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文檔簡介

第三節(jié)相似矩陣

一、方陣的相似定義5.3.1:設(shè)A,B都是n階矩陣,假設(shè)有可逆矩陣那么稱B是A的相似矩陣,或說矩陣A與B相似,對A進行運算

,稱為對A進行相似變換,可逆矩陣P稱為把A變成B的相似變換矩陣.P,使證明推論1

若階方陣A與對角陣思考：1、n階方陣A滿足什么條件會與對角陣

=diag(

1,

2,···,

n)相似,2.如何求方陣A與對角陣

相似的相似變換矩陣P.證明二、方陣可對角化的條件命題得證.將上述過程倒推回去，就是充分性的證明推論:如果n階矩陣A有n個互不相等的特征值,那么A與對角陣相似.說明:如果A的特征方程有重根,此時不一定有n個線性無關(guān)的特征向量,從而矩陣A不一定能對角化.但如果能找到n個線性無關(guān)的特征向量,那么A還是能對角化.例1判斷下列實矩陣能否化為對角陣？解解之得根底解系求得根底解系解之得根底解系故不能化為對角矩陣.A能否對角化？若能對角例2解解之得根底解系所以可對角化.注意即矩陣的列向量和對角矩陣中特征值的位置要相互對應(yīng)．例4:假設(shè)解:1.特征值得A的特征值:

1=2,

2=4.特征值

1=2對應(yīng)的特征向量為:特征值

1=4對應(yīng)的特征向量為:令:那么于是那么例5:若相似,求解:利用相似矩陣跡相等和行列式值相等,得解得:三、小結(jié)1.相似矩陣相似是矩陣之間的一種關(guān)系,它具有很多良好的性質(zhì),除了課堂內(nèi)介紹的以外,還有:(1)假設(shè)A與B相似,那么det(A)=det(B);(2)假設(shè)A與B相似,f(x)為多項式,那么f(A)與f(B)相似;(3)假設(shè)A與B相似,且A可逆,那么B也可逆,且A-1與B-1相似.2.相似變換與相似變換矩陣相似變換是對方陣進行的一種運算,它把A變成P-1AP,可逆矩陣P稱為進行這一變換的相似變換矩陣.這種變換的重要意義在于簡化對矩陣的各種運算,其方法是先通過相似變換,將矩陣變成對角矩陣,再對對角矩陣進行運算,從而將比較復(fù)雜的矩陣的運算轉(zhuǎn)化為比較簡單的對角矩陣的運算.思考題判斷以下兩矩陣A,B是否相似.思考題解答|

A–

E

|

==

(n–

)(–

)n-1=

0,得A的特征值:

1=n,

2=···=

n=0.當2=···=n=0時,R(A–E)=R(A)=1,故(A–E)x=0的根底解系有n-1個向量.而當

1=n時,|

A–

1E

|=0,故(

A–

1E

)x=0有非零解.顯然,也有B的特征值:

1=n,

2=···=

n=0.當2=···=n=0時,R(B–E)=R(B)=1,故(B–E)x=0的根底解系有n-1個向量.因此,A存在n個線性無關(guān)的特征向量.P1-1AP1

=而當

1=n時,|

B–

1E

|=0,故(B–

1E)x=0有非零解.從而,A,B都可對角化,且存在可逆矩

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