數(shù)學模擬試卷

參考答案詳解

一、選擇題(1?10小題，每小題4分，共32分.在每小題給出的四個選項中，只有一項是

符合題目要求的，把所選項前的字母填在題后的括號內(nèi).)

(1)B

(,sin

x(2

【詳解】然需=吧cosx?ln(l+sirrx)

Jo心,hm----------------------卜

x1+tan4x3廠+4tanx?sec~x

(sinJCY

sin2xI,xJ1

=lim-：--------z---------T—=hm--------------7-i-------=--一--豐1

33L+4tarrx-secrx*一。(tanxY3

3+4l------Itanxsecx

所以選B.

【重點提示】要善于利用等價無窮小的替換，如當XT0+時，x,sinx,In(1+6,

Y

e*-1等都是等價無窮小，1-cos尤，二也是比較常用的等價無窮小.

2

(2)D

r+codxX+0°

【詳解】=ln」—=ln2,積分收斂,

4X(X+1)x+11

X

°=0-(-℃)=+℃,積分發(fā)散.

bx(x+l)X+1

【重點提示】直接計算相應積分，判定其斂散性即可。廣義積分斂散性的判斷，一

般只要求掌握通過計算能判定的情形。

(3)B

【詳解】把/(x,2x)=x兩邊對x求導，有/：(%,2x)+2/；(x,2x)=1,再求導,有

加(羽2x)+2/(x,2x)+2G(x,2x)+4力(x,2x)=5￡：(x,2x)+4￡.(x,2x)=0a

再把/；(x,2x)=%2兩邊對x求導，有了二(x,2x)+2&.(x,2x)=2xb

由a與b得f“(x,2x)=--x

【重點提示】本題的重難點是對多元函數(shù)求偏導，計算時要仔細，要注意當f(x,y)

具有連續(xù)二階偏導數(shù)時，o

(4)A

【詳解】在區(qū)域D={(X,y)k2+y2<1}上，有0?/+丁2?1,從而有

~>l-+V>x2+y2>(x2+y2)2>0

由于COSX在(04)上為單調(diào)減函數(shù)，于是

0<cos7-v2+y2cos(x2+y2)<cos(x2+y2)2

因此JJcosJx2+y2de<jjcos(x2+y2)d(y<jjcos(x2+y2)2d(y,故應選(A).

DDD

【重點提示】本題比較二重積分大小，本質(zhì)上涉及到用重積分的不等式性質(zhì)和函數(shù)

的單調(diào)性進行分析討論，關(guān)鍵在于比較斤衣、好+〉2與(/+)2)2在區(qū)域

。={(乂丁),2+y2<1}上的大小一

(5)A

【詳解】因為/(x)可微，所以/(尤)連續(xù)，則

=f(0)=0,尸(O)=lim70'響=0

Z°X。X-0

因為=」>'〃"人

所以加―一I(嘰11msM.”(…皿

3X-03X2

(sinxYJo"')".1./(x)

=lim-----lim—~~-——=1-lim=1>0

x)sox2-02x

所以/(o)是/(x)的極小值

【重點提示】注意當/'(%)=0時，/是/(x)的駐點，此時，若/"(%)>0,則

/(x)在/處取得極小值，反之則/(X)在與處取得極大值.若/〃(/)=0,則X。

不是極值點.

(6)A

【詳解】設/x)=「/(rW,/(x)是連續(xù)函數(shù)，所以F(x)可導，且/'(x)=/(x).若/Q)

為奇函數(shù)，則尸(一x)=//1)力=(/(—“)加=(/(“卜〃=E(x),此時F(x)為偶函

數(shù).

【重點提示】直接利用定義求出原函數(shù)，本題也可通過舉反例來-一排除，如

/(X)=1,,f(x)=X等.

(7)A

【詳解】：把454。=石兩邊同時轉(zhuǎn)置，得CZWA，=。7次44)=七，則C，與

互為逆矩陣,則ATBTArCT=E.

【重點提示】本題屬于基本題型，直接利用概率基本公式求解即可.

(8)A

【詳解】初等行變換不改變矩陣的列向量之間的線性關(guān)系，對于變換后的矩陣

(￡]￡2￡3%)，顯然有％=￡|+J+^3，所以。4=%+&2+&3.

【重點提示】初等行變換不改變矩陣的列向量之間的線性關(guān)系，初等列變換不改

變矩陣的行向量之間的線性關(guān)系，這是矩陣變換的基本性質(zhì).

(9)B

【詳解】由題設，知〃+人=0.5,又事件{X=0}與{x+y=i}相互獨立，于是有

尸{x=o,x+y=i}=p{x=o}P{x+y=i}

即a=(0.4+d)(a+b),由此可解得a=0.4,b=0A.

【重點提示】首先所有概率求和為1，可得a+8=().5,其次，利用事件的獨立性

又可得相關(guān)等式.

(10)C

【詳解】因為不相關(guān)，所以相關(guān)系數(shù)卬=0,

從而COV(￡,力=Q卬JD(￡)DS)=0,

E(印)=￡(￡)￡)(〃)，￡>(〃+〃)=。(￡)+。(1)+2cov(￡,")=￡>?+D(〃).

【重點提示】注意不論如何都得不到。(切)=。(￡)。你)，這個等式絕對不成立.

二、填空題(11?16小題，每小題4分，共24分.把答案填在題中橫線上.)

【詳解】

sin5x-(l-cosx2)sin—

2

___________________x「1x(5sin5x1-cosx3.1?

lim=lim-------x―彳-----rx--------------------------xsin—

xO(l+cosx)ln(l+x)x->°cosxln(l+x)[5xcosxx)

5

2

【重點提示】本題屬于基本題型，直接用無窮小量的等價代換進行計算即可，若在

某變化過程下，窈??歷(x),則limf(x)a(x)=lim/(x)N(x).如當xf0十時，

x,sinx,ln(l+x),

(12)xy=2

【詳解】原方程可化為(個)'=0,積分得孫=。，代入初始條件得。=2,故所求特解為

xy=2

【重點提示】直接積分即可.本題雖屬于基本題型，也可先變形蟲=-如，再積

y%

分求解.

(13)y=

【詳解】原方程可寫為電=2(l+ln2].令z=),則辦=Rx+xdz,代入原方程,

axxyx)x

,口dzi分離變量得，^=蟲.兩邊積分得:

得z+x—=z+zlnzIn|lnz|=ln|^|-+-C

dxzlnzx

即〉=泥&(其中C為任意常數(shù)).

【重點提示】這是微分方程中比較常見的題型，是齊次方程與可分離變量方程的復

合形式，解分離變量方程的方法必須掌握.

(14)-

2

2111

21aa=(a—1)(2。-1)=0,得a=l,a=,，但題設aHl,

【詳解】由題設，有

321a2

4321

故a=L

2

【重點提示】4個4維向量線性相關(guān)，必有其對應行列式為零，由此即可確定a.

當向量的個數(shù)小于維數(shù)時，一般通過初等變換化階梯形討論其線性相關(guān)性.

（15）0

2-2-21

【詳解】|/IE—A|=02-1-x=（/l-l）2（/l-2）=0,

002-1

解得：4=%=L4=2

又因為A可對角化，所以A的屬于特征值義=1的線性無關(guān)的特征向量有2個,

即（E—A）X=O有非零解.

'-1-21、

所以/'(E—A)=l,而E-A=00—x,所以x=0.

[0。0J

【重點提示】容易先求出A的特征值，然后根據(jù)可對角化方陣的性質(zhì)，得到￡-A

的秩不是滿秩，再通過行列式為0來求解x的值.

（16）-

2

【詳解】因為2》=（）,所以x與y相互獨立，又x~N（i,4）,y~N（o,i）,

則x+y~N（i,5）,所以P{X+Y<I}=；.

【重點提示】如果。盯=0,所以x與丫相互獨立，這是判斷獨立的?種方法。相

互獨立的正態(tài)變量的線性運算仍是正態(tài)變量，要注意運算后的正態(tài)變量的數(shù)學特征

的變化.

三、解答題（17~24小題，共86分.解答應寫出文字說明、證明過程或演算步驟.）

（17）

【詳解】由已知條件可得

答=.―，(馬+/，心,

oxxxy

e2g

x'xxyyy

oyxxyyy

ff=4/ff（2）-4/x-）+4/x-）+4n-）

oyxxyyyyyy

所以

?2e2g2整=型r（馬+4/w（-）+—/*（-）-4/ff（2）--/7-）

8yxxyyyxxyy

=益尸（與

XX

【重點提示】先求出二階偏導數(shù)，再代入相應表達式即可，但在求偏導數(shù)的過程中

應注意計算的準確性.

（18）

【證明】⑴設F（x）=/（x）—x,則F（x）在1,1上連續(xù)，且尸（g）=g>0.

F（l）=-l<0,由介值定理可知存在使/仿）=0,即/（〃）=7.

（II）設G（x）=e一叫—則G（x）在［0,〃］上連續(xù)，在（0,〃）內(nèi)可導,且

G（x）=e”{:⑴-6（x）-x］-1}

又6（0）=0,6（力=0由羅爾定理可知，存在￡e（0,〃），使得G'?=0

即廣（￡）—?/（￡）—司=1.

【重點提示】先構(gòu)造函數(shù)，再根據(jù)連續(xù)與可導的性質(zhì)，利用中值定理證明問題，其

中關(guān)鍵在于構(gòu)造函數(shù)，這就需要經(jīng)驗，要掌握一些比較常見的函數(shù)的構(gòu)造.

（19）

【詳解】⑴由題意可知總利潤函數(shù)Q（x,y）=80x+100y-/-2盯一2y2-700,令

12；=80-2x-2y=0

,解得x=30,y=10。

'Q：=100-2x-4y=0

又產(chǎn)量X和y不受限制，所以計算表明當x=30,y=10時可獲得最大利潤，且最大

利潤為

2,naxUy)=2(30,10)=1000,即為所求.

(II)由題意得x+y=30.

此時可引入拉格朗日函數(shù)F(x,y,力=Q(x,y)+X(x+y—30),令

-F；=80-2x-2y+/l=0

<F；=100-2x-4^+/l=0,解得x=20,y=10,2=—20。

F[=x+y-30=0

所以當x=20,y=10時可獲得最大利潤，且最大利潤為

Qmax(x，y)=0(20,10)=900,

【重點提示】先求出總利潤函數(shù)，再通過導數(shù)為0來求極值，求出最大利潤。在第

(U)問中，由于總產(chǎn)量固定為30不變，故通過構(gòu)造拉格朗日函數(shù)來求極值.

(20)

【證明】設F(x)=]：g⑺/⑺川+工/?⑺g'⑺力—/(x)g(l),

則F(x)在[0,1]上的導數(shù)連續(xù)，

并且F\x)=g(x)/'(x)-f\x)g(l)=f'(x)[g(x)-g⑴],

由于XG[0,1]時，/'(x)20,g'(x)N0,因此E'(x)<0,即尸(x)在[0,1]上單調(diào)遞減.

又F(l)=￡g(t)fV)dt+f/(/)g'a)”—/⑴g⑴，

[g(t)r(t)dt=￡g(t)研⑺=g⑺：—￡f(t)g()dt

=/■⑴g⑴⑺力，

所以F(l)=0.

因此xe[0,1]時，F(xiàn)(x)>0,由此可得對任何ae[0,1],有

(g(x)/'(x)dx+￡f(x)g'(x)dx>/(a)g⑴.

【重點提示】可用參數(shù)變易法轉(zhuǎn)化為函數(shù)不等式證明，或根據(jù)被積函數(shù)的形式，通

過分部積分討論.對于積分不等式的證明，主要有兩個途徑：一是轉(zhuǎn)化為函數(shù)不等

式，二是通過恒等變形，如變量代換、分部積分等，再用積分的不等式性質(zhì)

進行討論.

(21)

【詳解】因為線性方程組(i)、(ii)有公共的非零解，所以它們的聯(lián)立方程組(iii)有

非零解，即(iii)系數(shù)矩陣A的秩小于4。對矩陣A進行初等行變換，得

’121-1、'1000、

231-3010-2

110a0013

A=->,所以a=—2,〃=3

352-4000a+2

11110002b—6

]b20,,0000,

且"4)=3.

X[=0

此時可解方程組《%2-2尤4=0,得￡=(02-31)7,即為(iii)的一個非零解.

x3+3X4=0

又H(4)=3,所以￡構(gòu)成(iii)的基礎解系。因此，(i)和(ii)的全部公共解為

k(p2-3l)r(其中k為任意常數(shù))

【重點提示】若方程組有非零解，系數(shù)矩陣的秩小于為未知數(shù)的個數(shù)),

求解線性方程組是非常重要的一個知識點.

(22)

100

【詳解】(I)A(ai,a2,aJ)=(a,,122

113

(II)因為%，%是線性無關(guān)的三維列向量，可知矩陣。=[%,%,%]可逆，所以

C-'AC^B,即矩陣A與B相似，由此可得矩陣A與B有相同的特征值.

2-100

\AE-B\=-1A-2-2=(/l-l)2(/l-4)=0,得矩陣B的特征值,

-1-12-3

也即矩陣A的特征值為4=丸2=1，4=4.

(Ill)對應于4=4=1,解齊次線性方程組(E-B)X=0,得基礎解系

4=(-1,1,0)"殳=(-2,0,1兒

對應于4=4,解齊次線性方程組(4E-B)X=0,得基礎解系芻=(0,1,1)，

-I-20"-100

令矩陣。=巳G&3]=101,則。一切。=010

011_004

又因為QPQ=Q'C'ACQ=(CQ『A(CQ),

令矩陣

-1-20

P=CQ=[a,a2a、.101=[-%+a,,—2tZ]+Uy,ot2+%]，

011

則P即為所求的可逆矩陣.

【重點提示】利用⑴的結(jié)果相當于確定了A的相似矩陣，求矩陣A的特征值轉(zhuǎn)化

為求A的相似矩陣的特征值，這是問題的關(guān)鍵.

(23)

【詳解】因為x,y相互獨立，所以x,丫的聯(lián)合密度函數(shù)為:

0<^<1,0<y<4-00

f(x,y)=<

其它

當zK()時，F(xiàn)^(Z)=O,/z(Z)=0

當0<zWl時，C(z)=P{ZWz}=