第4章MATLAB數(shù)值計算

■基本的數(shù)據(jù)分析■矩陣函數(shù)■多項式運算■函數(shù)和數(shù)值積分■數(shù)據(jù)分析■稀疏矩陣主要內(nèi)容4.1矩陣函數(shù)一、基本數(shù)據(jù)分析函數(shù)功能max求各列最大值min求各列最小值mean求各列平均值std求各列標準差median求各列中間元素sum求各列元素和注：Matlab的基本數(shù)據(jù)處理功能是按列進行的。4.1矩陣函數(shù)二、矩陣函數(shù)

■矩陣的分析計算：求矩陣的行列式、秩、逆矩陣、特征向量等等；

■矩陣的各種分解：（將一個大矩陣分解為多個簡單矩陣的連乘）如：三角分解、正交分解、奇異值分解等。

4.1矩陣函數(shù)二、矩陣函數(shù)

■矩陣的交集運算：格式：intersect(A,B)

功能：返回值為向量A，B的公共部分?！鼍仃嚨牟⒓\算：格式：union(A,B)

功能：返回值為向量A，B的公共部分。4.1矩陣函數(shù)三、線性方程組的求解（應用矩陣函數(shù)）

線性方程組一般形式：AX=B

（A為

n×m矩陣）當n=m時，此方程成為“恰定”方程當n>m時，此方程成為“超定”方程(3)當n<m時，此方程成為“欠定”方程

4.1矩陣函數(shù)三、線性方程組的求解（應用矩陣函數(shù)）

1、恰定方程組的解(有唯一的一組解)

AX=BA-1AX=A-1B

X=A-1B=A\B有兩種求解方法：(1)X=inv(A)*B(速度較慢)(2)X=A\B(速度快,精度高)例x1+2x2=82x1+3x2=13

A=[1,2;2,3];B=[8;13];X=inv(A)*BXX=A\B4.1矩陣函數(shù)

2、超定方程組的解(沒有精確解)

AX=B

（將A變?yōu)榉疥嚕〢’Ax=A’B

X=(A’A)-1A’B=pinv(A)*B(廣義逆)有兩種求解方法：(1)X=pinv(A)*B(2)X=A\B(用最小乘方法找一個精確解)4.1矩陣函數(shù)

例x1+2x2=12x1+3x2=23x1+4x2=5A=[1,2;2,3;3,4];B=[1;2;5];X=pinv(A)*BXX=A\B4.1矩陣函數(shù)3、欠定方程組的解(有無窮多個解

)有兩種求解方法：(1)X=pinv(A)*B（具有最小長度或范數(shù)的解）(2)X=A\B(具有最多零元素的解)例x1+2x2+3x3=12x1+3x2+4x3=2A=[1,2,3;2,3,4];B=[1;2];X=pinv(A)*BXX=A\B4.2多項式運算一、多項式的表示一般形式：

用系數(shù)向量來表示：p=[anan-1

……a1a0]%B(s)=3*s^2+6*s+9%A(s)=2*s^3+4*s^2+6*s+8B=[369];A=[2468];4.2多項式運算二、多項式的運算

1、多項式的加減

對應系數(shù)相加減，如果系數(shù)長度不等，應在前面補零。例如：p1=[123];p2=[135];p3=[13]

則：p1+p2=[258]p1+p3=[136]4.2多項式運算2、多項式的乘法（數(shù)組卷積）4.2多項式運算2、多項式的乘法格式：conv(p1,p2)(卷積)

例如：p1=[11];p2=[12];p3=conv(p1,p2)=[132];4.2多項式運算3、多項式的除法（數(shù)組解卷積）格式：[q,r]=deconv(p1,p2)(q商，r余數(shù))

例如：p1=[11];p3=[132];[q,r]=deconv(p3,p1)4.2多項式運算三、多項式的求解

1、多項式的求導（微分）格式：polyder(p)

例如：p=[1234];polyder(p)的運算結果為[343]4.2多項式運算2、多項式的求根

■格式：roots(p)(由多項式求根)例如：p=[132];roots(p)的運算結果為[-2;-1]■格式：poly(r)(由根求多項式)?當r為向量時，poly把r作為根求出多項式。如：r=[-2;-1]，poly(r)的運算結果為[132]?當r為方陣時,poly(r)即為方陣r的特征多項式

4.2多項式運算3、多項式的求值格式：polyval(p,v)(返回當x=v時多項式的值,v可以是復數(shù))

例如：p=[123];polyval(p,1)的運算結果為6Question:求出該系統(tǒng)的頻率響應并畫出頻率特性？例題clc;clearall;%多項式求值的應用%B(s)=3*s^2+6*s+9%A(s)=2*s^3+4*s^2+6*s+8%H(s)=B(s)/A(s)B=[369];A=[2468];w=linspace(0,10);BB=polyval(B,j*w);AA=polyval(A,j*w);subplot(2,2,1);plot(w,abs(BB./AA));subplot(2,2,3);plot(w,angle(BB./AA));w1=logspace(-1,1);B1=polyval(B,j*w1);A1=polyval(A,j*w1);subplot(2,2,2);semilogx(w1,abs(B1./A1));subplot(2,2,4);semilogx(w1,angle(B1./A1));例題4.2多項式運算四、多項式的擬合多項式的擬合就是用多項式函數(shù)所表示的曲線來描述一些已知的點，使這些點盡量逼近曲線。

格式：p=polyfit(x,y,n)x,y為已知的點坐標向量，n為多項式的冪次x=[01020];y=[208040];subplot(2,1,1);plot(x,y,'*r');p=polyfit(x,y,2);subplot(2,1,2);plot((0:20),polyval(p,(0:20)));4.2多項式運算例題4.2多項式運算五、多項式的插值插值是在一些已知點之間插入一些點，使這些點的連線與已知點連線更逼近.

4.2多項式運算1、一維插值（平面插值）格式：yi=interp1(x,y,xi,’method’)x,y為已知的點坐標向量，

xi,yi為插入點的x和y坐標向量.‘method’：linear(線性，默認)cubic(三次，拐角更光滑)cubicspline(三次樣條)%平面插值x=[01020];y=[208040];plot(x,y,'r');yi=interp1(x,y,(0:20),'cubic');holdon;plot((0:20),yi);例題4.2多項式運算2、二維插值（立體）格式：zi=interp2(x,y,z,xi,yi,’method’)x,y為已知的點坐標向量，z為矩陣（x,y對應點的值）xi，yi為插入點的X,Y坐標向量‘method’：同上

zi為xi,yi的插入值。%立體插值x=(-4:1:4);y=x;[x1,y1]=meshgrid(x,y);z=peaks(x1,y1);subplot(2,1,1);mesh(x1,y1,z);xi=(-4:0.2:4);yi=xi';zi=interp2(x,y,z,xi,yi,'cubic');subplot(2,1,2);mesh(xi,yi,zi+20);例題4.3函數(shù)和數(shù)值積分一、函數(shù)的繪圖及分析1、繪制函數(shù)曲線格式：

fplot(‘函數(shù)名’,lims，’s’)

功能：繪制指定函數(shù)的曲線，

lims為x,y軸的最小最大值,s可指定線形

■函數(shù)和數(shù)值積分庫(funfun)■特殊函數(shù)庫（specfun）%函數(shù)的繪圖subplot(3,1,1);fplot('sin',2*pi*[-11]);subplot(3,1,2);fplot('[sin(x)tan(x)]',2*pi*[-11-11]);subplot(3,1,3);fplot(‘humps’,[01],‘rd’);例題4.3函數(shù)和數(shù)值積分2、函數(shù)的簡易繪圖格式：ezplot(‘函數(shù)名’,lims)

例如：ezplot(‘sin’)ezplot('x^2-x-1');ezplot('sin(t)','cos(t)');(畫一橢圓)

除ezplot外，還有：

ezpolar,ezplot3，ezmesh,ezsurf等。%函數(shù)簡易的繪圖subplot(3,1,1);ezplot('sin');subplot(3,1,2);ezplot('x^2-x-1');subplot(3,1,3);ezplot('sin(t)','cos(t)');例題4.3函數(shù)和數(shù)值積分3、求函數(shù)極小值格式：fmin(‘函數(shù)名’,x1,x2)

求函數(shù)在x=[x1x2]之間的極小值

4、求函數(shù)零點格式：fzero(‘函數(shù)名’,x0)。求函數(shù)在x0附近的過零點。例如：fzero(‘humps’,1)=1.29954.3函數(shù)和數(shù)值積分二、特殊函數(shù)

特殊的數(shù)學函數(shù)，如：貝塞爾函數(shù)、誤差函數(shù)等。4.3函數(shù)和數(shù)值積分三、函數(shù)的數(shù)值積分

1、定積分（一維數(shù)值積分）格式：quad(‘函數(shù)名’,x1,x2)

（或quad8，高階方法）對函數(shù)在區(qū)間[x1,x2]內(nèi)的定積分例如：quad(‘humps’,0,1)=29.8583

利用定積分可以求不定積分的數(shù)值解4.3函數(shù)和數(shù)值積分三、函數(shù)的數(shù)值積分

2、二重數(shù)值積分格式：dblquad(‘函數(shù)名’,x1,x2,y1,y2)4.3函數(shù)和數(shù)值積分四、常微分方程的求解(ODE,OrdinaryDifferentialEquation

)

格式：[x,y]=ode23(‘函數(shù)名’,x0,xn,y0)(2,3階)

或ode45(4,5階)函數(shù)名為微分方程名（含x,y）x0,xn為x區(qū)間，y0為y初值。4.3函數(shù)和數(shù)值積分四、常微分方程的求解例如：求微分方程：

dy/dx=-3y+2x,y(1)=2區(qū)間為[1,3]的解首先建立函數(shù)：f=myde(x,y)(myde.m)f=-3*y+2*x[x,y]=ode23(‘myde’,1,3,2)4.4數(shù)據(jù)分析和傅立葉變換一、數(shù)據(jù)的基本分析(按列分析)1、求最大最小值：max(data)/min(data)

例如：a=[123;234;456];max(a)=[456]2、求平均值：mean(data)

例如：mean(a)=[2.333.334.33]3、求和：sum(data)

例如：sum(a)=[71013]4、差分：diff(data)(后面元素-前面元素值)

例如：diff(a)=[111;222]4.4數(shù)據(jù)分析和傅立葉變換二、相關與卷積

對兩組數(shù)據(jù)（或兩個信號），可求其相關、協(xié)方差和卷積等1、求協(xié)方差：

cov(x)求x的協(xié)方差陣

cov(x,y)求x,y的協(xié)方差2、求相關系數(shù)

corrcoef(x)求x的自相關陣

corrcoef(x,y)求x,y的互相關系數(shù)4.4數(shù)據(jù)分析和傅立葉變換二、相關與卷積

3、求卷積

conv(x,y)4.4數(shù)據(jù)分析和傅立葉變換三、傅立葉變換可對數(shù)據(jù)（離散信號）求傅立葉變換

1、離散傅立葉變換：

fft(x)對序列x求DFTfft(x,N)對序列x求FFT例如：x=[1234]y=fft(x)=[10-2+2i-2-2-2i]2、離散傅立葉反變換：

ifft()同上。4.5稀疏矩陣

工程中會遇到很大的矩陣，