2024屆吉林省長春市榆樹第一高級(jí)中學(xué)數(shù)學(xué)高二第二學(xué)期期末監(jiān)測試題注意事項(xiàng)：1．答題前，考生先將自己的姓名、準(zhǔn)考證號(hào)填寫清楚，將條形碼準(zhǔn)確粘貼在考生信息條形碼粘貼區(qū)。2．選擇題必須使用2B鉛筆填涂；非選擇題必須使用0．5毫米黑色字跡的簽字筆書寫，字體工整、筆跡清楚。3．請按照題號(hào)順序在各題目的答題區(qū)域內(nèi)作答，超出答題區(qū)域書寫的答案無效；在草稿紙、試題卷上答題無效。4．保持卡面清潔，不要折疊，不要弄破、弄皺，不準(zhǔn)使用涂改液、修正帶、刮紙刀。一、選擇題：本題共12小題，每小題5分，共60分。在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，只有一項(xiàng)是符合題目要求的。1．從4種蔬菜品種中選出3種，分別種植在不同土質(zhì)的3塊土地上，不同的種植方法共有()A．12種 B．24種 C．36種 D．48種2．已知復(fù)數(shù)，若是純虛數(shù)，則實(shí)數(shù)等于（）A．2 B．1 C．0或1 D．-13．若函數(shù)的圖象與直線相切，則()A． B． C． D．4．已知曲線與直線圍成的圖形的面積為，則（）A．1 B． C． D．5．給出下列四個(gè)命題，其中真命題的個(gè)數(shù)是（）①回歸直線y=bx+a②“x=6”是“x2③“?x0∈R，使得x02④“命題p∨q”為真命題，則“命題?p∧?q”也是真命題.A．0B．1C．2D．36．對于一個(gè)數(shù)的三次方，我們可以分解為若干個(gè)數(shù)字的和如下所示：…，根據(jù)上述規(guī)律，的分解式中，等號(hào)右邊的所有數(shù)的個(gè)位數(shù)之和為（）A．71 B．75 C．83 D．887．設(shè)，，則A． B．C． D．8．設(shè)函數(shù)，若是函數(shù)的極大值點(diǎn)，則實(shí)數(shù)的取值范圍是（）A． B． C． D．9．已知，為的導(dǎo)函數(shù)，則的圖象是（）A． B．C． D．10．已知，命題“若”的否命題是A．若，則 B．若，則C．若，則 D．若，則11．已知某批零件的長度誤差（單位：毫米）服從正態(tài)分布，從中隨機(jī)取一件，其長度誤差落在區(qū)間（3,6）內(nèi)的概率為（）（附：若隨機(jī)變量ξ服從正態(tài)分布，則，．）A．4.56% B．13.59% C．27.18% D．31.74%12．若集合，，則（）A． B． C． D．二、填空題：本題共4小題，每小題5分，共20分。13．設(shè)向量，，且，則的值為__________．14．有一塊多邊形的菜地，它的水平放置的平面圖形的斜二測直觀圖是直角梯形(如圖),，，，，則這塊菜地的面積為______．15．已知復(fù)數(shù)，則復(fù)數(shù)______.16．已知，是單位向量.若，則向量，夾角的取值范圍是_________.三、解答題：共70分。解答應(yīng)寫出文字說明、證明過程或演算步驟。17．（12分）過點(diǎn)作傾斜角為的直線與曲線交于點(diǎn)，求的最小值及相應(yīng)的值.18．（12分）已知函數(shù)，其中，且曲線在點(diǎn)處的切線平行于軸.（1）求實(shí)數(shù)的值；（2）求函數(shù)的單調(diào)區(qū)間.19．（12分）設(shè)數(shù)列的前項(xiàng)和.已知.（1）求數(shù)列的通項(xiàng)公式；（2）是否對一切正整數(shù)，有？說明理由.20．（12分）已知函數(shù).（1）求不等式的解集；（2）若對于一切，均有成立，求實(shí)數(shù)的取值范圍.21．（12分）已知：在中，，，分別是角，，所對的邊長，是和的等差中項(xiàng)．（Ⅰ）求角；（Ⅱ）若的面積，且，求的周長．22．（10分）已知拋物線:的焦點(diǎn)為，準(zhǔn)線為，與軸的交點(diǎn)為，點(diǎn)在拋物線上，過點(diǎn)作于點(diǎn)，如圖1.已知，且四邊形的面積為.（1）求拋物線的方程；（2）若正方形的三個(gè)頂點(diǎn)，，都在拋物線上（如圖2），求正方形面積的最小值.

參考答案一、選擇題：本題共12小題，每小題5分，共60分。在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，只有一項(xiàng)是符合題目要求的。1、B【解題分析】

由分步計(jì)數(shù)原理計(jì)算可得答案．【題目詳解】根據(jù)題意，分2步進(jìn)行分析：①、先在4種蔬菜品種中選出3種，有種取法，②、將選出的3種蔬菜對應(yīng)3塊不同土質(zhì)的土地，有種情況，則不同的種植方法有種；故選：B．【題目點(diǎn)撥】本題考查計(jì)數(shù)原理的運(yùn)用，注意本題問題要先抽取，再排列．2、B【解題分析】分析：由復(fù)數(shù)是純虛數(shù)，得實(shí)部等于0且虛部不等于0.求解即可得到答案.詳解：復(fù)數(shù)是純虛數(shù)，，解得.故選B.點(diǎn)睛：此題考查復(fù)數(shù)的概念，思路：純虛數(shù)是實(shí)部為0.虛部不為0的復(fù)數(shù).3、B【解題分析】

設(shè)切點(diǎn)為，由可解得切點(diǎn)坐標(biāo)與參數(shù)的值?！绢}目詳解】設(shè)切點(diǎn)為，則由題意知即解得或者故選B【題目點(diǎn)撥】高考對導(dǎo)數(shù)幾何意義的考查主要有以下幾個(gè)命題角度：（1）已知切點(diǎn)求切線方程；（2）已知切線方程(或斜率)求切點(diǎn)或曲線方程；（3）已知曲線求切線傾斜角的取值范圍．4、D【解題分析】分析：首先求得交點(diǎn)坐標(biāo)，然后結(jié)合微積分基本定理整理計(jì)算即可求得最終結(jié)果.詳解：聯(lián)立方程：可得：，，即交點(diǎn)坐標(biāo)為，，當(dāng)時(shí)，由定積分的幾何意義可知圍成的圖形的面積為：，整理可得：，則，同理，當(dāng)時(shí)計(jì)算可得：.本題選擇D選項(xiàng).點(diǎn)睛：(1)一定要注意重視定積分性質(zhì)在求值中的應(yīng)用；(2)區(qū)別定積分與曲邊梯形面積間的關(guān)系，定積分可正、可負(fù)、也可以為0，是曲邊梯形面積的代數(shù)和，但曲邊梯形面積非負(fù).5、B【解題分析】歸直線y=bx+a②“x=6”是“x2③?x0∈R，使得x02④“命題p∨q”為真命題，則“命題?p∧?q”當(dāng)p,q都真時(shí)是假命題.不正確6、C【解題分析】

觀察可知，等式右邊的數(shù)為正奇數(shù)，故在之前，總共使用了個(gè)正奇數(shù)，因此，，故所有數(shù)的個(gè)位數(shù)之和為83.【題目詳解】觀察可知，等式右邊的數(shù)為正奇數(shù)，故在之前，總共使用了個(gè)正奇數(shù)，所以的分解式中第一個(gè)數(shù)為，最后一個(gè)是，因此，所有數(shù)的個(gè)位數(shù)之和為83，故選C。【題目點(diǎn)撥】本題主要考查學(xué)生的歸納推理能力。7、B【解題分析】

分析：求出，得到的范圍，進(jìn)而可得結(jié)果．詳解：.,即又即故選B.點(diǎn)睛：本題主要考查對數(shù)的運(yùn)算和不等式，屬于中檔題．8、A【解題分析】分析：的定義域?yàn)?，由得所以能求出的取值范圍．詳解：的定義域?yàn)?，由?/p>

所以．

①若，當(dāng)時(shí)，，此時(shí)單調(diào)遞增；

當(dāng)時(shí)，，此時(shí)單調(diào)遞減．所以是函數(shù)的極大值點(diǎn)．

滿足題意，所以成立．

②若，由，得，當(dāng)時(shí)，即，此時(shí)

當(dāng)時(shí)，，此時(shí)單調(diào)遞增；

當(dāng)時(shí)，，此時(shí)單調(diào)遞減．所以是函數(shù)的極大值點(diǎn)．

滿足題意，所以成立．．

如果函數(shù)取得極小值，不成立；

②若，由，得．

因?yàn)槭莊（x）的極大值點(diǎn)，成立；

綜合①②：的取值范圍是．

故選：A．點(diǎn)睛：本題考查函數(shù)的單調(diào)性、極值等知識(shí)點(diǎn)的應(yīng)用，解題時(shí)要認(rèn)真審題，仔細(xì)解答，注意合理地進(jìn)行等價(jià)轉(zhuǎn)化．9、A【解題分析】

先化簡f（x）＝，再求其導(dǎo)數(shù)，得出導(dǎo)函數(shù)是奇函數(shù)，排除B，D．再根據(jù)導(dǎo)函數(shù)的導(dǎo)函數(shù)小于0的x的范圍，確定導(dǎo)函數(shù)在上單調(diào)遞減，從而排除C，即可得出正確答案．【題目詳解】由f（x）＝，∴，它是一個(gè)奇函數(shù)，其圖象關(guān)于原點(diǎn)對稱，故排除B，D．又，當(dāng)﹣＜x＜時(shí)，cosx＞，∴＜0，故函數(shù)y＝在區(qū)間上單調(diào)遞減，故排除C．故選A．【題目點(diǎn)撥】本題主要考查函數(shù)的單調(diào)性與其導(dǎo)函數(shù)的正負(fù)之間的關(guān)系，即當(dāng)導(dǎo)函數(shù)大于0時(shí)原函數(shù)單調(diào)遞增，當(dāng)導(dǎo)函數(shù)小于0時(shí)原函數(shù)單調(diào)遞減，屬于基礎(chǔ)題．10、A【解題分析】

根據(jù)否命題的定義：即否定條件又否定結(jié)論，命題“若a+b+c=3，則a2+b2+c2≥3”的否命題是“若a+b+c≠3，則a2+b2+c2＜3”故選A11、B【解題分析】試題分析：由題意故選B．考點(diǎn)：正態(tài)分布12、A【解題分析】

分別化簡集合和，然后直接求解即可【題目詳解】∵，，∴.【題目點(diǎn)撥】本題考查集合的運(yùn)算，屬于基礎(chǔ)題二、填空題：本題共4小題，每小題5分，共20分。13、【解題分析】分析：先根據(jù)向量垂直得，再根據(jù)兩角差正切公式求解.詳解：因?yàn)?，所?因此點(diǎn)睛：向量平行：，向量垂直：，向量加減：14、【解題分析】

首先由斜二測圖形還原平面圖形，然后求解其面積即可.【題目詳解】由幾何關(guān)系可得，斜二測圖形中：，由斜二測圖形還原平面圖形，則原圖是一個(gè)直角梯形，其中上下底的長度分別為1,2，高為，其面積.【題目點(diǎn)撥】本題主要考查斜二測畫法，梯形的面積公式等知識(shí)，意在考查學(xué)生的轉(zhuǎn)化能力和計(jì)算求解能力.15、【解題分析】

根據(jù)共軛復(fù)數(shù)的表示方法算出即可.【題目詳解】由,則,所以故答案為：【題目點(diǎn)撥】本題主要考查共軛復(fù)數(shù)的概念,屬于基礎(chǔ)題型.16、【解題分析】

設(shè)向量、的夾角為，在不等式兩邊平方，利用數(shù)量積的運(yùn)算律和定義求出的取值范圍，于此可求出的取值范圍．【題目詳解】設(shè)向量、的夾角為，，兩邊平方得，、都是單位向量，則有，得，，，因此，向量、的夾角的取值范圍是，故答案為．【題目點(diǎn)撥】本題考查平面數(shù)量積的運(yùn)算，考查平面向量夾角的取值范圍，在涉及平面向量模有關(guān)的計(jì)算時(shí)，常將等式或不等式進(jìn)行平方，結(jié)合數(shù)量積的定義和運(yùn)算律來進(jìn)行計(jì)算，考查運(yùn)算求解能力，屬于中等題．三、解答題：共70分。解答應(yīng)寫出文字說明、證明過程或演算步驟。17、最小值為，此時(shí)α＝.【解題分析】設(shè)直線為，代入曲線并整理得則且，解得，所以當(dāng)時(shí)，即或時(shí)，的最小值為，此時(shí)或．18、（1）（2）單調(diào)增區(qū)間為：函數(shù)單調(diào)減區(qū)間為【解題分析】

（1）根據(jù)題可知，由此計(jì)算出的值；（2）寫出并因式分解，討論取何范圍能使，由此求出單調(diào)遞增、遞減區(qū)間.【題目詳解】（1）由題意，曲線在點(diǎn)處的切線斜率為0.，，所以；（2）由（1）知，，，當(dāng)時(shí)，，當(dāng)時(shí)，，當(dāng)時(shí)，，所以函數(shù)單調(diào)增區(qū)間為：；函數(shù)單調(diào)減區(qū)間為：.【題目點(diǎn)撥】本題考查導(dǎo)數(shù)的幾何意義的運(yùn)用以及求解具體函數(shù)的單調(diào)區(qū)間，難度較易.已知曲線某點(diǎn)處切線斜率求解參數(shù)時(shí)，可通過先求導(dǎo)，然后根據(jù)對應(yīng)點(diǎn)處切線斜率等于導(dǎo)數(shù)值求解出參數(shù).19、（1）；（2）對一切正整數(shù)，有.【解題分析】

（1）運(yùn)用數(shù)列的遞推式，結(jié)合等差數(shù)列的定義和通項(xiàng)公式，可得所求；（2）對一切正整數(shù)n，有，考慮當(dāng)時(shí)，，再由裂項(xiàng)相消求和，即可得證?！绢}目詳解】（1）當(dāng)時(shí)，兩式做差得，，當(dāng)時(shí)，上式顯然成立，。（2）證明：當(dāng)時(shí)，可得由可得即有<則當(dāng)時(shí)，不等式成立。檢驗(yàn)時(shí)，不等式也成立，綜上對一切正整數(shù)n，有?！绢}目點(diǎn)撥】本題考查數(shù)列遞推式，考查數(shù)列求和，考查裂項(xiàng)法的運(yùn)用，確定數(shù)列的通項(xiàng)是關(guān)鍵．20、（1）；（2）.【解題分析】分析：（1）直接解一元二次不等式即可；（2）將不等式轉(zhuǎn)化為恒成立問題，分離參數(shù)，借助基本不等式得到的取值范圍.詳解：（1）∵，∴，∴，∴的解集為；（2）∵，∴當(dāng)時(shí)，恒成立，∴，∴對一切均有成立，又，當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)，等號(hào)成立.∴實(shí)數(shù)的取值范圍為.點(diǎn)睛：本題考查了一元二次不等式的解法，以及將不等式轉(zhuǎn)化為恒成立問題，分離參數(shù)，基本不等式的應(yīng)用.21、（Ⅰ）；（Ⅱ）．【解題分析】

（Ⅰ）根據(jù)正弦定理得到，即，解得答案.（Ⅱ）根據(jù)面積公式得到，根據(jù)余弦定理得到，得到周長.【題目詳解】（Ⅰ）由已知得，由正弦定理得，即．∵，∴，∴．由于，∴．∵，∴．（Ⅱ）由得，，代入上式得．由余弦定理得，∴，∴，∴的周長為．【題目點(diǎn)撥】本題考查了正弦定理，余弦定理，面積公式，等差中項(xiàng)，意在考查學(xué)生的計(jì)算能力和綜合應(yīng)用能力.22、（1）；（2）.【解題分析】

（1）通過借助拋物線的幾何性質(zhì)，設(shè)，通過勾股定理可求得，借助線段關(guān)系可求得，再借助梯形面積公式最終可求得值，進(jìn)而求得拋物線的方程；（2）先通過設(shè)而不求得方法分別表示出，，和直線的斜率為和的斜率，通過正方形的邊長關(guān)系代換出與直線的斜率的關(guān)系，將面積用含的式子整體代換表示，最終通過均值不等式處理可求得正方形面積的最小值.【題目詳解】（1）設(shè)，由已知，則，，四邊形的面積為，∴，拋物線的方程為：.（2）設(shè)，，，直線的斜率為.不妨，則顯然有，且.∵，∴.由得即，即.將，代入得，∴，∴.故正方形面積為.∵，∴（當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)