第八章反常積分常義積分積分限有限被積函數(shù)有界推廣反常積分(廣義積分)§3瑕積分的性質(zhì)與收斂判別準(zhǔn)則§1反常積分的概念§2無(wú)窮積分的性質(zhì)與收斂判別準(zhǔn)則1精選完整ppt課件二、兩類反常積分的定義第一節(jié)一、問(wèn)題的提出反常積分的概念

第八章2精選完整ppt課件一、問(wèn)題的提出引例1.

曲線和直線及

x軸所圍成的開(kāi)口曲邊梯形的面積可記作其含義可理解為3精選完整ppt課件引例2:曲線所圍成的與

x軸,y

軸和直線開(kāi)口曲邊梯形的面積可記作其含義可理解為4精選完整ppt課件定義1.

設(shè)若存在,則稱此極限為

f(x)的無(wú)窮限反常積分,記作這時(shí)稱反常積分收斂

;如果上述極限不存在,就稱反常積分發(fā)散

.類似地,若則定義二、兩類反常積分的定義5精選完整ppt課件則定義(c

為任意取定的常數(shù))只要有一個(gè)極限不存在,就稱發(fā)散.無(wú)窮限的反常積分也稱為第一類反常積分.并非不定型,說(shuō)明:

上述定義中若出現(xiàn)它表明該反常積分發(fā)散.6精選完整ppt課件引入記號(hào)則有類似牛–萊公式的計(jì)算表達(dá)式:7精選完整ppt課件例1.

計(jì)算反常積分解:思考:分析:原積分發(fā)散!注意:

對(duì)反常積分,只有在收斂的條件下才能使用“偶倍奇零”的性質(zhì),否則會(huì)出現(xiàn)錯(cuò)誤.8精選完整ppt課件例2.

證明第一類p

積分證:當(dāng)p=1時(shí)有當(dāng)p≠1時(shí)有當(dāng)p>1時(shí)收斂;p≤1

時(shí)發(fā)散.因此,當(dāng)p>1

時(shí),反常積分收斂,其值為當(dāng)p≤1

時(shí),反常積分發(fā)散.9精選完整ppt課件例3.

計(jì)算反常積分解:10精選完整ppt課件定義2.

設(shè)而在點(diǎn)a

的右鄰域內(nèi)無(wú)界,存在,這時(shí)稱反常積分收斂;如果上述極限不存在,就稱反常積分發(fā)散.類似地,若而在b

的左鄰域內(nèi)無(wú)界,若極限數(shù)f(x)在[a,b]上的反常積分,則定義則稱此極限為函記作11精選完整ppt課件若被積函數(shù)在積分區(qū)間上僅存在有限個(gè)第一類說(shuō)明:而在點(diǎn)

c

的無(wú)界函數(shù)的積分又稱作第二類反常積分,無(wú)界點(diǎn)常稱鄰域內(nèi)無(wú)界,為瑕點(diǎn)(奇點(diǎn)).例如,間斷點(diǎn),而不是反常積分.則本質(zhì)上是常義積分,則定義12精選完整ppt課件注意:

若瑕點(diǎn)計(jì)算表達(dá)式:則也有類似牛–萊公式的若

b

為瑕點(diǎn),則若a

為瑕點(diǎn),則若a,b

都為瑕點(diǎn),則則可相消嗎?13精選完整ppt課件下述解法是否正確:,∴積分收斂例4.

計(jì)算反常積分解:

顯然瑕點(diǎn)為

a,所以原式例5.

討論反常積分的收斂性.解:所以反常積分發(fā)散.14精選完整ppt課件例6.證明反常積分證:當(dāng)

q=1時(shí),當(dāng)

q<1時(shí)收斂;q≥1時(shí)發(fā)散.當(dāng)

q≠1時(shí)所以當(dāng)

q<1

時(shí),該廣義積分收斂,其值為當(dāng)

q≥1

時(shí),該廣義積分發(fā)散.15精選完整ppt課件例7.解：求的無(wú)窮間斷點(diǎn),故I為反常積分.16精選完整ppt課件內(nèi)容小結(jié)1.反常積分積分區(qū)間無(wú)限被積函數(shù)無(wú)界常義積分的極限2.兩個(gè)重要的反常積分17精選完整ppt課件說(shuō)明:(1)

有時(shí)通過(guò)換元,反常積分和常義積分可以互相轉(zhuǎn)化.例如,(2)

當(dāng)一題同時(shí)含兩類反常積分時(shí),應(yīng)劃分積分區(qū)間,分別討論每一區(qū)間上的反常積分.18精選完整ppt課件

(3)

有時(shí)需考慮主值意義下的反常積分.常積分收斂.注意