重慶育仁中學(xué)2021-2022學(xué)年高一數(shù)學(xué)文月考試卷含解

析

一、選擇題：本大題共1()小題，每小題5分，共50分。在每小題給出的四個(gè)選

項(xiàng)中，只有是一個(gè)符合題目要求的

A.c<b<aB.c<a<bc.a<c<bD.a<b<c

參考答案：

2.一個(gè)三棱錐的正視圖和側(cè)視圖及其尺寸如圖所示，則該三棱錐俯視圖的面積為

nn□

D.1或2

參考答案:

D

3.已知向量a與b的夾角為60°,IbI=2,(a+2b)?(a-3b)=-12,則向量a

的模等于

A.3B.4C.6D.12

參考答案:

B

4,已知」(cosx)=co$2x.則/'(sm30"i的值等于()

22

(A)2(B)-2(C)0(D)1

參考答案：

B

略

5.設(shè)全集〃=(x|x>0},集合4=(x|x>2),則&力等于()

A."|0<K<2)B.*|x<2}&*1x42)D.

*|0<D

參考答案：

D

6.已知圓柱的軸截面為正方形，且該圓柱的側(cè)面積為36兀，則該圓柱的體積為

A.27兀B.36KC.54兀D.81兀

參考答案：

C

【分析】

設(shè)圓柱的底面半徑，，該圓柱的高為2尸，利用側(cè)面積得到半徑，再計(jì)算體積.

【詳解】設(shè)圓柱的底面半徑，.因?yàn)閳A柱的軸截面為正方形，所以該圓柱的高為2r

因?yàn)樵搱A柱的側(cè)面積為36X，所以2QX2r=36冗，解得r=3,

故該圓柱的體積為Q'AMnx^xlxJuX網(wǎng).

故答案選C

【點(diǎn)睛】本題考查了圓柱的體積，意在考查學(xué)生的計(jì)算能力和空間想象能力.

7.(5分)在同一直角坐標(biāo)系中，函數(shù)f(x)=xa(x>0),g(x)=log.x的圖象可能是

()

參考答案：

D

考點(diǎn)：函數(shù)的圖象.

專題：函數(shù)的性質(zhì)及應(yīng)用.

分析：結(jié)合對(duì)數(shù)函數(shù)和幕函數(shù)的圖象和性質(zhì)，分當(dāng)0<a<l時(shí)和當(dāng)a>l時(shí)兩種情況，討

論函數(shù)f(x)=x"(x》0),g(x)=log.x的圖象，比照后可得答案.

解答：當(dāng)OVaVl時(shí)，函數(shù)f(x)=<(x'O),g(x)=log?x的圖象為：

此時(shí)答案D滿足要求，

當(dāng)a>1時(shí)，函數(shù)f（x）=x"（x20）,g（x）=logax的圖象為:

無(wú)滿足要求的答案,

綜上：故選D,

故選：D.

點(diǎn)評(píng)：本題考查的知識(shí)點(diǎn)是函數(shù)的圖象，熟練掌握對(duì)數(shù)函數(shù)和基函數(shù)的圖象和性質(zhì)，是解

答的關(guān)鍵.

8.in和n是分別在兩個(gè)互相垂直的面a、B內(nèi)的兩條直線，a與B交于1,m和

n與1既不垂直，也不平行，那么m和n的位置關(guān)系

是（）

A.可能垂直，但不可能平行B.可能平行，但不可能垂直

C.可能垂直，也可能平行D.既不可能垂直，也不可

能平行

參考答案：

D

9.設(shè)/,（A-）是（-8,+oo）上的奇函數(shù)，f（戶2）=一/（X）,當(dāng)OWxWl時(shí)，f（x）

=x,則f（11.5）等于（）

A.0.5B.-0.5C.1.5D.

-1.5

參考答案：

B

略

,2k.2次tan30°

Q=cos——sin-c--------=---->

10.已知a=sml5°co$15°,66,l-tanJ30°,則4仇。的大小關(guān)系

是（）

A.a<b<cB.a>b>cc.c>a>bD.

a<c<b

參考答案：

A

略

二、填空題:本大題共7小題,每小題4分，共28分

11.已知aAc分別為從8C的三個(gè)內(nèi)角4瓦C的對(duì)邊，4?2,且

（2+圾沏A-河5：小則也43一面積的最大值為

參考答案：

4.7位

12.兩等差數(shù)列SJ和也）,前”項(xiàng)和分別為6?，4,且匯-中，則

4+%-.

參考答案：

149

24

【考點(diǎn)】8F：等差數(shù)列的性質(zhì)；85：等差數(shù)列的前”項(xiàng)和.

【分析】在｛aj為等差數(shù)列中，當(dāng).+時(shí)，4+所以結(jié)

4+h21x(4出)/4

合此性質(zhì)可得：一、'2,再根據(jù)題意得到答案.

【解答】解：在＜&｝為等差數(shù)列中，當(dāng)■+”■尸時(shí)，4+"，+%

——0n%4

所以32M+3號(hào)

￡7O+2

又因?yàn)閆"?+5,

/149

所以*r+4?不

149

故答案為：24

是偶函數(shù)，則a=

參考答案:

考點(diǎn)：正弦函數(shù)的奇偶性.

專題：三角函數(shù)的求值.

兀7T

分析：利用和角公式、差角公式展開(kāi)f⑺=aSin才+3sin(X"T),再結(jié)合

y=cosx是偶函數(shù)，由觀察法解得結(jié)果.

解答：解:

f(x)~asin(x+—)+3sin(l?)=a(X^sinxf~7r-osx)+3(--sinx---cosx)

是

偶函數(shù),

取a=-3,可得f(X)=_3&cosx為偶函數(shù).

故答案為：-3.

點(diǎn)評(píng)：判斷一個(gè)函數(shù)是偶函數(shù)的方法就是偶函數(shù)的定義，若f(-x)=f(x)則f(x)是

偶函數(shù).有時(shí)，僅靠這個(gè)式子會(huì)使得計(jì)算相當(dāng)復(fù)雜，這時(shí)觀察法就會(huì)起到重要的作用.

14.以下四個(gè)命題

(1)/a)=1(xwR)不是函數(shù)。

(2)若函數(shù)78T)的定義域?yàn)榭赯,則函數(shù)/也)的定義域?yàn)?呷

2x-3

/(x)=——(xe(3.6))(y|"2]

(3)函數(shù)X的值域?yàn)镮叩/J

0,4}(4)解析式為八工)=『且值域?yàn)榈牟煌瘮?shù)共有9個(gè)

其中正確的命題是(寫(xiě)出所有正確命題的序號(hào))

參考答案：

略

15.aABC的三個(gè)內(nèi)角A,B,C的對(duì)邊長(zhǎng)分別為a,b,c,R是^ABC的外接圓半徑，有

下列四個(gè)條件：

(1)(a+b+c)(a+b-c)=3ab

(2)sinA=2cosBsinC

(3)b=acosC,c=acosB

(4)2R(sin2A_sin2C)=(a—b)sinB

有兩個(gè)結(jié)論：甲：AABC是等邊三角形.乙：AABC是等腰直角三角形.

請(qǐng)你選取給定的四個(gè)條件中的兩個(gè)為條件，兩個(gè)結(jié)論中的一個(gè)為結(jié)論，寫(xiě)出一個(gè)你認(rèn)為正

確的命題.

參考答案：

(1)(2)一甲或(2)(4)一乙或(3)(4)—乙

【分析】若(1)(2)一甲，由(1)利用平方差及完全平方公式變形得到關(guān)于a,b及c

的關(guān)系式，利用余弦定理表示出cosC,把得到的關(guān)系式代入求出cosC的值，由C為三角

形的內(nèi)角，利用特殊角的三角函數(shù)值求出C為60。，再利用誘導(dǎo)公式及兩角和與差的正弦

函數(shù)公式化簡(jiǎn)(2)中的等式，得到sin(B-C)=0,由B和C為三角形的內(nèi)角，得到B-C

的范圍，利用特殊角的三角函數(shù)值得到8=<2,從而得到三角形為等邊三角形；

若(2)(4)一乙，利用誘導(dǎo)公式及兩角和與差的正弦函數(shù)公式化簡(jiǎn)(2)中的等式，得

到sin(BC)=0,由B和C為三角形的內(nèi)角，得到BC的范圍，利用特殊角的三角函數(shù)值

得到B=C,再利用正弦定理化簡(jiǎn)(4)中的等式，得到a=V2b,利用勾股定理的逆定理得

到4A為直角，從而得到三角形為等腰直角三角形；

若(3)(4)->乙，利用正弦定理化簡(jiǎn)(4)中的等式，得到a=?b,利用勾股定理的逆

定理得到NA為直角，再利用正弦定理化簡(jiǎn)(3)中的兩等式，分別表示出sinA,兩者相等

再利用二倍角的正弦函數(shù)公式，得到sin2B=sin2C,由B和C都為三角形的內(nèi)角，可得

B=C,從而得到三角形為等腰直角三角形.三者選擇一個(gè)即可.

【解答】解：由(1)(2)為條件，甲為結(jié)論，得到的命題為真命題，理由如下：

證明：由(a+b+c)(a+b-c)=3ab,變形得：

a2+b2+2ab-c2=3ab,即a2+b2-c2=ab,

2,221

a+bk~~c1

則cosC=―2ab—五,又C為三角形的內(nèi)角，

/.C=60°,

又sinA=sin(B+C)=sinBcosC+cosBsinC=2cosBsinC,

即sinBcosC-cosBsinC=sin(B-C)=0,

v-7r<B-C<7r,

?,BOO,即B=C,

則A=B=C=60°,

??.△ABC是等邊三角形；

以(2)(4)作為條件，乙為結(jié)論，得到的命題為真命題，理由為：

證明：化簡(jiǎn)得：sinA=sin(B+C)=sinBcosC+cosBsinC=2cosBsinC,

即sinBcosC-cosBsinC=sin(B-C)=0,

V.7l<B-C<7l,

??BC=0,即B=C,

，b二c,

abc

由正弦定理sinA=sinB=sinC=2R得：

abc

sinA=2R,sinB=2R,sinC=2R,

代入2R(sin2A-si11七)二(近3-1>)$1133得：

22

q—j旦

2R?(4R2.4R2)=(V2a-b)?2R,

整理得：a2-b2=V2ab-b2,即a?二亞ab,

??.a=V^b,

/.a2=2b2,又b2+c2=2b2,

.*.a2=b2+c2,

AZA=90°,

則三角形為等腰直角三角形；

以(3)(4)作為條件，乙為結(jié)論，得到的命題為真命題，理由為:

abc

證明：由正弦定理sinA=sinB=sinC=2R得：

abc

sinA=2R,sinB=2R,sinC=2R,

代入2R(sin^-sin電)二(亞a-b)sinB得：

22

二—-J旦

2R?(4R2.4R2)=(V2a-b)?2R,

整理得:a2-b2=V2ab-b2,即a2=V2ab,

/.a=V2b,

.，.a2=2b2,又b2+c2=2b2,

r.a2=b24-c2,

.-.ZA=90°,

又b=acosC，c=acosB,

根據(jù)正弦定理得：sinB=sinAcosC,sinC=sinAcosB,

sinBsinC

ACOSC=cosB,即sinBcosB=sinCcosC,

.%sin2B=sin2C,又B和C都為三角形的內(nèi)角,

???2B=2C,即B=C,

則三角形為等腰直角三角形.

故答案為：(1)(2)一甲或(2)(4)-乙或(3)(4)—乙

【點(diǎn)評(píng)】此題考查了三角形形狀的判斷，涉及的知識(shí)有正弦、余弦定理，兩角和與差的正

弦函數(shù)公式，勾股定理，等邊三角形的判定，等腰三角形的判定與性質(zhì)，屬于條件開(kāi)放型

題，是一類(lèi)背景新、解題活、綜合性強(qiáng)、無(wú)現(xiàn)成模式的題型.解答此類(lèi)題需要運(yùn)用觀察、

類(lèi)比、猜測(cè)、歸納、推理等多種探索活動(dòng)尋求解題策略.

16.函數(shù)/*)=Jx'+2x_3的單調(diào)減區(qū)間是。

參考答案：

(-00,-3]

略

17.如圖，一輛汽車(chē)在一條水平的公路上向正西行駛，到A處時(shí)測(cè)得公路北側(cè)一山頂。在

西偏北30。的方向上，行駛600m后到達(dá)8處，測(cè)得此山頂在西偏北75。的方向上，仰角為

30。，則此山的高度CZ>m.

參考答案：

1%G

試題分析:由題設(shè)可知在as。中,-caB=泌一皿=.，由此可得以滿金由

CB600

正弦定理可得51n30：一沏，解之得儂於登也信，又因?yàn)樾哪苠?嵬：所以

CD-CBtan30=:。0、其，應(yīng)填1g.

考點(diǎn)：正弦定理及運(yùn)用.

三、解答題：本大題共5小題，共72分。解答應(yīng)寫(xiě)出文字說(shuō)明，證明過(guò)程或演算

步驟

18.已知函數(shù)f(x)=lg(3+x)+lg(3-x).

(1)求函數(shù)f(x)的定義域；

(2)判斷函數(shù)f(x)的奇偶性，并說(shuō)明理由.

參考答案：

【考點(diǎn)】對(duì)數(shù)函數(shù)的圖象與性質(zhì)；函數(shù)奇偶性的判斷.

【分析】(1)根據(jù)對(duì)數(shù)的真數(shù)大于零列出不等式組，即可求出函數(shù)的定義域;

(2)根據(jù)奇偶函數(shù)的定義域進(jìn)行判斷.

(3+x>0

【解答】解：(1)要使函數(shù)有意義，則13-x>0,

解得-3Vx<3,

所以函數(shù)的定義域是(-3,3)；

(2)函數(shù)f(x)是偶函數(shù)，

由(1)知函數(shù)的定義域關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱，

因?yàn)閒(-x)=lg(3-x)+lg(3+x)=f(x),

所以函數(shù)f(x)是偶函數(shù).

，(功=(2a-l)lnrf—?工+2

19.(本題滿分12分)函數(shù)x

(I)討論人幻的單調(diào)性；

(II)若./U)有三個(gè)零點(diǎn)，求?的取值范圍.

參考答案：

2a-12ax,+(2a-I)x-2a

rw=-+,==

w：(i)-??--G>o)(i分)

①若aAO,貝u,當(dāng)時(shí)，八力<。，/(0單調(diào)遞減；當(dāng)時(shí),

八功＞0,/（x）單調(diào)遞增.（2分）

②若“一一工則/eCV1?）,人工）之0（僅/*（0=。），/W單調(diào)遞增.（3分）

③若則0＜-2a＜l,當(dāng)xe（Q-2a）或工^b1?）時(shí)，單調(diào)

遞增；當(dāng)xw（乜D時(shí)，/*（功＜0,/（X）單調(diào)遞減（4分）

④若“＜一亍，則一2?＞1,當(dāng)工《QD或時(shí)，/*（勸＞。，/（X）單調(diào)遞增;

當(dāng)XW（L2a）時(shí)，/（工）單調(diào)遞減.（5分）

（II）法一：①由（I）知，當(dāng)aNO時(shí)，/（x）至多有兩個(gè)零點(diǎn),（6分）

1

②由（I）知，當(dāng)"一七寸，f（X）至多有一個(gè)零點(diǎn).（7分）

1JA-20）＞O

③若一寸“＜,則要使私）有三個(gè)零點(diǎn)，必須有l(wèi)m＜°成立，

由/e＜o(jì),得“＜一5,這與下＜“＜矛盾，所以/（*）不可能有三個(gè)零點(diǎn).（8分）

_11/（1）＞0

④若“＜一"則要使/㈤有三個(gè)零點(diǎn)，必須有1人-功＜°成立，

由/（P＞o,得“＞方，由/（%=3一皿一網(wǎng)一1）＜0及@＜一1得

3冬

二一一＜a＜一一

22（io分）

3e

并且，當(dāng)~5＜°＜方時(shí)，。＜?-'＜城＞-入

,2=4+-

/（?3）=＜l42a（?'a*2）＞??-X?^*2）=?2-6-3?^＞?J-7＞0

（注：此處用極限說(shuō)明，扣1分）

（N

綜上，使，（*）有三個(gè)零點(diǎn)的4的取值范圍為21工。（12分）

王_h丁ix-丁x-2

法二：由/㈤=°,得，'工，

M"11_"ra（x+IXxD01IX-D,

令X，則（1+d■另，（7分）

當(dāng)rt（Ql）或工十”）時(shí)，”（力＜0,4目單調(diào)遞減；

當(dāng)xw（Le）時(shí)，”（乃＞0,4勸單調(diào)遞增；

所以，當(dāng)x=l時(shí)，取得極小值，極小值為MD=一3,

當(dāng)工=?時(shí)，M功取得極大值，極大值為“,）=-￡；（9分）

并且0＜*2＜1/＞7＞.

-(4+?*)-5.

)=/_2>>T>r

（注：此處用極限說(shuō)明，扣1分）

綜上可知，當(dāng)力＜-3,-?）時(shí)，直線＞=須與曲線＞=乂工）恰有三個(gè)不同的交點(diǎn).（

分）

所以，使有三個(gè)零點(diǎn)的。的取值范圍為于一2〉.（12分）

20.求過(guò)原點(diǎn)且傾斜角為60。的直線被圓V+/一49二°截得的弦長(zhǎng)。

參考答案：

川

【分析】

首先求得圓心到直線的距離，然后利用弦長(zhǎng)公式可得弦長(zhǎng).

【詳解】過(guò)原點(diǎn)且傾斜角為60。的直線方程為限一，=°,

圓-e-"。的標(biāo)準(zhǔn)方程為7?（尸-2『=4,圓心坐標(biāo)為（0,2）,半徑為2

圓心到直線的距離：6+1,

結(jié)合弦長(zhǎng)公式可得弦長(zhǎng)為：2<2'-『=2、行.

n

21.(8分)已知函數(shù)f(x)=Asin(wx+<l>),(A>0,|@|<2,3>0)的圖象的一

部分如圖所示.

(1)求f(x)的表達(dá)式；

(2)試寫(xiě)出f(x)的單調(diào)減區(qū)間及對(duì)稱軸方程.

參考答案：

考點(diǎn)：正弦函數(shù)的圖象.

專題：三角函數(shù)的求值；三角函數(shù)的圖像與性質(zhì).

分析：(1)利用函數(shù)的圖象主要確定A,6,3的值，進(jìn)一步求出函數(shù)的解析式.

(2)根據(jù)(1)的結(jié)論，進(jìn)一步利用整體思想確定函數(shù)的單調(diào)區(qū)間和對(duì)稱軸方程.

T5—H

解答：解：根據(jù)函數(shù)的圖象，

則：T=4n

n2H_1

所以：一4冗一2

n冗

當(dāng)x=N時(shí)，函數(shù)f(N)=2

則：A=2,

Kn

進(jìn)一步利用f(-T)=2且，|*I<~2,

3-

解得：<J>=8

13冗

所以：f(x)=2sin(2X8)

1

(2)根據(jù)