北京市第五十六中學2024屆數(shù)學高二下期末考試試題注意事項:1．答題前，考生先將自己的姓名、準考證號碼填寫清楚，將條形碼準確粘貼在條形碼區(qū)域內(nèi)。2．答題時請按要求用筆。3．請按照題號順序在答題卡各題目的答題區(qū)域內(nèi)作答，超出答題區(qū)域書寫的答案無效；在草稿紙、試卷上答題無效。4．作圖可先使用鉛筆畫出，確定后必須用黑色字跡的簽字筆描黑。5．保持卡面清潔，不要折暴、不要弄破、弄皺，不準使用涂改液、修正帶、刮紙刀。一、選擇題：本題共12小題，每小題5分，共60分。在每小題給出的四個選項中，只有一項是符合題目要求的。1．已知為自然對數(shù)的底數(shù)，若對任意的，總存在唯一的，使得成立，則實數(shù)的取值范圍是（）A． B． C． D．2．函數(shù)是（）A．偶函數(shù)且最小正周期為2 B．奇函數(shù)且最小正周期為2C．偶函數(shù)且最小正周期為 D．奇函數(shù)且最小正周期為3．已知10件產(chǎn)品中，有7件合格品，3件次品，若從中任意抽取5件產(chǎn)品進行檢查，則抽取的5件產(chǎn)品中恰好有2件次品的抽法有()A．種 B．種 C．種 D．種4．“”是雙曲線的離心率為（）A．充要條件 B．必要不充分條件 C．即不充分也不必要條件 D．充分不必要條件5．設集合，．若，則()A． B． C． D．6．復數(shù)是虛數(shù)單位的虛部是A． B．1 C． D．i7．若圓錐的高為，底面半徑為，則此圓錐的表面積為（）A． B． C． D．8．設定義在(0，＋∞)上的函數(shù)f(x)滿足xf′(x)－f(x)＝xlnx，，則f(x)()A．有極大值，無極小值 B．有極小值，無極大值C．既有極大值，又有極小值 D．既無極大值，又無極小值9．從某高中隨機選取5名高三男生，其身高和體重的數(shù)據(jù)如下表所示：根據(jù)上表可得回歸直線方程y=0.56x+a，據(jù)此模型預報身高為A．70.09kg B．70.12kg C．70.5510．從中不放回地依次取個數(shù)，事件表示“第次取到的是奇數(shù)”，事件表示“第次取到的是奇數(shù)”，則（）A．B．C．D．11．《九章算術》中有如下問題：“今有勾五步，股一十二步，問勾中容圓，徑幾何？”其大意：“已知直角三角形兩直角邊長分別為5步和12步，問其內(nèi)切圓的直徑為多少步？”現(xiàn)若向此三角形內(nèi)隨機投一粒豆子，則豆子落在其內(nèi)切圓外的概率是()A． B． C． D．12．已知二項式的展開式中第2項與第3項的二項式系數(shù)之比是2︰5，則的系數(shù)為（）A．14 B． C．240 D．二、填空題：本題共4小題，每小題5分，共20分。13．將紅、黃、藍、白、黑5個小球分別放入紅、黃、藍、白、黑5個盒子里，每個盒子里放且只放1個小球，則紅球不在紅盒內(nèi)且黃球不在黃盒內(nèi)的概率是______.14．已知橢圓，雙曲線.若雙曲線的兩條漸近線與橢圓的四個交點及橢圓的兩個焦點恰為一個正六邊形的頂點，則橢圓與雙曲線的離心率之積為__________．15．在平面直角坐標系中，若直線與橢圓在第一象限內(nèi)交于點，且以為直徑的圓恰好經(jīng)過右焦點，則橢圓的離心率是______.16．若直線是曲線的切線，也是曲線的切線，則．三、解答題：共70分。解答應寫出文字說明、證明過程或演算步驟。17．（12分）如圖，在三棱柱中，，，點在平而內(nèi)的射影為(1)證明：四邊形為矩形；(2)分別為與的中點，點在線段上，已知平面，求的值.(3)求平面與平面所成銳二面角的余弦值18．（12分）已知函數(shù)是定義在上的奇函數(shù).（1）求a的值：（2）求函數(shù)的值域；（3）當時，恒成立，求實數(shù)m的取值范圍.19．（12分）已知實數(shù)a>0，設函數(shù)f(x)=|x+1（1）證明：f(x)≥2；（2）若f(3)≤5，求a的取值范圍．20．（12分）設點為坐標原點，橢圓：的右頂點為，上頂點為，過點且斜率為的直線與直線相交于點，且.（1）求橢圓的離心率；（2）是圓：的一條直徑，若橢圓經(jīng)過，兩點，求橢圓的方程.21．（12分）已知函數(shù)，是自然對數(shù)的底數(shù).（Ⅰ）若過坐標原點作曲線的切線，求切線的方程；（Ⅱ）當時，不等式恒成立，求的最小值.22．（10分）某市要對該市六年級學生進行體育素質(zhì)調(diào)查測試，現(xiàn)讓學生從“跳繩、短跑米、長跑米、仰臥起坐、游泳米、立定跳遠”項中選擇項進行測試，其中“短跑、長跑、仰臥起坐”項中至少選擇其中項進行測試.現(xiàn)從該市六年級學生中隨機抽取了名學生進行調(diào)查，他們選擇的項目中包含“短跑、長跑、仰臥起坐”的項目個數(shù)及人數(shù)統(tǒng)計如下表：（其中）選擇的項目中包含“短跑、長跑、仰臥起坐”的項目個數(shù)人數(shù)已知從所調(diào)查的名學生中任選名，他們選擇“短跑、長跑、仰臥起坐”的項目個數(shù)不相等概率為，記為這名學生選擇“短跑、長跑、仰臥起坐”的項目個數(shù)之和.（1）求的值；（2）求隨機變量的分布列和數(shù)學期望.

參考答案一、選擇題：本題共12小題，每小題5分，共60分。在每小題給出的四個選項中，只有一項是符合題目要求的。1、B【解題分析】,,故函數(shù)在區(qū)間上遞增,,,故函數(shù)在上遞減.所以,解得,故選B.2、C【解題分析】

首先化簡為，再求函數(shù)的性質(zhì).【題目詳解】，是偶函數(shù)，故選C.【題目點撥】本題考查了三角函數(shù)的基本性質(zhì)，屬于簡單題型.3、C【解題分析】

根據(jù)題意，分2步進行分析，第一步從3件次品中抽取2件次品，第二步從7件正品中抽取3件正品，根據(jù)乘法原理計算求得結(jié)果．【題目詳解】根據(jù)題意，分2步進行分析：①.從3件次品中抽取2件次品，有種抽取方法，;②.從7件正品中抽取3件正品，有種抽取方法，則抽取的5件產(chǎn)品中恰好有2件次品的抽法有種；故選：C．【題目點撥】本題考查排列組合的實際應用，注意是一次性抽取，抽出的5件產(chǎn)品步需要進行排列．4、D【解題分析】

將雙曲線標準化為,由于離心率為可得,在根據(jù)充分、必要條件的判定方法,即可得到結(jié)論.【題目詳解】將雙曲線標準化則根據(jù)離心率的定義可知本題中應有,則可解得,因為可以推出;反之成立不能得出.故選:.【題目點撥】本題考查雙曲的離心率公式,考查充分不必要條件的判斷,雙曲線方程的標準化后離心率公式的正確使用是解答本題的關鍵,難度一般.5、C【解題分析】∵集合，，∴是方程的解，即∴∴，故選C6、B【解題分析】

利用復數(shù)的除法運算法則：分子、分母同乘以分母的共軛復數(shù)，化簡復數(shù)，從而可得答案．【題目詳解】，復數(shù)的虛部是1．故選B．【題目點撥】復數(shù)是高考中的必考知識，主要考查復數(shù)的概念及復數(shù)的運算．要注意對實部、虛部的理解，掌握純虛數(shù)、共軛復數(shù)、復數(shù)的摸這些重要概念，復數(shù)的運算主要考查除法運算，通過分母實數(shù)化轉(zhuǎn)化為復數(shù)的乘法，運算時特別要注意多項式相乘后的化簡，防止簡單問題出錯，造成不必要的失分.7、B【解題分析】

根據(jù)圓錐的高和底面半徑求出母線長，分別求出圓錐側(cè)面積和底面積，加和得到結(jié)果.【題目詳解】由題意可得圓錐的母線長為：圓錐側(cè)面積為：；底面積為：圓錐表面積為：本題正確選項：【題目點撥】本題考查圓錐表面積的求解，關鍵是熟練掌握圓錐側(cè)面積公式，屬于基礎題.8、D【解題分析】因為xf′(x)－f(x)＝xlnx，所以，所以，所以f(x)＝xln2x＋cx.因為f()＝ln2＋c×＝，所以c＝，所以f′(x)＝ln2x＋lnx＋＝(lnx＋1)2≥0，所以f(x)在(0，＋∞)上單調(diào)遞增，所以f(x)在(0，＋∞)上既無極大值，也無極小值，故選D.點睛：根據(jù)導函數(shù)求原函數(shù)，常常需構(gòu)造輔助函數(shù)，一般根據(jù)導數(shù)法則進行：如構(gòu)造，構(gòu)造，構(gòu)造，構(gòu)造等9、B【解題分析】試題分析：由上表知x=170，y=69，所以a=y=0.56×172-26.2=70.12，所以男生體重約為70.12kg考點：線性回歸方程．10、D【解題分析】試題分析：由題意，，∴，故選D．考點：條件概率與獨立事件．11、C【解題分析】

本題首先可以根據(jù)直角三角形的三邊長求出三角形的內(nèi)切圓半徑，然后分別計算出內(nèi)切圓和三角形的面積，最后通過幾何概型的概率計算公式即可得出答案.【題目詳解】如圖所示，直角三角形的斜邊長為，設內(nèi)切圓的半徑為，則，解得.所以內(nèi)切圓的面積為，所以豆子落在內(nèi)切圓外部的概率，故選C．【題目點撥】本題主要考查“面積型”的幾何概型，屬于中檔題.解決幾何概型問題常見類型有：長度型、角度型、面積型、體積型，求與面積有關的幾何概型問題關鍵是計算問題的總面積以及事件的面積；幾何概型問題還有以下幾點容易造成失分，在備考時要高度關注：（1）不能正確判斷事件是古典概型還是幾何概型導致錯誤；（2）基本事件對應的區(qū)域測度把握不準導致錯誤；（3）利用幾何概型的概率公式時,忽視驗證事件是否等可能性導致錯誤．12、C【解題分析】

由二項展開式的通項公式為及展開式中第2項與第3項的二項式系數(shù)之比是2︰5可得：，令展開式通項中的指數(shù)為，即可求得，問題得解．【題目詳解】二項展開式的第項的通項公式為由展開式中第2項與第3項的二項式系數(shù)之比是2︰5，可得：.解得：.所以令，解得：，所以的系數(shù)為故選C【題目點撥】本題主要考查了二項式定理及其展開式，考查了方程思想及計算能力，還考查了分析能力，屬于中檔題．二、填空題：本題共4小題，每小題5分，共20分。13、0.65【解題分析】設紅球不在紅盒內(nèi)且黃球不在黃盒內(nèi)的概率為，再設紅球在紅盒內(nèi)的概率為，黃球在黃盒內(nèi)的概率為，紅球在紅盒內(nèi)且黃球在黃盒內(nèi)的概率為，則紅球不在紅盒且黃球不在黃盒由古典概型概率公式可得，，則，即，故答案為.14、【解題分析】

利用條件求出正六邊形的頂點坐標，代入橢圓方程，求出橢圓的離心率，利用漸近線的夾角求雙曲線的離心率，從而得出答案?！绢}目詳解】如圖正六邊形中，，直線即雙曲線的漸近線方程為，由橢圓的定義可得，所以橢圓的離心率，雙曲線的漸近線方程為，則，雙曲線的離心率，所以橢圓與雙曲線的離心率之積為【題目點撥】本題考查橢圓的定義和離心率，雙曲線的簡單性質(zhì)，屬于一般題。15、.【解題分析】

由題意可得軸，求得的坐標，由在直線上，結(jié)合離心率公式，解方程可得所求值．【題目詳解】解：以為直徑的圓恰好經(jīng)過右焦點，可得軸，令，可得，不妨設，由在直線上，可得，即為，由可得，解得（負的舍去）.故答案為:.【題目點撥】本題考查橢圓的方程和性質(zhì)，考查了圓的性質(zhì).本題的關鍵是由圓過焦點得出點的坐標.求離心率的做題思路是，根據(jù)題意求出或者列出一個關于的方程，由橢圓或雙曲線的的關系，進而求解離心率.16、【解題分析】試題分析：對函數(shù)求導得，對求導得，設直線與曲線相切于點，與曲線相切于點，則，由點在切線上得，由點在切線上得，這兩條直線表示同一條直線，所以，解得.【考點】導數(shù)的幾何意義【名師點睛】函數(shù)f（x）在點x0處的導數(shù)f′（x0）的幾何意義是曲線y＝f（x）在點P（x0，y0）處的切線的斜率．相應地，切線方程為y?y0＝f′（x0）（x?x0）．注意：求曲線切線時，要分清在點P處的切線與過點P的切線的不同．三、解答題：共70分。解答應寫出文字說明、證明過程或演算步驟。17、（1）詳見解析（2）（3）【解題分析】

（1）根據(jù)投影分析線段長度關系，由此得到長度關系，由此去證明四邊形為矩形；（2）通過取中點，作出輔助線，利用線面平行確定點位置，從而完成的計算；（3）建立合適空間直角坐標系，利用向量法求解銳二面角的余弦值.【題目詳解】（1）證明：平面，在平面，在與中，又，，四邊形為矩形；（2）取的中點，連結(jié)交于，分別為的中點，，，又為的中點，，四邊形為平行四邊形，即，平面，；（3）如圖，以為坐標原點，過分別與平行的直線為軸，軸，為軸，建立如圖所示空間直角坐標系，，平面的法向量，，設為平面的法向量得，平面與平面所成銳二面角的余弦值為【題目點撥】本題考查立體幾何的綜合應用，難度一般.利用向量方法求解二面角的余弦值時，要注意一個問題：有時候求解出的余弦值是負值，但實際結(jié)果卻是正值，這里其實我們需要回原圖中去觀察一下兩個面所成的二面角是銳角還是鈍角，然后給出判斷即可.18、（1）（2）（3）【解題分析】

（1）利用函數(shù)是奇函數(shù)的定義求解a即可(2)判斷函數(shù)的單調(diào)性，求解函數(shù)的值域即可(3)利用函數(shù)恒成立，分離參數(shù)m,利用換元法，結(jié)合函數(shù)的單調(diào)性求解最大值，推出結(jié)果即可.【題目詳解】（1）∵是R上的奇函數(shù)，∴即：.即整理可得.（2）在R上遞增∵，,∴函數(shù)的值域為.（3）由可得，，.當時，令），則有，函數(shù)在1≤t≤3上為增函數(shù)，∴，，故實數(shù)m的取值范圍為【題目點撥】本題主要考查了函數(shù)恒成立條件的應用，函數(shù)的單調(diào)性以及函數(shù)的奇偶性的應用，屬于中檔題.19、（1）見解析；（2）1+5【解題分析】試題分析：（1）由絕對值不等式的性質(zhì)|a|+|b|≥|a-b|直接求解消去x，再由基本不等式求之即可；（2）由f(3)≤5得|3+1a|+|3-a|≤5，又a>0，所以3+試題解析：（1）證明：f(x)=|x+（2）∵f(3)≤5，|3+∵a>0，∴3+1a+|3-a|≤5?|3-a|≤2-1∴a-3≤2-1aa-3≥1a-2，∵a>0考點：含絕對值的不等式的性質(zhì)與解法．20、(1).（2）.【解題分析】分析：（1）運用向量的坐標運算，可得M的坐標，進而得到直線OM的斜率，進而得證；（2）由（1）知，橢圓方程設為，設PQ的方程，與橢圓聯(lián)立，運用韋達定理和中點坐標公式，以及弦長公式，解方程即可得到a，b的值，進而得到橢圓方程.詳解：（1）∵，，，所以.∴，解得，于是，∴橢圓的離心率為.（2）由（1）知，∴橢圓的方程為即①依題意，圓心是線段的中點，且.由對稱性可知，與軸不垂直，設其直線方程為，代入①得：，設，，則，，由得，解得.于是.于是.解得：，，∴橢圓的方程為.點睛：本題考查橢圓的方程和性質(zhì)，考查向量共線的坐標表示，考查直線方程和橢圓方程聯(lián)立，運用韋達定理以及弦長公式，化簡整理的運算能力，屬于中檔題.21、（Ⅰ）即；（Ⅱ）0.【解題分析】

（Ⅰ）對函數(shù)進行求導，然后設出切點坐標，利用導數(shù)求出切線斜率，寫出點斜式方程，把原點的坐標代入切線方程，可求出切點坐標，進而求出切線方程；（Ⅱ）不等式恒