第四節(jié)函數性質的綜合問題考點1函數的單調性與奇偶性函數的單調性與奇偶性的綜合問題解題思路(1)解決比較大小、最值問題應充分利用奇函數在關于原點對稱的兩個區(qū)間上具有相同的單調性，偶函數在關于原點對稱的兩個區(qū)間上具有相反的單調性.(2)解決不等式問題時一定要充分利用已知的條件，把已知不等式轉化成f(x1)＞f(x2)或f(x1)＜f(x2)的形式，再根據函數的奇偶性與單調性，列出不等式(組)，要注意函數定義域對參數的影響.(1)設f(x)是定義域為R的偶函數，且在(0，＋∞)單調遞減，則()A.feq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(log3\f(1,4)))＞feq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(2eq\s\up5(－\f(3,2))))＞feq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(2eq\s\up5(－\f(2,3))))B.feq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(log3\f(1,4)))＞feq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(2eq\s\up5(－\f(2,3))))＞feq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(2eq\s\up5(－\f(3,2))))C.feq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(2eq\s\up5(－\f(3,2))))＞feq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(2eq\s\up5(－\f(2,3))))＞feq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(log3\f(1,4)))D.feq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(2eq\s\up5(－\f(2,3))))＞feq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(2eq\s\up5(－\f(3,2))))＞feq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(log3\f(1,4)))(2)函數f(x)在(﹣∞，＋∞)上單調遞減，且為奇函數.若f(1)＝﹣1，則滿足﹣1≤f(x﹣2)≤1的x的取值范圍是()A.[﹣2,2]B.[﹣1,1]C.[0,4]D.[1,3](1)C(2)答案為：D.解析：(1)∵f(x)是定義域為R的偶函數，∴f(﹣x)＝f(x).∴feq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(log3\f(1,4)))＝f(﹣log34)＝f(log34).又∵log34＞log33＝1，且1＞2eq\s\up5(－\f(2,3))＞2eq\s\up5(－\f(3,2))＞0，∴l(xiāng)og34＞2eq\s\up5(－\f(2,3))＞2eq\s\up5(－\f(3,2))＞0.∵f(x)在(0，＋∞)上單調遞減，∴f(2eq\s\up5(－\f(3,2)))＞f(2eq\s\up5(－\f(2,3)))＞f(log34)＝feq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(log3\f(1,4))).故選C.(2)∵f(x)為奇函數，∴f(﹣x)＝﹣f(x).∵f(1)＝﹣1，∴f(﹣1)＝﹣f(1)＝1.故由﹣1≤f(x﹣2)≤1，得f(1)≤f(x﹣2)≤f(﹣1).又f(x)在(﹣∞，＋∞)上單調遞減，∴﹣1≤x﹣2≤1，∴1≤x≤3.][逆向問題]設f(x)是定義在[﹣2b,3＋b]上的偶函數，且在[﹣2b,0]上為增函數，則f(x﹣1)≥f(3)的解集為()A.[﹣3,3]B.[﹣2,4]C.[﹣1,5]D.[0,6]答案為：B.解析：因為f(x)是定義在[﹣2b,3＋b]上的偶函數，所以有﹣2b＋3＋b＝0，解得b＝3，由函數f(x)在[﹣6,0]上為增函數，得f(x)在(0,6]上為減函數，故f(x﹣1)≥f(3)?f(|x﹣1|)≥f(3)?|x﹣1|≤3，故﹣2≤x≤4.](1)函數值的大小比較問題，可以利用奇偶性把不在同一單調區(qū)間上的兩個或多個自變量的函數值轉化到同一單調區(qū)間上，再利用其單調性比較大小.(2)對于抽象函數不等式的求解，應變形為f(x1)＞f(x2)的形式，再結合單調性脫去法則“f”變成常規(guī)不等式，如x1＜x2(或x1＞x2)求解.1.已知函數f(x)滿足以下兩個條件：①任意x1，x2∈(0，＋∞)且x1≠x2，(x1﹣x2)·[f(x1)﹣f(x2)]＜0；②對定義域內任意x有f(x)＋f(﹣x)＝0，則符合條件的函數是()A.f(x)＝2xB.f(x)＝1﹣|x|C.f(x)＝﹣x3D.f(x)＝ln(x2＋3)答案為：C.解析：由條件①可知，f(x)在(0，＋∞)上單調遞減，則可排除A、D選項，由條件②可知，f(x)為奇函數，則可排除B選項，故選C.]2.函數y＝f(x)在[0,2]上單調遞增，且函數f(x＋2)是偶函數，則下列結論成立的是()A.f(1)＜f(eq\f(5,2))＜f(eq\f(7,2))B.f(eq\f(7,2))＜f(1)＜f(eq\f(5,2))C.f(eq\f(7,2))＜f(eq\f(5,2))＜f(1)D.f(eq\f(5,2))＜f(1)＜f(eq\f(7,2))答案為：B.解析：∵函數y＝f(x)在[0,2]上單調遞增，且函數f(x＋2)是偶函數，∴函數y＝f(x)在[2,4]上單調遞減，且在[0,4]上函數y＝f(x)滿足f(2﹣x)＝f(2＋x)，∴f(1)＝f(3)，f(eq\f(7,2))＜f(3)＜f(eq\f(5,2))，即f(eq\f(7,2))＜f(1)＜f(eq\f(5,2)).]3.設奇函數f(x)定義在(﹣∞，0)∪(0，＋∞)上，f(x)在(0，＋∞)上為增函數，且f(1)＝0，則不等式eq\f(3fx－2f－x,5x)＜0的解集為()A.(﹣1,0)∪(1，＋∞)B.(﹣∞，﹣1)∪(0,1)C.(﹣∞，﹣1)∪(1，＋∞)D.(﹣1,0)∪(0,1)答案為：D.解析：∵奇函數f(x)定義在(﹣∞，0)∪(0，＋∞)上，在(0，＋∞)上為增函數，且f(1)＝0，∴函數f(x)的圖象關于原點對稱，且過點(1,0)和(﹣1,0)，且f(x)在(﹣∞，0)上也是增函數.∴函數f(x)的大致圖象如圖所示.∵f(﹣x)＝﹣f(x)，∴不等式eq\f(3fx－2f－x,5x)＜0可化為eq\f(fx,x)＜0，即xf(x)＜0.不等式的解集即為自變量與對應的函數值異號的x的范圍，據圖象可知x∈(﹣1,0)∪(0,1).]考點2函數的周期性與奇偶性已知f(x)是周期函數且為偶函數，求函數值，常利用奇偶性及周期性進行交換，將所求函數值的自變量轉化到已知解析式的函數定義域內，把未知區(qū)間上的函數性質轉化為已知區(qū)間上的函數性質求解.已知函數f(x)對任意的x∈R都滿足f(x)＋f(﹣x)＝0，f(x＋eq\f(3,2))為偶函數，當0＜x≤eq\f(3,2)時，f(x)＝﹣x，則f(2023)＋f(2024)＝________.﹣2.[依題意，f(﹣x)＝﹣f(x)，f(﹣x＋eq\f(3,2))＝f(x＋eq\f(3,2))，所以f(x＋3)＝f(﹣x)＝﹣f(x)，所以f(x＋6)＝f(x)，所以f(2023)＝f(1)＝﹣1，f(2024)＝f(2)＝f(eq\f(1,2)＋eq\f(3,2))＝f(﹣eq\f(1,2)＋eq\f(3,2))＝f(1)＝﹣1，所以f(2023)＋f(2024)＝﹣2.]解奇偶性、周期性的綜合性問題的2個關鍵點(1)利用奇偶性和已知等式求周期.(2)將未知區(qū)間上的問題轉化為已知區(qū)間上的問題求解.1.已知定義在R上的奇函數f(x)滿足f(x)＝﹣f(x＋eq\f(3,2))，且f(1)＝2，則f(2024)＝________.﹣2.[因為f(x)＝﹣f(x＋eq\f(3,2))，所以f(x＋3)＝f[(x＋eq\f(3,2))＋eq\f(3,2)]＝﹣f(x＋eq\f(3,2))＝f(x).所以f(x)是以3為周期的周期函數.則f(2024)＝f(674×3＋2)＝f(2)＝f(﹣1)＝﹣f(1)＝﹣2.]2.已知f(x)是定義在R上以3為周期的偶函數，若f(1)＜1，f(5)＝2a﹣3，則實數a的取值范圍為________.(﹣∞，2)[∵f(x)是定義在R上的周期為3的偶函數，∴f(5)＝f(5﹣6)＝f(﹣1)＝f(1)，∵f(1)＜1，∴f(5)＝2a﹣3＜1，即a＜2.]考點3單調性、奇偶性、周期性、對稱性等綜合問題函數的奇偶性、周期性及單調性是函數的三大性質，在高考中常常將它們綜合在一起命題，解題時，往往需要借助函數的奇偶性和周期性來確定另一區(qū)間上的單調性，即實現區(qū)間的轉換，再利用單調性解決相關問題.已知f(x)是定義域為(﹣∞，＋∞)的奇函數，滿足f(1﹣x)＝f(1＋x).若f(1)＝2，則f(1)＋f(2)＋f(3)＋…＋f(50)＝()A.﹣50B.0C.2D.50答案為：C.解析：法一：(直接法)∵f(x)是奇函數，∴f(﹣x)＝﹣f(x)，∴f(1﹣x)＝﹣f(x﹣1).由f(1﹣x)＝f(1＋x)，得﹣f(x﹣1)＝f(x＋1)，∴f(x＋2)＝﹣f(x)，∴f(x＋4)＝﹣f(x＋2)＝f(x)，∴函數f(x)是周期為4的周期函數.由f(x)為奇函數得f(0)＝0.又∵f(1﹣x)＝f(1＋x)，∴f(x)的圖象關于直線x＝1對稱，∴f(2)＝f(0)＝0，∴f(﹣2)＝0.又f(1)＝2，∴f(﹣1)＝﹣2，∴f(1)＋f(2)＋f(3)＋f(4)＝f(1)＋f(2)＋f(﹣1)＋f(0)＝2＋0﹣2＋0＝0，∴f(1)＋f(2)＋f(3)＋f(4)＋…＋f(49)＋f(50)＝0×12＋f(49)＋f(50)＝f(1)＋f(2)＝2＋0＝2.法二：(特例法)由題意可設f(x)＝2sin(eq\f(π,2)x)，作出f(x)的部分圖象如圖所示.由圖可知，f(x)的一個周期為4，所以f(1)＋f(2)＋f(3)＋…＋f(50)＝12[f(1)＋f(2)＋f(3)＋f(4)]＋f(49)＋f(50)＝12×0＋f(1)＋f(2)＝2.](1)函數的奇偶性與對稱性的關系①若函數f(x)滿足f(a＋x)＝f(a﹣x)，則其函數圖象關于直線x＝a對稱；當a＝0時可以得出f(x)＝f(﹣x)，函數為偶函數，即偶函數為特殊的線對稱函數.②若函數f(x)滿足f(2a﹣x)＝2b﹣f(x)，則其函數圖象關于點(a，b)對稱；當a＝0，b＝0時得出f(﹣x)＝﹣f(x)，函數為奇函數，即奇函數為特殊的點對稱函數.(2)函數的對稱性與周期性的關系①若函數f(x)關于直線x＝a與直線x＝b對稱，那么函數的周期是2|b﹣a|.②若函數f(x)關于點(a,0)對稱，又關于點(b,0)對稱，那么函數的周期是2|b﹣a|.③若函數f(x)關于直線x＝a對稱，又關于點(b,0)對稱，那么函數的周期是4|b﹣a|.(3)函數的奇偶性、周期性、對稱性的關系eq\x(\A\AL(①函數fx是偶函數；②函數圖象關于直線x＝a對稱；,③函數的周期是2|a|.))eq\x(\A\AL(①函數fx是奇函數；②函數圖象關于點a，0對稱；,③函數的周期是2|a|).)eq\x(\A\AL(①函數fx是奇函數；②函數圖象關于直線x＝a對稱；,③函數的周期是4|a|.))eq\x(\A\AL(①函數fx是偶函數；②函數圖象關于點a，0對稱；,③函數的周期是4|a|.))其中a≠0，上面每組三個結論中的任意兩個能夠推出第三個.[備選例題](1)已知f(x)是定義在R上的偶函數，且f(x＋1)＝﹣f(x)，若f(x)在[﹣1,0]上單調遞減，則f(x)在[1,3]上是()A.增函數B.減函數C.先增后減的函數D.先減后增的函數(2)已知定義在R上的連續(xù)奇函數f(x)滿足f(x﹣4)＝﹣f(x)，且在區(qū)間[0,2]上是增函數，有下列命題：①函數f(x)的圖象關于直線x＝4k＋2(k∈Z)對稱；②函數f(x)的單調遞增區(qū)間為[8k﹣6,8k﹣2](k∈Z)；③函數f(x)在區(qū)間(﹣2018,2018)上恰有1008個極值點；④若關于x的方程f(x)﹣m＝0在區(qū)間[﹣8,8]上有根，則所有根的和可能為0或±4或±8.其中真命題的個數為()A.1B.2C.3D.4(1)D(2)答案為：C.解析：(1)根據題意，因為f(x＋1)＝﹣f(x)，所以f(x＋2)＝﹣f(x＋1)＝f(x)，所以函數f(x)的周期是2.又因為f(x)在定義域R上是偶函數，在[﹣1,0]上是減函數，所以函數f(x)在[0,1]上是增函數，所以函數f(x)在[1,2]上是減函數，在[2,3]上是增函數，所以f(x)在[1,3]上是先減后增的函數，故選D.(2)①正確，∵定義在R上的連續(xù)奇函數f(x)滿足f(x﹣4)＝﹣f(x)，∴f[(x﹣4)﹣4]＝﹣f(x﹣4)＝f(x)，即f(x﹣8)＝f(x)，∴f(x)是以8為周期的周期函數，8k(k∈Z且k≠0)也是其周期.又f(x)為R上的連續(xù)奇函數，由f(x﹣4)＝﹣f(x)，即f(x)＝﹣f(x﹣4)，得f(x)＝f(4﹣x)，∴函數f(x)的一條對稱軸為x＝eq\f(4,2)＝2.又8k(k∈Z且k≠0)是f(x)的周期，∴f(x)＝f(x＋8k)＝f(4﹣x)，∴函數的對稱軸為x＝eq\f(8k＋4,2)＝4k＋2(k∈Z且k≠0).綜上，函數f(x)的圖象關于直線x＝4k＋2(k∈Z)對稱，故①正確；②錯誤，作圖如下：由圖可知，函數f(x)的單調遞減區(qū)間為[8k﹣6,8k﹣2](k∈Z)，故②錯誤；③正確，由圖可知，f(x)在一個周期內有兩個極值點，在區(qū)間(﹣2016,2016)上有504個完整周期，有1008個極值點，在區(qū)間(﹣2018，﹣2016]和[2016,2018)上沒有極值點，故在區(qū)間(﹣2018,2018)上有1008個極值點，③正確；④正確，由圖中m1，m2，m3，m4，m5五條直線可知，關于x的方程f(x)﹣m＝0在區(qū)間[﹣8,8]上有根，則所有根的和可能為0或±4或±8，故④正確.綜上所述，①③④正確，故選C.]1.已知函數f(x)(x∈R)滿足f(﹣x)＝2﹣f(x)，若函數y＝eq\f(x＋1,x)與y＝f(x)圖象的交點為(x1，y1)，(x2，y2)，…，(xm，ym)，則eq\o(∑,\s\up11(m),\s\do4(i＝1))(xi＋yi)＝()A.0B.MC.2mD.4m答案為：B.解析：函數f(x)(x∈R)滿足f(﹣x)＝2﹣f(x)，即f(x)＋f(﹣x)＝2，可得f(x)的圖象關于點(0,1)對稱，函數y＝eq\f(x＋1,x)，即y＝1＋eq\f(1,x)的圖象關于點(0,1)對稱，∴函數y＝eq\f(x＋1,x)與y＝f(x)圖象的交點也關于(0,1)對稱，關于(0,1)對稱的兩個點的橫坐標和為0，縱坐標和為2.當交點不在對稱軸上時，m為偶數，∴eq\o(∑,\s\up11(m),\s\do4(i＝1))(xi＋yi)＝eq\o(∑,\s\up11(m),\s\do4(i＝1))xi＋eq\o(∑,\s\up11(m),\s\do4(i＝1))yi＝0×eq\f(m,2)＋2×eq\f(m,2)＝m；當有交點在對稱軸上時，m為奇數，則eq\o(∑,\s\up11(m),\s\do4(i＝1))(xi＋yi)＝eq\o(∑,\s\up11(m),\s\do4(i＝1))xi＋eq\o(∑,\s\up11(m),\s\do4(i＝1))yi＝0×eq\f(m－1,2)＋0＋2×eq\f(m－1,2)＋1＝m.綜上，eq\o(∑,\s\up11(m),\s\do4(i＝1))(xi＋yi)＝m.]2.已知定義在R上的奇函數f(x)滿足f(x﹣4)＝﹣f(x)，且在區(qū)間[0,2]上是增函數，則()A.f(﹣25)＜f(11)＜f(80)B.f(80)＜f(11)＜f(﹣25)C.f(11)＜f(80)＜f(﹣25)D.f(﹣25)＜f(80)＜f(11)D[因為f(x)滿足f(x﹣4)＝﹣f(x)，所以f(x﹣8)＝f(x)，所以函數f(x)是以8為周期的周期函數，則f(﹣25)＝f(﹣1)，f(80)＝f(0)，f(11)＝f(3).由f(x)是定義在R上的奇函數，且滿足f(x﹣4)＝﹣f(x)，得f(11)＝f(3)＝﹣f(﹣1)＝f(1).因為f(x)在區(qū)間[0,2]上是增函數，f(x)在R上是奇函數，所以f(x)在區(qū)間[﹣2,2]上是增函數，所以f(﹣1)＜f(0)＜f(1)，即f(﹣25)＜f(80)＜f(11).]課外素養(yǎng)提升②數學運算——用活函數性質中的三個結論數學運算是解決數學問題的基本手段，通過運算能夠促進學生數學思維的發(fā)展.通過常見的“二維結論”解決數學問題，可優(yōu)化數學運算的過程，使學生逐步形成規(guī)范化、程序化的思維品質，養(yǎng)成一絲不茍、嚴謹求實的科學精神.奇函數的最值性質已知函數f(x)是定義在區(qū)間D上的奇函數，則對任意的x∈D，都有f(x)＋f(﹣x)＝0.特別地，若奇函數f(x)在D上有最值，則f(x)max＋f(x)min＝0，且若0∈D，則f(0)＝0.【例1】設函數f(x)＝eq\f(x＋12＋sinx,x2＋1)的最大值為M，最小值為m，則M＋m＝____.2[顯然函數f(x)的定義域為R，f(x)＝eq\f(x＋12＋sinx,x2＋1)＝1＋eq\f(2x＋sinx,x2＋1)，設g(x)＝eq\f(2x＋sinx,x2＋1)，則g(﹣x)＝﹣g(x)，∴g(x)為奇函數，由奇函數圖象的對稱性知g(x)max＋g(x)min＝0，∴M＋m＝[g(x)＋1]max＋[g(x)＋1]min＝2＋g(x)max＋g(x)min＝2.]【素養(yǎng)提升練習】已知函數f(x)＝ln(eq\r(1＋9x2)﹣3x)＋1，則f(lg2)＋f(lgeq\f(1,2))＝()A.﹣1B.0C.1D.2答案為：D.解析：設g(x)＝ln(eq\r(1＋9x2)﹣3x)，易知函數的定義域為R，關于原點對稱，∵g(x)＋g(﹣x)＝ln(eq\r(1＋9x2)﹣3x)＋ln(eq\r(1＋9x2)＋3x)＝ln(eq\r(1＋9x2)﹣3x)(eq\r(1＋9x2)＋3x)＝ln1＝0，∴g(x)為奇函數，∴g(lg2)＋g(lgeq\f(1,2))＝g(lg2)＋g(﹣lg2)＝0，又∵f(x)＝g(x)＋1，∴f(lg2)＋f(lgeq\f(1,2))＝g(lg2)＋1＋g(lgeq\f(1,2))＋1＝2.]抽象函數的周期性(1)如果f(x＋a)＝﹣f(x)(a≠0)，那么f(x)是周期函數，其中一個周期T＝2a.(2)如果f(x＋a)＝eq\f(1,fx)(a≠0)，那么f(x)是周期函數，其中的一個周期T＝2a.(3)如果f(x＋a)＋f(x)＝c(a≠0)，那么f(x)是周期函數，其中的一個周期T＝2a.【例2】已知函數f(x)為定義在R上的奇函數，當x≥0時，有f(x＋3)＝﹣f(x)，且當x∈(0,3)時，f(x)＝x＋1，則f(﹣2023)＋f(2024)＝()A.3B.2C.1D.0答案為：C.解析：因為函數f(x)為定義在R上的奇函數，所以f(﹣2023)＝﹣f(2023)，因為當x≥0時，有f(x＋3)＝﹣f(x)，所以f(x＋6)＝﹣f(x＋3)＝f(x)，即當x≥0時，自變量的值每增加6，對應函數值重復出現一次.又當x∈(0,3)時，f(x)＝x＋1，∴f(2023)＝f(336×7＋1)＝f(1)＝2，f(2024)＝f(336×7＋2)＝f(2)＝3.故f(﹣2023)＋f(2024)＝﹣f(2017)＋3＝1.]【素養(yǎng)提升練習】已知f(x)是定義在R上的函數，且滿足f(x＋2)＝﹣eq\f(1,fx)，當2≤x≤3時，f(x)＝x，則f(-eq\f(11,2))＝________.eq\f(5,2)[∵f(x＋2)＝﹣eq\f(1,fx)，∴f(x＋4)＝f(x)，∴f(-eq\f(11,2))＝f(eq\f(5,2))，又2≤x≤3時，f(x)＝x，∴f(eq\f(5,2))＝eq\f(5,2)，∴f(-eq\f(11,2))＝eq\f(5,2).]抽象函數的對稱性已知函數f(x)是定義在R上的函數.(1)若f(a＋x)＝f(b﹣x)恒成立，則y＝f(x)的圖象關于直線x＝eq\f(a＋b,2)對稱，特別地，若f(a＋x)＝f(a﹣x)恒成立，則y＝f(x)的圖象關于直線x＝a對稱.(2)若函數y＝f(x)滿足f(a＋x)＋f(a﹣x)＝0，即f(x)＝﹣f(2a﹣x)，則f(x)的圖象關于點(a,0)對稱.【例3】函數y＝f(x)對任意x∈R都有f(x＋2)＝f(﹣x)成立，且函數y＝f(x﹣1)的圖象關于點(1,0)對稱，f(1)＝4，則f(2020)＋f(2021)＋f(2022)的值為________.4[因為函數y＝f(x﹣1)的圖象關于點(1,0)對稱，所以函數y＝f(x)的圖象關于原點對稱，所以f(x)是R上的奇函數，則f(x＋2)＝f(﹣x)＝﹣f(x)，所以f(x＋4)＝﹣f(x＋2)＝f(x)，故f(x)的周期為4.所以f(2021)＝f(505×4＋1)＝f(1)＝4，所以f(2020)＋f(2022)＝﹣f(2018)＋f(2018＋4)＝﹣f(2018)＋f(2018)＝0，所以f(2020)＋f(2021)＋f(2022)＝4.]【素養(yǎng)提升練習】已知函數f(x)(x∈R)滿足f(x)＝f(2﹣x)，若函數y＝|x2﹣2x﹣3|與y＝f(x)圖象的交點為(x1，y1)，(x2，y2)，…，(xm，ym)，則eq\o(∑,\s\up11(m),\s\do4(i＝1))xi＝()A.0B.mC.2mD.4m答案為：B.解析：∵函數f(x)(x∈R)滿足f(x)＝f(2﹣x)，故函數f(x)的圖象關于直線x＝1對稱，函數y＝|x2﹣2x﹣3|的圖象也關于直線x＝1對稱，故函數y＝|x2﹣2x﹣3|與y＝f(x)圖象的交點也關于直線x＝1對稱，且相互對稱的兩點橫坐標和為2.當f(x)不過點(1,4)時，eq\o(∑,\s\up11(m),\s\do4(i＝1))xi＝eq\f(m,2)×2＝m，當f(x)過點(1,4)時，eq\o(∑,\s\up11(m),\s\do4(i＝1))xi＝eq\f(m－1,2)×2＋1＝m.綜上，eq\o(∑,\s\up11(m),\s\do4(i＝1))xi＝m.]函數性質的綜合問題一、選擇題1.設f(x)是定義在R上周期為2的奇函數，當0≤x≤1時，f(x)＝x2﹣x，則f(-eq\f(5,2))＝()A.﹣eq\f(1,4)B.﹣eq\f(1,2)C.eq\f(1,4)D.eq\f(1,2)答案為：C.解析：因為f(x)是定義在R上周期為2的奇函數，所以f(-eq\f(5,2))＝﹣f(eq\f(5,2))＝﹣f(eq\f(1,2)).又當0≤x≤1時，f(x)＝x2﹣x，所以f(eq\f(1,2))＝(eq\f(1,2))2﹣eq\f(1,2)＝﹣eq\f(1,4)，則f(-eq\f(5,2))＝eq\f(1,4).]2.下列函數中，既是奇函數又在(0，＋∞)上單調遞增的是()A.y＝ex＋e﹣xB.y＝ln(|x|＋1)C.y＝eq\f(sinx,|x|)D.y＝x﹣eq\f(1,x)答案為：D.解析：選項A、B顯然是偶函數，排除；選項C是奇函數，但在(0，＋∞)上不是單調遞增函數，不符合題意；選項D中，y＝x﹣eq\f(1,x)是奇函數，且y＝x和y＝﹣eq\f(1,x)在(0，＋∞)上均為增函數，故y＝x﹣eq\f(1,x)在(0，＋∞)上為增函數，所以選項D正確.]3.已知定義在R上的奇函數f(x)有f(x+eq\f(5,2))＋f(x)＝0，當﹣eq\f(5,4)≤x≤0時，f(x)＝2x＋a，則f(16)的值為()A.eq\f(1,2)B.﹣eq\f(1,2)C.eq\f(3,2)D.﹣eq\f(3,2)答案為：A.解析：由f(x+eq\f(5,2))＋f(x)＝0，得f(x)＝﹣f(x+eq\f(5,2))＝f(x＋5)，∴f(x)是以5為周期的周期函數，∴f(16)＝f(1＋3×5)＝f(1).∵f(x)是R上的奇函數，∴f(0)＝1＋a＝0，∴a＝﹣1.∴當﹣eq\f(5,4)≤x≤0時，f(x)＝2x﹣1，∴f(﹣1)＝2﹣1﹣1＝﹣eq\f(1,2)，∴f(1)＝eq\f(1,2)，∴f(16)＝eq\f(1,2).]4.定義在R上的奇函數f(x)滿足f(x+eq\f(3,2))＝f(x)，當x∈(0,eq\f(1,2)]時，f(x)＝logeq\f(1,2)(1﹣x)，則f(x)在區(qū)間(1,eq\f(3,2))內是()A.減函數且f(x)＞0B.減函數且f(x)＜0C.增函數且f(x)＞0D.增函數且f(x)＜0答案為：D.解析：當x∈(0,eq\f(1,2)]時，由f(x)＝log0.5(1﹣x)可知，f(x)單調遞增且f(x)＞0，又函數f(x)為奇函數，所以f(x)在區(qū)間[-eq\f(1,2),0)上也單調遞增，且f(x)＜0.由f(x+eq\f(3,2))＝f(x)知，函數的周期為eq\f(3,2)，所以在區(qū)間(1,eq\f(3,2))上，函數f(x)單調遞增且f(x)＜0.]5.定義在R上的奇函數f(x)滿足f(x＋2)＝﹣f(x)，且在[0,1]上是減函數，則有()A.f(eq\f(3,2))＜f(-eq\f(1,4))＜f(eq\f(1,4))B.f(eq\f(1,4))＜f(-eq\f(1,4))＜f(eq\f(3,2))C.f(eq\f(3,2))＜f(eq\f(1,4))＜f(-eq\f(1,4))D.f(-eq\f(1,4))＜f(eq\f(3,2))＜f(eq\f(1,4))答案為：C.解析：因為f(x＋2)＝﹣f(x)，所以f(x＋4)＝﹣f(x＋2)＝f(x)，所以函數的周期為4，作出f(x)的草圖，如圖，由圖可知f(eq\f(3,2))＜f(eq\f(1,4))＜f(-eq\f(1,4)).]二、填空題6.已知f(x)是定義在R上的偶函數，且f(x＋4)＝f(x﹣2).若當x∈[﹣3,0]時，f(x)＝6﹣x，則f(919)＝________.6[∵f(x＋4)＝f(x﹣2)，∴f(x＋6)＝f(x)，∴f(x)的周期為6，∵919＝153×6＋1，∴f(919)＝f(1).又f(x)為偶函數，∴f(919)＝f(1)＝f(﹣1)＝6.]7.定義在實數集R上的函數f(x)滿足f(x)＋f(x＋2)＝0，且f(4﹣x)＝f(x).現有以下三個命題：①8是函數f(x)的一個周期；②f(x)的圖象關于直線x＝2對稱；③f(x)是偶函數.其中正確命題的序號是________.①②③.[∵f(x)＋f(x＋2)＝0，∴f(x＋2)＝﹣f(x)，f(x＋4)＝﹣f(x＋2)＝f(x)，∴f(x)的周期為4，故①正確；又f(4﹣x)＝f(x)，所以f(2＋x)＝f(2﹣x)，即f(x)的圖象關于直線x＝2對稱，故②正確；由f(x)＝f(4﹣x)得f(﹣x)＝f(4＋x)＝f(x)，故③正確.]8.已知定義在R上的奇函數y＝f(x)在(0，＋∞)內單調遞增，且f(eq\f(1,2))＝0，則f(x)＞0的解集為________.{x|x＞eq\f(1,2)或﹣eq\f(1,2)＜x＜0}.[由奇函數y＝f(x)在(0，＋∞)內單調遞增，且f(eq\f(1,2))＝0，可知函數y＝f(x)在(﹣∞，0)內單調遞增，且f(﹣eq\f(1,2))＝0.由f(x)＞0，可得x＞eq\f(1,2)或﹣eq\f(1,2)＜x＜0.]三、解答題9.設f(x)是定義域為R的周期函數，最小正周期為2，且f(1＋x)＝f(1﹣x)，當﹣1≤x≤0時，f(x)＝﹣x.(1)判斷f(x)的奇偶性；(2)試求出函數f(x)在區(qū)間[﹣1,2]上的表達式.[解](1)∵f(1＋x)＝f(1﹣x)，∴f(﹣x)＝f(2＋x).又f(x＋2)＝f(x)，∴f(﹣x)＝f(x).又f(x)的定義域為R，∴f(x)是偶函數.(2)當x∈[0,1]時，﹣x∈[﹣1,0]，則f(x)＝f(﹣x)＝x；從而當1≤x≤2時，﹣1≤x﹣2≤0，f(x)＝f(x﹣2)＝﹣(x﹣2)＝﹣x＋2.故f(x)＝eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(－x，x∈[－1，0]，,x，x∈0，1，,－x＋2，x∈[1，2].))10.設函數f(x)是(﹣∞，＋∞)上的奇函數，f(x＋2)＝﹣f(x)，當0≤x≤1時，f(x)＝x.(1)求f(π)的值；(2)當﹣4≤x≤4時，求函數f(x)的圖象與x軸所圍成圖形的面積.[解](1)由f(x＋2)＝﹣f(x)得，f(x＋4)＝f[(x＋2)＋2]＝﹣f(x＋2)＝f(x)，所以f(x)是以4為周期的周期函數，所以f(π)＝f(﹣1×4＋π)＝f(π﹣4)＝﹣f(4﹣π)＝﹣(4﹣π)＝π﹣4.(2)由f(x)是奇函數且f(x＋2)＝﹣f(x)，得f[(x﹣1)＋2]＝﹣f(x﹣1)＝f[﹣(x﹣1)]，即f(1＋x)＝f(1﹣x).故函數y＝f(x)的圖象關于直線x＝1對稱.又當0≤x≤1時，f(x)＝x，且f(x)的圖象關于原點成中心對稱，則f(x)的圖象如圖所示.當﹣4≤x≤4時，設f(x)的圖象與x軸圍成的圖形面積為S，則S＝4S△OAB＝4×(eq\f(1,2)×2×1)＝4.1.已知定義域為R的偶函數f(x)在(﹣∞，0]上是減函數，且f(1)＝2，則不等式f(log2x)＞2的解集為()A.(2，＋∞)B.(0,eq\f(1,2))∪(2，＋∞)C.(0,eq\f(\r(2),2))∪(eq\r(2)，＋∞)D.(eq\r(2)，＋∞)答案為：B.解析：f(x)是R上的偶函數，且在(﹣∞，0]上是減函數，所以f(x)在[0，＋∞)上是增函數，因為f(1)＝2，所以f(﹣1)＝2，所以f(log2x)＞2?f(|log2x|)＞f(1)?|log2x|＞1?log2x＞1或log2x＜﹣1?x＞2或0＜x＜eq\f(1,2).故選B.]2.已知函數y＝f(x)的定義域為R，且滿足下列三個條件：①對任意的x1，x2∈[4,8]，當x1＜x2時，都有eq\f(fx1－fx2,x1－x2)＞0恒成立；②f(x＋4)＝﹣f(x)；③y＝f(x＋4)是偶函數.若a＝f(7)，b＝f(11)，c＝f(2026)，則a，b，c的大小關系正確的是()A.a＜b＜cB.b＜c＜aC.a＜c＜bD.c＜b＜a答案為：B.解析：由①知函數f(x)在區(qū)間[4,8]上為單調遞增函數；由②知f(x＋8)＝﹣f(x＋4)＝f(x)，即函數f(x)的周期為8，所以c＝f(2026)＝f(253×8＋2)＝f(2)，b＝f(11)＝f(3)；由③可知函數f(x)的圖象關于直線x＝4對稱，所以b＝f(3)＝f(5)，c＝f(2)＝f(6).因為函數f(x)在區(qū)間[4,8]上為單調遞增函數，所以f(5)＜f(6)＜f(7)，即b＜c＜a，故選B.]3.定義在R上的函數f(x)滿足f(x＋y)＝f(x)＋f(y)，f(x＋2)＝﹣f(x)且f(x)在[﹣1,0]上是增函數，給出下列幾個命題：①f(x)是周期函數；②f(x)的圖象關于x＝1對稱；③f(x)在[1,2]上是減函數；④f(2)＝f(0)，其中正確命題的序號是________(請把正確命題的序號全部寫出來).①②③④.[因為f(x＋y)＝f(x)＋f(y)對任意x，y∈R恒成立.令x＝y(tǒng)＝0，所以f(0)＝0.令x＋y＝0，所以y＝﹣x，所以f(0)＝f(x)＋f(﹣x).所以f(﹣x)＝﹣f(x)，所以f(x)為奇函數.因為f(x)在x∈[﹣1,0]上為增函數，又f(x)為奇函數，所以f(x)在[0,1]上為增函數.由f(x＋2)＝﹣f(x)?f(x＋4)＝﹣f(x＋2)?f(x＋4)＝f(x)，所以周期T＝4，即f(x)為周期函數.f(x＋2)＝﹣f(x)?f(﹣x＋2)＝﹣f(﹣x).又因為f(x)為奇函數.所以f(2﹣x)＝f(x)，所以函數關于x＝1對稱.由f(x)在[0,1]上為增函數，又關于x＝1對稱，所以f(x)在[1,2]上為減函數.由f(x＋2)＝﹣f(x)，令x＝0得f(2)＝﹣f(0)＝f(0).]4.已知函數y＝