中考數(shù)學(xué)復(fù)習(xí)之小題狂練450題（選擇題）：軌跡一．選擇題（共10小題）1．（吳興區(qū)二模）如圖，在等邊三角形ABC中，AB＝3，點P為BC邊上一動點，連接AP，在AP左側(cè)構(gòu)造三角形OAP，使得∠AOP＝120°，OA＝OP．當(dāng)點P由點B運動到點C的過程中，點O的運動路徑長為（）A．B．C．πD．2．（2021秋?廉江市期末）如圖，⊙O的半徑為2，點C是圓上的一個動點，CA⊥x軸，CB⊥y軸，垂足分別為A、B，D是AB的中點，如果點C在圓上運動一周，那么點D運動過的路程長為（）A．B．C．πD．2π3．（2021秋?漢陽區(qū)校級月考）如圖，Rt△ABC中，∠A＝90°，∠B＝30°，AC＝1，將Rt△ABC延直線l由圖1的位置按順時針方向向右作無滑動滾動，當(dāng)A第一次滾動到圖2位置時，頂點A所經(jīng)過的路徑的長為（）A．B．C．D．（2+）π4．（鞍山二模）如圖，拋物線y＝﹣x2﹣2x+3與x軸交于A，C兩點，與y軸交于點B，點P為拋物線上一動點，過點P作PQ∥AB交y軸于Q，若點P從點A出發(fā)，沿著直線AB上方拋物線運動到點B，則點Q經(jīng)過的路徑長為（）A．B．C．3D．5．（寧波模擬）如圖，點A，B分別在x軸，y軸正半軸上（含坐標原點）滑動，且滿足OA+OB＝6，點C為線段AB的中點，將線段AC繞點A順時針旋轉(zhuǎn)90°得到線段AD，當(dāng)A由點O向右移動時，點D移動的路徑長為（）A．3B．4C．3D．6．（2020?桂林）如圖，已知的半徑為5，所對的弦AB長為8，點P是的中點，將繞點A逆時針旋轉(zhuǎn)90°后得到，則在該旋轉(zhuǎn)過程中，點P的運動路徑長是（）A．πB．πC．2πD．2π7．（岳麓區(qū)校級一模）如圖，在Rt△AOB中，∠ABO＝90°，∠AOB＝30°，AB＝，扇形AOC的圓心角為60°，點D為上一動點，P為線段BD上的一點，且PB＝2PD，當(dāng)點D從點A運動至點C，則點P的運動路徑長為（）A．B．C．D．8．（2020?淄博）如圖，放置在直線l上的扇形OAB．由圖①滾動（無滑動）到圖②，再由圖②滾動到圖③．若半徑OA＝2，∠AOB＝45°，則點O所經(jīng)過的運動路徑的長是（）A．2π+2B．3πC．D．+29．（2019?武漢）如圖，AB是⊙O的直徑，M、N是（異于A、B）上兩點，C是上一動點，∠ACB的角平分線交⊙O于點D，∠BAC的平分線交CD于點E．當(dāng)點C從點M運動到點N時，則C、E兩點的運動路徑長的比是（）A．B．C．D．10．（2021秋?市中區(qū)期中）如圖，直線l1：y＝x+1與直線l2：y＝相交于點P（﹣1，0）．直線l1與y軸交于點A．一動點C從點A出發(fā)，先沿平行于x軸的方向運動，到達直線l2上的點B1處后，改為垂直于x軸的方向運動，到達直線l1上的點A1處后，再沿平行于x軸的方向運動，到達直線l2上的點B2處后，又改為垂直于x軸的方向運動，到達直線l1上的點A2處后，仍沿平行于x軸的方向運動，…照此規(guī)律運動，動點C依次經(jīng)過點B1，A1，B2，A2，B3，A3，…，B2014，A2014，…則當(dāng)動點C到達A2021處時，運動的總路徑的長為（）A．20212B．22021﹣2C．22020+1D．22022﹣2

中考數(shù)學(xué)復(fù)習(xí)之小題狂練450題（選擇題）：軌跡（10題）參考答案與試題解析一．選擇題（共10小題）1．（吳興區(qū)二模）如圖，在等邊三角形ABC中，AB＝3，點P為BC邊上一動點，連接AP，在AP左側(cè)構(gòu)造三角形OAP，使得∠AOP＝120°，OA＝OP．當(dāng)點P由點B運動到點C的過程中，點O的運動路徑長為（）A．B．C．πD．【考點】等腰三角形的性質(zhì)；等邊三角形的性質(zhì)；軌跡．【專題】等腰三角形與直角三角形；平移、旋轉(zhuǎn)與對稱；幾何直觀；運算能力；推理能力．【分析】由題意，可知O點的運動軌跡為線段OO'，當(dāng)P點在B點時，∠OPC＝90°，當(dāng)P點在C點時，∠ACO＝30°，則△OAO'是等邊三角形，求出OO'＝OB＝OP＝，即可求點O的軌跡長．【解答】解：如圖，∵∠ACB＝60°，∠AOC＝120°，∴A、O、P、C四點共圓，∵OA＝OP，∠AOP＝120°，∴∠APO＝∠OAP＝30°，∵＝，∴∠ACO＝∠APO＝30°，∴∠ACO＝∠ACB＝30°，∴點O在∠ACB的角平分線上運動，∴O點的運動軌跡為線段OO'，當(dāng)P點在B點時，∠OPC＝90°，當(dāng)P點在C點時，∠ACO＝30°，∴∠OCB＝30°，∵AB＝3，∴OP＝CB?tan30°＝3×＝，∵OA＝O'A，∠AOO'＝60°，∴OO'＝OB＝OP＝，∴點O的運動路徑長為，故選：B．【點評】本題考查點的運動軌跡，熟練掌握等邊三角形的性質(zhì)，由P點的運動情況確定O點的運動軌跡是解題的關(guān)鍵．2．（2021秋?廉江市期末）如圖，⊙O的半徑為2，點C是圓上的一個動點，CA⊥x軸，CB⊥y軸，垂足分別為A、B，D是AB的中點，如果點C在圓上運動一周，那么點D運動過的路程長為（）A．B．C．πD．2π【考點】坐標與圖形性質(zhì)；圓周角定理；軌跡．【專題】矩形菱形正方形；推理能力．【分析】根據(jù)題意知四邊形OACB是矩形，可得點D是對角線AB、OC的交點，即OD＝OC，從而可知點D運動軌跡是一個半徑為1圓，求得此圓周長即可．【解答】解：如圖，連接OC，∵CA⊥x軸，CB⊥y軸，∴四邊形OACB是矩形，∵D為AB中點，∴點D在AC上，且OD＝OC，∵⊙O的半徑為2，∴如果點C在圓上運動一周，那么點D運動軌跡是一個半徑為1圓，∴點D運動過的路程長為2π?1＝2π，故選：D．【點評】本題主要考查點的軌跡問題，矩形的判定和性質(zhì)，根據(jù)四邊形OACB是矩形且D為AB中點判斷出點D的運動軌跡是解決此題的關(guān)鍵．3．（2021秋?漢陽區(qū)校級月考）如圖，Rt△ABC中，∠A＝90°，∠B＝30°，AC＝1，將Rt△ABC延直線l由圖1的位置按順時針方向向右作無滑動滾動，當(dāng)A第一次滾動到圖2位置時，頂點A所經(jīng)過的路徑的長為（）A．B．C．D．（2+）π【考點】含30度角的直角三角形；軌跡．【專題】幾何綜合題；推理能力．【分析】點A第一次滾動到圖2位置時，共向右無滑動滾動三次，第一次滾動，圓心角為120°，半徑為1；第二次滾動，圓心角為150°，半徑為；第三次滾動，點A沒有移動，計算出每一次滾動點A經(jīng)過的路徑長再求出它們的和即可．【解答】解：如圖，A第一次滾動到圖2位置時，共向右無滑動滾動三次，第一次滾動，圓心角為180°﹣60°＝120°，∵AC＝1，∴半徑長為1，∴點A經(jīng)過的路徑長為：＝；第二次滾動，圓心角為180°﹣30°＝150°，∵∠A＝90°，∠B＝30°，AC＝1，∴BC＝2AC＝2，∴AB＝＝＝，∴半徑長為，∴點A經(jīng)過的路徑長為：＝，第三次滾動，點A沒有移動，∴點A經(jīng)過的路徑長為0，∴當(dāng)A第一次滾動到圖2位置時，頂點A所經(jīng)過的路徑的長為：++0＝，故選：C．【點評】此題考查點的運動軌跡、弧長的計算公式、直角三角形中30°角所對的直角邊等于斜邊的一半、勾股定理等知識，解題的關(guān)鍵是確定滾動的次數(shù)和每一次滾動時的圓心角和半徑．4．（鞍山二模）如圖，拋物線y＝﹣x2﹣2x+3與x軸交于A，C兩點，與y軸交于點B，點P為拋物線上一動點，過點P作PQ∥AB交y軸于Q，若點P從點A出發(fā)，沿著直線AB上方拋物線運動到點B，則點Q經(jīng)過的路徑長為（）A．B．C．3D．【考點】二次函數(shù)的性質(zhì)；二次函數(shù)圖象上點的坐標特征；拋物線與x軸的交點；軌跡．【專題】二次函數(shù)圖象及其性質(zhì)；推理能力．【分析】分別求出點A、B的坐標，運用待定系數(shù)法求出直線AB，PQ的解析式，再求出它們與x軸的交點坐標即可解決問題．【解答】解：對于y＝﹣x2﹣2x+3，令x＝0，則y＝3，∴B（0，3），令y＝0，則x＝﹣3或1，∵點A在點C的左側(cè)，∴A（﹣3，0），設(shè)AB所在直線解析式為y＝kx+b，將A、B點代入得：，解得：，∴直線AB的解析式為：y＝x+3，∵PQ∥AB，∴設(shè)PQ的解析式為：y＝x+a，∵點Q經(jīng)過的路徑長是直線PQ經(jīng)過拋物線的切點與y軸的交點和點B的距離的2倍，∴方程﹣x2﹣2x+3＝x+a有兩個實數(shù)根，∴Δ＝9﹣4（a﹣3）＝0，解得：a＝，∴Q（0，），當(dāng)點P與點A重合時，點Q與點B重合時，此時點Q的坐標為（0，3），點Q經(jīng)過的路徑長為2×＝，故選：D．【點評】本題考查了拋物線與x軸的交點，待定系數(shù)法求函數(shù)解析式，拋物線與直線的交點問題，點Q經(jīng)過的路徑長是直線PQ經(jīng)過拋物線的切點與y軸的交點和點B的距離的2倍是解題的關(guān)鍵．5．（寧波模擬）如圖，點A，B分別在x軸，y軸正半軸上（含坐標原點）滑動，且滿足OA+OB＝6，點C為線段AB的中點，將線段AC繞點A順時針旋轉(zhuǎn)90°得到線段AD，當(dāng)A由點O向右移動時，點D移動的路徑長為（）A．3B．4C．3D．【考點】軌跡；坐標與圖形變化﹣旋轉(zhuǎn)．【專題】平移、旋轉(zhuǎn)與對稱；幾何直觀；運算能力；推理能力．【分析】分別討論A點在O點處，A點在（6，0）處時，點D的位置，從而確定D點的軌跡為線段，再結(jié)合圖形即可求解．【解答】解：如圖，∵OA+OB＝6，點C為線段AB的中點，∴AC＝BC，由旋轉(zhuǎn)可知，AC＝AD，∴當(dāng)A點在O點處時，CO＝3，此時D（3，0），∵OA+OB＝6，∴∠BAO＝45°，當(dāng)A點在（6，0）處時即A'處，AA'＝3，∵∠BAD'＝90°，∴∠D'AA'＝45°，∴△AA'D'為等腰直角三角形，∴AD'＝3，∴點D移動的路徑長為3，故選：C．【點評】本題考查點的運動軌跡，能夠根據(jù)A點運動情況確定D點的運動軌跡，數(shù)形結(jié)合解題是關(guān)鍵．6．（2020?桂林）如圖，已知的半徑為5，所對的弦AB長為8，點P是的中點，將繞點A逆時針旋轉(zhuǎn)90°后得到，則在該旋轉(zhuǎn)過程中，點P的運動路徑長是（）A．πB．πC．2πD．2π【考點】勾股定理；垂徑定理；圓心角、弧、弦的關(guān)系；軌跡；旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)．【專題】與圓有關(guān)的計算；運算能力；推理能力．【分析】根據(jù)已知的半徑為5，所對的弦AB長為8，點P是的中點，利用垂徑定理可得AC＝4，PO⊥AB，再根據(jù)勾股定理可得AP的長，利用弧長公式即可求出點P的運動路徑長．【解答】解：如圖，設(shè)的圓心為O，連接OP，OA，AP'，AP，AB'∵圓O半徑為5，所對的弦AB長為8，點P是的中點，根據(jù)垂徑定理，得AC＝AB＝4，PO⊥AB，OC＝＝3，∴PC＝OP﹣OC＝5﹣3＝2，∴AP＝＝2，∵將繞點A逆時針旋轉(zhuǎn)90°后得到，∴∠PAP′＝∠BAB′＝90°，∴LPP′＝＝π．則在該旋轉(zhuǎn)過程中，點P的運動路徑長是π．故選：B．【點評】本題考查了軌跡、垂徑定理、勾股定理、圓心角、弧、弦的關(guān)系、弧長計算、旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)，解決本題的關(guān)鍵是綜合運用以上知識．7．（岳麓區(qū)校級一模）如圖，在Rt△AOB中，∠ABO＝90°，∠AOB＝30°，AB＝，扇形AOC的圓心角為60°，點D為上一動點，P為線段BD上的一點，且PB＝2PD，當(dāng)點D從點A運動至點C，則點P的運動路徑長為（）A．B．C．D．【考點】含30度角的直角三角形；圓周角定理；軌跡．【專題】動點型；與圓有關(guān)的計算；推理能力．【分析】如圖，在OB上取一點M，使得BM＝2OM，連接PM，OD．利用平行線分線段成比例定理可得PM＝4，點P在是以M為圓心4為半徑的圓弧上運動．求出圓心角∠P′MP″即可解決問題．【解答】解：如圖，在OB上取一點M，使得BM＝2OM，連接PM，OD．在Rt△ABC中，∵∠ABC＝90°，∠AOB＝30°，AB＝3，∴OA＝2AB＝6，∵BP＝2PD，BM＝2MO，∴＝＝2，∴PM∥OD，∴＝＝，∴PM＝OD＝4，∴點P在是以M為圓心4為半徑的圓弧上運動．當(dāng)點D與A重合時，∠P′MB＝∠AOB＝30°，當(dāng)點D與C重合時，∠BMP″＝∠BOC＝90°，∴∠P′MP″＝60°，∴點P的運動路徑長為＝π，故選：A．【點評】本題考查軌跡，三角形中位線定理，解直角三角形，弧長公式等知識，解題的關(guān)鍵是正確尋找點的運動軌跡，屬于中考填空題中的壓軸題．8．（2020?淄博）如圖，放置在直線l上的扇形OAB．由圖①滾動（無滑動）到圖②，再由圖②滾動到圖③．若半徑OA＝2，∠AOB＝45°，則點O所經(jīng)過的運動路徑的長是（）A．2π+2B．3πC．D．+2【考點】軌跡．【專題】動點型；與圓有關(guān)的計算；應(yīng)用意識．【分析】利用弧長公式計算即可．【解答】解：如圖，點O的運動路徑的長＝的長+的長+O1O2的長＝++＝，故選：C．【點評】本題考查軌跡，弧長公式等知識，解題的關(guān)鍵是理解題意，靈活運用所學(xué)知識解決問題，屬于中考?？碱}型．9．（2019?武漢）如圖，AB是⊙O的直徑，M、N是（異于A、B）上兩點，C是上一動點，∠ACB的角平分線交⊙O于點D，∠BAC的平分線交CD于點E．當(dāng)點C從點M運動到點N時，則C、E兩點的運動路徑長的比是（）A．B．C．D．【考點】圓周角定理；軌跡．【專題】與圓有關(guān)的計算．【分析】如圖，連接EB．設(shè)OA＝r．作等腰Rt△ADB，AD＝DB，∠ADB＝90°，則點E在以D為圓心DA為半徑的弧上運動，運動軌跡是，點C的運動軌跡是，由題意∠MON＝2∠GDF，設(shè)∠GDF＝α，則∠MON＝2α，利用弧長公式計算即可解決問題．【解答】解：如圖，連接EB．設(shè)OA＝r．∵AB是直徑，∴∠ACB＝90°，∵E是△ACB的內(nèi)心，∴∠AEB＝135°，作等腰Rt△ADB，AD＝DB，∠ADB＝90°，則點E在以D為圓心DA為半徑的弧上運動，運動軌跡是，點C的運動軌跡是，∵∠MON＝2∠GDF，設(shè)∠GDF＝α，則∠MON＝2α∴＝＝．故選：A．【點評】本題考查弧長公式，圓周角定理，三角形的內(nèi)心等知識，解題的關(guān)鍵是理解題意，正確尋找點的運動軌跡，屬于中考選擇題中的壓軸題．10．（2021秋?市中區(qū)期中）如圖，直線l1：y＝x+1與直線l2：y＝相交于點P（﹣1，0）．直線l1與y軸交于點A．一動點C從點A出發(fā)，先沿平行于x軸的方向運動，到達直線l2上的點B1處后，改為垂直于x軸的方向運動，到達直線l1上的點A1處后，再沿平行于x軸的方向運動，到達直線l2上的點B2處后，又改為垂直于x軸的方向運動，到達直線l1上的點A2處后，仍沿平行于x軸的方向運動，…照此規(guī)律運動，動點C依次經(jīng)過點B1，A1，B2，A2，B3，A3，…，B2014，A2014，…則當(dāng)動點C到達A2021處時，運動的總路徑的長為（）A．20212B．22021﹣2C．22020+1D．22022﹣2【考點】一次函數(shù)的性質(zhì)；兩條直線相交或平行問題；軌跡．【專題】規(guī)律型；運算能力．【分析】由直線直線l1：y＝x+1可知，A（0，1），則B1縱坐標為1，代入直線l2：y＝x+中，得B1（1，1），又A1、B1橫坐標相等，可得A1（1，2），則AB1＝1，A1B1＝2﹣1＝1，可判斷△AA1B1為等腰直角三角形，利用平行線的性質(zhì)，得△A1A2B2、△A2A3B3、…、都是等腰直角三角形，根據(jù)平行于x軸的直線上兩點縱坐標相等，平行于y軸的直線上兩點橫坐標相等，及直線l1、l2的解析式，分別求A1B1，A2B2的長，得出一般規(guī)律，即可得到運動的總路徑的長＝2×（22021﹣1）＝22022﹣2．【解答】解：由直線l1：y＝x+1可知，A（0，1），根據(jù)平行于x軸的直線上兩點縱坐標相等，平行于y軸的直線上兩點橫坐標相等，及直線l1、l2的解析式可知，B1（1，1），AB1＝1，A1（1，2），A1B1＝2﹣1＝1，B2（3，2），A2（3，4），A1B2＝3﹣1＝2，A2B2＝4﹣2＝2，A2B3＝7﹣3＝4＝23﹣1，…，A3B3＝7﹣3＝4＝23﹣1，由此可得AnBn＝2n﹣1，所以，當(dāng)動點C到達A2021處時，運動的總路徑的長＝2×（1+2+22+23+……+22020），設(shè)S＝1+2+22+23+……+22020①，則2S＝2+22+23+24……+22021②，②﹣①，得：S＝22021﹣1，∴運動的總路徑的長＝2×（22021﹣1）＝22022﹣2．故選：D．【點評】本題考查了一次函數(shù)的綜合運用．關(guān)鍵是利用平行于x軸的直線上點的縱坐標相等，平行于y軸的直線上點的橫坐標相等，得出點的坐標，判斷等腰直角三角形，得出一般規(guī)律．

考點卡片1．坐標與圖形性質(zhì)1、點到坐標軸的距離與這個點的坐標是有區(qū)別的，表現(xiàn)在兩個方面：①到x軸的距離與縱坐標有關(guān)，到y(tǒng)軸的距離與橫坐標有關(guān)；②距離都是非負數(shù)，而坐標可以是負數(shù)，在由距離求坐標時，需要加上恰當(dāng)?shù)姆枺?、有圖形中一些點的坐標求面積時，過已知點向坐標軸作垂線，然后求出相關(guān)的線段長，是解決這類問題的基本方法和規(guī)律．3、若坐標系內(nèi)的四邊形是非規(guī)則四邊形，通常用平行于坐標軸的輔助線用“割、補”法去解決問題．2．一次函數(shù)的性質(zhì)一次函數(shù)的性質(zhì)：k＞0，y隨x的增大而增大，函數(shù)從左到右上升；k＜0，y隨x的增大而減小，函數(shù)從左到右下降．由于y＝kx+b與y軸交于（0，b），當(dāng)b＞0時，（0，b）在y軸的正半軸上，直線與y軸交于正半軸；當(dāng)b＜0時，（0，b）在y軸的負半軸，直線與y軸交于負半軸．3．兩條直線相交或平行問題直線y＝kx+b，（k≠0，且k，b為常數(shù)），當(dāng)k相同，且b不相等，圖象平行；當(dāng)k不同，且b相等，圖象相交；當(dāng)k，b都相同時，兩條線段重合．（1）兩條直線的交點問題兩條直線的交點坐標，就是由這兩條直線相對應(yīng)的一次函數(shù)表達式所組成的二元一次方程組的解．（2）兩條直線的平行問題若兩條直線是平行的關(guān)系，那么他們的自變量系數(shù)相同，即k值相同．例如：若直線y1＝k1x+b1與直線y2＝k2x+b2平行，那么k1＝k2．4．二次函數(shù)的性質(zhì)二次函數(shù)y＝ax2+bx+c（a≠0）的頂點坐標是（﹣，），對稱軸直線x＝﹣，二次函數(shù)y＝ax2+bx+c（a≠0）的圖象具有如下性質(zhì)：①當(dāng)a＞0時，拋物線y＝ax2+bx+c（a≠0）的開口向上，x＜﹣時，y隨x的增大而減?。粁＞﹣時，y隨x的增大而增大；x＝﹣時，y取得最小值，即頂點是拋物線的最低點．②當(dāng)a＜0時，拋物線y＝ax2+bx+c（a≠0）的開口向下，x＜﹣時，y隨x的增大而增大；x＞﹣時，y隨x的增大而減??；x＝﹣時，y取得最大值，即頂點是拋物線的最高點．③拋物線y＝ax2+bx+c（a≠0）的圖象可由拋物線y＝ax2的圖象向右或向左平移|﹣|個單位，再向上或向下平移||個單位得到的．5．二次函數(shù)圖象上點的坐標特征二次函數(shù)y＝ax2+bx+c（a≠0）的圖象是拋物線，頂點坐標是（﹣，）．①拋物線是關(guān)于對稱軸x＝﹣成軸對稱，所以拋物線上的點關(guān)于對稱軸對稱，且都滿足函數(shù)函數(shù)關(guān)系式．頂點是拋物線的最高點或最低點．②拋物線與y軸交點的縱坐標是函數(shù)解析中的c值．③拋物線與x軸的兩個交點關(guān)于對稱軸對稱，設(shè)兩個交點分別是（x1，0），（x2，0），則其對稱軸為x＝．6．拋物線與x軸的交點求二次函數(shù)y＝ax2+bx+c（a，b，c是常數(shù)，a≠0）與x軸的交點坐標，令y＝0，即ax2+bx+c＝0，解關(guān)于x的一元二次方程即可求得交點橫坐標．（1）二次函數(shù)y＝ax2+bx+c（a，b，c是常數(shù)，a≠0）的交點與一元二次方程ax2+bx+c＝0根之間的關(guān)系．△＝b2﹣4ac決定拋物線與x軸的交點個數(shù)．△＝b2﹣4ac＞0時，拋物線與x軸有2個交點；△＝b2﹣4ac＝0時，拋物線與x軸有1個交點；△＝b2﹣4ac＜0時，拋物線與x軸沒有交點．（2）二次函數(shù)的交點式：y＝a（x﹣x1）（x﹣x2）（a，b，c是常數(shù)，a≠0），可直接得到拋物線與x軸的交點坐標（x1，0），（x2，0）．7．等腰三角形的性質(zhì)（1）等腰三角形的概念有兩條邊相等的三角形叫做等腰三角形．（2）等腰三角形的性質(zhì)①等腰三角形的兩腰相等②等腰三角形的兩個底角相等．【簡稱：等邊對等角】③等腰三角形的頂角平分線、底邊上的中線、底邊上的高相互重合．【三線合一】（3）在①等腰；②底邊上的高；③底邊上的中線；④頂角平分線．以上四個元素中，從中任意取出兩個元素當(dāng)成條件，就可以得到另外兩個元素為結(jié)論．8．等邊三角形的性質(zhì)（1）等邊三角形的定義：三條邊都相等的三角形叫做等邊三角形，等邊三角形是特殊的等腰三角形．①它可以作為判定一個三角形是否為等邊三角形的方法；②可以得到它與等腰三角形的關(guān)系：等邊三角形是等腰三角形的特殊情況．在等邊三角形中，腰和底、頂角和底角是相對而言的．（2）等邊三角形的性質(zhì)：等邊三角形的三個內(nèi)角都相等，且都等于60°．等邊三角形是軸對稱圖形，它有三條對稱軸；它的任意一角的平分線都垂直平分對邊，三邊的垂直平分線是對稱軸．9．含30度角的直角三角形（1）含30度角的直角三角形的性質(zhì)：在直角三角形中，30°角所對的直角邊等于斜邊的一半．（2）此結(jié)論是由等邊三角形的性質(zhì)推出，體現(xiàn)了直角三角形的性質(zhì)，它在解直角三角形的相關(guān)問題中常用來求邊的長度和角的度數(shù)．（3）注意：①該性質(zhì)是直角三角形中含有特殊度數(shù)的角（30°）的特殊定理，非直角三角形或一般直角三角形不能應(yīng)用；②應(yīng)用時，要注意找準30°的角所對的直角邊，點明斜邊．10．勾股定理（1）勾股定理：在任何一個直角三角形中，兩條直角邊長的平方之和一定等于斜邊長的平方．如果直角三角形的兩條直角邊長分別是a，b，斜邊長為c，那么a2+b2＝c2．（2）勾股定理應(yīng)用的前提條件是在直角三角形中．（3）勾股定理公式a2+b2＝c2的變形有：a＝，b＝及c＝．（4）由于a2+b2＝c2＞a2，所以c＞a，同理c＞b，即直角三角形的斜邊大于該直角三角形中的每一條直角邊．11．垂徑定理（1）垂徑定理垂直于弦的直徑平分這條弦，并且平分弦所對的兩條?。?）垂徑定理的推論推論1：平分弦（不是直徑）的直徑垂直于弦，并且平分弦所對的兩條?。?/p>