4.3.2角的比較與運算教學設計一、內(nèi)容和內(nèi)容解析1.內(nèi)容本節(jié)課是人教版《義務教育教科書?數(shù)學》七年級上冊（以下統(tǒng)稱“教材”）第四章“幾何圖形初步”4.3角第2課時，內(nèi)容包括角的比較，角的和與差，角的平分線．2.內(nèi)容解析角的比較、角的和與差、角的平分線是本章重要的基礎知識，也是后續(xù)學習圖形與幾何必備的知識基礎．角的大小比較方法有兩種：度量法和疊合法．其中，疊合法是重要的方法，疊合時使面?zhèn)€角的頂點及一邊重合，另一邊落在第一條邊的同旁，保證了可比性；度量法中量角器起到了一個移角的作用，其實質(zhì)是將兩個角移動后疊合在一起，比較兩角的大小是本節(jié)知識產(chǎn)生、發(fā)展的起點，不論是圖形還是數(shù)量，除角的大小外，自然會產(chǎn)生角的和與角的差的問題，再將角的和與差問題特殊化，自然又會產(chǎn)生等分問題．與線段的比較、和與差、中點一樣，對于角的比較、角的和與差、角平分線，也是從數(shù)和形兩方面來研究．研究方法有兩個方面：一是數(shù)與形結(jié)合，把幾何意義與度數(shù)的數(shù)量關系結(jié)合起來．二是類比學習，按知識內(nèi)容，線段的比較、和與差、中點與角的比較、角的和與差、角平分線是類比性知識；按敘述方式，都采用圖形語言、文字語言和符號語言綜合描述所研究的對象；按學習過程，都注意從具體到抽象（模型→圖形→文字→符號），同時也重視反向的訓練．基于以上分析，可以確定本節(jié)課的教學重點為：角的大小、角的和與差、角平分線的意義及數(shù)量關系；感受類比的思想．二、目標和目標解析1.目標（1）理解角的大小、角的和與差、角平分線的意義及數(shù)量關系，并會用文字語言、圖形語言、符號語言進行描述．（2）類比線段的大小、和與差、中點，學習角的比較、角的和與差、角平分線，體會類比思想．2.目標解析達成目標（1）的標志是：能從圖形和數(shù)量關系兩個角度認識角的大小，會用度量法和疊合法比較兩個角的大??；能從幾何圖形和數(shù)量關系兩方面認識角的和與差及角平分線，知道兩個角的和、差仍然是一個角，知道角的和、差或等分的度數(shù)的計算；能結(jié)合角的大小、和與差、角平分線的直觀圖形，用文字語言和符號語言描述它們，反之，能將它們用符號語言或文字語言所表述的圖形及關系，用圖形直觀表示出來．達成目標（2）的標志是：在學習過程中，能在回憶線段的大小、和與差、中點內(nèi)容的同時，想象本節(jié)課所要學習的內(nèi)容，能對學習進程心中有數(shù)；能將對線段的大小、和與差、中點的研究方法和基本套路遷移到角的相關問題研究中，不斷地提出問題、分析問題、解決問題．三、教學問題診斷分析角的比較大小、角的和與差、角平分線研究與研究線段的大小比較、和與差、中點的內(nèi)容和方法很相似，教學時把兩者作對比，學生在學習方法和學習內(nèi)容的理解上，不會有困難．困難在于正確地完成圖形語言、文字語言、符號語言之間的轉(zhuǎn)化．究其原因，一方面，語言是思維的產(chǎn)物，圖形是實物和模型第一次抽象，是對研究對象的直觀反映，文字語言是對圖形的描述、理解和討論，符號語言則是對文字語言的簡化和再次抽象．它們的綜合運用，要求學生必須對研究對象從數(shù)和形上有著深刻的理解，并具有讀圖和畫圖的能力；二是缺乏培養(yǎng)和訓練，對于圖形、文字、符號語言的綜合運用，雖然在學習線段知識時已有接觸，但要達到融會貫通的程度還需要經(jīng)過一段時間的學習和訓練．基于以上分析，確定本節(jié)課的教學難點為：用圖形語言、文字語言、符號語言綜合描述角的大小、角的和與差的關系及角的平分線．四、教學過程設計（一）溫故知新，引入課題上節(jié)課我們學了角的有關概念，你能回憶一下學了哪些內(nèi)容嗎？從研究線段得到啟發(fā)，接下來將研究什么？師生活動：學生回憶，回答問題.問題1：請同學們回憶一下，前面我們學習了線段的哪些內(nèi)容？師生活動：學生回顧在線段中所學內(nèi)容，教師歸納．教師關注學生對所學線段內(nèi)容的整體認識以及“幾何模型——圖形——文字——符號”的學習過程．【設計意圖】通過回憶與本節(jié)課內(nèi)容密切相關的引導性材料，使學生對學習進程心中有數(shù)，幫助學生掌握研究問題的方法.（二）觀察思考，探究新知問題2：類比線段大小的比較，你認為該如何比較兩個角的大?。吭诰毩暠旧袭媰蓚€角，比較它們的大小，并說明你是怎么比較的．師生活動：學生討論解決問題的方法，學生代表展示交流．學生展示交流后提問：比較角的大小的方法有幾種？每種方法中應注意的問題什么？教師在學生展示交流的基礎上，利用課件動畫演示用量角器量角、用疊合法比較角的大小過程，歸納操作要點：量角器量角要注意：對中，重合，讀數(shù)；疊合兩角時要注意：（1）重合（兩角的頂點及一邊重合）．（2）同旁（另一邊落在第一條邊的同旁）．追問：兩個角的大小關系有幾種？你能用圖形和符號表示嗎？師生活動：學生畫出圖形，并用符號表示（圖1），指出兩個角的大小關系有且僅有三種情況．圖1教師關注學生運用度量法、疊合法比較角的大小操作的規(guī)范性；學生是否能體會兩個角的大小關系有且僅有三種情況．【設計意圖】采用類比的方法，按照“幾何模型——圖形——文字——符號”的學習程序，學生動手操作，自主探究．建立線段比較長短與角比較大小之間知識與方法的聯(lián)系，在對比中加深理解．指出對于兩個角的大小關系和兩個實數(shù)的大小關系一樣，有且僅有三種情況：∠A＞∠B，∠A＝∠B，∠A＜∠B，為以后分類研究一些有關角的問題奠定基礎．問題3：如圖2，圖中共有幾個角？它們之間有什么關系？圖2師生活動：學生確定角的個數(shù)，明確角之間的和差關系．教師關注學生是否能發(fā)現(xiàn)角的和差關系，若學生僅說出它們的大小關系，教師可引導學生進一步觀察圖形，類比線段的和與差，發(fā)現(xiàn)角的和差關系．學生完成上述問題后提問：你能用符號表示這些角之間的和差關系嗎？教師關注學生能否理解角的和與差的意義．【設計意圖】以角的比較大小的圖形（圖2）為背景，提出角的和差問題，將知識由角的大小過渡到角的和與差，銜接自然流暢．同時，針對同一圖形變換審視角度提出問題，可以提高學生的讀圖能力．用符號表示角的和差關系，仍遵循“幾何模型——圖形——文字——符號”的學習過程，在圖形與等式之間建立一種關系．從角的大小數(shù)量上研究角的和與差，突出反映角的和與差的意義與度數(shù)的數(shù)量間的關系，加深對角的和與差概念的理解．問題4：利用一副三角尺，你能畫出哪些度數(shù)的角？這些角有什么規(guī)律？師生活動：學生動手操作，小組合作探究，師生歸納．師生歸納：一副三角尺上的角都是常用的角，它們是30°，45°，60°，90°的角，利用這些角可以很方便地畫出與這些角相關的一些特殊角，如15°，75°，105°，120°，135°，150°，165°等．【設計意圖】用一副三角尺畫出一些特珠角，除讓學生鞏固角的和與差概念外，也使學生對這些特殊角的大小有直觀的認識，培養(yǎng)對角的大小的估計能力和動手操作能力，加深學生對角的認識．（三）典例分析例1：如圖，O是直線AB上一點，∠AOC＝53°17′，求∠BOC的度數(shù).解：∵∠AOB是平角，∠AOB＝∠AOC+∠BOC.∴∠BOC＝∠AOB－∠AOC＝180°－53°17′＝179°60′－53°17′＝126°43′.針對訓練：1.如圖①，若∠AOC=35°，∠BOC＝40°，則∠AOB＝75°．2.如圖②，若∠AOB=60°，∠BOC＝40°，則∠AOC＝20°．3.若∠AOB＝60°，∠AOC＝30°，則∠BOC＝90或30°．例2：把一個周角7等分，每一份是多少度的角（精確到分）？解：360°÷7=51°+3°÷7=51°+180′÷7≈51°26′.答：每份是51°26′的角.針對訓練：計算：1.120°－38°41′；解：原式=119°60′－38°41′=81°19′.2.67°31′+48°49′.解：原式=(67+48)°+(31+49)′=115°97′=116°37′.3.20°30′×8；解：原式=20°×8+30′×8=160°240′=164°4.106°6′÷5.解：原式=(106÷5)°+(6÷5)′=21°+1°÷5+(6÷5)′=21°+(66÷5)′=21°+13′+1′÷5=21°+13′+60″÷5=21°13′12″（四）合作探究問題5：類比線段的中點，在圖3中，射線OB有沒有一種特殊位置，若有，此時三個角之間又存在怎樣的關系？圖3圖4圖5師生活動：畫出圖形，如圖4，明確角的平分線的概念．提出問題：（1）你能用符號表示圖4中角之間的關系嗎?（2）類似角的平分線，還有角的三等分線（圖5），一個角的三等分線有幾條？四等分線呢？【設計意圖】從角的和差問題中，將射線OB的位置特殊化，并類比線段的中點，引出角的平分線的概念，不僅知識的產(chǎn)生、發(fā)展自然連續(xù)，也體現(xiàn)了由一般到特殊，由特殊到一般的研究方法．同時，也能建立知識間的聯(lián)系，完善認知結(jié)構(gòu)．問題6：你能得到一個角的平分線嗎？師生活動：畫圖展示交流，歸納方法（用量角器、折紙）；教師結(jié)合學生的展示交流或利用課件動畫演示折疊過程中的翻折過程．教師關注學生操作是否規(guī)范．【設計意圖】進一步明晰角平分線的概念，為后續(xù)學習軸對稱和研究有關圖形的翻折問題打下基礎．（五）典例分析例3：如圖，OB是∠AOC的平分線，OD是∠COE的平分線.（1）如果∠AOC=80°，那么∠BOC是多少度？（2）如果∠AOB=40°，∠DOE=30°，那么∠BOD是多少度？（3）如果∠AOE=140°，∠COD=30°，那么∠AOB是多少度？解：（1）因為OB平分∠AOC，∠AOC=80°，所以∠BOC=∠AOC=×80°=40°.（2）因為OB平分∠AOC，所以∠BOC=∠AOB=40°.因為OD平分∠COE，所以∠COD=∠DOE=30°，所以∠BOD=∠BOC+∠COD=40°+30°=70°.（3）因為∠COD=30°，OD平分∠COE，所以∠COE=2∠COD=60°，所以∠AOC=∠AOE－∠COE=140°－60°=80°.又因為OB平分∠AOC，所以∠AOB=∠AOC=×80°=40°.例4：如圖，已知∠AOB=40°，自O點引射線OC，若∠AOC：∠COB=2：3．求OC與∠AOB的平分線所成的角的度數(shù)．解：分以下兩種情況：①如圖，OC在∠AOB內(nèi)部，OD平分∠AOB，設∠AOC=2x，∠COB=3x，∵∠AOB=40°，∴2x+3x=40°，得x=8°，∴∠AOC=2x=2×8°=16°.∵OD平分∠AOB，∴∠AOD=20°，∴∠COD=∠AOD－∠AOC=20°－16°=4°．②如圖，OC在∠AOB外部，OD平分∠AOB，∴設∠AOC=2x，∠COB=3x，∵∠AOB=40°，∴3x－2x=40°，得x=40°，∴∠AOC=2x=2×40°=80°，∵OD平分∠AOB，∴∠AOD=20°，∴∠COD=∠AOC+∠AOD=80°+20°=100°．∴OC與∠AOB的平分線所成的角的度數(shù)為4°或100°．（六）當堂鞏固1.如圖：OC是∠AOB的平分線，OD是∠BOC的平分線，那么下列各式中正確的是（A）2.（1）如下圖，填空：∠AOB＋∠BOC＝；∠AOC∠AOC＋∠COD＝；∠AOD∠BOD－∠COD＝；∠BOC∠AOD－＝∠AOB.∠BOD（2）如上圖：已知∠AOB=∠BOC=∠COD，則OB是的平分線；∠AOC∠AOC=；∠BOC===.∠BOD；∠AOB；∠DOC；∠AOD.3.填空：∵AD是∠BAC的平分線∴∠=∠.BAD；CAD；（角平分線的意義）∵∠ABC=2∠ABE∴平分∠.BE；ABC.（角平分線的意義）4.如圖，∠AOB=∠COD=90，∠AOD=146°，則∠BOC=____.34°5.已知∠AOB=38°，∠BOC=25°，那么∠AOC的度數(shù)是.13°或63°6.計算：（1）12°36′56″+45°24′35″；（2）79°45′+61°48′49″；（3）62°24′17″×4；（4）102°43′÷3.答案：（1）58°；（2）141°33′49″；（3）249°37′8″；（4）34°14′20″.7.如圖，OC是平角∠AOB的角平分線，∠COD=32°，求∠AOD的度數(shù).答案：∠AOD=122°.8.如圖，∠AOB=170°，∠AOC=∠BOD=90°，求∠COD的度數(shù).答案：∠COD=10°.【設計意圖】培養(yǎng)學生估計角的大小的能力．用適當方法驗證，則可進一步鞏固比較角大小的方法．鞏固角平分線性質(zhì)和角的和與差概念，能使學生加深對角的平分線概念的認識，將形與數(shù)建立起聯(lián)系，培養(yǎng)學生數(shù)形結(jié)合的思想意識．通過觀察圖形，得出角之間的和差關系，提高學生對角的和差意義的認識，從而培養(yǎng)學生的識圖能力．（七）能力提升1.如圖，已知∠AOC=60°，∠BOD=90°，∠AOB是∠DOC的3倍，求∠AOB的度數(shù)．解：設∠COD=x，∵∠AOC=60°，∠BOD=90°，∴∠AOD=60°－x，∴∠AOB=90°+60°－x=150°－x，∵∠AOB是∠DOC的3倍，∴150°－x=3x，解得x=37.5°，∴∠AOB=3×37.5°=112.5°．2.如圖，∠AOB＝120°，OD平分∠BOC，OE平分∠AOC.（1）求∠EOD的度數(shù)；解：（1）∵∠AOB＝120°，OD平分∠BOC，OE平分∠AOC，∴∠EOD＝∠DOC＋∠EOC＝(∠BOC＋∠AOC)＝∠AOB＝×120°＝60°.（2）若∠BOC＝90°，求∠AOE的度數(shù)．解：∵∠AOB＝120°，∠BOC＝90°，∴∠AOC＝120°－90°＝30°.∵OE平分∠AOC，∴∠AOE＝∠AOC＝×30°＝15°.（八）感受中考1．（2022?百色）如圖擺放一副三角板，直角頂點重合，直角邊所在直線分別重合，那么∠BAC的大小為°．【解答】解：根據(jù)題意可得，∠BAC＝90°+45°＝135°．故答案為：135．2．（2022?湘潭）如圖，一束光沿CD方向，先后經(jīng)過平面鏡OB、OA反射后，沿EF方向射出，已知∠AOB＝120°，∠CDB＝20°，則∠AEF＝．【解答】解：因為一束光沿CD方向，先后經(jīng)過平面鏡OB、OA反射后，沿EF方向射出，所以∠ED