第二章 控制系統(tǒng)的數(shù)學(xué)模型◎2.1控制系統(tǒng)的微分方程◎2.2傳遞函數(shù)◎2.3系統(tǒng)傳遞函數(shù)的方框圖及其簡(jiǎn)化◎2.4控制系統(tǒng)信號(hào)流圖和梅遜公式◎2.5典型物理系統(tǒng)的微分方程和傳遞函數(shù)建立控制系統(tǒng)的數(shù)學(xué)模型，并在此基礎(chǔ)上對(duì)控制系統(tǒng)進(jìn)行分析、綜合，是機(jī)電控制工程的基本方法。對(duì)于機(jī)電控制系統(tǒng)，在輸入作用下有些什么運(yùn)動(dòng)規(guī)律，我們不僅希望了解其穩(wěn)態(tài)情況，更重要的是要了解其動(dòng)態(tài)過程。如果將物理系統(tǒng)在信號(hào)傳遞過程中的這一動(dòng)態(tài)特性用數(shù)學(xué)表達(dá)式描述出來，就得到了組成物理系統(tǒng)的數(shù)學(xué)模型。

數(shù)學(xué)模型是描述系統(tǒng)輸入、輸出及內(nèi)部變量之間關(guān)系的數(shù)學(xué)表達(dá)式。系統(tǒng)數(shù)學(xué)模型既是分析系統(tǒng)的基礎(chǔ)，又是綜合設(shè)計(jì)系統(tǒng)的依據(jù)。2.1控制系統(tǒng)的微分方程建立數(shù)學(xué)模型的意義(1)可定性地了解系統(tǒng)的工作原理及其特性;(2)更能定量地描述系統(tǒng)的動(dòng)態(tài)性能;(3)揭示系統(tǒng)的內(nèi)部結(jié)構(gòu)、參數(shù)與動(dòng)態(tài)性能之間的關(guān)系。工程上常用的數(shù)學(xué)模型有微分方程、傳遞函數(shù)和狀態(tài)方程等。微分方程是基本的數(shù)學(xué)模型，是傳遞函數(shù)的基礎(chǔ)。2.1控制系統(tǒng)的微分方程線性系統(tǒng)與非線性系統(tǒng)可以用線性微分方程描述的系統(tǒng)。如果方程的系數(shù)為常數(shù)，則為線性定常系統(tǒng)；如果方程的系數(shù)是時(shí)間t的函數(shù)，則為線性時(shí)變系統(tǒng)；

線性系統(tǒng)線性是指系統(tǒng)滿足疊加原理，即：

可加性：

齊次性：或：2.1控制系統(tǒng)的微分方程宇宙飛船控制系統(tǒng)a、b均為常數(shù)，為線性定常微分方程若a、b中有系數(shù)依賴于xi、x0

或它們的導(dǎo)函數(shù)，或者，在微分方程中出現(xiàn)t的其他函數(shù)形式，則該方程就是非線性的。用非線性微分方程描述的系統(tǒng)。非線性系統(tǒng)不滿足疊加原理。非線性系統(tǒng)為分析方便，通常在合理的條件下，將非線性系統(tǒng)簡(jiǎn)化為線性系統(tǒng)處理。

實(shí)際的系統(tǒng)通常都是非線性的，線性只在一定的工作范圍內(nèi)成立。

2.1控制系統(tǒng)的微分方程

盡管線性系統(tǒng)理論已是相當(dāng)成熟，但非線性系統(tǒng)理論還不完善。另外，由于疊加原理不適用于非線性系統(tǒng)，這給解非線性系統(tǒng)帶來很大不便。故對(duì)非線性系統(tǒng)進(jìn)行線性化處理，用線性系統(tǒng)理論進(jìn)行分析。

實(shí)際的物理系統(tǒng)往往有死區(qū)、飽和、間隙等各類非線性現(xiàn)象。嚴(yán)格來講，幾乎所有的實(shí)際的物理系統(tǒng)都是非線性的。2.1控制系統(tǒng)的微分方程非線性元件微分方程線性化的一般方法：

一個(gè)變量的非線性函數(shù)y=f(x)，在x0處連續(xù)可微，則可將它在該點(diǎn)附近用泰勒級(jí)數(shù)展開：具有連續(xù)變化的非線性函數(shù)的線性化，可用切線法或小偏差法進(jìn)行線性化處理。在一個(gè)小范圍內(nèi)，將非線性特性用一段直線來代替。（分段定常系統(tǒng)）2.1控制系統(tǒng)的微分方程則有令增量較小時(shí)略去其高次冪項(xiàng)，則有：k為比例系數(shù)，即函數(shù)f(x)在x0點(diǎn)切線的斜率。上式即為非線性系統(tǒng)的線性化模型，稱為增量方程。稱為系統(tǒng)的靜態(tài)方程。2.1控制系統(tǒng)的微分方程略去二級(jí)以上導(dǎo)數(shù)項(xiàng)，并令：y=f(x1,x2)，同樣可在某工作點(diǎn)（x10,x20）附近用泰勒級(jí)數(shù)為：兩個(gè)變量的非線性函數(shù)：稱為增量方程2.1控制系統(tǒng)的微分方程輸入力矩輸出擺角單擺質(zhì)量單擺擺長(zhǎng)根據(jù)牛頓第二定律：將非線性項(xiàng)在附近用泰勒級(jí)數(shù)展開，當(dāng)很小時(shí)，可忽略高次項(xiàng)，得到近似的線性化方程：?jiǎn)螖[的微分方程數(shù)學(xué)模型：2.1控制系統(tǒng)的微分方程解：由于研究的區(qū)域?yàn)?≤x≤7、10≤y≤12，故選擇工作點(diǎn)x0=6，y0=11。于是z0=x0y0=6×11=66。求在點(diǎn)x0=6，y0=11，z0=66附近非線性方程的線性化表達(dá)式。將非線性方程在點(diǎn)x0,y0,z0處展開成泰勒級(jí)數(shù)，并忽略其高階項(xiàng)，則有：因此，線性化方程式為：

z-66=11(x-6)+6(y-11)z=11x+6y-66當(dāng)x=5,y=10時(shí)，z的精確值為z=xy=5×10=50由線性化方程求得的z值為z=11x+6y－66=55+60-66=49因此，誤差為50-49=1，表示成百分?jǐn)?shù)

試把非線性方程z=xy在區(qū)域5≤x≤7、10≤y≤12上線性化，并用線性化方程來計(jì)算當(dāng)x=5，y=10時(shí)z值所產(chǎn)生的誤差。2.1控制系統(tǒng)的微分方程

系統(tǒng)線性化過程中，需注意的地方：(1)線性化是相應(yīng)于某一額定工作點(diǎn)的，工作點(diǎn)不同，則所得的方程系數(shù)也往往不同。

(2)變量的偏移愈小，則線性化精度愈高。(3)增量方程中可認(rèn)為其初始條件為零，即廣義坐標(biāo)原點(diǎn)平移到額定工作點(diǎn)處。

(4)線性化只適用于沒有間斷點(diǎn)、折斷點(diǎn)的單值函數(shù)。(5)某些典型的本質(zhì)非線性，如繼電器特性、間隙、死區(qū)、摩擦等，由于存在不連續(xù)點(diǎn)，不能通過泰勒展開進(jìn)行線性化，只有當(dāng)它們對(duì)系統(tǒng)影響很小時(shí)才能忽略不計(jì)，否則只能作為非線性問題處理。這種小偏差線性化方法對(duì)于控制系統(tǒng)大多數(shù)工作狀態(tài)是可行的，在平衡點(diǎn)附近，偏差一般不會(huì)很大，都是“小偏差點(diǎn)”。

2.1控制系統(tǒng)的微分方程2.1控制系統(tǒng)的微分方程建立控制系統(tǒng)數(shù)學(xué)模型的方法有：分析法－應(yīng)用物理規(guī)律、電學(xué)規(guī)律、力學(xué)規(guī)律等，對(duì)系統(tǒng)各部分的運(yùn)動(dòng)機(jī)理進(jìn)行分析。實(shí)驗(yàn)法－人為施加某種測(cè)試信號(hào)，記錄基本輸出響應(yīng)。對(duì)于復(fù)雜系統(tǒng)，需要通過實(shí)驗(yàn)，并根據(jù)實(shí)驗(yàn)數(shù)據(jù)，擬合出比較接近實(shí)際系統(tǒng)的數(shù)學(xué)模型。單輸入、單輸出系統(tǒng)的微分方程表示的數(shù)學(xué)模型的一般形式：其中：為輸出變量，為輸入變量由于實(shí)際系統(tǒng)中總含有慣性元件以及受到能源能量的限制，故：m≦n2.1控制系統(tǒng)的微分方程分析法建立系統(tǒng)數(shù)學(xué)模型的步驟：2.1控制系統(tǒng)的微分方程(1)確定系統(tǒng)或各元件的輸入、輸出變量。系統(tǒng)的給定輸入量或擾動(dòng)輸入量都是系統(tǒng)的輸入量，而被控制量則是輸出量；(2)從系統(tǒng)的輸入端開始，按照信號(hào)的傳遞順序，根據(jù)各變量所遵循的物理定理，列寫出在運(yùn)動(dòng)過程中的各個(gè)環(huán)節(jié)的動(dòng)態(tài)微分方程；進(jìn)行適當(dāng)?shù)暮?jiǎn)化，忽略次要因素；(3)消除中間變量，寫出只含有輸入、輸出變量的微分方程；(4)標(biāo)準(zhǔn)化。整理所得微分方程，

輸出量降冪排列＝輸入量降冪排列 一般將與輸出量有關(guān)的各項(xiàng)放在方程左側(cè)，與輸入量有關(guān)的各項(xiàng)放在方程的右側(cè)，各階導(dǎo)數(shù)項(xiàng)按降冪排列。實(shí)驗(yàn)法－基于系統(tǒng)辨識(shí)的建模方法已知知識(shí)和辨識(shí)目的實(shí)驗(yàn)設(shè)計(jì)--選擇實(shí)驗(yàn)條件模型階次--適合于應(yīng)用的適當(dāng)?shù)碾A次參數(shù)估計(jì)--最小二乘法模型驗(yàn)證—將實(shí)際輸出與模型的計(jì)算輸出進(jìn)行比較，系統(tǒng)模型需保證兩個(gè)輸出之間在選定意義上的接近。2.1控制系統(tǒng)的微分方程2.1控制系統(tǒng)的微分方程例2-1

牛頓第二定律

系統(tǒng)的輸入量為外力x，輸出量為質(zhì)量的位移y

標(biāo)準(zhǔn)化2.1.1機(jī)械系統(tǒng)機(jī)電控制系統(tǒng)的受控對(duì)象是機(jī)械系統(tǒng)。在機(jī)械系統(tǒng)中，有些構(gòu)件具有較大的慣性和剛度，有些構(gòu)件則慣性小、柔度較大。在集中參數(shù)法中，將前一類構(gòu)件的彈性忽略將之視為質(zhì)量塊，而把后一類構(gòu)件的慣性忽略將之視為無質(zhì)量彈簧。這樣受控對(duì)象的機(jī)械系統(tǒng)可抽象為質(zhì)量–彈簧–阻尼系統(tǒng)。2.1控制系統(tǒng)的微分方程根據(jù)牛頓第二定律:將輸出變量寫在等號(hào)左邊，輸入變量寫在等號(hào)右邊，階次由高到低排列，得到：其中：M為受控質(zhì)量；k為彈性剛度；D為粘性阻尼系數(shù)；為輸出位移。微分方程的系數(shù)取決于系統(tǒng)的結(jié)構(gòu)參數(shù)，而階次等于系統(tǒng)中獨(dú)立儲(chǔ)能元件（慣性質(zhì)量、彈簧）的數(shù)量。

2.1控制系統(tǒng)的微分方程2.1.2電路網(wǎng)絡(luò)2.1控制系統(tǒng)的微分方程)(tui)(tuoC1R2R無源電網(wǎng)絡(luò)RLC電路

圖2－3的無源電路網(wǎng)絡(luò)，根據(jù)基爾霍夫定律和歐姆定律，有：經(jīng)過整理，可得其數(shù)學(xué)模型為：2.1控制系統(tǒng)的微分方程2.1控制系統(tǒng)的微分方程1、ei是系統(tǒng)的輸入，eo是系統(tǒng)的輸出

2、相似系統(tǒng)2.1.3電動(dòng)機(jī)電動(dòng)機(jī)是機(jī)電系統(tǒng)中最常用最重要的執(zhí)行元件。：電機(jī)電樞輸入電壓：電機(jī)輸出轉(zhuǎn)角：電樞繞組電阻：電樞繞組電感：流過電機(jī)繞組的電流：電機(jī)感應(yīng)反電動(dòng)勢(shì)：電機(jī)轉(zhuǎn)矩：電機(jī)及負(fù)載折合到電機(jī)軸上的轉(zhuǎn)動(dòng)慣量：電機(jī)及負(fù)載折合到電機(jī)軸上的粘性摩擦系數(shù)2.1控制系統(tǒng)的微分方程根據(jù)基爾霍夫定律，電機(jī)電樞回路：根據(jù)磁場(chǎng)對(duì)載流線圈的作用定律:：電機(jī)力矩常數(shù)根據(jù)電磁感應(yīng)定律:：電機(jī)反電勢(shì)常數(shù)2.1控制系統(tǒng)的微分方程根據(jù)牛頓第二定律：當(dāng)電機(jī)電樞電感較小時(shí),當(dāng)電機(jī)電樞電感、電阻均較小時(shí),即電機(jī)轉(zhuǎn)速與電機(jī)電樞電壓成正比。2.1控制系統(tǒng)的微分方程對(duì)于較復(fù)雜系統(tǒng)，列寫微分方程的一般步驟：1.分析系統(tǒng)工作原理和信號(hào)傳遞變換的過程，確定系統(tǒng)和各元件的輸入、輸出量；2.

從輸入端開始，按照信號(hào)傳遞變換過程，依據(jù)各變量遵循的物理學(xué)定律，依次列寫出各元件、部件的動(dòng)態(tài)微分方程；3.

消去中間變量，得到描述元件或系統(tǒng)輸入、輸出變量之間關(guān)系的微分方程；4.

標(biāo)準(zhǔn)化：右端輸入，左端輸出，導(dǎo)數(shù)降冪排。2.1控制系統(tǒng)的微分方程物理本質(zhì)不同的系統(tǒng)，可以有相同的數(shù)學(xué)模型，從而可以拋開系統(tǒng)的物理屬性，用同一方法進(jìn)行具有普遍意義的分析研究（信息方法）。

從動(dòng)態(tài)性能看，在相同形式的輸入作用下，數(shù)學(xué)模型相同而物理本質(zhì)不同的系統(tǒng)其輸出響應(yīng)相似。相似系統(tǒng)是控制理論中進(jìn)行實(shí)驗(yàn)?zāi)M的基礎(chǔ)。

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