帶電粒子在“有界〞磁場中運動問題分類解析求解帶電粒子在勻強磁場中的勻速圓周運動時，一般先根據(jù)題意畫出運動的軌跡，確定圓心，從而根據(jù)幾何關(guān)系求出半徑或圓心角，然后利用半徑公式、周期公式求解。1、首先確定圓心：一個根本思路：圓心一定在與速度方向垂直的直線上。三個常用方法：方法一：利用兩個速度垂線的交點找圓心由于向心力的方向與線速度方向互相垂直，洛倫茲力〔向心力〕沿半徑指向圓心，知道兩個速度的方向，畫出粒子軌跡上兩個對應(yīng)的洛倫茲力，其延長線的交點即為圓心。例1：如圖1所示，一個質(zhì)量為m電荷量為q的帶電粒子從x軸上的P〔，0〕點以速度v，沿與x正方向成60°的方向射入第一象限內(nèi)的勻強磁場中，并恰好垂直于y軸射出第一象限。求勻強磁場的磁感應(yīng)強度B和射出點的坐標。解析：分別由射入、射出點做兩條與速度垂直的線段，其交點O即為粒子做圓運動的圓心，由圖可以看出，軌道半徑為，洛侖茲力是向心力，由①②解得.射出點的縱坐標為〔r+rsin30°〕=1.5r,因此射出點坐標為〔0，〕。方法二：利用速度的垂線與弦的中垂線的交點找圓心帶電粒子在勻強磁場中做勻速運動時，如果軌跡上的兩點的位置和其中一點的速度方向，可用聯(lián)結(jié)這兩點的弦的中垂線與一條半徑的交點確定圓心的位置。例2：電子自靜止開始經(jīng)M、N板間〔兩板間的電壓為U〕的電場加速后從A點垂直于磁場邊界射入寬度為d的勻強磁場中，電子離開磁場時的位置P偏離入射方向的距離為L，如圖2所示，求：〔1〕正確畫出電子由靜止開始直至離開磁場時的軌跡圖；〔2〕勻強磁場的磁感應(yīng)強度.〔電子的質(zhì)量為m，電量為e〕解析：〔1〕聯(lián)結(jié)AP的線段是電子圓運動軌道上的一條弦，做弦AP的中垂線，由于電子通過A點時的速度方向與磁場左邊界垂直，因此過A點的半徑與磁場的左邊界重合。AP弦的中垂線OC與磁場左邊界的交點O即是電子圓運動的圓心，以O(shè)為圓心以O(shè)A為半徑畫圓弧，如圖3所示，〔2〕在M、N間加速后獲得的速度為v，由動能定理得：電子進入磁場后做勻速圓周運動，設(shè)其半徑為r，那么：在△AQP中：在△ACO中：由①②③④解得：B=方法三：利用速度的垂線與角的平分線的交點找圓心當帶電粒子通過圓形磁場區(qū)后又通過無場區(qū)，如果只知道射入和射出時的速度的方向和射入時的位置，而不知道射出點的位置，應(yīng)當利用角的平分線和半徑的交點確定圓心。例3、一質(zhì)量為m、帶電量為+q的粒子以速度v從O點沿y軸正方向射入磁感應(yīng)強度為B的圓形勻強磁場區(qū)域，磁場方向垂直紙面向外，粒子飛出磁場區(qū)域后，從B處穿過x軸，速度方向與x軸正方向的夾角為30°，同時進入場強為E、方向沿與x軸負方向成60°角斜向下的勻強電場中，通過了B點正下方的C點。如圖示4所示，不計重力，試求：〔1〕圓形勻強磁場區(qū)域的最小面積；〔2〕C點到B點的距離h。解析：〔1〕反向延長vb交y軸于O2點，作∠BO2O的角平分線交x軸于O1，O1即為圓運動軌道的圓心，OO1即為圓運動軌道的半徑，其半徑為畫出圓運動的軌跡〔圖5虛線圓〕交BO2于A點，最小的圓形磁場區(qū)域是以O(shè)A為直徑的圓，如圖5陰影所示。設(shè)最小的磁場區(qū)域半徑為r,那么利用①②③解得〔2〕B到C受電場力作用，做類平拋運動，沿初速方向：沿電場方向：利用④⑤消去t解得.2．半徑確實定和計算一個根本思路：半徑一般在確定圓心的根底上用平面幾何知識求出，常常要解三角形。兩個重要的幾何特點：〔1〕粒子速度的偏轉(zhuǎn)角〔φ〕等于盤旋角〔α〕并等于弦切角θ〔AB弦與切線的夾角〕的兩倍〔如下圖〕，即φ=α=2θ；〔2〕相對的弦切角〔θ〕相等，與相鄰的弦切角〔θ’〕互補，即θ+θ’=18003.運動時間確實定一個根本思路：利用圓心角與弦切角的關(guān)系或者四邊形的內(nèi)角和等于3600計算出粒子所轉(zhuǎn)過的圓心角α的大小。兩個根本公式：,例4:如下圖，在xOy平面上，a點坐標為〔0，L〕，平面內(nèi)一邊界通過a點和坐標原點O的圓形勻強磁場區(qū)域，磁場方向垂直紙面向里，有一電子〔質(zhì)量為m，電量為e〕從a點以初速度v0平行x軸正方向射入磁場區(qū)域，在磁場中運動，恰好在x軸上的b點〔未標出〕射出磁場區(qū)域，此時速度方向與x軸正方向夾角為60°，求：〔1〕磁場的磁感應(yīng)強度；〔2〕磁場區(qū)域圓心O1的坐標〔，〕；〔3〕電子在磁場中運動的時間．練習(xí)1：如下圖，在第Ⅰ象限內(nèi)有垂直于紙面向里的勻強磁場，一對正、負電子分別以相同速率與x軸成30°角的方向從原點射入磁場，那么正、負電子在磁場中運動的時間之比為〔B)A、1：2B、2：1C、D、1：1二．帶電粒子在常見有界磁場區(qū)域的運動軌跡1、根本軌跡。〔1〕單直線邊界磁場〔如圖1所示〕。帶電粒子垂直磁場進入磁場時。①如果垂直磁場邊界進入，粒子作半圓運動后垂直原邊界飛出；②如果與磁場邊界成夾角θ進入，仍以與磁場邊界夾角θ飛出〔有兩種軌跡，圖1中假設(shè)兩軌跡共弦，那么θ1＝θ2〕〔2〕平行直線邊界磁場〔如圖2所示〕。帶電粒子垂直磁場邊界并垂直磁場進入磁場時，①速度較小時，作半圓運動后從原邊界飛出；②速度增加為某臨界值時，粒子作局部圓周運動其軌跡與另一邊界相切；③速度較大時粒子作局部圓周運動后從另一邊界飛出。例5:如下圖，一束電子(電量為e)以速度V垂直射入磁感強度為B，寬度為d的勻強磁場中，穿透磁場時速度方向與電子原來入射方向的夾角是30°，那么電子的質(zhì)量是，穿過磁場的時間是,假設(shè)電子質(zhì)量m,那么要帶電粒子能從磁場的右邊界射出，粒子的速度V必須滿足的條件為。m=2dBe/V，t=πd/3V，V>Bed/m練習(xí)2．如下圖，相互平行的直線M、N、P、Q間存在垂直于紙面的勻強磁場。某帶負電粒子由O點垂直于磁場方向射入，粒子速率一定，射入時速度方向與OM間夾角的范圍為0<θ<90o，不計粒子的重力，那么：〔〕ACDA.θ越大，粒子在磁場中運動的時間可能越短B.θ越大，粒子在磁場中運動的路徑一定越長C.θ越大，粒子在磁場中運動軌跡的圓心到MN的距離一定越小D.粒子在磁場中運動的軌跡長度與時間的比值與θ無關(guān)〔3〕矩形邊界磁場〔如圖3所示〕。帶電粒子垂直磁場邊界并垂直磁場進入磁場時，①速度較小時粒子作半圓運動后從原邊界飛出；②速度在某一范圍內(nèi)時從側(cè)面邊界飛出；③速度為某臨界值時，粒子作局部圓周運動其軌跡與對面邊界相切；④速度較大時粒子作局部圓周運動從對面邊界飛出。例6：長為L的水平極板間，有垂直紙面向內(nèi)的勻強磁場，如下圖，磁感強度為B，板間距離也為L，板不帶電，現(xiàn)有質(zhì)量為m，電量為q的帶正電粒子(不計重力)，從左邊極板間中點處垂直磁感線以速度V水平射入磁場，欲使粒子不打在極板上，可采用的方法是〔AB〕A．使粒子的速度V<BqL/4m；B．使粒子的速度V>5BqL/4m；C．使粒子的速度V>BqL/m；D．使粒子速度BqL/4m<V<5BqL/4m。練習(xí)3：如下圖,一束電子以大小不同的速率沿圖示方向飛入橫截面為一正方形的勻強磁場區(qū),在從ab邊離開磁場的電子中，以下判斷正確的選項是〔AD〕從b點離開的電子速度最大B.從b點離開的電子在磁場中運動時間最長C.從b點離開的電子速度偏轉(zhuǎn)角最大D.在磁場中運動時間相同的電子,其軌跡線一定重合〔4〕帶電粒子在圓形磁場區(qū)域中做勻速圓周運動的幾個特點。特點1：入射速度方向指向勻強磁場區(qū)域圓的圓心，那么出射速度方向的反向延長線必過該區(qū)域圓的圓心。例7：如下圖，真空中有一半徑為R的圓形磁場區(qū)域，圓心為O，磁場的方向垂直紙面向內(nèi)，磁感強度為B，距離O為2R處有一光屏MN，MN垂直于紙面放置，AO過半徑垂直于屏，延長線交于C．一個帶負電粒子以初速度v0沿AC方向進入圓形磁場區(qū)域，最后打在屏上D點，DC相距2R，不計粒子的重力．假設(shè)該粒子仍以初速v0從A點進入圓形磁場區(qū)域，但方向與AC成600角向右上方，粒子最后打在屏上E點，求粒子從A到E所用時間．練習(xí)4、如右圖所示為圓柱形區(qū)域的橫截面，在該區(qū)域加沿圓柱軸線方向的勻強磁場．帶電粒子(不計重力)第一次以速度v1沿截面直徑入射，粒子飛入磁場區(qū)域時，速度方向偏轉(zhuǎn)60°角；該帶電粒子第二次以速度v2從同一點沿同一方向入射，粒子飛出磁場區(qū)域時，速度方向偏轉(zhuǎn)90°角．那么帶電粒子第一次和第二次在磁場中運動的(C)A．半徑之比為1∶eq\r(3)B．速度之比為1∶eq\r(3)C．時間之比為2∶3D．時間之比為3∶2特點2：入射速度方向〔不一定指向區(qū)域圓圓心〕與軌跡圓弧對應(yīng)的弦的夾角為θ〔弦切角〕，那么出射速度方向與入射速度方向的偏轉(zhuǎn)角為2θ，軌跡圓弧對應(yīng)的圓心角也為2θ，并且初末速度方向的交點、軌跡圓的圓心、區(qū)域圓的圓心都在弧弦的垂直平分線上。例8.如下圖，在xOy坐標系第一象限內(nèi)有一個與x軸相切于Q點的圓形有界勻強磁場，磁感應(yīng)強度為B，方向垂直紙面向外，一帶電粒子〔不計重力〕質(zhì)量為m，帶電荷量為+q，以初速度從P點進入第一象限，，經(jīng)過該圓形有界磁場時，速度方向偏轉(zhuǎn)了，從x軸上的Q點射出。求：在第一象限內(nèi)圓形磁場區(qū)域的半徑多大？特點3：當軌跡半徑大于圓形磁場半徑時，粒子通過圓形磁場的弦等于圓形磁場半徑時，時間最長如下圖，在真空中半徑m的圓形區(qū)域內(nèi)，有磁感應(yīng)強度B=0．2T，方向如圖的勻強磁場，一束帶正電的粒子以初速度m/s，從磁場邊界上直徑ab的a端沿各個方向射入磁場，且初速方向都垂直于磁場方向，假設(shè)該束粒子的比荷C/kg，不計粒子重力。求：〔1〕粒子在磁場中運動的最長時間；s〔2〕假設(shè)射入磁場的速度改為m/s，其他條件不變，試用斜線畫出該束粒子在磁場中可能出現(xiàn)的區(qū)域，要求有簡要的文字說明。〔，〕(5)帶電粒子在環(huán)狀磁場中的運動例8:核聚變反響需要幾百萬度以上的高溫，為把高溫條件下高速運動的離子約束在小范圍內(nèi)〔否那么不可能發(fā)生核反響〕，通常采用磁約束的方法〔托卡馬克裝置〕。如下圖，環(huán)狀勻強磁場圍成中空區(qū)域，中空區(qū)域中的帶電粒子只要速度不是很大，都不會穿出磁場的外邊緣而被約束在該區(qū)域內(nèi)。設(shè)環(huán)狀磁場的內(nèi)半徑為R1=0.5m，外半徑R2=1.0m，磁場的磁感強度B=1.0T，假設(shè)被束縛帶電粒子的荷質(zhì)比為q/m=4×c/㎏，中空區(qū)域內(nèi)帶電粒子具有各個方向的速度。試計算〔1〕粒子沿環(huán)狀的半徑方向射入磁場，不能穿越磁場的最大速度?！?〕所有粒子不能穿越磁場的最大速度。解析：〔1〕要粒子沿環(huán)狀的半徑方向射入磁場，不能穿越磁場，那么粒子的臨界軌跡必須要與外圓相切，軌跡如圖18所示。由圖中知解得由得所以粒子沿環(huán)狀的半徑方向射入磁場，不能穿越磁場的最大速度為?！?〕當粒子以V2的速度沿與內(nèi)圓相切方向射入磁場且軌道與外圓相切時，那么以V1速度沿各方向射入磁場區(qū)的粒子都不能穿出磁場邊界，如圖19所示。由圖中知由得所以所有粒子不能穿越磁場的最大速度:〔6〕帶電粒子在三角形磁場中的運動例9：在邊長為的內(nèi)存在垂直紙面向里的磁感強度為的勻強磁場，有一帶正電，質(zhì)量為的粒子從距Ａ點的Ｄ點垂直ＡＢ方向進入磁場，如下圖，假設(shè)粒子能從ＡＣ間離開磁場，求粒子速率應(yīng)滿足什么條件及粒子從ＡＣ間什么范圍內(nèi)射出．解析：如圖６所示，設(shè)粒子速率為時，其圓軌跡正好與ＡＣ邊相切于Ｅ點．由圖知，在中，，，由得，解得，那么．又由得，那么要粒子能從AC間離開磁場，其速率應(yīng)大于．如圖７所示，設(shè)粒子速率為時，其圓軌跡正好與ＢＣ邊相切于Ｆ點，與ＡＣ相交于Ｇ點．易知Ａ點即為粒子軌跡的圓心，那么．又由得，那么要粒子能從AC間離開磁場，其速率應(yīng)小于等于．綜上，要粒子能從ＡＣ間離開磁場，粒子速率應(yīng)滿足．粒子從距Ａ點的間射出．〔7〕帶電粒子在“綠葉形〞磁場中的運動例10：如下圖，在xoy平面內(nèi)有很多質(zhì)量為m、電量為e的電子，從坐標原點O不斷以相同的速率V0沿不同方向平行xoy平面射入第I象限?，F(xiàn)加一垂直xoy平面向里、磁感強度為B的勻強磁場，要求這些入射電子穿過磁場都能平行于x軸且沿X軸正方向運動。求符合條件的磁場的最小面積?！膊豢紤]電子之間的相互作用〕解析：如下圖，電子在磁場中做勻速圓周運動，半徑為。在由O點射入第I象限的所有電子中，沿y軸正方向射出的電子轉(zhuǎn)過1/4圓周，速度變?yōu)檠豿軸正方向，這條軌跡為磁場區(qū)域的上邊界。下面確定磁場區(qū)域的下邊界。設(shè)某電子做勻速圓周運動的圓心O/與O點的連線與y軸正方向夾角為θ，假設(shè)離開磁場時電子速度變?yōu)檠豿軸正方向，其射出點〔也就是軌跡與磁場邊界的交點〕的坐標為〔x，y〕。由圖中幾何關(guān)系可得：x=Rsinθ，y=R-Rcosθ，消去參數(shù)θ可知磁場區(qū)域的下邊界滿足的方程為x2+(R-y)2=R2，(x>0，y>0)這是一個圓的方程，圓心在〔0，R〕處。磁場區(qū)域為圖中兩條圓弧所圍成的面積。磁場的最小面積為;練習(xí)題：1．一電子以垂直于勻強磁場的速度vA，從A處進入長為d、寬為h的磁場區(qū)域如右圖所示，發(fā)生偏移而從B處離開磁場，假設(shè)電荷量為e，磁感應(yīng)強度為B，圓弧AB的長為L，那么〔〕(B)A．電子在磁場中運動的時間為t＝eq\f(d,vA)B．電子在磁場中運動的時間為t＝eq\f(L,vA)C．洛倫茲力對電子做功是BevA·hD．電子在A、B兩處的速度相同2．如右圖所示，平面直角坐標系的第Ⅰ象限內(nèi)有一勻強磁場垂直于紙面向里，磁感應(yīng)強度為B.一質(zhì)量為m、電荷量為q的粒子以速度v從O點沿著與y軸夾角為30°的方向進入磁場，運動到A點時速度方向與x軸的正方向相同，不計粒子的重力，那么〔〕(BC)A．該粒子帶正電B．A點與x軸的距離為eq\f(mv,2qB)C．粒子由O到A經(jīng)歷時間t＝eq\f(πm,3qB)D．運動過程中粒子的速度不變3．如圖(甲)所示，在以直角坐標系xOy的坐標原點O為圓心、半徑為r的圓形區(qū)域內(nèi)，存在磁感應(yīng)強度大小為B、方向垂直xOy所在平面的勻強磁場．一帶電粒子由磁場邊界與x軸的交點A處，以速度v0沿x軸負方向射入磁場，粒子恰好能從磁場邊界與y軸的交點C處，沿y軸正方向飛出磁場，不計帶電粒子所受重力．(1)求粒子的比荷eq\f(q,m).(2)假設(shè)磁場的方向和所在空間的范圍不變，而磁感應(yīng)強度的大小變?yōu)锽′，該粒子仍從A處以相同的速度射入磁場，粒子飛出磁場時速度的方向相對于入射方向改變了θ角，如圖(乙)所示，求磁感應(yīng)強度B′的大?。獯?(1)由幾何關(guān)系可知，粒子的運動軌跡如圖，其半