隨機估計和VDR檢驗（一）程維虎戴家佳楊振海張國志2013-2-49:09:27來源：《數(shù)理統(tǒng)計與管理》（京）2012年1期第32?54頁內(nèi)容提要：眾所周知統(tǒng)計推斷有三種理論：普遍承認的Neyman理論（頻率學派），Bayes推斷和信仰推斷（Fiducial）。Bayes推斷基于后驗分布，由先驗分布和樣本分布求得。信仰推斷是基于信仰分布（ConfidenceDistribution,簡稱CD），直接利用樣本求得。兩者推斷方式一致，都是用分布函數(shù)作推斷，稱為分布推斷。從分析傳統(tǒng)的參數(shù)估計、假設(shè)檢驗特性來看，經(jīng)典統(tǒng)計推斷也可以視為分布推斷。通常將置信上限看做置信度的函數(shù)。其反函數(shù)，即置信度是置信上界的函數(shù)，恰是分布函數(shù)，該分布恰是近年來引起許多學者興趣的CD。在本文中，基于隨機化估計（其分布是一CD）的概率密度函數(shù)，提出VDR檢驗。常見正態(tài)分布期望或方差的檢驗，多元正態(tài)分布期望Hoteling檢驗等是其特例。VDR（verticaldensityrepresentation）檢驗適合于多元分布參數(shù)檢驗，實現(xiàn)了非正態(tài)的多元線性變換分布族的參數(shù)檢驗。VDR構(gòu)造的參數(shù)的置信域有最小Lebesgue測度。關(guān)鍵詞：隨機推斷VDR檢驗最小Lebesgue測度置信域作者簡介：程維虎，北京工業(yè)大學應用數(shù)理學院（北京100124）；戴家佳,貴州大學理學院（貴州貴陽550025）；楊振海，北京工業(yè)大學應用數(shù)理學院；張國志，哈爾濱理工大學（黑龍江哈爾濱150080）。0引言首先考慮一維參數(shù)的推斷問題。所謂一維參數(shù)假設(shè)檢驗問題，是指假設(shè)涉及的參數(shù)是一維的，可以是分布參數(shù)的分量。為問題明確，將總體分布或密度函數(shù)寫作忑~八躡鼻）理電JVC1R,AeAgjH-*1.NxAM參數(shù)空間。設(shè)注=（每，…「是抽自f（訶丿）的樣本，樣本空間記柞滋口考慮假設(shè)螞：耳=羽i #刑. ｛］）關(guān)于假設(shè)（1）,入是冗余參數(shù)。關(guān)于參數(shù)n統(tǒng)計推斷，眾所周知有三種理論：頻率學派，F(xiàn)iducial推斷和Bayes推斷?，F(xiàn)在普遍接受的Neyman理論，稱為頻率學派。認為未知參數(shù)是常數(shù)，用統(tǒng)計量推斷參數(shù)，包括點估計、置信區(qū)間和假設(shè)檢驗。Fiducial推斷和Bayes推斷都是以概率分布推斷參數(shù)。認為參數(shù)是隨機變量，統(tǒng)計推斷就依據(jù)參數(shù)的分布，分別稱作Fiducial分布和后驗分布。兩者求法不同，而推斷參數(shù)的方法一致，稱為分布推斷。通常認為他們的推斷機制是不同于Neyman理論的。隨機估計源于Fisher的信仰推斷，是經(jīng)典統(tǒng)計的概念。Fisher提出的信仰推斷（Fiducialinference）是用信仰分布推斷參數(shù)。什么是信仰分布？Fisher于1930年，在他的“Inverseprobability"—文中作為挑戰(zhàn)Bayes的后驗分布而提出信仰分布概念。設(shè)F（.，0）是隨機變量X的分布函數(shù)，概率密度函數(shù)是f（.，0）。給定x，F(xiàn)isher定義信仰分布密度函數(shù)為該公式也適用于基于樞軸量計算參數(shù)的信仰分布密度函數(shù)。h（x,n）是定義在?曠xn上，取值于n上的函數(shù)。對給定n,h（X,n）的分布函數(shù)Q（?）與參數(shù)n，入無關(guān)，對給定樣本x,h（x,?）是N-N的單調(diào)函數(shù)，則稱h（x,n）是參數(shù)n的樞軸量。Q（?）的概率密度函數(shù)記作q（?）。Fisher認為n是隨機變量，其分布密度函數(shù)是WW）= 冷））駕^切ph（X,r））z切（?），⑶公式（2）或（3）的導出有兩步：1?確定樞軸量h（X,n）的分布時n是常數(shù)參數(shù)，x是隨機變量；2?求信仰分布密度函數(shù)時又認為n是隨機變量，樣本為x是常數(shù)。參數(shù)n是常數(shù)還是隨機變量？這就是所謂Fisher疑惑。若n是隨機變量，h（x,n）=v?q（?），公式（3）是正確的。只是導出隨機變量v的分布時n是常數(shù)，導出信仰分布時又成了隨機變量。既然存在邏輯上的不一致為什么信仰推斷至今還是研究熱點之一？除是大師Fisher提出的概念外，還因為在眾多情形下信仰推斷結(jié)果和經(jīng)典結(jié)果一致;有些經(jīng)典統(tǒng)計難題，容易用信仰推斷來解決,如Behrens-Fisher問題。對正態(tài)總體經(jīng)典推斷和信仰推斷結(jié)果是一致的。為消除邏輯上的疑惑，引進隨機估計概念。用隨機變量"I估計（常數(shù)）參數(shù)n，叫做參數(shù)n的隨機化估計或就叫隨機估計，它應滿足(4)V=b(x.(4)的密度函數(shù)由(3)給出。隨機估計是取值于參數(shù)空間的隨機變量，其分布依賴于樣本。它不同于統(tǒng)計量，統(tǒng)計量是樣本的函數(shù)，其分布依賴于參數(shù)。當存在參數(shù)的充分統(tǒng)計量時樣本可用充分統(tǒng)計量代替。如對樣本大小為D的正態(tài)分布樣本.設(shè)為樣木方差、則h(“(/)=(n-1 (k)/(t2是樞軸量.其分布是自由度為升-1的丄分布。于是，參數(shù)的Fiducial分布密度是脅血*加-(歸竺)上疋\、辿)w2*0<w<00,其中chikM自由度為k的/分布的密度函數(shù)巾a2的隨機估itf滿足方程也C即s(n-1)4"X盒7r的簫度函數(shù)是pM(?)*自由度為n-1的逆￡分布nNeyman理論核心觀點認為參數(shù)是未知常數(shù)，用統(tǒng)計量估計參數(shù)，無論點估計還是區(qū)間估計都是隨機變量。是容易被人接受的符合常理的觀點。而Fiducial推斷和Bayes推斷都將參數(shù)看作隨機變量。無論哪種推斷，都認為在觀測樣本時參數(shù)是不變的。初看起來，Neyman理論與Fiducial推斷和Bayes推斷完全不同。但是，三種理論是有內(nèi)在聯(lián)系的，換一個視點看Neyman理論，三種推斷參數(shù)方式的一致性就出現(xiàn)了，Neyman理論參數(shù)推斷也可視為分布推斷，僅有看待參數(shù)觀點上的差異。參數(shù)的點估計、置信區(qū)間和假設(shè)檢驗是統(tǒng)計推斷的基本內(nèi)容，即使比簡單樣本更復雜的數(shù)據(jù)，不管多么復雜的統(tǒng)計模型的觀測數(shù)據(jù)，都要研究這些內(nèi)容。這些內(nèi)容是相互關(guān)聯(lián)的，相互確定的。點估計可以視為置信區(qū)間的特例。通常認為經(jīng)典統(tǒng)計、信仰推斷和Bayes推斷是不同的。換一種觀點看經(jīng)典統(tǒng)計，亦看作分布推斷。以下討論經(jīng)典推斷的分布推斷特性。通常將置信上界看做置信度的函數(shù),如果將兩者地位互換，就可發(fā)現(xiàn)三種推斷方式的共性。對任意給定的x,設(shè)樞軸量h（X，n）是口的單增函數(shù)。n的置信度為Y的置信上界帀二帀（X,Y）由下式確定：hg朗=屁（門o<7<h（珞—oo）= oo）=1F易見,點估計W.信度為1-a直信區(qū)間蚣fl-PKor/2）^L-a/2）］;>信度為1-a置信下界9=現(xiàn)口k假設(shè)檢驗問題可歸結(jié)為置信區(qū)間冋虬或迸信上下界問題二由此可見.統(tǒng)計推晰內(nèi)容或信息集屮于置信上界’通?？偸菍⑦^信上限看柞置信度的函數(shù)，且通曲認為置信度不小于從置信上界計算無需這限制’如公武9）所示。可以將置倍度看作賈信上界的函數(shù)：乍二凡F饑JJ）,亓€朋 （6）孟是具體樣本。特別強調(diào)F叩）定義比參數(shù)空何N上的甬數(shù)■樣本工可觀為函數(shù)參數(shù)°由（D式、“,"）有氐下性質(zhì):F,p（t,-?>=O.Fhp（）l.?）=lt凡昭石工）<凡pgy）,VI<y.不管用什么方掛確定的笠信上界，這些關(guān)系都是成宜的。可見*皐耳八）是依額于樣本的分布函數(shù)’或者以樣本?為分布參數(shù)的參數(shù)空間N上的分布函數(shù)。曲它的分位點可以導岀點怙計，置信區(qū)間及確定參數(shù)檢驗規(guī)則。簡言之，參數(shù)推斷信息濃縮在F嚇（札?）上」將（6）代人（5）,有二h/F料（「￥）），故Q（b（x,v））=Q（hQ（Fup（xtv）））=^（^v）.（7）⑺蘊含著臨（兒門服從［0J］上的均勻分布,F叩（孟，?）是N上的分布函數(shù).恰是參數(shù)習的CD（confendencedistribution）0對于正態(tài)樣本，均值A(chǔ)的佃為陽仗間=臥7（丫（為V））由它可導出"的經(jīng)典推斷。Neyman提出CD概念，作為對1930年Fisher提出的信仰分布（FiducialDistribution）的解釋。盡管CD概念由來已久，近年來作為頻率學派的概念重新研究，新瓶裝舊酒，作為推斷方法加以發(fā)展。如前所述，用它代替點估計和區(qū)間估計等統(tǒng)計推斷。有影響的工作或?qū)W者有Efron（1993，1998），F(xiàn)raser（1991，1996），Lehmann（1993），Schweder和Hjort

（2002），認為CD是頻率學派的后驗分布，是以后統(tǒng)計研究的重點。研究成果

清楚表明經(jīng)典推斷也是分布推斷。K.Singh，XieM.G.andW.E.Strawderman（2007）的文章，關(guān)于CD做了詳盡全面論述，還試圖將CD概念推廣到多維。在這個意義上講，經(jīng)典統(tǒng)計，信仰推斷和貝葉斯分析都是用分布函數(shù)做推斷的。Bayes推斷用后驗分布，信仰推斷用信仰分布(FiducialDistribution)，經(jīng)典統(tǒng)計用經(jīng)典推斷分布或CD,分布推斷是三者的共同點?？梢哉fCD是信仰分布的擴展。設(shè)玄；是樣本空間，N是參數(shù)空間。H(x,?)是定義在上,取值于［0,1］上的函數(shù)，且滿足條件：對給定樣本X=x,H(x,?)是N上的分布函數(shù)；對給定nUN,h(X,n)?［■“，其中x?J(?，n，入)，則稱H(x,?)是一CD。顯然陰&小)是CD,概括了參數(shù)推斷信息。也有人將CD定義為檢驗假設(shè)％： 的p值函數(shù)■實際上各種定文是一致的。K.Sm^i,XieMG.andW.E.Stawderman(2007)的文章*給出如上述的CD的定義，還定義了漸近CDJf給出了比載CD的原則七尤苴定義了參數(shù)F的基于)隨機化怙用它是N上的隨機變址*其分布函數(shù)是Hg?K以下稱&為參數(shù)M的隨機怙計。(OJJ上的均勻分布4MIE作山則&由下式定義U=H(xt^). (8)一般地講，基于樞軸量的經(jīng)典置信區(qū)間和假設(shè)檢驗規(guī)則和基于同一樞軸量產(chǎn)生的隨機估計的置信區(qū)間和假設(shè)檢驗規(guī)則是一致的。能否將CD推廣到多維參數(shù)？這是眾多學者關(guān)心的問題。樞軸量推廣到多維參數(shù)并不難，關(guān)鍵要有處理多維樞軸量的工具。VDR恰是處理多維樞軸量的有效工具。本文基于隨機估計的概率密度函數(shù)討論參數(shù)假設(shè)檢驗，提出了VDR檢驗。第1節(jié)討論樞軸量和VDR檢驗。第2節(jié)應用VDR檢驗得到一維參數(shù)檢驗，給出正態(tài)總體方差檢驗的最短置信區(qū)間。第3節(jié)討論VDR檢驗在線性變換分布族中的應用，并給出正態(tài)總體下的一些結(jié)果。第4節(jié)展望發(fā)展前景。1多維參數(shù)的隨機估計和VDR檢驗所謂多維參數(shù)假設(shè)檢驗問題，是指假設(shè)涉及的分布參數(shù)是多維的，可以是分布參數(shù)向量或其部分分量。設(shè)總體X是p維隨機向量，p$l是常整數(shù)。將總體密度函數(shù)寫作xeExCER1,AeAc不失一離性，設(shè)"=呃,貫上的域記作錢設(shè)-X是抽自X*小總）的隨機樣本（或稱簡單樣本人即X的獨立觀察值口隨機樣本和具體樣本分別記作X=（Xl-sX,>Jx=<Xt,? 樣本空間記作Xxp- <i<nteX,€SHP,,于是,/r（Xt^A）=ftfgg対迪盂"匕的jft率密度t=i函數(shù)，且蕓z人（M町人）疋€筋"?？紤]假設(shè)舊0：葉二咖I殆：>1詳*7少 （9）關(guān)于假設(shè)（9）,久是冗余參數(shù)。1.1接受域和拒絕域為檢驗假設(shè)(9),將樣本空聞分為兩部分:接受域5拒絕域掘“\廠S=1肚觀測到樣本%接受頂假設(shè)鳳’録盂“}-令a=^(XeS'}打式(兀6,)0墳*稱a為顯著水平?即拒絕接受原假設(shè)的風險■原假設(shè)成立時仍以概率紐拒絶原假設(shè)&a就是熟知的，犯第亠類錯謀的概率。如何確定F或$呢？當H,為真時，按極大個然原則使似然函數(shù)在S上平均值f⑻_從血g號A)dx最大G只P島(勺蘭］-ci*這意味著S的Lebesgue測度-⑶最小。若寥満足k(S*)^mf|U(S)=P%(9)=1-a,S匚X1時，稱酣為最小Lebe唧聽測度檢驗。￥DR檢驗是址小UbesgMe測度檢驗乜1.2樞軸量定義1-】（樞軸tft） -h^■…凡?。?（虬（憑?。?1（憑"）尸是1維向量函數(shù)?是更“乂JN的鋼可測變換◎滿足1-對給定匕）是N^N杓1-1可測變換。2.對結(jié)定參數(shù)I]亡N,h（扎創(chuàng)是定文在船“b取值于陽的髓機向董，其分布函數(shù)Q2?）不依賴于參數(shù)“h,則稱h（%Tn）是參數(shù)q的樞軸笊口樞軸罰定義的第一點?對給定尤丄（読「》是^tN的1-1可測變換，可用；° :尹…訪逆爐應…跡皿珂如 如\代替。該定罠意味著、樞軸量h（勲"不含參數(shù)勺的信息，怵現(xiàn)在它的分布隔數(shù)Q（?）不依賴于鑫數(shù)小爲摳軸址的自變橄杲樣本和參數(shù)，含參數(shù)的充分信息,說明樞軸輦的結(jié)構(gòu)充分運用了自變量中的參數(shù)信息丫使樞軸盤值不含參數(shù)信息勺樞軸於體現(xiàn)了總體結(jié)構(gòu)”是推斷參數(shù)F的依據(jù)。QX*）MN=M'上的分布函數(shù)，它的密度函數(shù)記作業(yè)（?幾由Q,導岀的（"，第J上的概率測度記作％（?幾N-.N的悄導變換Z:Z（??）-Hlv是概率空間（M,越上的隨機向量，其概率分布恰覽P「分布函數(shù)是Qq實際計算或摸擬時T珂取定參數(shù)值抽取樣本茲則Z可取作禹=町爼珈）“ （10）對給定樣本兒定義Pa（A）^P.（h（XfA））二R）（｛j/:f/—h（AfR7^）TifCA｝）,VAE砌”P.<?〉是參數(shù)F們推斷測度。P/-）的分布萌數(shù)是耳卜）孟P,Aj^P°（h（石他））.其中A,=!V=（V|,■■■,￥!）：V.=],-]|.

僅當h(X,n)是口各分量的增函數(shù)時才有,Ft(u)=這總味著公式(7)對髙維參數(shù)不成宜‘難將CD直⑴)接推廣刮高維°然而％(□)的密度函數(shù)是迤(&￥)&V⑴)=Q((h(^V))J(^,V)+容易將(町推廣到多準參數(shù)口F的霸機估計叭，是參數(shù)空間N上的隨機向拭‘由下式定義Z-h(xTW,)t戒叫4(詢.(12)的概率分布恰是卩￡?人概率密度函數(shù)是qx(X，?幾當I"時*g^W)=戲依(呂對)血密吵恰是Fuducial分布的密度確數(shù)口Fuducid分布就是怙計參數(shù)的隨機變注，即隨機怙計的分布。通常的點怙計就是E叭或qz(ZA)的扱大值點G一般情形下，或者可使樞軸量滿足j%v)?j(Af)TVveV.務(wù)此條件為樞軸戢的正則條件，或稱為正則樞軸對正則摳釉帰公式(】1｝簡化為qx(v)=qtfhf^.v))J(X)' (13)例如,正態(tài)總林的方差參數(shù)(/的摳軸凰通常砸