西安中學(xué)2023-2024學(xué)年度第一學(xué)期期末考試?yán)砜茢?shù)學(xué)答案一.選擇題（本大題共12小題，共60分）123456789101112AABDABCBCCDD二、填空題：(本大題共4小題，每小題5分)22222013.314.（答案不唯一，只要方程滿足xayaax1y1即可）15.716.①③④三、解答題（本大題共7小題，第17—21題為必考題，第22、23題為選考題）（一）必考題：共60分17.(1)證明：）x32(((5,82y(((9，（2分）88?bn59xy8281iii1n54x2x28()2i2i19151?，?y，（5分）8422故yx的線性回歸方程為11yx（6分）42（）當(dāng)樹干高度為128cm時(shí)，高度偏差x8(cm)，（8分）181y，42所以樹干直徑約為，（11分）即預(yù)測高度為128cm的這種樹苗的樹干最大直徑為毫米.（12分）18.（本小題滿分12分）（）由已知及正弦定理得ABAC，（2分）∵CABBB∵AB，sinB0sinAA（4分）∵A0,π∴πA.（6分）4七模理科數(shù)學(xué)第頁，共頁{#{QQABRQCEogggAAIAAAhCAwV4CgEQkBEACKoGQBAMIAAAyANABAA=}#}1221（）∵SbcA∴22,（8分）ABC242又∵a2b2c2A∴22bc22bc,（10分）22所以bcbc．（12分）19.（本小題滿分12分）解：（）設(shè)橢圓的半焦距為c，因?yàn)闄E圓的離心率為22，所以bc，ab，∴橢圓C的方程可設(shè)為xy22221.（2分）bbA2,0，因?yàn)閳AOA處的切線被橢圓C截得的弦長為22，所以點(diǎn)2,2在橢圓上，221，bb22a26，b32所以橢圓C的方程為xy221.（5分）63（）當(dāng)過點(diǎn)P且與圓O相切的切線斜率不存在時(shí)，不妨設(shè)切線方程為x2，由（）知：M2,2，N2,2，則2,5，2,2，OMON0，∴.（6分）當(dāng)過點(diǎn)P且與圓O相切的切線斜率存在時(shí)，可設(shè)切線的方程為ykxm，M1,1，N2,y2，因?yàn)橹本€與圓相切，mk212m22k2.（7分）2聯(lián)立直線和橢圓的方程得226xm，∴12kx42m60，222七模理科數(shù)學(xué)第2頁，共7頁{#{QQABRQCEogggAAIAAAhCAwV4CgEQkBEACKoGQBAMIAAAyANABAA=}#}2224km412k2m604kmxx.（8分）1222k12m6xx21222k1∵xy，2,21,1xy，∴xxyyxxmm，121212121kxxxxm，2212122m6421kkmm222k12k122，2222221k2m64kmm2k12k12，22k2k6，mk6220k1k122∴.（11分）綜上所述，圓O上任意一點(diǎn)P處的切線交橢圓CM，N，都有.（12分）20.（本小題滿分12分）（T是中點(diǎn)，連接TN,TD，如下圖所示：1在ABP為為中位線，所以：TNABTNAB，（2分）,21又因?yàn)椋篊DAB,CDAB，2所以：,，所以：四邊形為平行四邊形，得：CN,，又因?yàn)椋?PAD，所以：PAD.（5分）（）如圖，延長AD和交于點(diǎn)Q，連接PQ.B作BMPQ，垂足為點(diǎn)M，連接.七模理科數(shù)學(xué)第頁，共頁{#{QQABRQCEogggAAIAAAhCAwV4CgEQkBEACKoGQBAMIAAAyANABAA=}#}因?yàn)椋浩矫鍼AD，平面PADPBCPQ，所以：BM，（7分）因?yàn)椋篈DBD,ADBM,BDBMBBM,BD，所以：，所以：BDM為所求二面角的平面角，（8分）在PDQPQPD2DQ22PDDQcosPDQ5，PQ2DQ2PQ25213cosPQD2PQDQ25210，所以：2,4，（11分）33所以：22.（12分）321.（本小題滿分12分）1)解:∵f'x3x22x1ex，∴f01，f'03，∴曲線yfx在點(diǎn)f0處的切線方程為3xy10.（5分）(2)證明:由fxgx0存在兩個(gè)正實(shí)數(shù)根1,212，整理得方程eaxx1存在兩個(gè)正實(shí)數(shù)根1,212.x由a0，知211，令hxea，則h'xea，xx當(dāng)xa時(shí)，h'x0，hx在,上單調(diào)遞增;當(dāng)xa時(shí)，h'x0，hx在0,lna上單調(diào)遞減.所以min2hxhaaaa.七模理科數(shù)學(xué)第4頁，共7頁{#{QQABRQCEogggAAIAAAhCAwV4CgEQkBEACKoGQBAMIAAAyANABAA=}#}因?yàn)閔xexa有兩個(gè)零點(diǎn)，即2aaa0，得ae2.（7分）因?yàn)閷?shí)數(shù)x，x是exax的兩個(gè)根，12所以exax111，從而eax1x22ex1x1e1xx12ex1x22.令x，，則e，變形整理得1121令x，，則e，變形整理得1.1要證1212，則只需證1，即只要證01，11結(jié)合對數(shù)函數(shù)yx的圖象可知，只需要證,ln，,ln兩點(diǎn)連線的斜率要比,ln，,ln兩點(diǎn)連線的斜率小即可.因?yàn)?，所以只要證111，1整理得2001.（10分）1令gxx2x0x1，則g'xx212x，10xxx22所以gx在上單調(diào)遞減，即gxg0，1所以20011212成立.（12分）（二）選考題：共10分.請考生在22、23題中任選一題作答.如果多做則按所做第一題計(jì)分22.（本小題滿分10分））由題意，在1C:yxsin3cos（為參數(shù)）中，化為普通方程為y23x21（3分）πππ在C:)22中，cossinsin22，2444∵x,ysin，∴C2:xy40.（5分）（）由題意及（1）得，七模理科數(shù)學(xué)第頁，共頁{#{QQABRQCEogggAAIAAAhCAwV4CgEQkBEACKoGQBAMIAAAyANABAA=}#}設(shè)點(diǎn)Psin,3，則P到直線xy40的距離為：dπ2sin()4sin34322[2,32]，（8分）πππ5π

當(dāng)且僅當(dāng))1，即2π,kZ，2πk時(shí)，

3326，此時(shí)213P,.（10分）2223.（本小題滿分10分）解：（）已知fxx13x1，2xx則fxxx412xx（3分）則fx的圖象如圖所示：由fx的圖象可知fx的值域?yàn)?2.（5分）（fx0，解得1x,或x2,（6分）2由4xa0，解得ax.4a4xa,x,4yxaa44xa,x,4，如下圖，七模理科數(shù)學(xué)第6頁，共7頁{#{QQABRQCEogggAAI