概率論中心極限定理主要內(nèi)容1問題提出2林德貝格-列維(中心極限定理)3棣莫佛-拉普拉斯定理4歸納小結(jié)第2頁(yè),共28頁(yè)，星期六，2024年，5月例如:考慮大炮的射程.受風(fēng)速、風(fēng)向影響產(chǎn)生的誤差；在很多實(shí)際問題中，常常需要考慮許多隨機(jī)因素所產(chǎn)生的總的影響。如大炮炮身結(jié)構(gòu)導(dǎo)致的誤差；發(fā)炮士兵技術(shù)引起的誤差等等。對(duì)我們來說重要的是這些隨機(jī)因素的總的影響。大炮的射程受很多隨機(jī)因素的影響:瞄準(zhǔn)時(shí)的誤差；中心極限定理的客觀背景一、問題的提出第3頁(yè),共28頁(yè)，星期六，2024年，5月研究表明，如果一個(gè)量是由大量相互獨(dú)立的隨機(jī)因素的影響所造成，而每一個(gè)別因素在總影響中所起的作用不大.則這種量一般都服從或近似服從正態(tài)分布.下面我們來研究獨(dú)立隨機(jī)變量之和所特有的規(guī)律性問題.當(dāng)n無限增大時(shí)，這個(gè)和的極限分布是什么呢？由于無窮個(gè)隨機(jī)變量之和可能趨于∞，故我們不研究n個(gè)隨機(jī)變量之和本身而考慮它的標(biāo)準(zhǔn)化的隨機(jī)變量的分布函數(shù)的極限.可以證明，滿足一定的條件，上述極限分布是標(biāo)準(zhǔn)正態(tài)分布.第4頁(yè),共28頁(yè)，星期六，2024年，5月二、中心極限定理定理4.6

林德貝格-列維(中心極限定理)第5頁(yè),共28頁(yè)，星期六，2024年，5月（證略）第6頁(yè),共28頁(yè)，星期六，2024年，5月定理（說明）~

近似地

即，n充分大時(shí)，有~近似地

可化為記~近似地

則有大樣本統(tǒng)計(jì)推斷的基礎(chǔ)~近似地

第7頁(yè),共28頁(yè)，星期六，2024年，5月

某汽車銷售點(diǎn)每天出售汽車數(shù)服從參數(shù)為2的泊松分布.若一年365天都經(jīng)營(yíng)汽車銷售,且每天出售的汽車是相互獨(dú)立的,求一年中售出700輛以上汽車的概率.解

記Xi為第i天出售的汽車數(shù)量,利用林德貝格-列維中心極限定理,可得則一年售出700輛以上汽車的概率近似為0.8665.例1：第8頁(yè),共28頁(yè)，星期六，2024年，5月某餐廳每天接待400名顧客,設(shè)每位顧的消費(fèi)額(元)服從(20,100)上的均勻分布,且顧客的消費(fèi)額是相互獨(dú)立的.試求:(1)該餐廳每天的平均營(yíng)業(yè)額;(2)該餐廳每天的營(yíng)業(yè)額在平均營(yíng)業(yè)額

760元的概率.而該餐廳每天的營(yíng)業(yè)額為解設(shè)Xi為第i位顧客的消費(fèi)額,Xi

~U20,100.所以E

Xi

60,D

Xi

16003.例2：第9頁(yè),共28頁(yè)，星期六，2024年，5月(1)該餐廳每天的營(yíng)業(yè)額為(2)利用林德貝格-列維中心極限定理,知這表明:該餐廳每天的營(yíng)業(yè)額在23240到24760之間的概率近似為0.90.第10頁(yè),共28頁(yè)，星期六，2024年，5月某人釣魚平均每次釣到2kg,方差2.25kg2.問:至少釣多少次魚,才能使總重量不少200kg的概率為0.95?解

設(shè)此人共釣n次,各次釣到的魚的重量為隨機(jī)變量Xi,則

E

Xi

2,D

Xi

2.25.令,根據(jù)林德貝格-列維中心極限定理,

Z近似服從N

2n,2.25n

.例3：第11頁(yè),共28頁(yè)，星期六，2024年，5月查表得.即n滿足方程解方程,得n=113.12.因此,取n=114即可.則有第12頁(yè),共28頁(yè)，星期六，2024年，5月棣莫弗-拉普拉斯中心極限定理獨(dú)立同分布，且具有數(shù)學(xué)期設(shè)隨機(jī)變量望和方差：記~近似地

考慮特殊情況:均服從參數(shù)為p的0-1分布

于是有~近似地

定理4.7

棣莫佛-拉普拉斯定理第13頁(yè),共28頁(yè)，星期六，2024年，5月相互獨(dú)立,均服從參數(shù)為p的設(shè)隨機(jī)變量0-1分布，則對(duì)任意實(shí)數(shù)x，有【棣莫弗-拉普拉斯中心定理】即，n充分大時(shí)，有~近似地

~近似地第14頁(yè),共28頁(yè)，星期六，2024年，5月相互獨(dú)立,均服從參數(shù)為p的設(shè)隨機(jī)變量0-1分布，則對(duì)任意實(shí)數(shù)x，有2、棣莫弗-拉普拉斯中心定理即，n充分大時(shí)，有~近似地

~第15頁(yè),共28頁(yè)，星期六，2024年，5月棣莫弗-拉普拉斯定理（二項(xiàng)分布以正態(tài)分布為極限分布）意義：在實(shí)際應(yīng)用中，只要n充分大，二項(xiàng)分布就可以用正態(tài)分布來近似計(jì)算。~~近似地第16頁(yè),共28頁(yè)，星期六，2024年，5月或即有近似計(jì)算公式第17頁(yè),共28頁(yè)，星期六，2024年，5月注1

定理2表明正態(tài)分布是二項(xiàng)分布的極限

3

實(shí)際應(yīng)用中當(dāng)n很大時(shí),分布，也稱為“二項(xiàng)分布的正態(tài)近似”.2

與“二項(xiàng)分布的泊松近似”相比較,兩種近似都要求n很大.

1

如果p很小而np不太大時(shí),采用泊松近似;

2

如果np5和n

1

p5同時(shí)成立時(shí),采用正態(tài)近似.第18頁(yè),共28頁(yè)，星期六，2024年，5月下面的圖形表明:正態(tài)分布是二項(xiàng)分布的逼近.第19頁(yè),共28頁(yè)，星期六，2024年，5月例4

設(shè)某保險(xiǎn)公司有10000人投保,每人每年交保費(fèi)12元,投保人每年的死亡率為0.006.若投保人死亡,則公司付給死亡人家屬1000元,求(1)保險(xiǎn)公司沒有利潤(rùn)的概率;(2)每年利潤(rùn)不少于60000元的概率.解:設(shè)10000投保人中一年死亡X人，則顯然有保險(xiǎn)公司一年的收入為：保險(xiǎn)公司一年的支出為：（1）保險(xiǎn)公司沒有利潤(rùn)的概率為拉普拉斯中心極限定理第20頁(yè),共28頁(yè)，星期六，2024年，5月例4設(shè)某保險(xiǎn)公司有10000人投保,每人每年交保費(fèi)12元,投保人每年的死亡率為0.006.若投保人死亡,則公司付給死亡人家屬1000元,求(1)保險(xiǎn)公司沒有利潤(rùn)的概率;(2)每年利潤(rùn)不少于60000元的概率.解:設(shè)10000投保人中一年死亡X人，則顯然有保險(xiǎn)公司一年的收入為：保險(xiǎn)公司一年的支出為：（2）每年利潤(rùn)不少于60000元的概率為拉普拉斯中心極限定理第21頁(yè),共28頁(yè)，星期六，2024年，5月解

令X表示同時(shí)要外線的電話機(jī)數(shù),則X~B

1000,0.05

,且np

50,np(1－p)

47.5.根據(jù)棣莫佛-拉普拉斯定理,X近似服N

50,47.5

.

假定安裝k條外線,可使某單位有1000部?jī)?nèi)線電話,每部電話打外線的概率為0.05,問需要裝多少外線,才能保證每部電話打外線時(shí),即時(shí)接通的概率不小于0.95?例5第22頁(yè),共28頁(yè)，星期六，2024年，5月查表得

1.645

0.95.由單調(diào)性,應(yīng)有解得k61.3.因此,安裝62條外線即可.則有第23頁(yè),共28頁(yè)，星期六，2024年，5月例6

對(duì)于一個(gè)學(xué)生而言，來參加家長(zhǎng)會(huì)的家長(zhǎng)人數(shù)是一個(gè)隨機(jī)變量，設(shè)一個(gè)學(xué)生無家長(zhǎng)、1名家長(zhǎng)、2名家長(zhǎng)來參加會(huì)議的概率分別是0.05、0.8、0.15。若學(xué)校共有400名學(xué)生，設(shè)各學(xué)生參加會(huì)議的家長(zhǎng)數(shù)相互獨(dú)立，且服從同一分布。（1）求來參加會(huì)議的家長(zhǎng)數(shù)X超過450的概率；（2）求有1名家長(zhǎng)來參加會(huì)議的學(xué)生數(shù)不多于340的概率。解:(1)以表示第k個(gè)學(xué)生來參加會(huì)議的家長(zhǎng)人數(shù)。易知的分布律為有由林德貝格-列維中心極限定理，有

則有第24頁(yè),共28頁(yè)，星期六，2024年，5月例6

對(duì)于一個(gè)學(xué)生而言，來參加家長(zhǎng)會(huì)的家長(zhǎng)人數(shù)是一個(gè)隨機(jī)變量，設(shè)一個(gè)學(xué)生無家長(zhǎng)、1名家長(zhǎng)、2名家長(zhǎng)來參加會(huì)議的概率分別是0.05、0.8、0.15。若學(xué)校共有400名學(xué)生，設(shè)各學(xué)生參加會(huì)議的家長(zhǎng)數(shù)相互獨(dú)立，且服從同一分布。（1）求來參加會(huì)議的家長(zhǎng)數(shù)X超過450的概率；（2）求有1名家長(zhǎng)來參加會(huì)議的學(xué)生數(shù)不多于340的概率。解:(2)以Y表示只有一名家長(zhǎng)來參加會(huì)議的學(xué)生數(shù)，則有于是，由拉普拉斯中心極限定理，有第25頁(yè),共28頁(yè)，星期六，2024年，5月中心極限定理獨(dú)立同分布情形二項(xiàng)分布的正態(tài)近似內(nèi)容小結(jié)第26頁(yè),共28頁(yè)，星期六，2024年，5月棣莫佛(AbrahamdeMoivre)主要的貢獻(xiàn)是在一般分布與概率論上,包括斯特林公式以及棣莫佛-拉普拉斯定理.法國(guó)數(shù)學(xué)家.發(fā)現(xiàn)了棣莫佛公式,將復(fù)數(shù)與三角學(xué)聯(lián)系起來