點A為出發(fā)點，點B為10km/h的船30min后到達的點，點C為8km/h的船30min后到達的點，則，則，又因為0°＜θ＜90°，所以θ＝60°．故選：C．【點評】本題考查余弦定理的應(yīng)用，解題關(guān)鍵是正確掌握余弦定理公式，屬于基礎(chǔ)題．4．已知向量，，則在上的投影向量的坐標是（）A．（﹣2，﹣2） B．（2，2） C．（0，﹣3） D．（0，3）【考點】投影向量；平面向量數(shù)量積的性質(zhì)及其運算．【專題】轉(zhuǎn)化思想；綜合法；平面向量及應(yīng)用；數(shù)學(xué)運算．【答案】B【分析】根據(jù)投影向量的定義，結(jié)合坐標運算即可求解．【解答】解：在上的投影向量為＝＝．故選：B．【點評】本題考查投影向量的概念，屬于基礎(chǔ)題．5．已知向量，且，則（）A． B． C． D．【考點】平面向量的基本定理；平面向量的坐標運算．【專題】轉(zhuǎn)化思想；轉(zhuǎn)化法；平面向量及應(yīng)用；數(shù)學(xué)運算．【答案】A【分析】根據(jù)平面向量的線性運算，代入化簡即可得解．【解答】解：，則，所以，則，即．故選：A．【點評】本題主要考查平面向量的基本定理，屬于基礎(chǔ)題．6．已知邊長為2的菱形ABCD中，，點E是BC上一點，滿足，則＝（）A． B． C． D．﹣3【考點】平面向量數(shù)量積的性質(zhì)及其運算．【專題】轉(zhuǎn)化思想；綜合法；平面向量及應(yīng)用；數(shù)學(xué)運算．【答案】B【分析】建立平面直角坐標系，得到點的坐標，根據(jù)求出，從而利用平面向量數(shù)量積公式求出答案．【解答】解：以A為坐標原點，AB所在直線為x軸，垂直于x軸的直線為y軸，建立平面直角坐標系，則，設(shè)E（m，n），則，因為，所以，解得，故，則．故選：B．【點評】本題考查了向量數(shù)量積及其運算，屬于中檔題．7．已知向量，，且，則＝（）A．3 B．4 C．5 D．6【考點】平面向量數(shù)量積的坐標表示、模、夾角；向量的概念與向量的模；平面向量數(shù)量積的性質(zhì)及其運算．【專題】計算題；對應(yīng)思想；定義法；平面向量及應(yīng)用；數(shù)學(xué)運算．【答案】C【分析】利用向量的數(shù)量積運算求出m，再利用向量的求模公式求解．【解答】解：∵，∴++2?＝+﹣2?，∴?＝0，∵，，∴12+4m＝0，m＝﹣3，∴＝（4，﹣3），∴＝＝5．故選：C．【點評】本題考查了向量的數(shù)量積，向量的求模公式，屬于基礎(chǔ)題．8．已知向量，向量，則向量在向量上的投影向量為（）A． B． C． D．【考點】投影向量；平面向量數(shù)量積的含義與物理意義；平面向量數(shù)量積的性質(zhì)及其運算．【專題】平面向量及應(yīng)用；數(shù)學(xué)運算．【答案】A【分析】根據(jù)投影向量的定義計算即可．【解答】解：由于向量，向量，則向量在向量上的投影向量為：，故選：A．【點評】本題考查投影向量的定義，屬于基礎(chǔ)題．二．多選題（共4小題）（多選）9．在△ABC中，|+|＝|﹣|＝4，?＝4，則（）A．B＝ B．A＝ C．AC＝2 D．△ABC的面積為4【考點】平面向量數(shù)量積的性質(zhì)及其運算．【專題】綜合題；轉(zhuǎn)化思想；分析法；平面向量及應(yīng)用；邏輯推理．【答案】ABC【分析】由|+|＝|﹣|＝4可知A＝90°，所以有?＝4＝AB2，得到AB＝2，利用直角三角形ABC結(jié)合解三角形的知識容易獲解．【解答】解：由|+|＝|﹣|兩邊平方得：＝0，所以，A＝，B正確；所以△ABC是Rt△，所以BC＝4，＝，C正確；所以＝AB2＝4，所以AB＝2，所以tanB＝，B∈（0，），所以B＝，A正確；S△ABC＝AB?AC＝＝，D錯誤．故選：ABC．【點評】本題考查平面向量數(shù)量積的運算以及解三角形的知識，屬于中檔題．（多選）10．關(guān)于平面向量，有下列四個命題，其中說法正確的是（）A．，，若，則k＝6 B．若且，則 C．若點G是△ABC的重心，則 D．若向量，，則向量在向量上的投影向量為【考點】投影向量；命題的真假判斷與應(yīng)用；向量的概念與向量的模；平面向量數(shù)量積的性質(zhì)及其運算．【專題】計算題；轉(zhuǎn)化思想；綜合法；平面向量及應(yīng)用；邏輯推理；數(shù)學(xué)運算．【答案】CD【分析】利用共線向量的坐標表示可判斷A選項；利用向量垂直的表示可判斷B選項；利用三角形重心的向量性質(zhì)可判斷C選項；利用投影向量的定義可判斷D選項．【解答】解：對于A選項，已知，，若，則，解得k＝±6，故A錯誤；對于B選項，若且，則，所以，或，故B錯誤；對于C選項，若點G是△ABC的重心，設(shè)D為BC的中點，，則，整理得，故C正確；對于D選項，若向量，，則向量在向量上的投影向量為＝（﹣），故D正確．故選：CD．【點評】本題考查的知識要點：向量的線性運算，向量的夾角公式，向量共線和垂直的充要條件，主要考查學(xué)生的理解能力和計算能力，屬于中檔題．（多選）11．八卦是中國文化的基本哲學(xué)概念，如圖1是八卦模型圖，其平面圖形記為圖2的正八邊形ABCDEFGH，其中|OA|＝2，則下列結(jié)論正確的是（）A． B． C． D．在上的投影向量為﹣【考點】平面向量數(shù)量積的性質(zhì)及其運算．【專題】整體思想；綜合法；平面向量及應(yīng)用；數(shù)學(xué)運算．【答案】ACD【分析】由平面向量數(shù)量積運算，結(jié)合向量的模及投影向量的運算逐一求解即可．【解答】解：對于選項A，＜，，則，即選項A正確；對于選項B，，則，即選項B錯誤；對于選項C，由，則＝2，即選項C正確；對于選項D，由，則＝，即在上的投影向量為，即選項D正確；故選：ACD．【點評】本題考查了平面向量數(shù)量積運算，重點考查了向量的模及投影向量的運算，屬基礎(chǔ)題．（多選）12．已知平面向量，，則下列說法正確的是（）A．＝ B．在方向上的投影向量為 C．與共線的單位向量的坐標為 D．若向量與向量共線，則λ＝0【考點】平面向量數(shù)量積的性質(zhì)及其運算；平面向量的坐標運算；平面向量共線（平行）的坐標表示．【專題】轉(zhuǎn)化思想；綜合法；平面向量及應(yīng)用；數(shù)學(xué)運算．【答案】AD【分析】利用平面向量的數(shù)量積、模，投影向量及向量共線的充要條件依次對每個選項進行判斷．【解答】解：對于A，依題有，，，，故A對；對于B，在方向上的投影向量為，是與同向的單位向量，所以＝，在方向上的投影向量為，故B錯；對于C，與同向的單位向量為，與反向的單位向量為，故C錯；對于D，，，向量與向量共線，則（1﹣3λ）（1﹣4λ）＝（1+3λ）（1﹣4λ），解得λ＝0，故D對．故選：AD．【點評】本題考查了平面向量的夾角，向量的投影向量以及向量共線的坐標表示，考查了轉(zhuǎn)化思想，屬于中檔題．三．填空題（共5小題）13．若正三棱錐A﹣BCD的底面邊長為6，高為，動點P滿足，則的最小值為8．【考點】平面向量數(shù)量積的性質(zhì)及其運算．【專題】整體思想；綜合法；平面向量及應(yīng)用；數(shù)學(xué)運算．【答案】8．【分析】由平面向量的線性運算，結(jié)合平面向量數(shù)量積的運算求解．【解答】解：取BC的中點E，連接DE，過A作底面BCD的垂線，垂足為△BCD的中心O，則OD＝，∴AD＝，∵，又∵＝（）﹣（），∴[（）﹣（）]?[（）+（）]＝||2﹣||2＝0∴||＝||，取AB的中點M，CD的中點N，則|2|＝，∴，∴P在線段MN的垂直平分面上，∵M關(guān)于點P所在平面的對稱點為N，∴＝＝2（||+）＝，當且僅當P在線段AN上時取等號，又||＝，∴的最小值為8．故答案為：8．【點評】本題考查了平面向量的線性運算，重點考查了平面向量數(shù)量積的運算，屬中檔題．14．已知向量，若與共線，則＝．【考點】平面向量共線（平行）的坐標表示；平面向量數(shù)量積的坐標表示、模、夾角．【專題】轉(zhuǎn)化思想；轉(zhuǎn)化法；平面向量及應(yīng)用；數(shù)學(xué)運算．【答案】．【分析】根據(jù)向量共線求得λ，進而求得．【解答】解：由于與共線，所以，，所以．故答案為：．【點評】本題主要考查向量共線的性質(zhì)，屬于基礎(chǔ)題．15．在△ABC中，內(nèi)角A，B，C的對邊分別是a，b，c，若a2﹣b2＝3bc，sinC＝2sinB，則A＝120°．【考點】正弦定理；余弦定理．【專題】整體思想；綜合法；解三角形；數(shù)學(xué)運算．【答案】見試題解答內(nèi)容【分析】已知sinC＝2sinB利用正弦定理化簡，代入第一個等式用b表示出a，再利用余弦定理列出關(guān)系式，將表示出的c與a代入求出cosA的值，即可確定出A的度數(shù)．【解答】解：將sinC＝2sinB利用正弦定理化簡得：c＝2b，代入得a2﹣b2＝3bc＝6b2，即a2＝7b2，∴由余弦定理得：cosA＝＝＝﹣，∵A為三角形的內(nèi)角，∴A＝120°．故答案為：120°．【點評】此題考查了正弦、余弦定理，以及特殊角的三角函數(shù)值，熟練掌握定理是解本題的關(guān)鍵．16．已知，均為單位向量，它們夾角為60°，那么|+2|＝．【考點】平面向量數(shù)量積的性質(zhì)及其運算．【專題】計算題；轉(zhuǎn)化思想；向量法；平面向量及應(yīng)用．【答案】見試題解答內(nèi)容【分析】因為，均為單位向量，它們夾角為60，所以可求出它們的模以及數(shù)量積，欲求|+2|，只需自身平方再開方即可，這樣就可出現(xiàn)兩向量的模與數(shù)量積，把前面所求代入即可．【解答】解：∵，均為單位向量，它們夾角為60°，∴|+2|2＝||2+4||2+4?＝||2+4||2+4||?||?cos60°＝1+4+4×1×1×＝7，∴|+2|＝，故答案為：【點評】本題考查了單位向量，數(shù)量積的概念，以及向量的模的求法，屬于向量的綜合運算．17．已知向量，若，則m＝．【考點】向量的概念與向量的模．【專題】轉(zhuǎn)化思想；綜合法；平面向量及應(yīng)用；數(shù)學(xué)運算．【答案】．【分析】根據(jù)模的性質(zhì)，結(jié)合平面向量數(shù)量積的坐標表示公式進行求解即可．【解答】解：，故答案為：．【點評】本題考查了向量的模，向量數(shù)量積，屬于基礎(chǔ)題．四．解答題（共5小題）18．已知a，b，c是△ABC的內(nèi)角A，B，C的對邊，AD是BC邊上的中線，設(shè)∠BAD＝α，且α+C＝90°．（1）試判斷△ABC的形狀；（2）若b＝8，c＝6，試求∠ADC的余弦值．【考點】解三角形；三角形的形狀判斷；余弦定理．【專題】轉(zhuǎn)化思想；轉(zhuǎn)化法；解三角形；邏輯推理．【答案】（1）△ABC的形狀是等腰三角形或是直角三角形．（2）﹣．【分析】（1）設(shè)∠CAD＝β，由α+C＝90°，得β+B＝90°，由AD是BC邊上的中線，得BD＝DC，在△ABD中，在△ACD中，由正弦定理及誘導(dǎo)公式可得，即sin2B＝asn2C，進而可得答案．（2）由（1）可知△ABC的形狀是直角三角形，且A＝90°，△ACD中，由余弦定理，即可得出答案．【解答】解：（1）設(shè)∠CAD＝β，因為α+C＝90°，所以β+B＝90°，所以sinα＝cosC，sinβ＝cosB，在△ABC中，AD是BC邊上的中線，所以BD＝DC，在△ABD中，由正弦定理及誘導(dǎo)公式可得＝＝，在△ACD中，由正弦定理及誘導(dǎo)公式可得＝＝，所以，即sin2B＝asn2C，在△ABC中，B∈（0，），C∈（0，），所以B＝C或B+C＝90°，因此△ABC的形狀是等腰三角形或是直角三角形．（2）因為b＝8，c＝6，所以B≠C，由（1）可知△ABC的形狀是直角三角形，且A＝90°，所以a2＝b2+c2＝100，所以AD＝BD＝DC＝5，在△ACD中，由余弦定理可得，所以．【點評】本題考查正余弦定理的應(yīng)用，解題中注意轉(zhuǎn)化思想的應(yīng)用，屬于中檔題．19．△ABC的內(nèi)角A，B，C的對邊分別為a，b，c，D為BC中點，設(shè)．（1）求B；（2）若△ADC的面積等于，求：a+c的最小值．【考點】解三角形；正弦定理；余弦定理．【專題】方程思想；綜合法；解三角形；邏輯推理；數(shù)學(xué)運算．【答案】（1）；（2）4．【分析】（1）由正弦定理和三角恒等變換化簡后結(jié)合B的取值范圍即可求得；（2）由三角形的面積公式可得ac，由基本不等式即可求得a+c的最小值．【解答】解：（1）因為，由正弦定理與誘導(dǎo)公式可得，因為A∈（0，π），所以sinA＞0，所以，所以，即，因為B∈（0，π），所以，所以；（2）因為D為BC中點，所以S△ABC＝2S△ADC，即，所以ac＝4，所以，當且僅當a＝c＝2時取等號，所以a+c的最小值為4．【點評】本題考查利用正余弦定理和三角恒等變換，三角形的面積公式解三角形，屬于中檔題．20．在△ABC中，內(nèi)角A，B，C所對的邊分別為a，b，c，已知△ABC的面積為，a﹣b＝1，．（1）求c和cosA的值；（2）求cos（2A﹣C）的值．【考點】解三角形；正弦定理；余弦定理．【專題】方程思想；綜合法；解三角形；邏輯推理；數(shù)學(xué)運算．【答案】（1）；（2）．【分析】（1）利用正弦定理將已知化為角的關(guān)系求出角C，再利用三角形面積和a﹣b＝1聯(lián)立求出a、b邊，利用余弦定理求得cosA；（2）由（1）求得sinA，利用二倍角公式求得sin2A、cos2A代入兩角差的余弦公式即可．【解答】解：（1）因為，所以由正弦定理得：，因為sinA＞0，所以，即，因為0＜C＜π，所以，所以，即ab＝6，又因為a﹣b＝1，解得a＝3，b＝2，由余弦定理得：c2＝a2+b2﹣2abcosC＝7，解得，所以；（2）由（1）得，所以，，所以cos（2A﹣C）＝cos2AcosC+sin2AsinC＝×．【點評】本題考查正、余弦定理、三角形面積公式、二倍角公式、兩角差的余弦公式，屬于中檔題．21．如圖，在直角三角形ABC中，∠BAC＝90°，CB＝2CA＝2．點D，E分別是線段AB，BC上的點，滿足．（1）求的取值范圍；（2）是否存在實數(shù)λ，使得？若存在，求出λ的值；若不存在，請說明理由．【考點】平面向量數(shù)量積的性質(zhì)及其運算．【專題】轉(zhuǎn)化思想；轉(zhuǎn)化法；平面向量及應(yīng)用；數(shù)學(xué)運算．【答案】（1）（﹣3，1）；（2）存在，．【分析】（1）由題意得＝﹣3+4λ，結(jié)合λ∈（0，1）即可得解；（2）由＝2λ﹣3λ2＝0，求解即可．【解答】解：（1）在直角三角形ABC中，∠A＝90°，CB＝2CA＝2，∴，，＝，∵λ∈（0，1），∴；（2）＝＝＝3λ﹣0﹣3λ2﹣λ＝2λ﹣3λ2，令2λ﹣3λ2＝0，得或λ＝0（舍），∴存在實數(shù)，使得．【點評】本題主要考查平面向量的數(shù)量積公式，考查轉(zhuǎn)化能力，屬于中檔題．22．在△ABC中，角A，B，C的對邊分別為a，b，c，且．（1）求角A的大小；（2）若D是線段BC的中點，且，求△ABC的面積．【考點】解三角形；正弦定理；余弦定理．【專題】轉(zhuǎn)化思想；綜合法；解三角形；數(shù)學(xué)運算．【答案】（1）；（2）4．【分析】（1）通過正弦定理將邊化為角，再求解角即可；（2）法一，取AC中點E，連接DE，分割圖形再用余弦定理即可解決；法二，利用向量構(gòu)建三邊關(guān)系求出AB，再算面積即可．【解答】解：（1）∵，∴由正弦定理可得，整理，即，又∵B∈（0，π），則sinB≠0，∴，又A∈（0，π），∴．（2）法一：如圖，取AC中點E，連接DE，∵D是線段BC的中點，∴，在△ADE中，，由余弦定理可得，∴，∴．法二：因為D是線段BC的中點，，，即，∴，∴．【點評】本題考查三角形的正弦定理和余弦定理，以及三角形的面積公式的運用，考查化簡運算能力，屬于中檔題．

考點卡片1．命題的真假判斷與應(yīng)用【知識點的認識】判斷含有“或”、“且”、“非”的復(fù)合命題的真假，首先要明確p、q及非p的真假，然后由真值表判斷復(fù)合命題的真假．注意：“非p”的正確寫法，本題不應(yīng)將“非p”寫成“方程x2﹣2x+1＝0的兩根都不是實根”，因為“都是”的反面是“不都是”，而不是“都不是”，要認真區(qū)分．【解題方法點撥】1．判斷復(fù)合命題的真假，常分三步：先確定復(fù)合命題的構(gòu)成形式，再指出其中簡單命題的真假，最后由真值表得出復(fù)合命題的真假．2．判斷一個“若p則q”形式的復(fù)合命題的真假，不能用真值表時，可用下列方法：若“pq”，則“若p則q”為真；而要確定“若p則q”為假，只需舉出一個反例說明即可．3．判斷逆命題、否命題、逆否命題的真假，有時可利用原命題與逆否命題同真同假，逆命題與否命題同真同假這一關(guān)系進行轉(zhuǎn)化判斷．【命題方向】該部分內(nèi)容是《課程標準》新增加的內(nèi)容，幾乎年年都考，涉及知識點多而且全，多以小題形式出現(xiàn)．2．向量的概念與向量的?！局R點的認識】向量概念既有大小又有方向的量叫做向量（如物理中的矢量：速度、加速度、力），只有大小沒有方向的量叫做數(shù)量（物理中的標量：身高、體重、年齡）．在數(shù)學(xué)中我們把向量的大小叫做向量的模，這是一個標量．向量的幾何表示用有向線段表示向量，有向線段的長度表示有向向量的大小，用箭頭所指的方向表示向量的方向．即用表示有向線段的起點、終點的字母表示，例如、，…字母表示，用小寫字母、，…表示．有向向量的長度為模，表示為||、||，單位向量表示長度為一個單位的向量；長度為0的向量為零向量．向量的模的大小，也就是的長度（或稱模），記作||．零向量長度為零的向量叫做零向量，記作，零向量的長度為0，方向不確定．單位向量長度為一個單位長度的向量叫做單位向量（與共線的單位向量是）．相等向量長度相等且方向相同的兩個向量叫相等向量，相等向量有傳遞性．3．平面向量數(shù)量積的含義與物理意義【知識點的認識】1、向量的夾角概念：對于兩個非零向量，如果以O(shè)為起點，作＝，＝，那么射線OA，OB的夾角θ叫做向量與向量的夾角，其中0≤θ≤π．2、向量的數(shù)量積概念及其運算：（1）定義：如果兩個非零向量，的夾角為θ，那么我們把||||cosθ叫做與的數(shù)量積，記做即：＝||||cosθ．規(guī)定：零向量與任意向量的數(shù)量積為0，即：?＝0．注意：①表示數(shù)量而不表示向量，符號由cosθ決定；②符號“?”在數(shù)量積運算中既不能省略也不能用“×”代替；③在運用數(shù)量積公式解題時，一定要注意向量夾角的取值范圍是：0≤θ≤π．（2）投影：在上的投影是一個數(shù)量||cosθ，它可以為正，可以為負，也可以為0（3）坐標計算公式：若＝（x1，y1），＝（x2，y2），則＝x1x2+y1y2，3、向量的夾角公式：4、向量的模長：5、平面向量數(shù)量積的幾何意義：與的數(shù)量積等于的長度||與在的方向上的投影||cosθ的積．4．平面向量數(shù)量積的性質(zhì)及其運算【知識點的認識】1、平面向量數(shù)量積的重要性質(zhì)：設(shè)，都是非零向量，是與方向相同的單位向量，與和夾角為θ，則：（1）＝＝||cosθ；（2）?＝0；（判定兩向量垂直的充要條件）（3）當，方向相同時，＝||||；當，方向相反時，＝﹣||||；特別地：＝||2或||＝（用于計算向量的模）（4）cosθ＝（用于計算向量的夾角，以及判斷三角形的形狀）（5）||≤||||2、平面向量數(shù)量積的運算律（1）交換律：；（2）數(shù)乘向量的結(jié)合律：（λ）?＝λ（）＝?（）；（3）分配律：（）?≠?（）平面向量數(shù)量積的運算平面向量數(shù)量積運算的一般定理為①（±）2＝2±2?+2．②（﹣）（+）＝2﹣2．③?（?）≠（?）?，從這里可以看出它的運算法則和數(shù)的運算法則有些是相同的，有些不一樣．【解題方法點撥】例：由代數(shù)式的乘法法則類比推導(dǎo)向量的數(shù)量積的運算法則：①“mn＝nm”類比得到“”②“（m+n）t＝mt+nt”類比得到“（）?＝”；③“t≠0，mt＝nt?m＝n”類比得到“?”；④“|m?n|＝|m|?|n|”類比得到“||＝||?||”；⑤“（m?n）t＝m（n?t）”類比得到“（）?＝”；⑥“”類比得到．以上的式子中，類比得到的結(jié)論正確的是①②．解：∵向量的數(shù)量積滿足交換律，∴“mn＝nm”類比得到“”，即①正確；∵向量的數(shù)量積滿足分配律，∴“（m+n）t＝mt+nt”類比得到“（）?＝”，即②正確；∵向量的數(shù)量積不滿足消元律，∴“t≠0，mt＝nt?m＝n”不能類比得到“?”，即③錯誤；∵||≠|(zhì)|?||，∴“|m?n|＝|m|?|n|”不能類比得到“||＝||?||”；即④錯誤；∵向量的數(shù)量積不滿足結(jié)合律，∴“（m?n）t＝m（n?t）”不能類比得到“（）?＝”，即⑤錯誤；∵向量的數(shù)量積不滿足消元律，∴”不能類比得到，即⑥錯誤．故答案為：①②．向量的數(shù)量積滿足交換律，由“mn＝nm”類比得到“”；向量的數(shù)量積滿足分配律，故“（m+n）t＝mt+nt”類比得到“（）?＝”；向量的數(shù)量積不滿足消元律，故“t≠0，mt＝nt?m＝n”不能類比得到“?”；||≠|(zhì)|?||，故“|m?n|＝|m|?|n|”不能類比得到“||＝||?||”；向量的數(shù)量積不滿足結(jié)合律，故“（m?n）t＝m（n?t）”不能類比得到“（）?＝”；向量的數(shù)量積不滿足消元律，故”不能類比得到．【命題方向】本知識點應(yīng)該所有考生都要掌握，這個知識點和三角函數(shù)聯(lián)系比較多，也是一個常考點，題目相對來說也不難，所以是拿分的考點，希望大家都掌握．5．平面向量數(shù)量積的坐標表示、模、夾角【知識點的認識】1、向量的夾角概念：對于兩個非零向量，如果以O(shè)為起點，作＝，＝，那么射線OA，OB的夾角θ叫做向量與向量的夾角，其中0≤θ≤π．2、向量的數(shù)量積概念及其運算：（1）定義：如果兩個非零向量，的夾角為θ，那么我們把||||cosθ叫做與的數(shù)量積，記做即：＝||||cosθ．規(guī)定：零向量與任意向量的數(shù)量積為0，即：?＝0．注意：①表示數(shù)量而不表示向量，符號由cosθ決定；②符號“?”在數(shù)量積運算中既不能省略也不能用“×”代替；③在運用數(shù)量積公式解題時，一定要注意向量夾角的取值范圍是：0≤θ≤π．（2）投影：在上的投影是一個數(shù)量||cosθ，它可以為正，可以為負，也可以為0（3）坐標計算公式：若＝（x1，y1），＝（x2，y2），則＝x1x2+y1y2，3、向量的夾角公式：4、向量的模長：5、平面向量數(shù)量積的幾何意義：與的數(shù)量積等于的長度||與在的方向上的投影||cosθ的積．6．投影向量【知識點的認識】投影向量是指一個向量在另一個向量上的投影．投影向量可以用來求兩個向量之間的夾角，也可以用來求一個向量在另一個向量上的分解．設(shè)，是兩個非零向量，，，考慮如下的變換：過AB的起點A和終點B分別作所在直線的垂線，垂足分別為A1，B1，得到A1B1，稱上述變換為向量向向量投影，A1B1叫做向量在向量上的投影向量．向量在向量上的投影向量是．【解題方法點撥】投影，是一個動作．投影向量，是一個向量．我們把叫作向量在向量上的投影．那么投影向量可以理解為投影數(shù)量乘上一個方向上的單位向量．（1）向量在向量上的投影向量為（其中為與同向的單位向量），它是一個向量，且與共線，其方向由向量和夾角θ的余弦值決定．（2）注意：在方向上的投影向量與在方向上的投影向量不同，在方向上的投影向量為．【命題方向】（1）向量分解：將一個向量分解成與另一個向量垂直和平行的兩個部分．（2）向量夾角計算：通過求兩個向量之間的夾角，則可以判斷它們之間的關(guān)系（如垂直、平行或成銳角或成鈍角）．（3）空間幾何問題：求點到平面的距離．7．平面向量的基本定理【知識點的認識】1、平面向量基本定理內(nèi)容：如果e1、e2是同一平面內(nèi)兩個不共線的向量，那么對這一平面內(nèi)任一，有且僅有一對實數(shù)λ1、λ2，使．2、基底：不共線的e1、e2叫做平面內(nèi)表示所有向量的一組基底．3、說明：（1）基底向量肯定是非零向量，且基底并不唯一，只要不共線就行．（2）由定理可將任一向量按基底方向分解且分解形成唯一．8．平面向量的坐標運算【知識點的認識】平面向量除了可以用有向線段表示外，還可以用坐標表示，一般表示為＝（x，y），意思為以原點為起點，以（x，y）為終點的向量，它的模為d＝．若＝（m，n），則+＝（x+m，y+n），則﹣＝（x﹣m，y﹣n）；?＝（xm，ny），λ＝（λx，λy）．【解題方法點撥】例：已知平面向量滿足：，，且，則向量的坐標為（4，2）或（﹣4，﹣2）．解：根據(jù)題意，設(shè)＝（x，y），若，有＝0，則﹣x+2y＝0，①，若，x2+y2＝20，②，聯(lián)立①②，可得，解可得或，則＝（4，2）或（﹣4，﹣2）；故答案為（4，2）或（﹣4，﹣2）．這個題就是考察了向量的坐標運算，具體的可以先設(shè)＝（x，y），根據(jù)題意，由，可得﹣x+2y＝0，①，由，可得x2+y2＝20，②，聯(lián)立①②兩式，解可得x、y的值，即可得的坐標．這也是常用的一種方法．【命題方向】這是一個很重要的考點，也是一個比較容易的考點，大家在學(xué)習(xí)的時候關(guān)鍵是掌握公式的應(yīng)用，常用的解法一般就是上面例題中的先設(shè)未知數(shù)，再求未知數(shù)．9．平面向量共線（平行）的坐標表示【知識點的認識】平面向量共線（平行）的坐標表示：設(shè)＝（x1，y1），＝（x2，y2），則∥（≠）?x1y2﹣x2y1＝0．10．正弦定理【知識點的認識】1．正弦定理和余弦定理定理正弦定理余弦定理內(nèi)容＝2R（R是△ABC外接圓半徑）a2＝b2+c2﹣2bccosA，b2＝a2+c2﹣2accosB，c2＝a2+b2﹣2abcosC變形形式①a＝2RsinA，b＝2RsinB，c＝2RsinC；②sinA＝，sinB＝，sinC＝；③a：b：c＝sinA：sinB：sinC；④asinB＝bsinA，bsinC＝csinB，asinC＝csinAcosA＝，cosB＝，cosC＝解決三角形的問題①已知兩角和任一邊，求另一角和其他兩條邊；②已知兩邊和其中一邊的對角，求另一邊和其他兩角①已知三邊，求各角；②已知兩邊和它們的夾角，求第三邊和其他兩角在△ABC中，已知a，b和角A時，解的情況A為銳角A為鈍角或直角圖形關(guān)系式a＝bsinAbsinA＜a＜ba≥ba＞b解的個數(shù)一解兩解一解一解由上表可知，當A為銳角時，a＜bsinA，無解．當A為鈍角或直角時，a≤b，無解．2、三角形常用面積公式1．S＝a?ha（ha表示邊a上的高）；2．S＝absinC＝acsinB＝bcsinA．3．S＝r（a+b+c）（r為內(nèi)切圓半徑）．【解題方法點撥】正余弦定理的應(yīng)用1、解直角三角形的基本元素．2、判斷三角形的形狀．3、解決與面積有關(guān)的問題．4、利用正余弦定理解斜三角形，在實際應(yīng)用中有著廣泛的應(yīng)用，如測量、航海、幾何等方面都要用到解三角形的知識（1）測距離問題：測量一個可到達的點到一個不可到達的點之間的距離問題，用正弦定理就可解決．解題關(guān)鍵在于明確：①測量從一個可到達的點到一個不可到達的點之間的距離問題，一般可轉(zhuǎn)化為已知三角形兩個角和一邊解三角形的問題，再運用正弦定理解決；②測量兩個不可到達的點之間的距離問題，首先把求不可到達的兩點之間的距離轉(zhuǎn)化為應(yīng)用正弦定理求三角形的邊長問題，然后再把未知的邊長問題轉(zhuǎn)化為測量可到達的一點與不可到達的一點之間的距離問題．（2）測量高度問題：解題思路：①測量底部不可到達的建筑物的高度問題，由于底部不可到達，因此不能直接用解直角三角形的方法解決，但常用正弦定理計算出建筑物頂部或底部到一個可到達的點之間的距離，然后轉(zhuǎn)化為解直角三角形的問題．②對于頂部不可到達的建筑物高度的測量問題，我們可選擇另一建筑物作為研究的橋梁，然后找到可測建筑物的相關(guān)長度和仰、俯角等構(gòu)成三角形，在此三角形中利用正弦定理或余弦定理求解即可．點撥：在測量高度時，要理解仰角、俯角的概念．仰角和俯角都是在同一鉛錘面內(nèi)，視線與水平線的夾角．當視線在水平線之上時，成為仰角；當視線在水平線之下時，稱為俯角．11．余弦定理【知識點的認識】1．正弦定理和余弦定理定理正弦定理余弦定理內(nèi)容＝2R（R是△ABC外接圓半徑）a2＝b2+c2﹣2bccosA，b2＝a2+c2﹣2accos_B，c2＝a2+b2﹣2abcos_C變形形式①a＝2RsinA，b＝2Rsin_B，c＝2Rsin_C；②sinA＝，sinB＝，sinC＝；③a：b：c＝sinA：sinB：sinC；④asinB＝bsinA，bsinC＝csinB，asinC＝csinAcosA＝，cosB＝，cosC＝解決三角形的問題①已知兩角和任一邊，求另一角和其他兩條邊；②②已知兩邊和其中一邊的對角，求另一邊和其他兩角①已知三邊，求各角；②已知兩邊和它們的夾角，求第三邊和其他兩角【解題方法點撥】正余弦定理的應(yīng)用1、解直角三角形的基本元素．2、判斷三角形的形狀．3、解決與面積有關(guān)的問題．4、利用正余弦定理解斜三角形，在實際應(yīng)用中有著廣泛的應(yīng)用，如測量、航海、幾何等方面都要用到解三角形的知識（1）測距離問題：測量一個可到達的點到一個不可到達的點之間的距離問題，用正弦定理就可解決．解題關(guān)鍵在于明確：①測量從一個可到達的點到一個不可到達的點之間的距離