南京師大附中2022-2023學(xué)年度第1學(xué)期高三年級(jí)期中考試數(shù)學(xué)試卷一.單選題（本大題共8小題，每題5分，共40分）1.設(shè)全集為，集合，集合，則（）A. B. C. D.2.已知（i是虛數(shù)單位）的共軛復(fù)數(shù)為，則的虛部為（）A.3 B. C.1 D.3.函數(shù)的圖象大致為（）A. B. C. D.4.已知數(shù)列是各項(xiàng)均為正數(shù)的等比數(shù)列，是它的前項(xiàng)和，若，且，則（）A.128 B.127 C.126 D.1255.給出下列命題：①垂直于同一條直線的兩條直線相互平行；②如果兩條平行直線中的一條垂直于直線，那么另一條直線也與直線垂直；③如果一個(gè)平面內(nèi)的兩條直線與另一個(gè)平面都平行，那么這兩個(gè)平面互相平行；④如果一個(gè)平面過另一個(gè)平面的垂線，那么這兩個(gè)平面互相垂直.以上命題中真命題的序號(hào)是（）A.①② B.③④ C.①③ D.②④6.已知拋物線的焦點(diǎn)為，直線過點(diǎn)且與拋物線交于，兩點(diǎn)，過點(diǎn)作拋物線準(zhǔn)線的垂線，垂足為，的角平分線與拋物線的準(zhǔn)線交于點(diǎn)，線段的中點(diǎn)為.若，則（）A.2 B.4 C.6 D.87.如圖，在正三棱臺(tái)中，，，，則正三棱臺(tái)的外接球體積為（）A. B. C.64 D.8.已知正實(shí)數(shù)，滿足，則的最大值為（）A. B.1 C.2 D.9二.多選題（本大題共4小題，每題5分，共20分.每題全選對(duì)的得5分，部分選對(duì)的得2分，有選錯(cuò)的得0分）9.設(shè)，，都是實(shí)數(shù)，下列說法正確的是（）A.是的充要條件B.是的充分不必要條件C.中，角，，對(duì)應(yīng)邊分別為，，，則是的充要條件D.是的必要不充分條件10.已知是定義在上的奇函數(shù)，滿足，當(dāng)時(shí)，，則下列結(jié)論正確的有（）A.函數(shù)的圖象關(guān)于直線對(duì)稱 B.函數(shù)是周期函數(shù)C.函數(shù)在上單調(diào)遞增 D.函數(shù)有最小值11.已知，分別為橢圓的左、右焦點(diǎn)，不過原點(diǎn)且斜率為1的直線與橢圓交于，兩點(diǎn)，則下列結(jié)論正確的有（）A.橢圓的離心率為 B.橢圓的長(zhǎng)軸長(zhǎng)為2C.若點(diǎn)是線段的中點(diǎn)，則的斜率為D.的面積的最大值為12.已知函數(shù)，則下列結(jié)論正確的有（）A.當(dāng)時(shí)，有2個(gè)零點(diǎn)B.當(dāng)時(shí)，恒成立C.當(dāng)時(shí)，是的極值點(diǎn)D.若，是關(guān)于的方程的2個(gè)不等實(shí)數(shù)根，則三.填空題（本大題共4小題，每題5分，共20分）13.已知向量，，，若，則______.14.已知函數(shù)的定義域?yàn)椋?dāng)時(shí)，，且函數(shù)關(guān)于點(diǎn)對(duì)稱，則滿足的取值范圍是______.15.對(duì)如下編號(hào)為1，2，3，4的格子涂色，有紅，黃，藍(lán)，綠四種顏色可供選擇，要求相鄰格子不同色，則在1號(hào)格子涂紅色的條件下，4號(hào)格子也涂紅色的概率是______.423116.已知，分別為雙曲線的左，右焦點(diǎn)，過點(diǎn)且斜率為1的直線與雙曲線的右支交于，兩點(diǎn)，若是等腰三角形，則雙曲線的離心率為______.四.解答題（本大題共6小題，共70分）17.已知等差數(shù)列與正項(xiàng)等比數(shù)列，滿足，，.（1）求數(shù)列和的通項(xiàng)公式；（2）在①，②，③這三個(gè)條件中任選一個(gè)補(bǔ)充在下面的問題中，并完成求解.若______，求數(shù)列的前項(xiàng)和.（注：若多選，以選①評(píng)分）18.點(diǎn)為邊上一點(diǎn)，滿足，，記，.（1）當(dāng)，且時(shí)，求的值；（2）若，求的面積的最大值.19.如圖，在等腰梯形中，，，點(diǎn)為線段的中點(diǎn)，將沿著折起到位置，為的中點(diǎn).（1）求證：平面平面；（2）當(dāng)平面平面時(shí)，求二面角的余弦值.20.學(xué)史明理，學(xué)史增信，學(xué)史崇德，學(xué)史力行.近年來(lái)，某市積極組織開展黨史學(xué)習(xí)教育的活動(dòng)，為調(diào)查活動(dòng)開展的效果，市委宣傳部對(duì)全市多個(gè)基層支部的黨員進(jìn)行了測(cè)試，并從中抽取了1000份試卷進(jìn)行調(diào)查，根據(jù)這1000份試卷的成績(jī)（單位：分，滿分100分）得到如下頻數(shù)分布表：成績(jī)/分頻數(shù)40902004001508040（1）求這1000份試卷成績(jī)的平均數(shù)？（同一組中的數(shù)據(jù)用該組區(qū)間的中點(diǎn)值為代表）.（2）假設(shè)此次測(cè)試的成績(jī)服從正態(tài)分布，其中近似為樣本平均數(shù)，近似為樣本方差，已知的近似值為6.61，以樣本估計(jì)總體，假設(shè)有84.14%的學(xué)生的測(cè)試成績(jī)高于市教育局預(yù)期的平均成績(jī)，則市教育局預(yù)期的平均成績(jī)大約為多少（結(jié)果保留一位小數(shù)）？（3）該市教育局準(zhǔn)備從成績(jī)?cè)趦?nèi)的120份試卷中用分層抽樣的方法抽取6份，再?gòu)倪@6份試卷中隨機(jī)抽取3份進(jìn)行進(jìn)一步分析，記為抽取的3份試卷中測(cè)試成績(jī)?cè)趦?nèi)的份數(shù)，求的分布列和數(shù)學(xué)期望.參考數(shù)據(jù)：若，則，，.21.已知拋物線的焦點(diǎn)為.（1）求拋物線的準(zhǔn)線方程；（2）若過點(diǎn)的直線與拋物線交于，兩點(diǎn)，線段的中垂線與拋物線的準(zhǔn)線交于點(diǎn)，請(qǐng)問是否存在直線，使得？若存在，求出直線的方程；若不存在，請(qǐng)說明理由.22.設(shè)函數(shù).（1）若，求函數(shù)在上的最小值；（2）若對(duì)任意的，有，求的取值范圍.

參考答案一.單選題1.【答案】B【解析】，，所以2.【答案】B【解析】3.【答案】A【解析】，故函數(shù)為偶函數(shù)，且求導(dǎo)易得極值點(diǎn)為4.【答案】C【解析】，，所以，即5.【答案】D【解析】三條直線兩兩互相垂直則為①反例，由空間中兩直線夾角的定義可知②對(duì)，故有②無(wú)①6.【答案】D【解析】設(shè)，則所以，解得，即由對(duì)稱性，僅研究時(shí)，此時(shí)，即所以，即所以，，即【注】此處有結(jié)論：軸.7.【答案】B【解析】設(shè)三棱臺(tái)外接球球心為，半徑為，到面距離為易得棱臺(tái)的高為，則有，解得，即外接球體積為8.【答案】D【解析】，當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)取等二.多選題9.【答案】BC【解析】A.時(shí)不成立，故錯(cuò)B.，，故對(duì)C.在三角形中，故對(duì)D.，故，所以充分性得證，故錯(cuò)10.【答案】ABD【解析】A.，故對(duì)B.，故對(duì)C.由已知可知在不單調(diào)，則又由周期性可知錯(cuò)D.由題意可知，故對(duì)11.【答案】ACD【解析】A.，，故對(duì)B.，故錯(cuò)C.，故對(duì)D.當(dāng)時(shí)，取最大值，故對(duì)12.【答案】BC【解析】，易知在增，在減，如圖，故A錯(cuò)，B對(duì)，C.，故對(duì)D.，即不妨設(shè)若，則，則，則，則，則 設(shè)，則，設(shè)，則，即在上單調(diào)遞增，又，所以，故，即錯(cuò)三.填空題13.【答案】【解析】，14.【答案】【解析】關(guān)于對(duì)稱，則為奇函數(shù)，且由題意可得單調(diào)遞增，所以15.【答案】【解析】設(shè)1號(hào)涂紅色事件為，4號(hào)涂紅色事件為，則16.【答案】【解析】設(shè)，，由雙曲線定義可得，①時(shí)，，即，因?yàn)橹本€斜率為1，所以傾斜角為，即，在三角形中，由余弦定理可得即，解得，此時(shí)直線于雙曲線的兩支相交，舍；②時(shí)，同理可得，此時(shí)滿足題意；③時(shí)，由對(duì)稱可得不存在，舍.四.解答題17.【解析】（1）由已知得所以，；（2）選①，則有即.18.【答案】（1）由已知得又因?yàn)?，所以，解得；?）在三角形中，，由正弦定理得，即，所以當(dāng)，即時(shí)，取最大值.19.【解析】（1）由已知得三角形和三角形均為等邊三角形因?yàn)槭侵悬c(diǎn)，所以，又因?yàn)椋?，面，所以面又因?yàn)槊?，所以面面；?）以為原點(diǎn)，所在直線為軸，所在直線為軸，所在直線為軸建立空間直角坐標(biāo)系，由已知得，，，即，設(shè)面的法向量，則，令有由（1）可知為面的一個(gè)法向量，所以答：二面角的余弦值為20.【解析】（1）由已知得（2）由已知得，答：市委宣傳部預(yù)期平均成績(jī)大約為75.5分；（3）由分層抽樣得抽取的6份試卷中2份在內(nèi)，4份在內(nèi)，的可能取值為0，1，2，則，，即的分布列為：012所以.21.【解析】（1）由已知得，即拋物線的準(zhǔn)線方程為；（2）由題意得，且斜率一定存在，設(shè)，設(shè)，，中點(diǎn)為，設(shè)，，則，即若存在滿足題意的直線，則，即，所以，又因?yàn)椋?，即因此有，即所以無(wú)解，即不存在滿足題意的直線22.【解析】（1）因?yàn)?，所以在單調(diào)遞增，又因?yàn)?，所以，所以在單調(diào)遞增，所以在上的最小值為；（2）①時(shí)，，即在