進(jìn)才中學(xué)高二期末數(shù)學(xué)試卷

2021.01

一.填空題

1.若縊=G：(xeN*),則x的值為

2.設(shè)i為虛數(shù)單位，則一!一的虛部是______

2-1

3.若直線4:?+2y+l=0與4：x+3+l)y+l=0互相垂直，則。的值為

4.設(shè)直線"-y+3=0與圓(x—lf+(y-2)2=4相交于A、8兩點(diǎn)，且A3的弦長(zhǎng)為，

貝！Ia-________

5.在5名男生和4名女生中選出3人，至少有一名男生的選法有種

6.全班10人中，至少有2人的生日是在同一個(gè)月的概率是

(默認(rèn)每月的天數(shù)相同，結(jié)果精確到小數(shù)點(diǎn)后三位)

7.用數(shù)字組成無重復(fù)數(shù)字的三位數(shù)，其中奇數(shù)的個(gè)數(shù)為

8.七個(gè)男生和四個(gè)女生排成一排，要求女生不相鄰且不可排兩頭的排法共有

9.甲乙等六名志愿者被分到五個(gè)不同的崗位服務(wù)，每個(gè)崗位至少有一名志愿者，甲乙兩人

不在同一崗位服務(wù)的概率是

10.從集合用={2|2=1+1+[2+[3+1+〃，〃€?^}中任取兩個(gè)元素相加，則所得復(fù)數(shù)

的模為6的概率為

11.點(diǎn)A是曲線y=，￡+2(y42)上的任意一點(diǎn)，P(0-2),2(0,2),射線QA交

曲線f=8y于8點(diǎn)，BC垂直于直線y=3,垂足為點(diǎn)C,則下列結(jié)論：

(1)|AP|—IAQ|為定值2點(diǎn)；

(2)|QB|+|BC|為定值5；

(3)|E4|+|AB|+|BC|為定值5+&；

其中正確結(jié)論的序號(hào)是

7T

12.動(dòng)點(diǎn)P(x,y)在直角坐標(biāo)平面上能完成下列動(dòng)作:先從原點(diǎn)。沿正東偏北a(04a4彳)

方向行走一段時(shí)間后，再向正北方向行走，但何時(shí)改變方向不定，假定動(dòng)點(diǎn)P(x,y)速度為

10米/分鐘，則尸(x,y)行走2分鐘時(shí)的可能落點(diǎn)區(qū)域的面積是

二.選擇題

13.Z1、Z2是復(fù)數(shù)，則下列結(jié)論中正確的是()

Zz2-4z-Z

A.若z；+z；>0,則z：>-z；B.|Z,-z2k7(1+2)i2

C.z；+z；=0OZj=z2=0D.|z；|=|Z]『

14.已知曲線C的方程是尸(x,y)=0,則下列命題中錯(cuò)誤的是()

A.不在曲線C上的點(diǎn)的坐標(biāo)可以滿足方程尸(x,y)=0

B.曲線C上的點(diǎn)的坐標(biāo)都滿足方程F(x,y)=0

C.坐標(biāo)不滿足方程尸(x,y)=0的點(diǎn)都不在曲線C上

D.不在曲線C上的點(diǎn)的坐標(biāo)都不滿足方程尸(x,y)=0

15.已知曲線C：〃2，+町;2=1以下命題不正確的是()

A.若〃2>“>。，則曲線C是橢圓，其焦點(diǎn)在y軸上

B.若機(jī)=〃>0,則曲線C是圓，其半徑為薪

C.若加?〃<(),則曲線C是雙曲線，其漸近線方程為y=±J[x

D.若〃?=0,〃>0,則曲線C是兩條直線，其傾斜角均為0

22

16.若曲線|y|=x+2與曲線C:%工+v2~=1恰有兩個(gè)不同的交點(diǎn)，則實(shí)數(shù)4的取值范圍是

424

()

A.(l,+oo)B.(一8,—1]C.(-oo,-l]u(l,4-co)D.[-1,0)U(l,+oo)

三.解答題

17.已知二項(xiàng)式(如+■!?)"(〃eN*)的二項(xiàng)展開式中所有項(xiàng)的二項(xiàng)式系數(shù)之和為4096.

2x

(1)求(近+1)"(〃eN”)的展開式中的常數(shù)項(xiàng)的值；

2x

(2)在(1+X)+(1+X)2+(1+X)3+…+(1+幻2+”的展開式中，求X3項(xiàng)的系數(shù)的值.

18.已知復(fù)數(shù)z=(----匕尸是實(shí)系數(shù)一元二次方程的2+nx+l=0(m,neR)的一個(gè)根.

22

(1)求"2和〃的值；

(2)若4=(a-2i>z,aeR,z1為純虛數(shù)，求|a+2i|的值.

19.已知點(diǎn)￡、居依次為雙曲線C:［一［=1(a>0,b>0)的左、右焦點(diǎn)，且

a'b'

|耳6|=6,1(0,—b),B2(0,b).

(1)若“=逐，以1=(3,-4)為方向向量的直線/經(jīng)過耳，求6至I"的距離；

UUUULIL1

(2)若雙曲線C上存在點(diǎn)尸，使得4PB2P=-2,求實(shí)數(shù)人的取值范圍.

20.已知拋物線C:y2=2〃x(p>0)的焦點(diǎn)為尸，過戶作一條直線/與拋物線C相交于

A、B兩點(diǎn).

7T

(1)若直線/的傾斜角為一，請(qǐng)用p表示A、B兩點(diǎn)之間的距離；

4

(2)若點(diǎn)A在拋物線C的準(zhǔn)線上的射影為點(diǎn)。，求證：B、。、。在同一條直線上；

(3)在x軸上是否存在點(diǎn)Q,使得點(diǎn)。關(guān)于直線y=2x的對(duì)稱點(diǎn)在拋物線C上？如果存

在，求出所有滿足條件的點(diǎn)。的坐標(biāo)；如果不存在，請(qǐng)說明理由.

21.如圖，已知半圓G:f+y2=〃(y?o)與無軸交于A、B兩點(diǎn),與y軸交于E點(diǎn),

22

半橢圓。2：與+今=1(y>0,a>b>0)的上焦點(diǎn)為F,并且△AM是面積為6的

￡二—>

等邊三角形，將滿足■/+記句)'20的曲線，記為.

X2+y2=b~y<0

(1)求實(shí)數(shù)a、b的值；

(2)直線/:丁=岳與曲線「交于〃、N兩點(diǎn)，在曲線「上再取兩點(diǎn)S、T(S、T

分別在直線/兩側(cè))，使得這四個(gè)點(diǎn)形成的四邊形MSNT的面積最大，求此最大面積；

(3)設(shè)點(diǎn)K(0j)(reR),P是曲線「上任意一點(diǎn)，求|PK|的最小值.

參考答案

填空題

12

1.2或82.-3.—4.0

53

5.806.0.9967.3208.1814400

141

9.—10.一11.(1)(2)12.100萬-200

153

二.選擇題

13.D14.A15.B16.C

三.解答題

17.(1)依題意2"=4096得：n=U,

12-4*

+與'的展開式的通項(xiàng)是幾1

x

(A:=0,1,2,3,L,12),

人12—4人

令-I—=0得：%=3,.?.常數(shù)項(xiàng)是7；=

(2)《+竊+C+L+￡=4=1365.

1凡

18.(1)z=------—i,m=n=l；

22

(2)4一百+(1一立")i為純虛數(shù)，則—一百=0,1一@。工(),

2222

a——25/3,|a+2i|=4.

19.(1)依題意，|=的一/=2,則雙曲線C：弓—￡=1,4(°，—2)，6(3,0),

設(shè)直線/:4x+3y+，〃=0,將4(0,-2)代入解得：m=6,

18

此時(shí)/:4x+3y+6=0,6至I"的距離為d=—；

UUUUUU

(2)設(shè)雙曲線上的點(diǎn)P(x,y)滿足尸4，鳥=-2,即f+y2=b2—2,

丫2?ly-A-「2

又二-二二ln>2==2一〃，???(1+￡7*2=2〃-2,即二/=2加-2,

ab"aaa

'.'|x|><z=>x2>a2,且c?=9,2b2—229=022/H.,

2

考慮到b<c=3,實(shí)數(shù)6的取值范圍是

20.(1)設(shè)AB:y=x—5,聯(lián)立:/=2px得：

22

2

x-3px+--=0=>xA+xH-3p,xAxB--=>|AB|-xA+xH+p-4p；

⑵設(shè)A5:x“，+修聯(lián)立"2px得:V-2pj=0,

A(X]，x),B(x2,y2)DC-pjJ,

k_生卜_%_2p”2孫2孫—2M

_Ppxi%y%-PP

2

—kOB,.".By。、D在同一條直線上；

(3)設(shè)點(diǎn)。的坐標(biāo)為(f,0),點(diǎn)。關(guān)于直線y=2x的對(duì)稱點(diǎn)為Q'(x,y),

)?一]

則卜T2,解得：＜

y

—=x+t

[2

若0在C上，將。'的坐標(biāo)代入y=2px,得/=0或/=一?

O

存在滿足題意的點(diǎn)0,其坐標(biāo)為(0,0)和(一岸p，0).

O

a=2b

l[a=2

21.(1)設(shè)F(0,c)(c＞0),依題意＜c=由,解得：；

…U=1

(2)設(shè)曲線「的下半圓為G,上半橢圓為C2，與/平行的直線4與半圓G相切，切點(diǎn)為s.，

與/平行的直線4與半橢圓G相切，切點(diǎn)為工)，當(dāng)5、T恰好取品、時(shí)，四邊形MSNT

面積最大，

y=近丫r2G

由，y2=>M(—\OM\=y[l,\MN\=\+42,

—+x2=133

I4

y=\f2x+t