浙江省溫州市環(huán)大羅山聯盟2024屆數學高二第二學期期末統考試題注意事項1．考試結束后，請將本試卷和答題卡一并交回．2．答題前，請務必將自己的姓名、準考證號用0．5毫米黑色墨水的簽字筆填寫在試卷及答題卡的規(guī)定位置．3．請認真核對監(jiān)考員在答題卡上所粘貼的條形碼上的姓名、準考證號與本人是否相符．4．作答選擇題，必須用2B鉛筆將答題卡上對應選項的方框涂滿、涂黑；如需改動，請用橡皮擦干凈后，再選涂其他答案．作答非選擇題，必須用05毫米黑色墨水的簽字筆在答題卡上的指定位置作答，在其他位置作答一律無效．5．如需作圖，須用2B鉛筆繪、寫清楚，線條、符號等須加黑、加粗．一、選擇題：本題共12小題，每小題5分，共60分。在每小題給出的四個選項中，只有一項是符合題目要求的。1．將2名教師和6名學生平均分成2組，各組由1名教師和3名學生組成，分別安排到甲、乙兩地參加社會實踐活動，則不同的安排方案有（）A．40種 B．60種 C．80種 D．120種2．下列函數中，既是奇函數又是上的增函數的是（）A． B． C． D．3．如圖，在中，．是的外心，于，于，于，則等于（）A． B．C． D．4．對任意實數，若不等式在上恒成立，則的取值范圍是（）A． B． C． D．5．執(zhí)行如圖所示的程序框圖，則輸出的（）A． B． C． D．6．若，，如果與為共線向量，則（）A．， B．，C．， D．，7．設，函數的導函數是，若是偶函數，則曲線在原點處的切線方程為（）A． B． C． D．8．廣告投入對商品的銷售額有較大影響，某電商對連續(xù)5個年度的廣告費和銷售額進行統計，得到統計數據如下表（單位：萬元）廣告費23456銷售額2941505971由上表可得回歸方程為，據此模型，預測廣告費為10萬元時銷售額約為（）A．118.2萬元 B．111.2萬元 C．108.8萬元 D．101.2萬元9．已知滿足，則的取值范圍為（）A． B． C． D．10．通過隨機詢問111名不同的大學生是否愛好某項運動，得到如下的列聯表：

男

女

總計

愛好

41

21

31

不愛好

21

21

51

總計

31

51

111

由附表：

1．151

1．111

1．111

2．841

3．325

11．828

參照附表，得到的正確結論是（）A．有99%以上的把握認為“愛好該項運動與性別有關”B．有99%以上的把握認為“愛好該項運動與性別無關”C．在犯錯誤的概率不超過1．1%的前提下，認為“愛好該項運動與性別有關”D．在犯錯誤的概率不超過1．1%的前提下，認為“愛好該項運動與性別無關”11．是單調函數,對任意都有，則的值為（）A． B． C． D．12．設，，，則A． B． C． D．二、填空題：本題共4小題，每小題5分，共20分。13．________．14．若，滿足不等式，則的取值范圍是________.15．兩名女生,4名男生排成一排,則兩名女生不相鄰的排法共有______

種(以數字作答)16．已知，且的實部為，則的虛部是________.三、解答題：共70分。解答應寫出文字說明、證明過程或演算步驟。17．（12分）某學校高三年級學生某次身體素質體能測試的原始成績采用百分制，已知所有這些學生的原始成績均分布在內，發(fā)布成績使用等級制，各等級劃分標準見下表．百分制85分及以上70分到84分60分到69分60分以下等級ABCD規(guī)定：A，B，C三級為合格等級，D為不合格等級為了解該校高三年級學生身體素質情況，從中抽取了n名學生的原始成績作為樣本進行統計．按照，，，，的分組作出頻率分布直方圖如圖1所示，樣本中分數在80分及以上的所有數據的莖葉圖如圖2所示求n和頻率分布直方圖中的x，y的值，并估計該校高一年級學生成績是合格等級的概率；根據頻率分布直方圖，求成績的中位數精確到；在選取的樣本中，從A，D兩個等級的學生中隨機抽取2名學生進行調研，求至少有一名學生是A等級的概率．18．（12分）（1）已知矩陣的一個特征值為，其對應的特征向量，求矩陣及它的另一個特征值.（2）在極坐標系中，設P為曲線C：上任意一點，求點P到直線l：的最小距離.19．（12分）在如圖所示的幾何體中，平面平面，四邊形和四邊形都是正方形，且邊長為，是的中點.（1）求證：直線平面；（2）求二面角的大小.20．（12分）設函數，，，其中是的導函數.（1）令，，，求的表達式；（2）若恒成立，求實數的取值范圍.21．（12分）已知球的內接正四棱錐,,.(1)求正四棱錐的體積；(2)求、兩點間的球面距離.22．（10分）已知A，B為橢圓上的兩個動點，滿足．（1）求證：原點O到直線AB的距離為定值；（2）求的最大值；（3）求過點O，且分別以OA，OB為直徑的兩圓的另一個交點P的軌跡方程．

參考答案一、選擇題：本題共12小題，每小題5分，共60分。在每小題給出的四個選項中，只有一項是符合題目要求的。1、A【解題分析】

根據甲、乙兩地先安排老師，可知，然后安排學生，可得結果.【題目詳解】第一步，為甲、乙兩地排教師，有種排法；第二步，為甲、乙兩地排學生，有種排法，故不同的安排方案共有種，故選：A【題目點撥】本題考查排列分組的問題，一般來講先分組后排列，審清題意細心計算，屬基礎題.2、B【解題分析】

分別畫出各選項的函數圖象,由圖象即可判斷.【題目詳解】由題,畫出各選項函數的圖象,則選項A為選項B為選項C為選項D為由圖象可知,選項B滿足既是奇函數又是上的增函數,故選:B【題目點撥】本題考查判斷函數的單調性和奇偶性,考查基本初等函數的圖象與性質.3、D【解題分析】由正弦定理有,為三角形外接圓半徑,所以,在中,,同理,所以,選D.4、B【解題分析】考點：絕對值不等式；函數恒成立問題．分析：要使不等式|x+2|-|x-1|＞a恒成立，需f（x）=|x+2|-|x-1|的最小值大于a，問題轉化為求f（x）的最小值．解：（1）設f（x）=|x+2|-|x-1|，則有f（x）=，當x≤-2時，f（x）有最小值-1；當-2≤x≤1時，f（x）有最小值-1；當x≥1時，f（x）=1．綜上f（x）有最小值-1，所以，a＜-1．故答案為B．5、B【解題分析】

模擬程序的運行過程，分析循環(huán)中各變量值的變化即可得到答案.【題目詳解】由題意，輸入值，，第一次執(zhí)行，，，不成立；第二次執(zhí)行，，，不成立；第三次執(zhí)行，，，不成立；第四次執(zhí)行，，，不成立；第五次執(zhí)行，，，成立，輸出.故選：B【題目點撥】本題主要考查循環(huán)框圖的應用，按照框圖的程序運行即可得出正確答案，屬于基礎題.6、B【解題分析】

利用向量共線的充要條件即可求出．【題目詳解】解：與為共線向量，存在實數使得，，解得．故選：．【題目點撥】本題考查空間向量共線定理的應用，屬于基礎題.7、C【解題分析】

先由求導公式求出，根據偶函數的性質求出，然后利用導函數的幾何意義求出切線斜率，進而寫出切線方程．【題目詳解】，因為是偶函數，所以，即解得，所以，，則，所以切線方程為故選C【題目點撥】本題主要考查利用導函數求曲線上一點的切線方程，屬于基礎題．8、B【解題分析】分析：平均數公式可求出與的值,從而可得樣本中心點的坐標，代入回歸方程求出，再將代入回歸方程得出結論.詳解：由表格中數據可得，，，解得，回歸方程為，當時，，即預測廣告費為10萬元時銷售額約為，故選B.點睛：本題考查了線性回歸方程的性質與數值估計，屬于基礎題.回歸直線過樣本點中心是一條重要性質，利用線性回歸方程可以估計總體，幫助我們分析兩個變量的變化趨勢.9、D【解題分析】由題意，令，所以，所以，因為，所以所以所以，故選D.10、A【解題分析】

由，而，故由獨立性檢驗的意義可知選A11、A【解題分析】

令，根據對任意都有，對其求導，結合是單調函數，即可求得的解析式，從而可得答案.【題目詳解】令，則，.∴∵是單調函數∴∴，即.∴故選A.【題目點撥】本題考查的知識點是函數的值，函數解析式的求法，其中解答的關鍵是求出抽象函數解析式，要注意對已知條件及未知條件的湊配思想的應用．12、D【解題分析】

依換底公式可得，從而得出，而根據對數函數的單調性即可得出，從而得出，，的大小關系．【題目詳解】由于，；，又，．故選．【題目點撥】本題主要考查利用對數函數的單調性比較大小以及換底公式的應用．二、填空題：本題共4小題，每小題5分，共20分。13、【解題分析】分析：根據，即可求出原函數，再根據定積分的計算法則計算即可.詳解：，故答案為：.點睛：本題考查了定積分的計算，關鍵是求出原函數，屬于基礎題.14、【解題分析】

由約束條件作出可行域，化目標函數為直線方程的斜截式，數形結合得到最優(yōu)解，聯立方程組求得最優(yōu)解的坐標，代入目標函數得答案．【題目詳解】解：由，滿足不等式作出可行域如圖，

令，目標函數經過A點時取的最小值，

聯立，解得時得最小值，．

目標函數經過B點時取的最大值，

聯立，解得，此時取得最大值，．

所以，z＝2x＋y的取值范圍是．

故答案為：【題目點撥】本題考查簡單的線性規(guī)劃，考查了數形結合的解題思想方法，是基礎題．15、480【解題分析】分析：由題意,先排男生,再插入女生,即可得兩名女生不相鄰的排法.詳解：由題意，其中名男生共有種不同的排法，再將兩名女生插入名男生之間，共有中不同的方法，所以兩名女生不相鄰的排法共有中不同的排法.點睛：本題主要考查了排列的應用，其中認真分析題意，得道現排四名男生，在把兩名女生插入四名男生之間是解答的關鍵，著重考查了分析問題和解答問題的能力.16、【解題分析】

根據的實部為，設，然后根據求解.【題目詳解】因為的實部為，設，又因為，所以，解得，故的虛部為.故答案為：【題目點撥】本題主要考查復數的概念和運算，還考查了理解辨析的能力，屬于基礎題.三、解答題：共70分。解答應寫出文字說明、證明過程或演算步驟。17、（1），；合格等級的概率為；（2）中位數為；（3）【解題分析】

由題意求出樣本容量，再計算x、y的值，用頻率估計概率值；根據頻率分布直方圖，計算成績的中位數即可；由莖葉圖中的數據，利用列舉法求出基本事件數，計算所求的概率值．【題目詳解】由題意知，樣本容量，，；因為成績是合格等級人數為：人，抽取的50人中成績是合格等級的概率為，即估計該校高一年級學生成績是合格等級的概率為；根據頻率分布直方圖，計算成績的中位數為；由莖葉圖知，A等級的學生有3人，D等級的學生有人，記A等級的學生為A、B、C，D等級的學生為d、e、f、g、h，從這8人中隨機抽取2人，基本事件是：AB、AC、Ad、Ae、Af、Ag、Ah、BC、Bd、Be、Bf、Bg、Bh、Cd、Ce、Cf、Cg、Ch、de、df、dg、dh、ef、eg、eh、fg、fh、gh共28個；至少有一名是A等級的基本事件是：AB、AC、Ad、Ae、Af、Ag、Ah、BC、Bd、Be、Bf、Bg、Bh、Cd、Ce、Cf、Cg、Ch共18個；故所求的概率為．【題目點撥】本題考查了頻率分布直方圖的應用問題，也考查了列舉法求古典概型的概率問題，是基礎題．18、（1）；；（2）.【解題分析】

（1）由矩陣運算，代入可求得或，即求得另一個特征值。（2）由直角坐標與極坐標互換公式，實現直角坐標與極坐標的相互轉化?！绢}目詳解】（1）由得：，，矩陣的特征多項式為，令，得，解得或所以矩陣的另一個特征值為（2）以極點為原點，極軸為軸建立平面直角坐標系．因為，所以，將其化為普通方程，得將曲線：化為普通方程，得．所以圓心到直線的距離所以到直線的最小距離為【題目點撥】直角坐標與極坐標互換公式，利用這個公式可以實現直角坐標與極坐標的相互轉化。19、（1）見解析；（2）.【解題分析】試題分析：（1）連結交于，根據平行四邊形性質得是中點，再根據三角形中位線性質得，最后根據線面平行判定定理得結論,（2）根據條件建立空間直角坐標系,設立各點坐標,利用方程組解各面法向量,根據向量數量積求夾角,最后根據二面角與向量夾角相等或互補關系求二面角.試題解析：（1）∵且，與交于點，與交于點∴平面平面，∴幾何體是三棱柱又平面平面，，∴平面，故幾何體是直三棱柱（1）四邊形和四邊形都是正方形，所以且，所以四邊形為矩形；于是，連結交于，連結，是中點，又是的中點，故是三角形D的中位線，，注意到在平面外，在平面內，∴直線平面（2）由于平面平面，，∴平面，所以.于是，，兩兩垂直.以，，所在直線分別為，，軸建立空間直角坐標系，因正方形邊長為，且為中點，所以，，，于是，，設平面的法向量為則，解之得，同理可得平面的法向量，∴記二面角的大小為，依題意知，為銳角，，即求二面角的大小為20、（1）；（2）.【解題分析】分析：（1）求出的解析式，依次計算即可得出猜想；

（2）已知恒成立，即恒成立．設(x≥0)，則φ′(x)＝=－＝，對進行討論，求出的最小值，令恒成立即可；詳解：由題設得，g(x)＝(x≥0)．(1)由已知，g1(x)＝，g2(x)＝g(g1(x))＝＝，g3(x)＝，…，可得gn(x)＝.下面用數學歸納法證明．①當n＝1時，g1(x)＝，結論成立．②假設n＝k時結論成立，即gk(x)＝.那么，當n＝k＋1時，gk＋1(x)＝g(gk(x))＝＝，即結論成立．由①②可知，結論對n∈N＋成立．所以gn(x)＝.(2)已知f(x)≥ag(x)恒成立，即ln(1＋x)≥恒成立．設φ(x)＝ln(1＋x)－(x≥0)，則φ′(x)＝=－＝，當a≤1時，φ′(x)≥0(僅當x＝0，a＝1時等號成立)，∴φ(x)在[0，＋∞)上單調遞增，又φ(0)＝0，∴φ(x)≥0在[0，＋∞)上恒成立，∴a≤1時，ln(1＋x)≥恒成立(僅當x＝0時等號成立)．當a>1時，對x∈(0，a－1]有φ′(x)<0，∴φ(x)在(0，a－1]上單調遞減，∴φ(a－1)<φ(0)＝0，即a>1時，存在x>0，使φ(x)<0，故知ln(1＋x)≥不恒成立．綜上可知，a的取值范圍是(－∞，1]．點睛：本題考查了函數的單調性判斷與最值計算，數學歸納法證明，分類討論思想，屬于中檔題．21、(1)；(2).【解題分析】

(1)設平面,利用勾股定理可以求出,最后利用棱錐的體積公式求出正四棱錐的體積；(2)利用勾股定理,先求出球的半徑,再用余弦定理可以求出的大小,最后利用球面上兩點間球面距離定義求出、兩點間的球面距離.【題目詳解】(1)設平面,如下圖所示：由四棱錐是正四棱錐,所以是底面的中心,因為是正方形,,所以,在中,,所以正四棱錐的體積為：；(2)由球和正四