統(tǒng)考版2024屆高考數(shù)學(xué)一輪復(fù)習(xí)第四章4.7解三角形應(yīng)用舉例課時作業(yè)理含解析20230426180課時作業(yè)25解三角形應(yīng)用舉例[基礎(chǔ)達(dá)標(biāo)]一、選擇題1．如圖所示，為了測量某湖泊兩側(cè)A，B間的距離，李寧同學(xué)首先選定了與A，B不共線的一點(diǎn)C(△ABC的角A，B，C所對的邊分別記為a，b，c)，然后給出了三種測量方案：①測量A，C，b；②測量a，b，C；③測量A，B，a.則一定能確定A，B間的距離的所有方案的序號為()A．①②B．②③C．①③D．①②③2．[2021·武漢三中月考]如圖，兩座燈塔A和B與海岸觀察站C的距離相等，燈塔A在觀察站C南偏西40°方向上，燈塔B在觀察站C南偏東60°方向上，則燈塔A在燈塔B的()A．北偏東10°方向上B．北偏西10°方向上C．南偏東80°方向上D．南偏西80°方向上3．一艘船以每小時15km的速度向東航行，船在A處看到一個燈塔M在北偏東60°方向，行駛4h后，船到達(dá)B處，看到這個燈塔在北偏東15°方向，這時船與燈塔的距離為()A．15eq\r(2)kmB．30eq\r(2)kmC．45eq\r(2)kmD．60eq\r(2)km4．[2021·河南豫西名校聯(lián)考]當(dāng)太陽光與水平面的傾斜角為60°時，一根長為2m的竹竿如圖所示放置，要使安的影子最長，則竹竿與地面所成的角為()A．30°B．60°C．45°D．90°5．要測量底部不能到達(dá)的東方明珠電視塔的高度，在黃浦江西岸選擇甲、乙兩觀測點(diǎn)，在甲、乙兩點(diǎn)測得塔頂?shù)难鼋欠謩e為45°，30°，在水平面上測得電視塔與甲地連線及甲、乙兩地連線所成的角為120°，甲、乙兩地相距500m，則電視塔的高度是()A．100eq\r(2)mB．400mC．200eq\r(3)mD．500m二、填空題6.如圖所示，D，C，B三點(diǎn)在地面的同一條直線上，DC＝a，從C，D兩點(diǎn)測得A點(diǎn)的仰角分別為60°，30°，則A點(diǎn)離地面的高度AB＝________.7.如圖，為了測量兩座山峰上P，Q兩點(diǎn)之間的距離，選擇山坡上一段長度為300eq\r(3)m且和P，Q兩點(diǎn)在同一平面內(nèi)的路段AB的兩個端點(diǎn)作為觀測點(diǎn)，現(xiàn)測得∠PAB＝90°，∠PAQ＝∠PBA＝∠PBQ＝60°，則P，Q兩點(diǎn)間的距離為________m.8．[2021·南昌市模擬]已知臺風(fēng)中心位于城市A東偏北α(α為銳角)度的150公里處，以v公里/時沿正西方向快速移動，2.5小時后到達(dá)距城市A西偏北β(β為銳角)度的200公里處，若cos(α－β)＝eq\f(24,25)，則v＝________.三、解答題9．漁政船在東海某海域巡航，已知該船正以15eq\r(3)海里/時的速度向正北方向航行，該船在A點(diǎn)處時發(fā)現(xiàn)在北偏東30°方向的海面上有一個小島，繼續(xù)航行20分鐘到達(dá)B點(diǎn)，此時發(fā)現(xiàn)該小島在北偏東60°方向上，若該船向正北方向繼續(xù)航行，船與小島的最小距離為多少海里？10.已知在東西方向上有M，N兩座小山，山頂各有一個發(fā)射塔A，B，塔頂A，B的海拔高度分別為AM＝100米和BN＝200米，一測量車在小山M的正南方向的點(diǎn)P處測得發(fā)射塔頂A的仰角為30°，該測量車向北偏西60°方向行駛了100eq\r(3)米后到達(dá)點(diǎn)Q，在點(diǎn)Q處測得發(fā)射塔頂B處的仰角為θ，且∠BQA＝θ，經(jīng)測量tanθ＝2，求兩發(fā)射塔頂A，B之間的距離．[能力挑戰(zhàn)]11．[2021·江西南昌模擬]如圖，D是△ABC邊AC上的一點(diǎn)，△BCD的面積是△ABD面積的2倍，∠CBD＝2∠ABD＝2θ.(1)若θ＝eq\f(π,6)，求eq\f(sinA,sinC)的值；(2)若BC＝4，AB＝2eq\r(2)，求邊AC的長．課時作業(yè)251．解析：知兩角一邊可用正弦定理解三角形，故方案①③可以確定A，B間的距離，知兩邊及其夾角可用余弦定理解三角形，故方案②可以確定A，B間的距離．答案：D2．解析：由條件及題圖可知，∠A＝∠ABC＝40°，因?yàn)椤螧CD＝60°，所以∠CBD＝30°，所以∠DBA＝10°，因此燈塔A在燈塔B南偏西80°方向上．答案：D3．解析：如圖所示，依題意有AB＝15×4＝60，∠DAC＝60°，∠CBM＝15°，所以∠MAB＝30°，∠AMB＝45°.在△AMB中，由正弦定理得eq\f(60,sin45°)＝eq\f(BM,sin30°)，解得BM＝30eq\r(2).故選B項(xiàng)答案：B4．解析：設(shè)竹竿與地面所成的角為α，影子長為xm．由正弦定理得eq\f(2,sin60°)＝eq\f(x,sin120°－α)，所以x＝eq\f(4\r(3),3)sin(120°－α)，因?yàn)?0°<120°－α<120°，所以當(dāng)120°－α＝90°，即α＝30°時，x有最大值．故竹竿與地面所成的角為30°時，影子最長．故選A項(xiàng)．答案：A5．解析：由題意畫出示意圖，設(shè)塔高AB＝hm，在Rt△ABC中，由已知得BC＝hm，在Rt△ABD中，由已知得BD＝eq\r(3)hm，在△BCD中，由余弦定理BD2＝BC2＋CD2－2BC·CDcos∠BCD，得3h2＝h2＋5002＋h·500，解得h＝500m．故選D項(xiàng)．答案：D6．解析：由已知∠DAC＝30°，△ADC為等腰三角形，AD＝eq\r(3)a，所以在Rt△ADB中，AB＝eq\f(1,2)AD＝eq\f(\r(3),2)a.答案：eq\f(\r(3),2)a7．解析：由已知，得∠QAB＝∠PAB－∠PAQ＝30°.又∠PBA＝∠PBQ＝60°，∴∠AQB＝30°，∴AB＝BQ.又PB為公共邊，∴△PAB≌△PQB，∴PQ＝PA.在Rt△PAB中，AP＝AB·tan60°＝900(m)，故PQ＝900m，∴P，Q兩點(diǎn)間的距離為900m.答案：9008．解析：如圖所示，AB＝150，AC＝200，根據(jù)題意可知∠B＝α，∠C＝β，因?yàn)閏os(α－β)＝eq\f(24,25)，所以sin(α－β)＝eq\r(1－\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(24,25)))2)＝eq\f(7,25).在三角形ABC中，由正弦定理eq\f(AB,sinC)＝eq\f(AC,sinB)，得eq\f(150,sinβ)＝eq\f(200,sinα)，得4sinβ＝3sinα，所以4sinβ＝3sin[β＋(α－β)]＝3[sinβcos(α－β)＋cosβsin(α－β)]＝3eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(24,25)sinβ＋\f(7,25)cosβ))，整理得4sinβ＝3cosβ.又sin2β＋cos2β＝1，所以sinβ＝eq\f(3,5)，進(jìn)而sinα＝eq\f(4,5)，所以有sin2α＋sin2β＝1，所以α＝90°－β，所以∠BAC＝180°－(α＋β)＝90°，所以BC＝eq\r(AB2＋AC2)＝eq\r(1502＋2002)＝250，故v＝eq\f(250,2.5)＝100.答案：1009．解析：根據(jù)題意畫出相應(yīng)的圖形，如圖所示，過C作CD⊥AD于點(diǎn)D，由題意得：AB＝eq\f(20,60)×15eq\r(3)＝5eq\r(3)(海里)因?yàn)椤螦＝30°，∠CBD＝60°，所以∠BCA＝30°，則△ABC為等腰三角形，所以BC＝5eq\r(3).在△BCD中，因?yàn)椤螩BD＝60°，CD⊥AD，BC＝5eq\r(3)，所以CD＝eq\f(15,2)，則該船向北繼續(xù)航行，船與小島的最小距離為7.5海里．10．解析：在Rt△AMP中，∠APM＝30°，AM＝100，所以PM＝100eq\r(3)，連接QM，在△PQM中，∠QPM＝60°，又PQ＝100eq\r(3)，所以△PQM為等邊三角形，所以QM＝100eq\r(3).在Rt△AMQ中，由AQ2＝AM2＋QM2，得AQ＝200.在Rt△BNQ中，tanθ＝2，BN＝200，所以BQ＝100eq\r(5)，cosθ＝eq\f(\r(5),5).在△BQA中，BA2＝BQ2＋AQ2－2BQ·AQcosθ＝(100eq\r(5))2，所以BA＝100eq\r(5).即兩發(fā)射塔頂A，B之間的距離是100eq\r(5)米．11．解析：因?yàn)椤鰾CD的面積是△ABD面積的2倍，∠CBD＝2∠ABD＝eq\f(π,3)，所以eq\f(1,2)BC·BDsineq\f(π,3)＝2×eq\f(1,2)BA·BDsineq\f(π,6)，所以eq\f(BC,BA)＝eq\f(2,\r(3))，則eq\f(sinA,sinC)＝eq\f(2,\r(3))＝eq\f(2\r(3),3).(2)因?yàn)閑q\f(1,2)BC·BDsin2θ＝2×eq\f(1,2)BA·BDsinθ，所以4×2sinθcosθ＝2×2eq\r(2)sinθ，又sinθ>0，所以cosθ＝eq\f(\r(2),2)，所以θ＝eq\f(π,4)，∠ABC＝3θ＝eq\f(3π,4)，所以AC2＝16＋8－2×4×2eq\r(2)×eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－\f(\r(2),2)))＝40，所以AC＝2eq\r(10).課時作業(yè)26平面向量的概念及其線性運(yùn)算[基礎(chǔ)達(dá)標(biāo)]一、選擇題1．[2021·山西太原月考]化簡eq\o(AB,\s\up6(→))－eq\o(AC,\s\up6(→))－eq\o(BC,\s\up6(→))＝()A．2eq\o(BC,\s\up6(→))B．0C．－2eq\o(BC,\s\up6(→))D．2eq\o(AC,\s\up6(→))2．向量a，b，c在正方形網(wǎng)格中的位置如圖所示．若向量λa＋b與c共線，則實(shí)數(shù)λ等于()A．－2B．－1C．1D．23．設(shè)a是非零向量，λ是非零實(shí)數(shù)，下列結(jié)論中正確的是()A．a(chǎn)與λa的方向相反B．a(chǎn)與λ2a的方向相同C．|－λa|≥|a|D．|－λa|≥|λ|·a4．[2021·山東省師大附中模擬]設(shè)a，b是非零向量，則a＝2b是eq\f(a,|a|)＝eq\f(b,|b|)成立的()A．充要條件B．充分不必要條件C．必要不充分條件D．既不充分也不必要條件5．已知向量eq\o(AB,\s\up6(→))＝a＋3b，eq\o(BC,\s\up6(→))＝5a＋3b，eq\o(CD,\s\up6(→))＝－3a＋3b，則()A．A，B，C三點(diǎn)共線B．A，B，D三點(diǎn)共線C．A，C，D三點(diǎn)共線D．B，C，D三點(diǎn)共線6．[2021·山東威海模擬]設(shè)a，b不共線，eq\o(AB,\s\up6(→))＝2a＋pb，eq\o(BC,\s\up6(→))＝a＋b，eq\o(CD,\s\up6(→))＝a－2b，若A，B，D三點(diǎn)共線，則實(shí)數(shù)p的值為()A．－2B．－1C．1D．27．[2021·河北衡水中學(xué)月考]設(shè)D為△ABC所在平面內(nèi)一點(diǎn)，且eq\o(BC,\s\up6(→))＝3eq\o(CD,\s\up6(→))，則()A.eq\o(AD,\s\up6(→))＝－eq\f(1,3)eq\o(AB,\s\up6(→))＋eq\f(4,3)eq\o(AC,\s\up6(→))B.eq\o(AD,\s\up6(→))＝eq\f(1,3)eq\o(AB,\s\up6(→))－eq\f(4,3)eq\o(AC,\s\up6(→))C.eq\o(AD,\s\up6(→))＝eq\f(4,3)eq\o(AB,\s\up6(→))＋eq\f(1,3)eq\o(AC,\s\up6(→))D.eq\o(AD,\s\up6(→))＝eq\f(4,3)eq\o(AB,\s\up6(→))－eq\f(1,3)eq\o(AC,\s\up6(→))8.[2021·云南師大附中月考]在平行四邊形ABCD中，F(xiàn)是BC的中點(diǎn)，eq\o(CE,\s\up6(→))＝－2eq\o(DE,\s\up6(→))，若eq\o(EF,\s\up6(→))＝xeq\o(AB,\s\up6(→))＋yeq\o(AD,\s\up6(→))，則x＋y＝()A．1B．6C.eq\f(1,6)D.eq\f(1,3)9．[2021·四川江油中學(xué)模擬]如圖，AB是圓O的一條直徑，C，D為半圓弧的兩個三等分點(diǎn)，則eq\o(AB,\s\up6(→))＝()A.eq\o(AC,\s\up6(→))－eq\o(AD,\s\up6(→))B．2eq\o(AC,\s\up6(→))－2eq\o(AD,\s\up6(→))C.eq\o(AD,\s\up6(→))－eq\o(AC,\s\up6(→))D．2eq\o(AD,\s\up6(→))－2eq\o(AC,\s\up6(→))10.設(shè)點(diǎn)M是△ABC所在平面內(nèi)一點(diǎn)，則下列說法不正確的是()A．若eq\o(AM,\s\up6(→))＝eq\f(1,2)eq\o(AB,\s\up6(→))＋eq\f(1,2)eq\o(AC,\s\up6(→))，則點(diǎn)M是邊BC的中點(diǎn)B．若eq\o(AM,\s\up6(→))＝2eq\o(AB,\s\up6(→))－eq\o(AC,\s\up6(→))，則點(diǎn)M在邊BC的延長線上C．若eq\o(AM,\s\up6(→))＝－eq\o(BM,\s\up6(→))－eq\o(CM,\s\up6(→))，則點(diǎn)M是△ABC的重心D．若eq\o(AM,\s\up6(→))＝xeq\o(AB,\s\up6(→))＋yeq\o(AC,\s\up6(→))，且x＋y＝eq\f(1,2)，則△MBC的面積是△ABC面積的eq\f(1,2)二、填空題11．若|eq\o(AB,\s\up6(→))|＝|eq\o(AC,\s\up6(→))|＝|eq\o(AB,\s\up6(→))－eq\o(AC,\s\up6(→))|＝2，則|eq\o(AB,\s\up6(→))＋eq\o(AC,\s\up6(→))|＝________.12．已知e1，e2為平面內(nèi)兩個不共線的向量，eq\o(MN,\s\up6(→))＝2e1－3e2，eq\o(NP,\s\up6(→))＝λe1＋6e2，若M，N，P三點(diǎn)共線，則λ＝________.13．如圖，正方形ABCD中，E為DC的中點(diǎn)，若eq\o(AB,\s\up6(→))＝λeq\o(AC,\s\up6(→))＋μeq\o(AE,\s\up6(→))，則λ＋μ的值為________．14．在△ABC中，N是AC邊上一點(diǎn)且eq\o(AN,\s\up6(→))＝eq\f(1,2)eq\o(NC,\s\up6(→))，P是BN上一點(diǎn)，若eq\o(AP,\s\up6(→))＝meq\o(AB,\s\up6(→))＋eq\f(2,9)eq\o(AC,\s\up6(→))，則實(shí)數(shù)m的值是________．[能力挑戰(zhàn)]15．已知O，A，B三點(diǎn)不共線，P為該平面內(nèi)一點(diǎn)，且eq\o(OP,\s\up6(→))＝eq\o(OA,\s\up6(→))＋eq\f(\o(AB,\s\up6(→)),|\o(AB,\s\up6(→))|)，則()A．點(diǎn)P在線段AB上B．點(diǎn)P在線段AB的延長線上C．點(diǎn)P在線段AB的反向延長線上D．點(diǎn)P在射線AB上16．莊嚴(yán)美麗的國旗和國徽上的五角星是革命和光明的象征．正五角星是一個非常優(yōu)美的幾何圖形，且與黃金分割有著密切的聯(lián)系．在如圖所示的正五角星中，以P，Q，R，S，T為頂點(diǎn)的多邊形為正五邊形，且eq\f(PT,AT)＝eq\f(\r(5)－1,2).下列關(guān)系中正確的是()A.eq\o(BP,\s\up6(→))－eq\o(TS,\s\up6(→))＝eq\f(\r(5)＋1,2)eq\o(RS,\s\up6(→))B.eq\o(CQ,\s\up6(→))＋eq\o(TP,\s\up6(→))＝eq\f(\r(5)＋1,2)eq\o(TS,\s\up6(→))C.eq\o(ES,\s\up6(→))－eq\o(AP,\s\up6(→))＝eq\f(\r(5)－1,2)eq\o(BQ,\s\up6(→))D.eq\o(AT,\s\up6(→))＋eq\o(BQ,\s\up6(→))＝eq\f(\r(5)－1,2)eq\o(CR,\s\up6(→))17．[2021·唐山模擬]在直角梯形ABCD中，∠A＝90°，∠B＝30°，AB＝2eq\r(3)，BC＝2，點(diǎn)E在線段CD上，若eq\o(AE,\s\up6(→))＝eq\o(AD,\s\up6(→))＋μeq\o(AB,\s\up6(→))，則μ的取值范圍是________．課時作業(yè)261．解析：依題意得eq\o(AB,\s\up6(→))－eq\o(AC,\s\up6(→))－eq\o(BC,\s\up6(→))＝eq\o(CB,\s\up6(→))－eq\o(BC,\s\up6(→))＝－2eq\o(BC,\s\up6(→)).故選C項(xiàng)．答案：C2．解析：由題中所給圖象可得，2a＋b＝c，又c＝μ(λa＋b)，所以λ＝2.故選D.答案：D3．解析：對于A，當(dāng)λ>0時，a與λa的方向相同，當(dāng)λ<0時，a與λa的方向相反；B正確；對于C，|－λa|＝|－λ||a|，由于|－λ|的大小不確定，故|－λa|與|a|的大小關(guān)系不確定；對于D，|λ|a是向量，而|－λa|表示長度，兩者不能比較大小．答案：B4．解析：由a＝2b可知，a，b方向相同，eq\f(a,|a|)，eq\f(b,|b|)表示a，b方向上的單位向量，所以eq\f(a,|a|)＝eq\f(b,|b|)成立；反之不成立．故選B.答案：B5．解析：∵eq\o(BD,\s\up6(→))＝eq\o(BC,\s\up6(→))＋eq\o(CD,\s\up6(→))＝2a＋6b＝2eq\o(AB,\s\up6(→))，∴eq\o(BD,\s\up6(→))與eq\o(AB,\s\up6(→))共線，由于eq\o(BD,\s\up6(→))與eq\o(AB,\s\up6(→))有公共點(diǎn)B，因此A，B，D三點(diǎn)共線，故選B.答案：B6．解析：因?yàn)閑q\o(BC,\s\up6(→))＝a＋b，eq\o(CD,\s\up6(→))＝a－2b，所以eq\o(BD,\s\up6(→))＝eq\o(BC,\s\up6(→))＋eq\o(CD,\s\up6(→))＝2a－b.又因?yàn)锳，B，D三點(diǎn)共線，所以eq\o(AB,\s\up6(→))，eq\o(BD,\s\up6(→))共線．設(shè)eq\o(AB,\s\up6(→))＝λeq\o(BD,\s\up6(→))，所以2a＋pb＝λ(2a－b)，所以2＝2λ，p＝－λ，即λ＝1，p＝－1.答案：B7．解析：由題意得eq\o(AD,\s\up6(→))＝eq\o(AC,\s\up6(→))＋eq\o(CD,\s\up6(→))＝eq\o(AC,\s\up6(→))＋eq\f(1,3)eq\o(BC,\s\up6(→))＝eq\o(AC,\s\up6(→))＋eq\f(1,3)eq\o(AC,\s\up6(→))－eq\f(1,3)eq\o(AB,\s\up6(→))＝－eq\f(1,3)eq\o(AB,\s\up6(→))＋eq\f(4,3)eq\o(AC,\s\up6(→))，故選A項(xiàng)．答案：A8．解析：因?yàn)樗倪呅蜛BCD是平行四邊形，所以eq\o(AB,\s\up6(→))＝eq\o(DC,\s\up6(→))，eq\o(AD,\s\up6(→))＝eq\o(BC,\s\up6(→))，因?yàn)閑q\o(CE,\s\up6(→))＝－2eq\o(DE,\s\up6(→))，所以eq\o(ED,\s\up6(→))＝－eq\f(1,3)eq\o(DC,\s\up6(→))＝－eq\f(1,3)eq\o(AB,\s\up6(→))，所以eq\o(EF,\s\up6(→))＝eq\o(ED,\s\up6(→))－eq\o(AD,\s\up6(→))＋eq\o(AB,\s\up6(→))＋eq\o(BF,\s\up6(→))＝－eq\f(1,3)eq\o(AB,\s\up6(→))－eq\o(AD,\s\up6(→))＋eq\o(AB,\s\up6(→))＋eq\f(1,2)eq\o(BC,\s\up6(→))＝eq\f(2,3)eq\o(AB,\s\up6(→))－eq\f(1,2)eq\o(AD,\s\up6(→))，又因?yàn)閑q\o(EF,\s\up6(→))＝xeq\o(AB,\s\up6(→))＋yeq\o(AD,\s\up6(→))，所以x＝eq\f(2,3)，y＝－eq\f(1,2)，所以x＋y＝eq\f(1,6).答案：C9．解析：連接CD.∵C，D是半圓弧的兩個三等分點(diǎn)，∴CD∥AB，且AB＝2CD.∴eq\o(AB,\s\up6(→))＝2eq\o(CD,\s\up6(→))＝2(eq\o(AD,\s\up6(→))－eq\o(AC,\s\up6(→)))＝2eq\o(AD,\s\up6(→))－2eq\o(AC,\s\up6(→))，故選D.答案：D10．解析：若eq\o(AM,\s\up6(→))＝eq\f(1,2)eq\o(AB,\s\up6(→))＋eq\f(1,2)eq\o(AC,\s\up6(→))，則點(diǎn)M是邊BC的中點(diǎn)，故A正確；若eq\o(AM,\s\up6(→))＝2eq\o(AB,\s\up6(→))－eq\o(AC,\s\up6(→))，即有eq\o(AM,\s\up6(→))－eq\o(AB,\s\up6(→))＝eq\o(AB,\s\up6(→))－eq\o(AC,\s\up6(→))，即eq\o(BM,\s\up6(→))＝eq\o(CB,\s\up6(→))，則點(diǎn)M在邊CB的延長線上，故B錯誤；若eq\o(AM,\s\up6(→))＝－eq\o(BM,\s\up6(→))－eq\o(CM,\s\up6(→))，即eq\o(AM,\s\up6(→))＋eq\o(BM,\s\up6(→))＋eq\o(CM,\s\up6(→))＝0，則點(diǎn)M是△ABC的重心，故C正確；如圖，eq\o(AM,\s\up6(→))＝xeq\o(AB,\s\up6(→))＋yeq\o(AC,\s\up6(→))，且x＋y＝eq\f(1,2)，可得2eq\o(AM,\s\up6(→))＝2xeq\o(AB,\s\up6(→))＋2yeq\o(AC,\s\up6(→))，設(shè)eq\o(AN,\s\up6(→))＝2eq\o(AM,\s\up6(→))，則M為AN的中點(diǎn)，則△MBC的面積是△ABC面積的eq\f(1,2)，故D正確．故選B.答案：B11．解析：因?yàn)閨eq\o(AB,\s\up6(→))|＝|eq\o(AC,\s\up6(→))|＝|eq\o(AB,\s\up6(→))－eq\o(AC,\s\up6(→))|＝2，所以△ABC是邊長為2的正三角形，所以|eq\o(AB,\s\up6(→))＋eq\o(AC,\s\up6(→))|為△ABC的邊BC上的高的2倍，所以|eq\o(AB,\s\up6(→))＋eq\o(AC,\s\up6(→))|＝2eq\r(3).答案：2eq\r(3)12．解析：因?yàn)镸，N，P三點(diǎn)共線，所以存在實(shí)數(shù)k使得eq\o(MN,\s\up6(→))＝keq\o(NP,\s\up6(→))，所以2e1－3e2＝k(λe1＋6e2)，又e1，e2為平面內(nèi)兩個不共線的向量，可得eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(2＝kλ，,－3＝6k，))解得λ＝－4.答案：－413．解析：在△AEC中，eq\o(EC,\s\up6(→))＝eq\o(AC,\s\up6(→))－eq\o(AE,\s\up6(→))，所以eq\f(1,2)eq\o(AB,\s\up6(→))＝eq\o(AC,\s\up6(→))－eq\o(AE,\s\up6(→))，所以eq\o(AB,\s\up6(→))＝2eq\o(AC,\s\up6(→))－2eq\o(AE,\s\up6(→))，所以λ＝2，μ＝－2，λ＋μ＝0.答案：014．解析：因?yàn)閑q\o(AN,\s\up6(→))＝eq\f(1,2)eq\o(NC,\s\up6(→))，所以eq\o(AN,\s\up6(→))＝eq\f(1,3)eq\o(AC,\s\up6(→))，所以eq\o(AP,\s\up6(→))＝meq\o(AB,\s\up6(→))＋eq\f(2,9)eq\o(AC,\s\up6(→))＝meq\o(AB,\s\up6(→))＋eq\f(2,3)eq\o(AN,\s\up6(→))，因?yàn)镻是BN上一點(diǎn)，所以B，P，N三點(diǎn)共線，所以m＋eq\f(2,3)＝1，則m＝eq\f(1,3).答案：eq\f(1,3)15．解析：由eq\o(OP,\s\up6(→))＝eq\o(OA,\s\up6(→))＋eq\f(\o(AB,\s\up6(→)),|\o(AB,\s\up6(→))|)得eq\o(OP,\s\up6(→))－eq\o(OA,\s\up6(→))＝eq\f(\o(AB,\s\up6(→)),|\o(AB,\s\up6(→))|)，所以eq\o(AP,\s\up6(→))＝eq\f(1,|\o(AB,\s\up6(→))|)·eq\o(AB,\s\up6(→))，所以點(diǎn)P在射線AB上．答案：D16．解析：由已知，eq\o(BP,\s\up6(→))－eq\o(TS,\s\up6(→))＝eq\o(TE,\s\up6(→))－eq\o(TS,\s\up6(→))＝eq\o(SE,\s\up6(→))＝eq\f(\o(RS,\s\up6(→)),\f(\r(5)－1,2))＝eq\f(\r(5)＋1,2)eq\o(RS,\s\up6(→))，所以A正確；eq\o(CQ,\s\up6(→))＋eq\o(TP,\s\up6(→))＝eq\o(PA,\s\up6(→))＋eq\o(TP,\s\up6(→))＝eq\o(TA,\s\up6(→))＝eq\f(\r(5)＋1,2)eq\o(ST,\s\up6(→))，所以B錯誤；eq\o(ES,\s\up6(→))－eq\o(AP,\s\up6(→))＝eq\o(RC,\s\up6(→))－eq\o(QC,\s\up6(→))＝eq\o(RQ,\s\up6(→))＝eq\f(\r(5)－1,2)eq\o(QB,\s\up6(→))，所以C錯誤；eq\o(AT,\s\up6(→))＋eq\o(BQ,\s\up6(→))＝eq\o(SD,\s\up6(→))＋eq\o(RD,\s\up6(→))，eq\f(\r(5)－1,2)eq\o(CR,\s\up6(→))＝eq\o(RS,\s\up6(→))＝eq\o(RD,\s\up6(→))－eq\o(SD,\s\up6(→))，若eq\o(AT,\s\up6(→))＋eq\o(BQ,\s\up6(→))＝eq\f(\r(5)－1,2)eq\o(CR,\s\up6(→))，則eq\o(SD,\s\up6(→))＝0，不合題意，所以D錯誤．答案：A17．解析：由已知AD＝1，CD＝eq\r(3)，所以eq\o(AB,\s\up6(→))＝2eq\o(DC,\s\up6(→)).因?yàn)辄c(diǎn)E在線段CD上，所以eq\o(DE,\s\up6(→))＝λeq\o(DC,\s\up6(→))(0≤λ≤1)．因?yàn)閑q\o(AE,\s\up6(→))＝eq\o(AD,\s\up6(→))＋eq\o(DE,\s\up6(→))，又eq\o(AE,\s\up6(→))＝eq\o(AD,\s\up6(→))＋μeq\o(AB,\s\up6(→))＝eq\o(AD,\s\up6(→))＋2μeq\o(DC,\s\up6(→))＝eq\o(AD,\s\up6(→))＋eq\f(2μ,λ)eq\o(DE,\s\up6(→))，所以eq\f(2μ,λ)＝1，即μ＝eq\f(λ,2).因?yàn)?≤λ≤1，所以0≤μ≤eq\f(1,2).答案：eq\b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\co1(0，\f(1,2)))課時作業(yè)27平面向量基本定理及坐標(biāo)表示[基礎(chǔ)達(dá)標(biāo)]一、選擇題1．[2021·山東臨沂聯(lián)考]若eq\o(AC,\s\up6(→))＝(1,2)，eq\o(BC,\s\up6(→))＝(1,0)，則eq\o(AB,\s\up6(→))＝()A．(2,2)B．(2,0)C．(0,2)D．(0，－2)2．如圖，在△AOB中，P為線段AB上的一點(diǎn)，eq\o(OP,\s\up6(→))＝xeq\o(OA,\s\up6(→))＋yeq\o(OB,\s\up6(→))，且eq\o(BP,\s\up6(→))＝2eq\o(PA,\s\up6(→))，則()A．x＝eq\f(2,3)，y＝eq\f(1,3)B．x＝eq\f(1,3)，y＝eq\f(2,3)C．x＝eq\f(1,4)，y＝eq\f(3,4)D．x＝eq\f(3,4)，y＝eq\f(1,4)3．[2021·山東濟(jì)南調(diào)研]已知向量a＝(2,3)，b＝(－1,2)，若ma＋b與a－2b共線，則m的值為()A．2B．－2C.eq\f(1,2)D．－eq\f(1,2)4．已知向量a＝(1,2)，b＝(1,0)，c＝(3,4)．若λ為實(shí)數(shù)，(a＋λb)∥c，則λ＝()A.eq\f(1,4)B.eq\f(1,2)C．1D．25．已點(diǎn)A(0,1)，B(3,2)，C(2，k)，且A，B，C三點(diǎn)共線，則向量eq\o(AC,\s\up6(→))＝()A.eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(2，\f(2,3)))B.eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(2，\f(5,3)))C.eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(2,3)，2))D.eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(5,3)，2))二、填空題6．[2021·廣州市高中綜合測試]已知向量a＝(m,2)，b＝(1,1)，若|a＋b|＝|a|＋|b|，則實(shí)數(shù)m＝________.7．[2021·天津二十四中月考]已知向量p＝(2，－3)，q＝(x,6)，且p∥q，則|p＋q|的值為________．8．[2021·石家莊檢測]平行四邊形ABCD中，M為BC的中點(diǎn)，若eq\o(AB,\s\up6(→))＝λeq\o(AM,\s\up6(→))＋μeq\o(DB,\s\up6(→))，則λμ＝________.三、解答題9．如圖，在梯形ABCD中，AD∥BC，且AD＝eq\f(1,3)BC，E，F(xiàn)分別為線段AD與BC的中點(diǎn)．設(shè)eq\o(BA,\s\up6(→))＝a，eq\o(BC,\s\up6(→))＝b，試用a，b為基底表示向量eq\o(EF,\s\up6(→))，eq\o(DF,\s\up6(→))，eq\o(CD,\s\up6(→)).10.已知a＝(1,0)，b＝(2,1)，(1)當(dāng)k為何值時，ka－b與a＋2b共線？(2)若eq\o(AB,\s\up6(→))＝2a＋3b，eq\o(BC,\s\up6(→))＝a＋mb且A、B、C三點(diǎn)共線，求m的值．[能力挑戰(zhàn)]11．[2021·甘肅酒泉五校聯(lián)考]已知a＝(3，－2m)，b＝(1，m－2)是同一平面內(nèi)的兩個向量，且該平面內(nèi)的任一向量c都可以唯一地表示成c＝λa＋μb(λ，μ為實(shí)數(shù))，則實(shí)數(shù)m的取值范圍是()A.eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(6,5)，＋∞))B.eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－∞，\f(6,5)))∪eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(6,5)，＋∞))C．(－∞，2)D．(－∞，－2)∪(2，＋∞)12．[2021·甘肅蘭州一中月考]已知a，b為平面內(nèi)兩個互相垂直的單位向量，若向量c滿足c＋a＝λ(c＋b)(λ∈R)，則|c|的最小值為________．13．已知向量m＝eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(sinA，\f(1,2)))與向量n＝(3，sinA＋eq\r(3)cosA)共線，其中A是△ABC的內(nèi)角，則角A的大小為________．課時作業(yè)271．解析：eq\o(AB,\s\up6(→))＝eq\o(AC,\s\up6(→))＋eq\o(CB,\s\up6(→))＝eq\o(AC,\s\up6(→))－eq\o(BC,\s\up6(→))＝(1,2)－(1,0)＝(0,2)．答案：C2．解析：由題意知eq\o(OP,\s\up6(→))＝eq\o(OB,\s\up6(→))＋eq\o(BP,\s\up6(→))＝eq\o(OB,\s\up6(→))＋eq\f(2,3)eq\o(BA,\s\up6(→))＝eq\o(OB,\s\up6(→))＋eq\f(2,3)(eq\o(OA,\s\up6(→))－eq\o(OB,\s\up6(→)))＝eq\f(2,3)eq\o(OA,\s\up6(→))＋eq\f(1,3)eq\o(OB,\s\up6(→))＝xeq\o(OA,\s\up6(→))＋yeq\o(OB,\s\up6(→)).∴x＝eq\f(2,3)，y＝eq\f(1,3).答案：A3．解析：由a＝(2,3)，b＝(－1,2)，得ma＋b＝(2m－1,3m＋2)，a－2b＝(4，－1)，又ma＋b與a－2b共線，所以－1×(2m－1)＝(3m＋2)×4，解得m＝－eq\f(1,2)，故選D項(xiàng)．答案：D4．解析：因?yàn)閍＋λb＝(1＋λ，2)，(a＋λb)∥c，所以eq\f(1＋λ,3)＝eq\f(2,4)，所以λ＝eq\f(1,2).答案：B5．解析：eq\o(AB,\s\up6(→))＝(3,1)，eq\o(AC,\s\up6(→))＝(2，k－1)，因?yàn)锳，B，C三點(diǎn)共線，所以可設(shè)eq\o(AB,\s\up6(→))＝λeq\o(AC,\s\up6(→))，即(3,1)＝λ(2，k－1)，所以2λ＝3，即λ＝eq\f(3,2)，所以eq\o(AC,\s\up6(→))＝eq\f(1,λ)eq\o(AB,\s\up6(→))＝eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(2，\f(2,3))).故選A項(xiàng)．答案：A6．解析：解法一a＋b＝(m＋1,3)，|a＋b|＝eq\r(m＋12＋9)，|a|＝eq\r(m2＋4)，|b|＝eq\r(2)，由|a＋b|＝|a|＋|b|，得eq\r(m＋12＋9)＝eq\r(m2＋4)＋eq\r(2)，兩邊分別平方得m2＋2m＋10＝m2＋6＋2eq\r(2)×eq\r(m2＋4)，即m＋2＝eq\r(2)×eq\r(m2＋4)，兩邊分別平方得m2＋4m＋4＝2m2＋8，解得m＝2.解法二a·b＝(m,2)·(1,1)＝m＋2，|a|＝eq\r(m2＋4)，|b|＝eq\r(1＋1)＝eq\r(2)，由|a＋b|＝|a|＋|b|，得a2＋b2＋2a·b＝a2＋b2＋2|a||b|，即a·b＝|a||b|，故m＋2＝eq\r(2)×eq\r(m2＋4)，兩邊分別平方得m2＋4m＋4＝2m2＋8，解得m＝2.答案：27．解析：∵p∥q，∴x＝－4，∴q＝(－4,6)，∴p＋q＝(－2,3)，∴|p＋q|＝eq\r(13).答案：eq\r(13)8.解析：∵eq\o(DB,\s\up6(→))＝eq\o(AB,\s\up6(→))－eq\o(AD,\s\up6(→))＝eq\o(AB,\s\up6(→))－eq\o(BC,\s\up6(→))＝eq\o(AB,\s\up6(→))－2eq\o(BM,\s\up6(→))＝3eq\o(AB,\s\up6(→))－2eq\o(AM,\s\up6(→))，∴eq\o(AB,\s\up6(→))＝λeq\o(AM,\s\up6(→))＋3μeq\o(AB,\s\up6(→))－2μeq\o(AM,\s\up6(→))，∴(1－3μ)eq\o(AB,\s\up6(→))＝(λ－2μ)eq\o(AM,\s\up6(→))，∵eq\o(AB,\s\up6(→))和eq\o(AM,\s\up6(→))是不共線向量，∴