小學(xué)四年級上冊數(shù)學(xué)奧數(shù)知識點講解第13課《數(shù)學(xué)競賽試題選講》試題附答案

第十五講數(shù)學(xué)競賽試題選講

例1計算：(1+3+5+…+1989)-(2+4+6+…+1988)(1988年北京市小學(xué)數(shù)學(xué)

奧林匹克邀請賽試題)

例2計算：1+2+3+4-+99+100+99+-+4+3+2+1

例3計算:1X2+2x3+3X4+…+100X101

例4計算：'南

例5在下面各數(shù)之間，填上適當(dāng)?shù)倪\算符號和括號，使等式成立：10693

2=48(1994年北京市小學(xué)生“迎春杯”決賽試題)

例6右圖中六個小圓圈中的三個分別填有15、26、31三個數(shù).而這三個數(shù)分別

等于和它相鄰的兩個空白圓圈里的數(shù)的和，那么，填在三個空白圓圈里的數(shù)

審，最小的一個數(shù)是.

例7已知算術(shù)式abed-efgh=1994,其中abed、efgh均為四位數(shù)；a、匕

c、d、e、f,g,h是0、1,2、…、9中的8個不同整數(shù)且a聲

0,e盧0.那么abed與efgh之和的最大值是___,最小值是____.

例8如右圖，AB、CD、EF、MN互相平行，則右圖中梯形的個數(shù)與三角形的個數(shù)

相差多少？

例9如下圖（1），由18個邊長相等的正方形組成的長方形ABCD中，包含“*”

在內(nèi)的長方形及正方形一共有多少個？

D....,.,C

--------------AM'N'E'F'd寸

111

'BAMNEFGB

(1)(2)

例10如右圖，在5X8的長方形中，挖去一個IX4的長條（陰影部分）.請把

它劃分成兩部分，使它們能拼成一個正方形.

CD

例11用6個IX2的長方形拼成一個2X6的長方形（如右圖），一共有多少種不

同的拼法.

123456

789101112

例12某車間原有工人不少于63人.在1月底以前的某一天調(diào)進了若干工人，以

后，每天都再調(diào)1人進車間工作.現(xiàn)知該車間1月份每人每天生產(chǎn)一件產(chǎn)品，共

生產(chǎn)1994件.試問：1月幾號開始調(diào)進工人？共調(diào)進了多少工人？

答案

第十五講數(shù)學(xué)競賽試題選講

例1計算：Q+3+5+…+1989)-(2+4+6+…+1988)(1988年北京市小學(xué)數(shù)學(xué)

奧林匹克邀請賽試題)

解法L

原式=[(1989+1)*2]2-(1988*2)X(1988*2+1)

=9952-994X995

=995X(995-994)

=995.

解法2：去括號，得

原式=1+3+5+…+1989-2-4-6----1988

=1+(3-2)+(5-4)+-+(1989-1988)

=1+1+1+-+1

995個1相加

=995.

說明：解法1是應(yīng)用兩個常見的公式：

前n個奇數(shù)的和

1+3+5+…+(2n-l)=n2.

前n個偶數(shù)的和

2+4+6+…+2n=nX(n+1).

解法2是采用適當(dāng)分組的方法轉(zhuǎn)化為相同加數(shù)的加法問題，即將低級運算

(加法)轉(zhuǎn)化為高級運算(乘法).

例2計算：1+2+3+4-+99+100+99+-+4+3+2+1

解：運用加法的交換律與結(jié)合律，得

原式=(1+99)+(99+1)+(2+98)+(98+2)+…

+(50+50)+100

=100+100+100+100+-+100+100

'、_________________________________________________________________________________________>

100個100相加

=100X100

=10000.

說明：由本例可以推廣為一般公式：

1+2+3+-+(n+1)+n+(n-1)+…+3+2+l=n2.

例3計算：1X2+2X3+3X4+…+100X101

分析根據(jù)題目數(shù)據(jù)的特點，把各加數(shù)作如下恒等變形：

1X2=(1X2X3)+3；

2X3=(2X3X4-1X2X3)+3；

3義4=(3X4X5-2X3X4)+3；

100X101=(100X101X102-99X100X101)+3；然后運用拆項對悄的方

法即可計算出和式的結(jié)果.

解：原式二[1X2X3+(2X3X4-1X2X3)+(3X4X5

-2X3X4)+”?+(100X101X102-99

X10QX1Q1)卜3

=[1X2X3+2X3X4-1X2X34-3X4X5

-2X3X4+-+100X101X102-99X100

X10U-3

=100X101X102+3

=343400.

說明：本題可以推廣為一般公式：

lX2+2X3+3X4+-+nX(n+l)=nX(n+1)X(n+2)+3.

lll-ll2

例4計算：isti

解：因為

111111111=9X12345679,

于是有

原式=in“Tixnr“n

'----------''----------'

18個1,18個1、

=111-11X(9X12345679012345679)

18個1

（由乘法結(jié)合律）

=（111-11X9）X12345679012345679

、____>

18個1

=999…99X12345679012345679

18個9

=（1000-00-1）X12345679012345679

18個0

=12345679012345678987654320987654321.

例5在下面各數(shù)之間，填上適當(dāng)?shù)倪\算符號和括號，使等式成立：10693

2=48（1994年北京市小學(xué)生“迎春杯”決賽試題）

解：填法不唯一.下面給出幾種常見的填法：

10X6-（9-3）X2=48；

（10+6）X（9-3X2）=48；

10+6X（9-3）+2=48；

10X（6+9）+3-2=48；

（10+6）X（9-3）*2=48.

說明：在歐美流行一種數(shù)學(xué)游戲：試用4個給定的自然數(shù)經(jīng)過四則運算的結(jié)

果等于24.本例與這種游戲是類似的，它們對于發(fā)展學(xué)生的數(shù)學(xué)思維是十分有

益的.

例6右圖中六個小圓圈中的三個分別填有15、26、31三個數(shù).而這三個數(shù)分別

等于和它相鄰的兩個空白圓圈里的數(shù)的和，那么，填在三個空白圓圈里的數(shù)

中，最小的一個數(shù)是.

解：設(shè)15與26之間的圓圈里的數(shù)是a,

26與31之間的圓圈里的數(shù)是b,

15與31之間的圓圈里的數(shù)是c,

依題意，有

a+b=26,b+c=31,a+c=15；

于是可知2(a+b+c)=26+31+25,

即a+b+c=36；

因此，最小數(shù)是："36-31=5.

例7已知算術(shù)式說麗=1994,其中航工嬴均為四位數(shù)；a、人

c,d,e、f,g、h是0、1、2、…、9中的8個不同整數(shù)且ar

0,e盧0.那么痂與甌之和的最大值是最小值是

分析本題可轉(zhuǎn)化為如下數(shù)字迷：

efgh

十)1994

abed

解：先確定g=0,c=9.

假設(shè)豎式加法中，十位數(shù)字g滬0或者個位數(shù)字h+4)10,則百位上的數(shù)字

b=f,不合題意.因此，可以推斷g=0且h+4<10.于是c=9.

又由abed=efgh+1994可知，abed與逐洞時增大且同時減小.為了使

A=碼+畫盡可能大，首先應(yīng)該使首位數(shù)字a盡可能大，考慮到字母c=9

盧a,則取a=8,而fr0=8且￡=匕+1,故有f+9>10,于是e=6；其次應(yīng)該使百位數(shù)

字b盡可能大，由b與提相鄰自然數(shù)，則取b=4、f=5；最后令個位數(shù)字d盡可能

大，則取d=7,故有h=3.這樣就得到A的最大值為：8497+6503=15000.

類似地，要使A盡可能小，依次取a=3、e=l,b=4、f=5,d=6、h=2.這樣就

得到A的最小值為：

3496+1502=4998.

例8如右圖，AB、CD,EF、MN互相平行，則右圖中梯形的個數(shù)與三角形的個數(shù)

相差多少？

解：首先計算右圖中三角形的個數(shù).由于所有三角形都以0點為頂點；且以

AB或CD或EF或MN上的線段為底的三角形各有：

4+3+2+1=10（個）.

因此，圖中一共有三角形：

10X4=40（個）.

其次計算上圖中模形的個數(shù).由于從AB、CD、EF、MN中任意選出兩條為

上、下底時各有梯形：

4+3+2+1=10（個）.

而從4條線段中選出兩條線段的不同選法有

（4X3）+2=6（種）,

所以，上頁圖中一共有梯形

10X6=60（個）.

于是上頁圖中梯形個數(shù)與三角形個數(shù)相差

60-40=20（個）.

例9如下圖（1）,由18個邊長相等的正方形組成的長方形ABCD中，包含“*”

在內(nèi)的長方形及正方形一共有多少個？

分析本題是有條件限制的幾何圖形的計數(shù)問題，為了不重不漏，必須適當(dāng)

分類計算.

DC

良M'N'EFGB'

B

ABAMNEFG

(1)(2)

解：按照豎直方向上線段的長度分三類進行計數(shù)：

①高是1個單位長度（如上圖（2））時，實質(zhì)上是計算在底邊AB上包含線

段EF的線段數(shù).為了方便起見，又分四種情況討論：

1°包含AFF'A'的長方形有AFF'A'、AGG'A'、ABB7A7,共3個；

2。包含MFF，M;的長方形（不在1°中的）有MFF，M，、MGG'M'、MBB?

M，，共3個；

3°包含NFF，N，的長方形（不在1°、2°中的）有NFF，N<NGG/Ny,

NBB，N，，共3個；

4°包含EFF，Ey的長方形及正方形（不在1。、2。、3。中的）有EFF，

E?,EGG'EJEBB'E',共3個.

總計包含“*”的長方形及正方形有：

3X4=12（個）.

②高是2個單位長度（如下圖（1））時，類似情況（1），總計包含“*”

的長方形及正方形有：

3X4=12（個）.

③高是3個單位長度（如上圖（2））時，總計包含“*”的長方形及正方形

也有：

3X4=12(個)?

綜上所述，長方形ABCD中包含“*”的長方形及正方形一共有:

12X3=36(個).

例10如右圖，在5X8的長方形中，挖去一個IX4的長條（陰影部分）.請把

它劃分成兩部分，使它們能拼成一個正方形.

解：從長方形ABCD中挖去陰影部分后剩下的面積是

5X8-4=36.

由此可知，拼成的正方形的邊長是6.

根據(jù)這一要求，并且考慮分成的兩部分如何拼合，就會得出如下用虛線表

示的劃分（如下圖（1）所示）：

III

(1)(2)

用上述劃分后拼成的正方形如上圖（2）.

例n用6個IX2的長方形拼成一個2X6的長方形（如右圖），一共有多少種不

同的拼法.

123456

789101112

分析研究用IX2的長方形拼成2Xn的長方形的方法，從簡單情況入手，逐

次討論：

①當(dāng)n=l時，顯然只有1種拼法；

②當(dāng)n=2時，2X2的長方形有下圖（a）及圖（b）兩種不同的拼法;

(a)(b)

③當(dāng)n=3時，2X3的長方形的拼合問題分兩類（如下圖（c）及圖（d））：

圖（c）即轉(zhuǎn)化為2X1的長方形拼合問題，由①可知，僅有一種拼法；上圖

（d）即轉(zhuǎn)化為2X2的長方形拼合問題，由②可知僅有2種拼法.于是2X3的長

方形的拼法一共有：

1+2=3（種）；

④當(dāng)n=4時，2X4的長方形的拼合問題亦分為兩類（如圖（e）及圖

（f））：

12341234

56785678

(e)(f)

圖（e）即轉(zhuǎn)化為2X2長方形拼合問題，圖（f）即轉(zhuǎn)化為2X3長方形拼合

問題，由②和③可知，2X4長方形的拼合方法一共有：

2+3=5（種）；

⑤當(dāng)n=5時，類似③、④的情況兩類拼法，2X5的長方形的拼法一共有：

3+5=8（種）s

⑥當(dāng)n=6時，2X6的長方形的拼法一共有：

5+8=13（種）.

說明：上述解決問題的方法常稱為歸納遞推的方法，今后還要專門介紹.

例12某車間原有工人不少于63人.在1月底以前的某一天調(diào)進了若干工人，以

后，每天都再調(diào)1人進車間工作.現(xiàn)知該車間1月份每人每天生產(chǎn)一件產(chǎn)品，共

生產(chǎn)1994件.試問：1月幾號開始調(diào)進工人？共調(diào)進了多少工人？

解：因為原有工人不少于63人，并且

1994=63X31+41,

1994=64X31+10,

1994<65X31,

所以，這個車間原有工人不多于64人，即這個車間原有工人63人或64人.

這個車間原有工人1月份完成產(chǎn)品是

63X31=1953或64X31=1984（件）.

于是可知，余下的41件或10件產(chǎn)品應(yīng)該表示為連續(xù)自然數(shù)之和.據(jù)已知，

不能是1月31日調(diào)進工人，設(shè)第一天調(diào)進x名工人，共調(diào)入n天，那么顯然24n4

8.事實上，九個連續(xù)自然數(shù)之和最小為

1+2+3+4+5+6+7+8+9=45〉41.

經(jīng)檢驗，當(dāng)n=2時x=20,并且有：

20+21=41；

當(dāng)n=4時x=l,并且有：

1+2+3+4=10.

答:從1月30日開始調(diào)進工人，共調(diào)進工人21名；或者從1月28日開始調(diào)進

工人，共調(diào)進工人4人.

說明：本題是用于考查學(xué)生掌握連續(xù)自然數(shù)求和及解決實際問題的能力.

習(xí)題十五

1.計算：1-2+3-4+5-6+--98+99

2.計算：88888X88888^-(1+2+3+4+5+6+7+8+7+6+5+4+3+2+1)

3.計算：11X12+12X13+13X14+-+50X51

4.設(shè)n=lll…1P,那么n的各位數(shù)字之和是

27個1

5.試在15個8之間適當(dāng)?shù)奈恢锰钌线m當(dāng)?shù)倪\算符號+、-、X、+,使運算

結(jié)果等于1986：

888888888888888=1986.

6.在右圖中所示的三角形三邊之長互不相等，現(xiàn)在要將1,2