1.2空間向量在立體幾何中的應(yīng)用

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1.2.1空間中的點(diǎn)、直線(xiàn)與空間向量......................................-1-

1.2.2空間中的平面與空間向量...........................................-8-

1.2.3直線(xiàn)與平面的夾角.................................................-20-

1.2.4二面角...........................................................-28-

1.2.5空間中的距離....................................................-46-

1.2.1空間中的點(diǎn)、直線(xiàn)與空間向量

1.已知1\的方向向量為vi=(1,2,3),/2的方向向量為V2=q,4,6),若1\〃/2,則2等于()

A.lB.2C.3D.4

Hg]B

I解析[由/1〃/2,得VI//V2,得"=|=|,故2=2.

2.空間中異面直線(xiàn)。與人所成角的取值范圍是()

A.[0,TC]B.(0,TI)

C.(o司D.(o5)

ggc

朝根據(jù)異面直線(xiàn)所成角定義，空間中異面直線(xiàn)。與人所成角的取值范圍是(o,

3.在正方體ABCO-AIBGDI中，若E為4G的中點(diǎn)，則直線(xiàn)CE垂直于()

A..BDB.ACC.A]DD.AiA

ggA

|解析|以D為坐標(biāo)原點(diǎn),D4,DC,ODi所在直線(xiàn)分別為x軸,y軸,z軸，建立空間直角坐標(biāo)

系Dryz.設(shè)正方體的棱長(zhǎng)為1.則

C(0,1,0),B(1,1,0)4(1,0,0),D(0,0,0),Ci(0』,1)A(1,0,1),*,),

.：CF=(p-1,l),^C=(-l,l,0W=(-11,0),砸=(-1,0,-1)，羽=((W1),

:?謂?前=Gl)x9(-l)x(-?+0xl=0,

CE-AC=-\^0,CE?&。=-學(xué)0,以-44=-1知，

/.CE1.BD.

4.直線(xiàn)/1與h的方向向量分別為ai,a2,若ai_La2,則/i與h的位置關(guān)系為.

矗垂直

5.

在正方體45。。-4囪。。|中，。是AC的中點(diǎn),E是線(xiàn)段DO上一點(diǎn)，且OiE=E。求

異面直線(xiàn)DE與CDi所成角的余弦值.

假不妨設(shè)正方體的棱長(zhǎng)為1,以就DC,阻為單位正交基底建立空間直角坐標(biāo)系

Dxyz也口圖所示，

則A(1,0,0)。(i|,0),C(0,l,0),Di(0,0,1),E于是

22442

屁=(式,，，可=(0,-l,D,且I屁1=乎,1可1=企，

則cos<DE,CD^>=DECD1=—.

6

西西I

所以異面直線(xiàn)DE與CDi所成角的余弦值為經(jīng)

6

6.

已知圓柱的底面半徑為3,高為4,A,8兩點(diǎn)分別在兩底面圓周上，并且43=5,求異面直

線(xiàn)A3與軸。。之間的距離.

闡如圖，直線(xiàn)A8與軸00'之間的距離等于軸。。'與平面ABC的距離，由圖形可知,

直線(xiàn)A3與軸0。之間的距離等于點(diǎn)0,到的距離，

：-/1B=54C=4,JL/4C±BC,.：BC=V5M2=3,.：AO,CB為等邊三角形，,：異面直

線(xiàn)AB與軸00'之間的距離為壬.

2

7.已知直線(xiàn)Zi的方向向量a=(2,-3,5),直線(xiàn)，2的方向向量b=(-4,x,y),若兩直線(xiàn)h//h,

則尤,y的值分別是()

A.6和-10B.-6和10

C.-6和-10D.6和10

ggA

隆洞由兩直線(xiàn)/i〃/2,得兩向量a,b平行，即弓=1=*所以的值分別是6和-10.

8.

如圖,S是正三角形ABC所在平面外一點(diǎn),M,N分別是AB和SC的中點(diǎn),SA=S8=SC,

且NASB=N8SC=NCSA=90°,則異面直線(xiàn)SM與BN所成角的余弦值為()

-邈

A.—B.

55

C-叵D迎

1010

答案A

觸相不妨設(shè)SA=S8=SC=1,以S為坐標(biāo)原點(diǎn)，面，到，元所在直線(xiàn)分別為x軸,y軸,z

軸,建立空間直角坐標(biāo)系Sxyz,

則相關(guān)各點(diǎn)坐標(biāo)為B(0,l,0),S(0,0,0),M((扣),N(0,0,?.

因?yàn)槲?(深,0),前=(0,-1,?,

所以|而|=今|麗|=f,南?麗=微，

cos〈甄麗>=包屋?,

\SM\\BN|

因?yàn)楫惷嬷本€(xiàn)所成的角為銳角或直角,

所以異面直線(xiàn)SM與8N所成角的余弦值為早.

9.如圖，在三棱錐S-ABC中,SA平面ABCABLBC,且SA=AB=BC=1,則異面直線(xiàn)SB

與AC之間的距離為.

隨相構(gòu)造如圖所示正方體.取的中點(diǎn)0,連接0D交AC于點(diǎn)瓦連接0M交SB于

點(diǎn)F,由平面幾何知識(shí)可知，。尸=3。根0E三0。,所以EF〃他M.又因?yàn)锳C1BDAC

IBM,

所以ACA.平面BDM,AC±DM,

因?yàn)镋F〃他M,所以AC1EF.

同理可證S8LDM,所以SBLEb.所以EE是異面直線(xiàn)AC和SB的公垂線(xiàn)段.所

以EF=-DM=—.

33

10.

如圖是正四面體的平面展開(kāi)圖,G,",MN分別為EC的中點(diǎn)，在這個(gè)正四面

體中，⑦GH與EF平行;②BD與MN為異面直線(xiàn);③G”與MN成60°角;④DE與

MN垂直.

以上四個(gè)命題中，正確命題的序號(hào)是.

羲②③④

睚面還原成正四面體知G”與ER為異面直線(xiàn),8。與MN為異面支線(xiàn),GH與MN版

60°角,。E與MN為異面垂直.

11.

C

如圖，在四面體ABOC中,OC，0A,OC_LOB,NAOB=12O°，且0A=08=0C=l,設(shè)P

為AC的中點(diǎn),Q在A(yíng)B上且AB=3AQ,證明:PQJ_OA.

|證明|如圖，連接OP,OQ,PQ,取O為坐標(biāo)原點(diǎn)，過(guò)點(diǎn)。作OOJ_OA,以。40。,0。所在

直線(xiàn)為x軸,y軸,z軸,建立空間直角坐標(biāo)系。孫z（如圖所示）.

c

Pi

/y

x

則41,0,0）,C（0,0,1）,8Q,?,0）.

:P為AC中點(diǎn),.：尸（；0:）.

22

.:萬(wàn)=（二￡o）,又由已知，可得而=二四二（3,且,0）.又麗=面+

22326

而=（二烏0）,

y2,6

.:西=麗-9=（0,渭）.

7麗=0,.：而J.UX即PQLOA.

12.

如圖，直三棱柱（側(cè)棱垂直于底面的棱柱MBC-ABG的底面AABC中,CA=CB=1,N

8c4=90°,棱A4I=2,M,N分別為AIBAA的中點(diǎn).

⑴求cos<M，西〉的值;

（2）求證:3N_L平面CiMN.

闞以C為原點(diǎn)、,CA,CB,CCi所在的直線(xiàn)分別為x軸、y軸、z軸建立坐標(biāo)系Cxyz.

(1)依題意得Ai(1,0,2),C(0,0,0),B(0,1,0)B(0,1,2),

.:西=(1,-1,2),西=(0,1,2),.：西?

再=1x0+(-l)xl+2x2=3,|^47|=V6,|CK|=V5,

.：cos＜西,西＞=彥第:叵.

(2)證明:依題意得C1(0,0,2),M1,0,1),

?M?J，2)，?:祠=(d°)，物=(10-1)，麗=(1「LD，?:布?麗=

11

ixl+|x(-l)+lx0=0,

不?麗=lxl+0x(-l)+(-l)xl=0,

LBN,C^NLBN,

?：BNJ_GM,8N，GN,且CMu平面GMN,GNu平面CiMN,CiMCCiN=Ci.

平面C\MN.

13.已知正方體ABCD-A而GDi的棱長(zhǎng)為a,求AiB與OiB的距離.

解在A(yíng)iB上任取一點(diǎn)M作MP_LAiB,PN，aDi,則MML8Q,只要求出MN的最小

值即可.設(shè)4M=x,則Mp[x,A\所以

PBi=a.x,PN=()sin45°=1Q2a-x),MN=7PM2+PN?

3,y/2、？

=-V2-(x-—a)2+1-2a2.

2\2v373

當(dāng)x[a時(shí),MNmin=/a.因此A\B與D\B\的距離為與a

1.2.2空間中的平面與空間向量

1,若a=(l,2,3)是平面y的一個(gè)法向量，則下列向量中能作為平面y的法向量的是

A.(0,l,2)B.(3,6,9)

C.(-l,-2,3)D.(3,6,8)

幡胡向量(1,2,3)與向量(3,6,9)共線(xiàn).

2.設(shè)平面a的法向量為(1,-25),平面B的法向量為(2必4),若a〃夕，則2+〃=()

.彳=￡=:，解得2=2,//=-4,.：%+〃=-2.

3.(多選)已知空間中三點(diǎn)A(0,1,0),8(2,2,0),C(-l,3,1),則下列說(shuō)法不正確的是()

A.荏與就是共線(xiàn)向量

B.與荏同向的單位向量是件,T，0)

C方與左夾角的余弦值是等

11

D.平面ABC的一個(gè)法向量是(1,-2,5)

|￥^]ABC

解相對(duì)于A(yíng),荏=(2,1,0),前=(-1,2,1),所以不存在實(shí)數(shù)人使得荏=%前，則荏與前不

是共線(xiàn)向量，所以A錯(cuò)誤；

對(duì)于B,因?yàn)槿f(wàn)=(2,1,0),所以與前同向的單位向量為(等,?,0),所以B錯(cuò)誤；

對(duì)于C,向量荏=(2,1,0),阮=(-3,1,1),所以cos(荏，近＞=萼含=-孚，所以C錯(cuò)

\AB\\DC\11

對(duì)于D,設(shè)平面ABC的一個(gè)法向量是n=a,y,z),荏=(2,1,0),彳？=(-1,2,1),所以

噂U則匕工法=。令I(lǐng)則平面布的一個(gè)法向量為n=(l,25),所以

D正確.

4.若平面a$的法向量分別為a=(-1,2,4),b=(x,-l,-2),并且a_LA則尤的值為()

A.10B.-10

ggB

匾相因?yàn)閍JLQ,所以它們的法向量也互相垂直，

所以ab=(-1,2,4)-(x,-1,-2)=0,

解得尤=-10.

5.如圖，在正方體ABCD-AiBiGOi中,E為A\C\的中點(diǎn)，則下列與直線(xiàn)CE垂直的是

()

A.直線(xiàn)ACB.直線(xiàn)BIQI

C.直線(xiàn)AQiD.直線(xiàn)4A

國(guó)麗如圖，連接AC,BD|.

則點(diǎn)E在BiDi上，

丁點(diǎn)C在平面AiBiGDi內(nèi)的射影是C,.：CE在平面A1B1CD1內(nèi)的射影是GE,

VC\ELB\D\,

由三垂線(xiàn)定理可得,CE_L8i。；

在四邊形A41C1C中,GCLAC,

易得AC不可能和CE垂直；

:小。1〃3。,44〃。1。,而8C,CiC明顯與CE不垂直，

.'.A\D\A\A不可能和CE垂直.

綜上，選B.

6.已知直線(xiàn)/與平面a垂直，直線(xiàn)/的一個(gè)方向向量u=(l,-3,z)晌量v=(3,-2,l)與平面

a平行，則z=.

答案

|解析［由題知,uJ-v,.：u-v=3+6+z=0,.：z=-9.

7.若荏=zCD+^CE04eR),則直線(xiàn)AB與平面CDE的位置關(guān)系

是.

|答案上8〃平面CDE或ABu平面CDE

8.若4(0,2印,3(1,-1,乳。(21,"是平面a內(nèi)三點(diǎn)，設(shè)平面a的法向量為a=(x,y,z),

OOO

貝！Jx?y：z=.

|答案|2；3；(-4)

解析由已知得,43=(,

-----4

前=(2-1,-?,

:，a是平面a的一個(gè)法向量，

?：a?4B=0,a?>lC=0,

/c7八(2

x-3y-4-z=0,x=-y,

即7解得］\

-2x-y--z=0,(z=-.y,

?：x；z=|y：y；(-|y)=2：3：(-4).

4(0F~

/BC

X

9.在如圖所示的坐標(biāo)系中,48。。-481。1。|表示棱長(zhǎng)為1的正方體，給出下列結(jié)論：

⑦直線(xiàn)DDi的一個(gè)方向向量為(0,0,1)；②直線(xiàn)BCi的一個(gè)方向向量為(0,1,1)；③平面

ABB\A\的一個(gè)法向量為(0,1,0);④平面B\CD的一個(gè)法向量為(1,1,1).

其中正確的是.(填序號(hào))

馥⑦②③

解析。￡>1〃441,可=(0,0,1),故。正確;8。|〃4。|,珂=(0,1,1),故3確;直線(xiàn)ADA.

平面ABBA,而=(0,1,0),故③正確;點(diǎn)Ci的坐標(biāo)為(1,1,1),溫與平面B\CD不垂直,

故◎昔誤.

10.如圖所示，在四棱錐S-ABCD中，底面是直角梯形,AD〃8C,/ABC=90°底

面A8CD,且54=4?=8。=14。帶,建立適當(dāng)?shù)目臻g直角坐標(biāo)系，求平面SCD與平面

SBA的一個(gè)法向量.

假以A為坐標(biāo)原點(diǎn)4ZM3,AS所在直線(xiàn)分別為x軸,y軸,z軸，建立如圖所示的空間直

角坐標(biāo)系A(chǔ)xyz,

則A（0,0,0）,。（i,0,0）,C（l,l,0）,S（0,0,D,

則瓦=",1,0）,麗=（-扣,1）,

向量同=勺,0,0）是平面SBA的一個(gè)法向量.

設(shè)n=（xj,z）為平面SCD的一個(gè)法向量，

n，DC=-x+y=0,fy=--x,

則V—2]即《J

TVDS=--x+z=0,|z=-x.

I2I2

取x=2,得y=-l,z=l,

故平面SCD的一個(gè)法向量為（2,-1』）.

11.如圖所示，在正方體ABCDAHCQ中,M,N分別是CCBiCi的中點(diǎn).求證:MN〃

平面48D

證■，一法iT：MN>=.C.].N"—.G..M...=1...>—j1g..C■-，”>

.:而||〃平面AiBD.

證法二如圖，以。為原點(diǎn),D4,OC,ODi所在直線(xiàn)分別為x軸,y軸,z軸建立空間直前坐

標(biāo)系，設(shè)正方體的棱長(zhǎng)為1,則可求得M(0,1,,2V(|,1,1),￡>(0,0,0)^41(1,0,1),B(1,1,0),

于是麗=?,0,y,西=(1,0,1),麗=(LL0),

設(shè)平面A\BD的法向量是n=(x,y,z),

則n?瓦彳=0,且n?而=0,得{:：；［:

取元=1,得y=-l,z=-l.

?^^=(1,-1,-1).

又麗.n=G，0,3(l,-l,-l)=0,

.:而，n,且MNC平面AiBD

.：MN〃平面4BD

證法三|'."MN=C^N-C^M=泌a’-g布

1..-------->1----->----?

=-(DB+BA)--(D1A1+A1D)

=~'DB+-Bl-A--A^D

22-2D^1121

=：DB+gDA1+：{BA-DA)

=-~DB+工西+-BD=3西.

221221

即麗可以用西＞麗線(xiàn)性表示,

.：而與西，麗是共面向量,

.:而〃平面48。,即MN〃平面A\BD.

12.

如圖，在四棱錐P-ABCD中，%底面ABCDAB±AD,AC±CD,Z

ABC=60°,PA=AB=BC,E是PC的中點(diǎn).

求證:(1)AEJ_CO;

平面ABE.

|證明|(1):Z34。4P兩兩垂直，?：建立如圖所示的空間直角坐標(biāo)系.

設(shè)鞏=AB=8C=1,則P(O,O,1).

rZABC=60°,

二△ABC為正三角形.

?飛爭(zhēng)),

此￥，力(。，。，。)?

設(shè)D(O,y,O),Xc=",*0)而=(-1筆0).

由AC_LC。,得前?麗=0,

即產(chǎn)苧，則。(0,誓,0),

㈤=65，。)?又存=(冷，》

.:荏?CD=--X-+—x—=0,

2464’

.".AE1CD,AE±CD.

(2)證法一:-AB=(l,0,0),AE=(；，￥，)，

.：設(shè)平面ABE的一■個(gè)法向量為n=(x,y,z),

(X=0,

則｛1,V31仆

匕%+^y+產(chǎn)=。,

令y=2,則z=-V3,.Sn=(0,2,-V3).

rPD=(0,言,-1),顯然方=yn.

.：麗〃n,.：麗，平面ABE,即PD工平面ABE.

證法二：：7(0,0,1),.：麗=(0,竽,-1).

又荏屈=梟雷+2)=。,

.,.PD1荏，即PDLAE.

又：語(yǔ)=(1。0),.：麗?南=0,

/.PDLAB.

又A8nAE=A,.：P。，平面ABE.

13.已知平面a內(nèi)兩向量2=(1,1,1)由=(0,2,-1),且?=值+油+(4,-4,1).若c為平面a的

法向量，則m,n的值分別為()

A.-l,2B.1,-2

C.1,2D.-l,-2

|解析卜=ma+nb+(4,-4,+(0,2/z,-/?)+(4,-4,1)=(優(yōu)+4,m+2n-4,m-n+1),

由c為平面a的法向量，

[ca=0,(3m+n+1=0,

寸=0,\m+5n-9=0,

解得｛112、

14.已知直線(xiàn)/的方向向量為a,且直線(xiàn)I不在平面a內(nèi)，平面a內(nèi)兩共點(diǎn)向量hI,赤,

下列關(guān)系中一定能表示/〃a的是()

A..a=OAB.a=kOB

C.a=pOA+WBD.以上均不能

ggD

解析A,B,C中均能推出/〃a,或/ua,但不能確定一定能表示為l//a.

15.如圖,AOJ_平面a,垂足為點(diǎn)0,8Cu平面a,BC，08,若NABO=45°,ZCOB=30°,

則NBAC的余弦值為)

B9

A立

7

|￥^]B

|解新:NO,平面a,BCu平面a,BC±OB,

由三垂線(xiàn)定理可得設(shè)03=2.

rNABO=45°,ZC(?B=30°,

.：A0=248=2&,BC=竽，

在為2聞3。中43=2/,8。=卓,/43。=90°,.：4。=J(2魚(yú))+(92=早

.,.cosZBAC=—=等=名.故選B.

AC2⑸7

3

16.(多選)在正方體ABCD-A\B\C\D\中，點(diǎn)E,F分別在A(yíng)\D,AC上，且

AIE=|4ZMb=/c,則以下結(jié)論不正確的有()

A.EF至多與AiRAC中的一個(gè)垂直

B.EF1A\D,EF±AC

C.ER與相交

D.EF與BDi異面

|答案,CD

廨研以D為坐標(biāo)原點(diǎn)，分別以DA,DC,DD\所在直線(xiàn)為x軸,)，軸,z軸，建立空間直角

坐標(biāo)系Dyyz,設(shè)正方體的棱長(zhǎng)為1,則

4(1,0,1),。(0,0,0),A(l,0,0),C(0,1,0),￡(扣,?,尸3,扣0)0(0,0,1),

.:碩=(-1,0,-1),前=(-1,1,0),加=(,西=(-11,1),

.:而=[西，碩.麗=0,北?麗=0,

從而EF//BD\,EFLA\D,EFLAC.

17.

p

如圖,孫，平面ABC。,四邊形ABCD為正方形,E是CD的中點(diǎn)下是AD上一點(diǎn)，當(dāng)

BF1.PE時(shí),AR:FD的比值為()

A.1：2B.1；1

C.3；1D.2/1

ggB

以A為坐標(biāo)原點(diǎn),AB,AO,AP所在直線(xiàn)分別為x軸,y軸,z軸，建立如圖所示的空

間直角坐標(biāo)系A(chǔ)xyz,

設(shè)正方形邊長(zhǎng)為1,%=心

則B(l,0,0),￡^,l,0),P(0,0,a).

設(shè)點(diǎn)尸的坐標(biāo)為(0,)>,0),

則舐=(-l,y,0),屈=(*l,-a).

因?yàn)锽FLPE,所以屏■PE=0,

解得y4,即點(diǎn)尸的坐標(biāo)為(0鼻0),

所以尸為AO的中點(diǎn)，所以AF:FD=\：\.

18.如圖，長(zhǎng)方體ABCD-AiBGDi中,AB=4,8C=2,Ca=3,E/分別是BC,CD的中點(diǎn),

以。為原點(diǎn)，分別以DA,DC,DD\所在直線(xiàn)為坐標(biāo)軸建立空間直角坐標(biāo)系,則平面

D\EF的一個(gè)法向量是.

答案(-6,3,2)

|解斯丁在長(zhǎng)方體ABCD-AiBiGn中,48=4,8。=2,。。=3,瓦/分別是BC,CD的中點(diǎn),

以D為原點(diǎn)，分別以DA,DC,DD\所在直線(xiàn)為坐標(biāo)軸建立空間直角坐標(biāo)系，則

D\(0,0,3),E(l,4,0),F(0,2,0),^￡=(l,4,-3),^F=(0,2,-3),設(shè)平面的一個(gè)法向量是

n-DE=x+4y-3z=0,

n=(x,y,z),則1

nD1F=2y-3z=0,

取y=3,得n=(-6,3,2),

則平面出￡尸的一個(gè)法向量是(63,2).

19.在"ABC中41,-2,-1),5(0,-3,1),C(2,-2,1).若向量n與平面ABC垂直，且|n|=VH,

則n的坐標(biāo)為.

暨圜(-2,4,1)或(2,-4,-1)

睚洞據(jù)題意，得布=(-1,-1,2),前=(1,0,2).

設(shè)11=(%,y,z),:'n與平面ABC垂直,

.(n-AB=0,

\ji-AC=0,

即「3一消'可得了

(%+2z—0,z=—

4.

：1n|=A/^T,.：y/x2+y2+z2=y/21,

解得y=4或y=-4.

當(dāng)y=4時(shí),x=-2,z=l;

當(dāng)y=-4時(shí)/=2,z=-l.

.：n的坐標(biāo)為(-2,4,1)或(2,-4,-1).

20.

如圖所示48CO為矩形，布J_平面ABCD,PA=AD,M,N,Q分別是PCAB,CD的中點(diǎn).

求證:(1)MN〃平面PAD;

⑵平面QMN〃平面PAD.

?z

怔喇(1)如圖，以A為原點(diǎn)，以AB,ADAP所在直線(xiàn)為x,y,z軸建立空間直角坐標(biāo)系,

設(shè)8S,0,0),O(0d,0),P(0,0,J),則C340),

因?yàn)镸,N,Q分別是PC,AB,CD的中點(diǎn)，

所以M(|4,?,N(/O,O),Q(/d,O),

所以標(biāo)=(0,二⑴.

22

因?yàn)槠矫娉觥５囊粋€(gè)法向量為m=(1,0,0),

且麗Tm=0,即麗，m.

又MN不在平面PAD內(nèi)，故MN〃平面PAD.

(2)因?yàn)辂?(0,-d,0),

所以QN-m=0,即QN_Lm,

又QN不在平面PAD內(nèi)，所以QN〃平面PAD.

又因?yàn)镸NCQN=N,

所以平面MNQ〃平面PAD.

21.如圖所示,四棱柱ABCD-A\B\C\D\的底面ABCD是正方形,0為底面中心,

平面ABCO,A8=A4i=&.證明平面BB\D\D.

感喇由題設(shè)易知04,08,04兩兩垂直，以0為坐標(biāo)原點(diǎn)建立空間直角坐標(biāo)系，如圖

所示,

：NB=A4=&,

.,.OA=OB=OA\=l,

；.A(1,0,0),8(0,1,0),C(-l,0,0),D(0,-1,0)41(0,0,1).

中=(-1,0,-1),而=(0,-2,0),西=q=(-1,0,1),

.:中?前=0,碇?西=0,

?：4C，8D,AiC_L網(wǎng)又BDCBBi=B,

.：ACJ_平面BB\D\D.

22.我們把平面內(nèi)與直線(xiàn)垂直的非零向量稱(chēng)為直線(xiàn)的法向量，在平面直角坐標(biāo)系中,

過(guò)動(dòng)點(diǎn)P(1,2),法向量為n=(-2,3)的直線(xiàn)的點(diǎn)法式方程為-2。-1)+3(y-2)=0,化簡(jiǎn)得

2x-3y+4=0,類(lèi)比上述方法，在空間直角坐標(biāo)系中，經(jīng)過(guò)點(diǎn)尸(1,2,-1),且法向量為

n=(-2,3,l)的平面的點(diǎn)法式方程應(yīng)為()

A.2x?3y+z+5=0B.2x-3y-z+3=0

C.2x+3y+z-7=0D.2x+3y?z?9=0

|ggB

朝通過(guò)類(lèi)比，易得點(diǎn)法式方程為

-2(x-l)+3(y-2)+(z+l)=0,

整理可得2x-3y-z+3=0,故選B.

23.在正方體ABCD-A\B\C\D\中,瓦F分別為棱BB\和DDi的中點(diǎn).

⑴求證:平面3FG〃平面AOE;

(2)試在棱DC上求一點(diǎn)M,使DiM_L平面ADE.

(1)怔明建立如圖所示的空間直角坐標(biāo)系，設(shè)正方體的棱長(zhǎng)為2,

則A(2,0,0),Z)(0,0,0),E(2,2,1)尸(0,0,l),G(0,2,2),B(2,2,2).

則荏=(0,2,1),麗=(2,0,0)甩=(0,2,1)，瓦瓦＞=(2,0,0),.：荏=F^.DA=。出.

.：可得AO〃平面bBCi/E〃平面FB\C\.

又A￡>nAE=A,.：平面AOE〃平面FB\C\.

⑵魁］M應(yīng)為。。的中點(diǎn).“(0,1,0),。(0,0,2),

則^^=(0/，-2),屁=(2,2,1),而=(-2,0,0).：-DE=0^M-AD=0,

/.D\MLDE,D\MVAD.

:平面ADE,ADCDE=D，

?平面AOE.

1.2.3直線(xiàn)與平面的夾角

1.設(shè)直線(xiàn)I與平面a相交，且I的方向向量為a,a的法向量為n,若<a,n>=拳則I與a

的夾角為()

A.—B.-C.-D.—

3366

顫線(xiàn)面角的范圍是_0弓1

;<a,n>W，.：/與法向量所在直線(xiàn)所成角為今

.〃與a的夾角為:

6

2.直線(xiàn)I的方向向量s=(l,l,2),平面a的法向量n=(l,-3,0),則直線(xiàn)I與平面a的夾角

的余弦值為()

.V15D715?>/210「V210

A.------D.C.---------U.-------

15151515

ggD

麗設(shè)直線(xiàn)/與平面a的夾角為e(owewg,則

1X1+1X(-3)+2XO2_V15

sin^=|cos<s,n>|=,Zcos^=Vl-sin20=

Vl2+l2+22-^12+(-3)2+02-V6xV10-15'15

.：直線(xiàn)/與平面a的夾痢的余弦值為誓.

3.

在棱長(zhǎng)為1的正方體ABCD-AiBGDi中乃為CC1的中點(diǎn)，則直線(xiàn)A\B與平面BDE

所成的角為()

廨麗以。為原點(diǎn)建立空間直角坐標(biāo)系,如圖，

則麗=(1,1,0),反=(0,1,1,

設(shè)平面BDE的法向量為n=(x,y,z),.：萬(wàn)瓦n=0,萬(wàn)M-n=0,

可得平面BDE的法向量11=(1,-1,2),而風(fēng)=(0,-1,1),.：85<西,11>=霆=y,

?：<B4i，n>=30°.

?：直線(xiàn)48與平面8DE的夾角為60。.

4.已知三棱柱A8C-4B。的側(cè)棱與底面垂直，體積為*底面是邊長(zhǎng)為百的正三角形.

若P為底面AiBG的中心，則PA與平面ABC的夾角的大小為（）

A.—B.-C.-D.-

12346

畫(huà)如圖所示，由棱柱體積為底面正三角形的邊長(zhǎng)為百，可求得棱柱的高為設(shè)

P在平面ABC上射影為0,則可求得A0長(zhǎng)為1,故"長(zhǎng)為'+屏2=2.故/

840=今即PA與平面ABC的夾角為芯

5.在空間直角坐標(biāo)系Oxyz中，已知41,-2,0）,8（2,1,迷）,則向量荏與平面xOz的法向

量的夾角的正弦值為.

|解析|設(shè)平面xOz的法向量為1>=（0/0）（序0）,48=（1,3,遙）,所以cos<n,AB>=^-^-=

1711H

今，因?yàn)?lt;n,前>G[0,兀]，所以sin<n,而>=J嗚y=，

6.正方體ABCD-A山iGDi中,8於與平面ACD1所成角的正弦值為.

薊設(shè)正方體的棱長(zhǎng)為1,建立空間直角坐標(biāo)系，如圖所示,

則0(0,0,0),8(1,1,0)6(1,1,1).平面ACO1的一個(gè)法向量為西=(1,1,1).又

西=(0,0,1),

則sin<DBltBB1>=\cos<DBlfS5i>|

1^7?兩I_]_V3

-V3xi-V

I西西|

7,正三棱柱A5c-4BC1的所有棱長(zhǎng)都相等，則A。與平面55CC的夾角的余弦值

為.

較案回

口木)

--------4

畫(huà)設(shè)三棱柱的棱長(zhǎng)為1,以B為原點(diǎn)，建立坐標(biāo)系如圖，則

以0,1,1)雙白30),宿=(一冬拉)，

又平面BB\C\C的一個(gè)法向量n=(l,0,0),

設(shè)AG與平面BBiCC的夾角為3.

singcos<n,溫>|=翻=當(dāng)

.Scos^=Vl-sin20=—.

4

8.

如圖所示，在棱長(zhǎng)為a的正方體ABC。-481Gz)1中,E,尸分別是3C,4Qi的中點(diǎn).

⑴求直線(xiàn)AC與OE所成角的余弦值；

(2)求直線(xiàn)AD與平面B\EDF的夾角的余弦值.

解以A為坐標(biāo)原點(diǎn),分別以所在直線(xiàn)為x軸、y軸、z軸,建立空間直角

坐標(biāo)系A(chǔ)xyz.

D(O,a,O),E(磕0),

.：4iC=(Q,a,-q),

反=(凡-加)，

.：cos(福屁=普，

\A^C\\DE|

故AC與OE所成角的余弦值為

(2)連接DBi,VZADE=ZADF,

.：A。在平面BE。尸內(nèi)的射影在NEQP的平分線(xiàn)上.

又BiEDF為菱形，.：DBi為NEDF的平分線(xiàn),

故直線(xiàn)AD與平面BiEDF所限的甬為NADBi.

由A(0,0,0),Bi(a,0,a),D(0,a,0),

得DA=(0,-a,0),而7=(。，-。，。)，

.：cos(疏函>=^^L=*

IDAIIDKl

又直線(xiàn)與平面所成角的范圍是「0,J,

故直線(xiàn)AO與平面B|E￡甲的夾角的余弦值為日.

9.

P

E

4D

BC

如圖，已知四棱錐P-ABCZMPAO是以AO為斜邊的等腰直角三角形,8C〃AD,CD，

AD,PC=AD=2DC=2CB,E為PD的中點(diǎn).

⑴證明:CE〃平面PAB-

(2)求直線(xiàn)CE與平面PBC的夾角的正弦值.

陶⑴如圖，設(shè)PA中點(diǎn)為F,連接EF,FB.

因?yàn)榉謩e為PD,PA中點(diǎn)，所以EF//AD且EF=^AD,

又因?yàn)锽C//AD,BC=^AD,

所以EF//BCJLEF=BC,

即四邊形BCEF為平行四邊形，所以CE//BF.

:BRz平面PAB,CEU平面PAB,因此CE"平面PAB.

(2)分別取BC,AD的中點(diǎn)為MN,連接PN交EF于點(diǎn)。，連接MQ,

因?yàn)镋,F,N分別是PD,PA,AD的中點(diǎn)，所以。為E尸中點(diǎn).

在平行四邊形BCEF中,MQ〃CE.

由△PAO為等腰直角三角形得PN工AD.

由DCLAD,N是AO的中點(diǎn)得BALLAD

所以AO_L平面PBN.

由BC//AD得平面PBN,

那么平面PBC1.平面PBN.

過(guò)點(diǎn)Q作PB的垂線(xiàn)，垂足為“，連接MH.

是M。在平面P3C上的射影，

所以NQM”是直線(xiàn)CE與平面P8C所成的角.

設(shè)CD=1.

在△PCO中，由PC=2,CD=l,PD=di得CE=也

在4PBN中，由PN=BN=\,PB增得?！叭?/p>

在Rt^MQH中,0”=*加。=或，

所以sin/QM”=?.

所以，直線(xiàn)CE與平面PBC的夾角的正弦值是空

8

10.已知向量a=（2,-3,b）是直線(xiàn)/的方向向量，向量n=（l,O,O）是平面a的法向量,則直

線(xiàn)/與平面a的夾角為（）

A.30°B.45°C.60°D,90°

拜A

解積cos<a,n>=產(chǎn)=—=之故向量夾角為60°,則直線(xiàn)/與平面a所成的角為

1---------1|a||n|4x12

90°-60°=30°.

11.

如圖,三棱柱ABC-AiBG的側(cè)面且AC與底面成45°角力8=8。=2,

則該棱柱體積的最小值為（）

A.4V3B.3V3

C.4D.3

|解稠由已知得8C_LAB,平面AiA8Bi_L平面ABC且交線(xiàn)為AB,故點(diǎn)4在平面ABC

上的射影。在A(yíng)B上.由AC與底面成45°角得40=。。,當(dāng)C。最小即CO=8。時(shí)

AiD最小，此時(shí)Vmm甘AB3CA。與x2x2x2=4.

1248〃火44」（/4是垂足,88是a的一條斜線(xiàn)段,8為斜足，若44，=9乃3，=6四,則直

線(xiàn)與平面a的夾角的大小為.

m>o°

13.如圖，圓錐的高PO=V^,底面。0的直徑AB=2,C是圓上一點(diǎn)，且NCA8=30°,。為

AC的中點(diǎn)，則直線(xiàn)0C和平面PAC的夾角的余弦值為.

|解析|設(shè)點(diǎn)。到平面PAC的距離為d,設(shè)直線(xiàn)0C和平面PAC所成角為a,則由等體

11J?-----I2萬(wàn)

2

積法得,丫0-戶(hù)人。=丫戶(hù)-3。,即-540/104=-|「。2/\04<7,.：1=-^~—=一,

33牛（遮產(chǎn)3

.■d\[2,,.y/7

..sina=—■=—，則cosa=——.

\C0\33

14.在四棱錐P-ABCD中，底面ABCD是正方形，側(cè)棱PZU底面ABCD,PD=DC,E>

PC的中點(diǎn).求EB與底面ABC。的夾角的正弦值.

解由向量加法知方=前+方=3近+方=*而+虎）+方，設(shè)I而1=1,則

|反|二1,|方|=1,且麗，反，方兩兩垂直，可得|前匚，，

.,.TB-DP=--2,

.".cos<EB,'DP>=^^=今=-?,.：直線(xiàn)EB與底面ABCD所成角的正弦值為

~2

漁

6.

15.在棱長(zhǎng)為1的正方體ABCD-AIBGOI中,在側(cè)棱CC\上求一點(diǎn)P,使得直線(xiàn)AP與

平面BDDiBi的夾角的正切值為3V2.

解如圖，以。為坐標(biāo)原點(diǎn)，分別以D4,OC,ODi所在直線(xiàn)為x軸、y軸、z軸建立空間

直角坐標(biāo)系.

設(shè)CP=m(m>0),則A(1,0,O),B(1,1,O),P(O,1C(0,1,0),D(O,O,O),Bi(1,1,1),

所以麗=(-11,0),西=(0,0,1)AP=(-1,1,m)AC=(-1,1,0).

因?yàn)楣?BD=0jC-西=0,

所以就為平面BDD\B\的一個(gè)法向量.

設(shè)AP與平面BDDiBi所成的角為0,

貝Usin0=cos(--0)==-尸:

I祠I荷

所以cos3=y/l-sin23=/1Tl

V2+m2

因?yàn)閠an6=^=—=3V2,

cosQm

所以m=1.

故當(dāng)而=!無(wú)7時(shí)，直線(xiàn)AP與平面BDDiBi的夾角的正切值為3V2.

1.2.4二面角

1.已知二面角a-1-B的兩個(gè)半平面a與B的法向量分別為a,b,且<a,b>=g則二面角

6

a-l-13的大小為()

A.-B.-

66

*D?洌

2.如圖，設(shè)AB為圓錐PO的底面直徑，以為母線(xiàn)，點(diǎn)C在底面圓周上，若△附8是邊長(zhǎng)

為2的正三角形，且CO_LAB,則二面角P-AC-B的正弦值是（）

A.V6B呼

ggB

|解樹(shù)如圖，取AC的中點(diǎn)D,連接0。,尸。，丁尸0,底面，.:PO_LAC,

:。4=0。,。為AC的中點(diǎn)，

ZODIAC,

又POnO￡>=O,.：ACJ_平面POD,則AC1PD,

；.4PD0為二面角P-AC-B的平面角.

:4PAB是邊長(zhǎng)為2的正三角形，

；.PO=a,OA=OC=l,0D],

則PD=J（V5）2+（爭(zhēng)2=字

ZsinZPDO=—=且=叵.故選B.

PD07

~~2~

3.正方形ABCD所在平面外一點(diǎn)P,抬J_平面ABC。,若雨=A8,則平面PAB與平面

PCO所成的角為（）

A.30°B.45°C.60°D.90°

如圖所示，建立空間直角坐標(biāo)系，設(shè)PA=AB=1,

則A(0,0,0),0(0,1,0),P(0,0,1).

于是而=(0,1,0),取PD的中點(diǎn)E,則EV0,|,|',

.:荏=(0微,?,易知就是平面PAB的法向量，荏是平面PCD的法向量,

.^cos<AD,AF>=^,

.：平面布8與平面PC。所成的角為45°.

4.請(qǐng)根據(jù)所給的圖形，把空白之處填寫(xiě)完整.

⑴直線(xiàn)與平面平行的性質(zhì)定理(請(qǐng)用符號(hào)語(yǔ)言作答).

如圖。已知:a〃a,,

求證:.

⑵平面與平面垂直的性質(zhì)定理的證明.

如圖②己知:aJ_AA3nCO=5,an4=CO,,,

求證:AB_LR

證明:在夕內(nèi)引直線(xiàn)，垂足為民則,是二面角的平面角，由a

_1_夕,知，又和CD是0內(nèi)的兩條_________直線(xiàn)，所以ABL。.

圖②

解(1)已知:a〃a,auB，aC\Q=b,求證:a//b.

故答案為au8，aC6=b;a〃b.

(2)如圖②，已知:a_U?,A8nCO=3,

an介CO,A3u“BJ_CD,

求證:

證明:在fi內(nèi)引直線(xiàn)BELCD,垂足為B,

則NABE是二面角a-CD-5的平面角，

由a,夕，知48,8瓦又48_1_。。，

BE和CD是夕內(nèi)的兩條相交直線(xiàn)，所以AB，/?.

故答案為ABcia,AB±CD,BE上CD,NABE,a-CD-0,AB±BE,相交.

5.已知點(diǎn)0在二面角a-AB-B的棱上，點(diǎn)尸在平面a內(nèi)，且NPO8=60°.若直線(xiàn)P0與

平面p所成的角為45°，則二面角a-ABf的正弦值為.

ggy

如圖，過(guò)點(diǎn)尸作PEL。,垂定為E,過(guò)點(diǎn)E作EFJ_AB,垂足為尸,連接OE,PF,

則NPOE為直線(xiàn)P0與平面夕所成的角,NP/五為二面角a-AB/的平面角.

設(shè)0尸=近",則在RtAPEO中，由NPOE=45°,可得PE=a;在RtAPFO中，由/

P。尸=60°,可得PF=V2?-sin60°=漁。;在RtAPEF中,sin/P尸石二"='=再，即二

2PF763

2

面角a-ABf的正弦值為當(dāng)

6.在空間中，已知平面a過(guò)(3,0,0)和(0,4,0)及z軸上一點(diǎn)(0,0,a)(a>0),如果平面a與平

面xOy所成的角為45°,則a=.

ggy

|解析［平面xOy的法向量n=(0,0,l),設(shè)平面a的法向量為u=(x,y,z),則13%+4y_0

ICLZu1

即3x=4y=az,取z=l,則u=^,^P.

而cos<n,u>=

12

又：a>0,.：?=-

7.如圖所示，已知四棱錐P-ABCD中，底面ABCD是菱形，且以_L平面

A8CD,B4=AO=AC,點(diǎn)F為PC的中點(diǎn)，求二面角C-BF-D的正切值.