第十一講數(shù)陣圖與數(shù)字謎

在四年級(jí)秋季第九、十講和春季第三講我們對(duì)數(shù)陣圖進(jìn)行了講解，在寒假第6、7講對(duì)

數(shù)字謎進(jìn)行了講解.本講我們將針對(duì)這兩部分知識(shí)進(jìn)一步鞏固和提高.此部分內(nèi)容我們?cè)?/p>

一步步分析時(shí)比較占用時(shí)間，所以本講的例題量設(shè)置較少！同時(shí)教師也可用來緩解前幾講

習(xí)題的壓力！

【復(fù)習(xí)1】請(qǐng)你把1?7這七個(gè)自然數(shù)，分別填在右圖的圓圈內(nèi)，使每條直線上的三個(gè)

數(shù)的和都相等.應(yīng)怎樣填？

分析：關(guān)鍵在于確定中心數(shù)a和每條直線上幾個(gè)圓圈內(nèi)數(shù)的和k.為了敘述方便，先

在各圓圈內(nèi)填上字母，如右下圖.設(shè)每條直線上的數(shù)字和為k.

根據(jù)題意可得:2a+28=3k由于28與2a的和為3的倍數(shù),a又為1?7中的數(shù)字,

經(jīng)過嘗試可知:a為1、4或7.

若a=L則k=10,直線上另外兩個(gè)數(shù)的和為9.得到一個(gè)解為：a=Lb=2,c=3,d=4,e=7,

f=6,g=5.

若a=4,則k=12,直線上另外兩個(gè)數(shù)的和為&得到第二個(gè)解為：a=4,b=Lc=2,d=3,e=7,

f=6,g=5.

若a=7,則k=14,直線上另外兩個(gè)數(shù)的和為7.得到第三個(gè)解為：a=7,b=l,c=2,d=3,

e=6,f=5,g=4.

【復(fù)習(xí)2】將1?7這七個(gè)數(shù)分別填入右圖的。里，使得每條直線上三個(gè)數(shù)之和與每個(gè)

圓圈上的三個(gè)數(shù)之和都相等.

分析：所有的數(shù)都是重疊數(shù)，中心數(shù)重疊兩次，其它數(shù)重疊一次.所以三條邊及兩個(gè)

圓周上的所有數(shù)之和為：（1+2+…+7）x2+中心數(shù)=56+中心數(shù).

因?yàn)槊織l邊及每個(gè)圓周上的三數(shù)之和都相等，所以這個(gè)和應(yīng)該是5的倍數(shù)，再由

中心數(shù)在1至7之間,所以中心數(shù)是4.每條邊及每個(gè)圓周上的三數(shù)之和等于（56+4）+5=12.

中心數(shù)是4,每邊其余兩數(shù)之和是12-4=8,兩數(shù)之和是8的有1,7；2,6；3,5.于是得到

右下圖的填法.

謎

【復(fù)習(xí)3】在右圖所示的豎式中，相同的漢字表示相同的數(shù)字，不同的漢

謎

字

字表示不同的數(shù)字。如果：巧+解+數(shù)+字+謎=30,那么“數(shù)字謎”所代表

謎

字

的三位數(shù)是多少？數(shù)

謎

字

解數(shù)

謎

字

分析：還是先看個(gè)位，5個(gè)“謎”相加的結(jié)果個(gè)位還是等于“謎”，“謎”+賽解數(shù)

必定是5（0顯然可以排除）；接著看十位，四個(gè)“字”相加再加上進(jìn)位解數(shù)字謎

2,結(jié)果尾數(shù)還是“字”，那說明“字”只能是6；再看百位，三個(gè)“數(shù)”

相加再加上進(jìn)位2,結(jié)果尾數(shù)還是“數(shù)”，“數(shù)”可能是4或9；再看千位，

（1）如果“數(shù)”為4,兩個(gè)“解”相加再加上進(jìn)位1,結(jié)果尾數(shù)還是“解”，那說明“解”

只能是9；5+6+4+9=24,30-24=6,“巧”等于6與“字”等于6重復(fù)，不能；

（2）如果“數(shù)”為9,兩個(gè)“解”相加再加上進(jìn)位2,結(jié)果尾數(shù)還是“解”，那說明“解”

只能是8；5+6+9+8=28,30-28=2,可以.所以“數(shù)字謎”代表的三位數(shù)是965.

數(shù)陣圖

f

*數(shù)陣圖是將一些數(shù)按照一定要求排列而成的某種圖形，有時(shí)簡(jiǎn)稱數(shù)陣.幻方是特殊的數(shù)|

|陣圖，一般地，將九個(gè)不同的數(shù)填在3X3（即三行三列）的方格中，使每行、每列、及二?

I條對(duì)角線上的三數(shù)之和均相等，這樣的3X3的數(shù)陣陣列稱為三階幻方.n階幻方的定義與|

［三階幻方相仿！J

【例1】（1）將九個(gè)數(shù)填入下圖（1）的九個(gè)空格中，使得任一行、任一列以及兩條對(duì)角

線上的三個(gè)數(shù)之和都等于定數(shù)k,則中心方格中的數(shù)必為士.請(qǐng)你說明理由！

3

（2）將九個(gè)數(shù)填入下圖（2）的空格中，使得每行、每列、每條對(duì)角線上的三個(gè)數(shù)之和都

相等，則一定有：e=也.請(qǐng)你說明理由！

2

（3）將九個(gè)數(shù)填入下圖（3）的空格中，使得每行、每列、每條對(duì)角線上的三個(gè)數(shù)之和都

.請(qǐng)你說明理由!

相等，則一定有:”2

2

分析：(1)因?yàn)槊啃械娜龜?shù)之和都等于k,共有三行，所以九個(gè)數(shù)之和等于3k.如右

下圖所示，經(jīng)過中心方格的有四條虛線，每條虛線上的三個(gè)數(shù)之和都等于k,四條虛

線上的所有數(shù)之和等于4k,其中只有中心方格中的數(shù)是“重疊數(shù)”，九個(gè)數(shù)各被計(jì)算

一次后，它又被重復(fù)計(jì)算了三次.所以有：九數(shù)之和+中心方格中的數(shù)X3=4k,

3k+中心方格中的數(shù)X3=4k,中心方格中的數(shù)=七

3

(2)和=3e,a+e+b=和=3e,所以a+b=2e,即得：e=.

(3)設(shè)中心數(shù)為d.每行、每列、每條對(duì)角線上的三個(gè)數(shù)之和都等于3d.由C2d-b

此可得右圖，那么有：c+(2d-b)=a+(2d-c),由此可得：，=史女.

da

2

值得注意的是，這個(gè)結(jié)論對(duì)于a和b并沒有什么限制，可以是自然數(shù),b2d-c

也可以是分?jǐn)?shù)、小數(shù)；可以相同，也可以不同.

【鞏固】在下圖的每個(gè)空格中填入個(gè)自然數(shù)，使得每一行、每一列及每條對(duì)角線上的三510

個(gè)數(shù)之和都相等.8

分析：右下角的數(shù)為(8+10)+2=9,中心數(shù)為(5+9)+2=7,且每行、5106

每列、每條對(duì)角線上的三數(shù)之和都等于7X3=21.由此可得右下圖876

的填法.849

【鞏固】(必講題目)在右圖的每個(gè)空格中，填入不大于12且互不相同的八個(gè)自然數(shù),

使得每行、每列、每條對(duì)角線上的三個(gè)數(shù)之和都等于21.

分析：中央一數(shù)必定是21+3=7.從而一條對(duì)角線為8,7,6.另兩個(gè)角上的數(shù)，和

為14=2+12=3+11=4+10=5+9,不難驗(yàn)證只有3、11與4、10兩種符合要求.于是

填法有：

83108211

9751074

41163126

【例2】將1,3,5,7,9,11,13,15,17填入3X3的方格內(nèi)，使其構(gòu)成一個(gè)幻方.

分析：（法1）：易得中心數(shù)為9,然后將剩余那么其余8個(gè)數(shù)分為4組，每組兩個(gè)數(shù)

的和是18,把它們分別填入圖中關(guān)于中心格對(duì)稱的格子內(nèi)，實(shí)驗(yàn)可得結(jié)果，如右圖.答

案不唯一，僅供參考.

（法2）：其實(shí)會(huì)學(xué)習(xí)的小朋友就知道理利用已經(jīng)學(xué)習(xí)過的一些典型題目結(jié)果加以變

形得到新題答案.事實(shí)上我們可以把結(jié)果中的幻方看作是1?9填圖的幻方相應(yīng)位置

數(shù)字乘2減1得來的.推廣開來可以知道等差數(shù)列填圖的三階幻方幾乎都具有相似的

形式.我們可以把它推廣到等差數(shù)的幻方，等差數(shù)列可與序號(hào)1?9一一對(duì)應(yīng)，把等差數(shù)填

在相應(yīng)的序號(hào)中.

【前鋪】將自然數(shù)1至9,分別填在右圖的方格中，使得每行、每列以及兩條對(duì)角線上

的三個(gè)數(shù)之和都相等.

分析：（法D：三行的總和=1+2+3+4+“?+9=45,所以每行三個(gè)數(shù)的和是45+3=15,

所以E代表15+3=5,由于在同一條直線的三個(gè)數(shù)之和是15,因此若某格中的數(shù)是奇

數(shù)，那么與這個(gè)數(shù)在同一條直線上的另兩個(gè)數(shù)的奇偶性相同.

因此，四個(gè)角上的數(shù)A、C、G、I必為偶數(shù).（否則，若A為奇數(shù)，則I為奇數(shù).此時(shí)若

B為奇數(shù)，則其余所有格亦為奇數(shù)；若B為偶數(shù)，則其余所有格亦為偶數(shù).無論哪種情形,

都與1至9中有5個(gè)奇數(shù)，4個(gè)偶數(shù)這一事實(shí)矛盾.）

因此，B、D、F、H為奇數(shù).我們不妨認(rèn)為A=2（否則，可把3X3方格繞

中心塊旋轉(zhuǎn)即能做到這一點(diǎn)）.此時(shí)1=8.此時(shí)有兩種選擇：C=4或G=4.因而,

G=6或C=6.其他格的數(shù)隨之而定.如果把經(jīng)過中心塊旋轉(zhuǎn)而能完全重合的兩

種填數(shù)法視作一種的話，一共只有兩種不同的填數(shù)法：A=2,C=4或A=Z,G=4

（2,4被確定位置后，其他數(shù)的位置隨之而定）.

（法2）：從法1知道中心數(shù)為5,那么其余8個(gè)數(shù)分為4組，每組兩個(gè)數(shù)的和是10,把它

們分別填入圖中關(guān)于中心格對(duì)稱的格子內(nèi)，實(shí)驗(yàn)可得結(jié)果.這種試填的方法更易讓學(xué)生接

受.

【拓展】如圖（D的3X3的陣列中填入了1?9的自然數(shù)，構(gòu)成大家熟知的3

階幻方.現(xiàn)在另有一個(gè)3X3的陣列，如圖（2）,請(qǐng)選擇9個(gè)不同自然數(shù)填入9

個(gè)方格中，使得其中最大者為20,最小者大于5,且要求橫加、豎加、對(duì)角線

方式相加的3個(gè)數(shù)之和都相等.（

分析：①觀察原表中的各數(shù)是從1?9不同的九個(gè)自然數(shù)，其中最大的數(shù)是9,

最小的數(shù)是1,且橫加、豎加、對(duì)角線方式相加結(jié)果相等.

②根據(jù)題意，要求新制的幻方最大數(shù)為20,而9+11=20,因此，如果原表中的各

數(shù)都增加11,就能符合新表中的條件了.

【例3】在1?13這十三個(gè)自然數(shù)中選十二個(gè)填在圖中的空格內(nèi)，使每橫行四

數(shù)之和相等，每數(shù)列三數(shù)之和相等.

分析：由和的整除性質(zhì)，首先確定使用哪十二個(gè)數(shù)填圖.由于每橫行四數(shù)之和相

110134113104

89569685

122311112312

等.每豎行三數(shù)之和相等知十二個(gè)數(shù)之和既是3的倍數(shù)也是4的倍數(shù)，因此是12的倍數(shù)，

由此可知不用填圖的數(shù)字是7,所選十二個(gè)數(shù)和為：[(1+13)XI3+2]-7=84,每橫行四個(gè)

數(shù)和為：84+3=28,每豎行三個(gè)數(shù)和為：844-4=21.由于豎行和為21,因此可知1,2,3,

4在不同豎行，而5只能跟3或4在同一豎行，由此可確定豎行分組有如下兩種情況：(1,

8,12),(2,9,10),(3,5,13),(4,6,11)或(1,9,11),(2,6,13),(3,8,10),

(4,5,12).再根據(jù)橫行和為28,易得如下結(jié)果：

【拓展】右圖是一個(gè)四階幻方，請(qǐng)將其補(bǔ)全：

分析：根據(jù)各行，各列，各對(duì)角線和相等為34,可得圖(1),此時(shí)我們可以設(shè)未知數(shù)，如

圖(2),將一些數(shù)表示出來，進(jìn)而根據(jù)和為34求得x代表9,隨后得到答案，如圖(3).

114712114712114712

4624-X4X615496

105163105163105163

13

11I7-X1113811213

⑴⑵(3)

【拓展】在圖中所示方格表的每個(gè)方格內(nèi)填入一個(gè)恰當(dāng)?shù)淖帜福豢墒姑啃?、每列及ABCD

兩條對(duì)角線上4個(gè)方格中字母都是A、B、C、D,那么標(biāo)有“*”的方格內(nèi)應(yīng)填的字

母是什么？C

分析：考慮含A和*的對(duì)角線上的元素.第二行第二個(gè)元素與C同行，因此不是3*

第三行第三個(gè)元素與C同列，因此也不是C,所以*代表的元素必為C.

【鞏固】在右圖的每個(gè)方格中填入一個(gè)數(shù)字，使得每行、每列以及每條對(duì)角線上的

方格中的四個(gè)數(shù)字都是L2,3,4.

分析：如下圖所示，受列及對(duì)角線的限制,123423Z]

a處只能填1,從而b處填3；進(jìn)而推知cdea34

處填4,d處填3,e處填4,……右下圖cb4321

為填好后的數(shù)陣圖.22143

【例4】在右圖所示立方體的八個(gè)頂點(diǎn)上標(biāo)出1?9中的八個(gè)，使得每個(gè)面上四個(gè)頂

點(diǎn)所標(biāo)數(shù)字之和都等于k,并且k不能被未標(biāo)出的數(shù)整除.

分析：標(biāo)出的八個(gè)數(shù)是每面四個(gè)數(shù)和的2倍，是偶數(shù)，1?9和為45,因此未標(biāo)出的

數(shù)是一個(gè)奇數(shù)，在1,3,5,7,9中選一個(gè)數(shù)，并使余下八個(gè)數(shù)之和的一半不能被這

個(gè)數(shù)整除，依此可知未標(biāo)出的數(shù)是7.下面用余下的8個(gè)數(shù)填圖，每面四個(gè)數(shù)和為：

(45-7)+2=19.如果已知某一面上四個(gè)數(shù)和為19.那么與其平行的面上四數(shù)和也必為

19.因此我們只考慮有公共頂點(diǎn)的三個(gè)面即可.下面我們考慮以9為公共頂點(diǎn)的三個(gè)面.

由于8,9不公面，因此8在頂點(diǎn)9的對(duì)頂點(diǎn)上，有公共點(diǎn)9的三個(gè)面上，每面其余

三個(gè)數(shù)和為10,且每?jī)蓚€(gè)面有一個(gè)公共頂點(diǎn).由此試驗(yàn)易得三個(gè)面上的數(shù)分別為：(6,3,1),

(5,4,1),(3,2,5),填圖如右下圖.

【例5】右圖中大三角形被分成九個(gè)小三角形，大三角形的每條邊都與其中五

個(gè)小三角形有公共點(diǎn)，試將1?9九個(gè)自然數(shù)分別填入這九個(gè)小三角形內(nèi)，使得每X

條邊上的五個(gè)小三角形內(nèi)的數(shù)字之和都相等.問這個(gè)和最小值是多少？最大值是/

多少？

分析：1?9和為45.設(shè)3個(gè)只屬于一條邊的數(shù)的和為k,

則每條邊上五個(gè)數(shù)和為：(45X2-k)+3=30-』旌

3

K最小時(shí)，取k=l+2+3=6,一邊上的和為：30-'X6=28；

3

K最大時(shí)，取k=7+8+9=24,一邊上的和為：30-1義24=22,因此這個(gè)和最大為28,最小為

3

22.

【鞏固】將自然數(shù)1?11填入右圖的11個(gè)。中，使得每條直線(共10條)上的三

個(gè)數(shù)字之和都相等.

分析：左下角的數(shù)屬于5條直線共有，對(duì)角線上中間的數(shù)屬于4條直線共有，其余

數(shù)只屬于2條或3條直線，所以左下角的數(shù)和對(duì)角線上中間的數(shù)處于特殊地位，應(yīng)

當(dāng)首先確定這兩個(gè)數(shù)以及每條直線上三數(shù)之和.設(shè)每條直線上三數(shù)之和為k.

由圖(1)中5條實(shí)線上所有數(shù)字之和，可列方程：5k=(l+2+…+ll)+4a，即-=66+4"：

5

因?yàn)閗是整數(shù)，所以a只能取1,6或11；

再由圖(2)中四條實(shí)線上所有數(shù)字之和，可列方程：4k=(l+2="+ll)+a,即4=的上色.

4

得到a只能取2,6或10.綜合以上討論知a=6,k=18.

在圖(3)中的5條實(shí)線中，只有b屬于3條實(shí)線共有.注

意到這5條實(shí)線上的數(shù)字沒有6,在剩下的十個(gè)數(shù)字中，三

個(gè)數(shù)的和等于18的共有以下八組：3+4+11；1+8+9；1

+7+10；3+5+10；2+7+9；2+5+11；3+7+8；4+5

+9,其中同時(shí)出現(xiàn)在三個(gè)算式中的數(shù)只有3和9,所以b只

可能是3或9,此時(shí)c等于9或3.由同時(shí)含有3的三個(gè)算式

知，若b=3,c=9,則d,e只能取4,11或5,10或7,8,由于每條直線上的三個(gè)數(shù)之

和為18,且c=9,故d,e不能等于10或11,所以d,e只能取7,8.由此可得左下圖中

的答案.

同理，若b=9,c=3,則可得右下圖的另一答案.

【鞏固】右圖是大家都熟悉的奧林匹克的五環(huán)標(biāo)志.請(qǐng)將1?9分別填入

五個(gè)圓相互分割的九個(gè)部分，并且使每個(gè)圓環(huán)內(nèi)的數(shù)字之和都相等.

分析：設(shè)每個(gè)圓內(nèi)的數(shù)字之和為k,則五個(gè)圓內(nèi)的數(shù)字之和是5k,它等

于1?9的和45,再加上兩兩重疊處的四個(gè)數(shù)之和.而兩兩重疊處的四個(gè)

數(shù)之和最小是1+2+3+4=10,最大是6+7+8

+9=30,

所以，5k<45+30=755k>45+10=55,

即1號(hào)仁15.當(dāng)k=ll,13,14時(shí)可得四種填法

(見右下圖)，k=12,15時(shí)無解.

【例6】自然數(shù)1?12中已有一些填人圖中的圓圈中，試填入其余各數(shù)，使得每

條直線上的四數(shù)之和相等.

分析：十二個(gè)數(shù)中每個(gè)數(shù)都出現(xiàn)在兩條直線上，每條直線上四個(gè)數(shù)之和為：

[(1+12)X124-2]X24-6=26.

考慮以a、b、c標(biāo)出頂點(diǎn)的大三角形的三條邊，如圖(1)：

?

U1-(5)

?

(2)

4+0+10=26

則：＜Z?+c+4=26,可得a=4,b=12,c=10

c+a+12=26

同理可得另一個(gè)大三角形三個(gè)頂點(diǎn)的數(shù).結(jié)果如圖(2)：

【例7】自然數(shù)1?12中有一些已填入圖中圓圈內(nèi)，請(qǐng)將其余的分

別填入空?qǐng)A圈內(nèi)，使得圓中的四個(gè)三角形周邊上的數(shù)字之和相等.

分析：如下圖(1),我們?cè)O(shè)六條邊和分別為&?S6,則根據(jù)題目有

Si+S2+S3=Si+S5+Se=S2+S4+Se=S3+S4+S5,

工+§6=§2+邑

于是我們有:進(jìn)而可得:

S3+S5=S2+S6

因此圖中六邊和滿足：S1=S4,S?=S5,S3=§6,由S1=S4及已知1和3的位置知S1和§4,

兩邊圓圈中的數(shù)差2,同理，另兩組對(duì)應(yīng)相等邊中的空?qǐng)A圈中的數(shù)差為4和4.也就是說我們

要把2,4,6,8,10,12分成三組差分別為2,4,4的數(shù)，這里的分法不唯一，給出答案

如圖(2)僅供參考=S4，S2=S5，S3=S6

【例8】在下面的算式中，漢字“第、十、一、屆、華、杯、賽”代表1,2,3,

第十一屆

4,5,6,7,8,9中的7個(gè)數(shù)字，不同的漢字代表不同的數(shù)字，恰使得加法算式

成立.貝11"第、十、一、屆、華、杯、賽”所代表的7個(gè)數(shù)字的和等于多少？十華杯賽

―2006

分析：根據(jù)加法規(guī)則，“第”=1.“屆”+“賽”=6或“屆”+“賽”=16.

若“屆”+“賽”=6,只能是“屆”、“賽”分別等于2或4,此時(shí)“一"+“杯”=10只能是“一”、“杯”

分別為3或7.此時(shí)“十”+“華”=9,“十”、“華”分別只能取(1,8),(2,7),(3,6),(4,

5).但I(xiàn),2,3,4均已被取用，不能再取.所以，“屆”+“賽”=6填不出來，只能是

“屆”+“賽”=16.這時(shí)“屆”、“賽”只能分別取9和7.這時(shí)只能是“一”+“杯"+1=10,且“十”

+“華”+1=10,也就是“一"+“杯”=9,同時(shí)“十”+“華”=9.所以它們可以分別在(3,6),(4,

5)兩組中取值.

因此“第、十、一、屆、華、杯、賽”所代表的7個(gè)數(shù)字的和等于1+9+9+16=35.

【例9】右面算式寓意第8屆華杯賽于新世紀(jì)的第1年舉辦.新、世、8________1__

紀(jì)、華、杯、賽代表1,2,3,4,5,6,7,8,9中的六個(gè)數(shù)字(不同舉杯賽一新世紀(jì)

的文字代表不同的數(shù)字)，請(qǐng)把這個(gè)算式恢復(fù)出來.

華杯騫

分析：原式變形為1=8.華杯賽最大可能是987.易知新=1.由12x8=96,13x8=104,

新世紀(jì)

可知世=2.

若紀(jì)25,新世紀(jì)X8W987V1000,所以紀(jì)等于4或3；

若紀(jì)=4,124X8=992,出現(xiàn)華=杯=9,世=賽=2,與題設(shè)條件不符;

若紀(jì)=3,123x8=984,合乎題意.

Q1

所以，題設(shè)等式恢復(fù)出來是旦=——?

984123

【例10】將0?9中的8個(gè)不同的數(shù)字分別用a、b、c、d、e、f、g、h替換.在替換規(guī)則

下：gXg=db,gXc=bd,gXf=ef,ag+b=eh,如上面4個(gè)式子中，“+”、“X”、

“二與平常算術(shù)中相應(yīng)的符號(hào)意義相同，而且也是十進(jìn)位制.在這種替換規(guī)則下，%xe的

數(shù)值等于.

分析：由gXg二川知，g，4.

若g=4,d=l,與gXc=/?d是偶數(shù)矛盾；

若g=5,則d=2,b=5,與gWb矛盾；

若g=6,則d=3,b=6,與gWb矛盾；

—3

若g=7,則d=4,b=9,由gXc=〃d=94,得到c=4+7=13—也不合題意；

7

一3

若g=8,則d=6,b=4,由gXc=友/46,得至！Jc=46+8=5—,仍不合題意；

若g=9,則d=8,b=L由gXc二加/=18,得到c=18+9=2,再由gXf=^/,f=5,e=4,再由

ag+b=eh,得a=e-l=3,所以coxe=23x4=92.

【例11］下面算式中不同的漢字代表不同的數(shù)字，相同的漢字代表相同的數(shù)奧林匹克數(shù)學(xué)

字。它們各代表什么數(shù)字時(shí)，算式成立？X林

分析：因?yàn)槌朔e與被乘數(shù)的位數(shù)相同，那么被乘數(shù)的最高位上的數(shù)奧與乘數(shù)林?jǐn)?shù)學(xué)奧林匹克

的范圍就被限制了，這正是我們解答此題的突破口.

林的范圍由算式中顯然可以看出：林WL同時(shí)還可以看出：林W7,8,9,這是因?yàn)?/p>

如果林取7,8,9中任一值，那么奧就取1,乘積將超過六位數(shù).

因?yàn)榱值姆秶?,3,4,5,6,要保證乘積是六位數(shù)，奧可以取1,2,3,4.因?yàn)榱?/p>

在算式中出現(xiàn)三次，所以我們對(duì)林的取值進(jìn)行試驗(yàn).

(1)林=2,此時(shí)算式為：

奧2匹克數(shù)學(xué)

X2

數(shù)學(xué)奧2匹克

因?yàn)槌藬?shù)是2,所以算式中各位上運(yùn)算結(jié)果的進(jìn)位不超過1,這樣被乘數(shù)百位上的克只能取

1或6。

①若克=1,因?yàn)槌朔e的個(gè)位是克，所以學(xué)無值可取，因此克#1；

②若克=6,此時(shí)從算式的個(gè)位看，學(xué)只能取3或8,而學(xué)作為乘積萬位上的數(shù)，取3和

8都是不可能的，所以克W6.

因此，林W2.

(2)林=3,此時(shí)算式變?yōu)椋?/p>

奧3匹克數(shù)學(xué)

X3

數(shù)學(xué)奧3匹克

此時(shí)，奧只能取1,2.

①若奧=1,則數(shù)=4,學(xué)=0,克=0,出現(xiàn)重復(fù)，所以奧W1.

②若奧=2,則乘積中的學(xué)只能為9,0,1.

學(xué)取9,則乘積的個(gè)位克=7,被乘數(shù)千位上的匹只能取0,乘積的首位數(shù)字?jǐn)?shù)=6,得到

一個(gè)解：

230769

X3

692307

學(xué)取0,則乘積個(gè)位上的克=0,出現(xiàn)重復(fù)，所以學(xué)#0；

學(xué)取1,則乘積中個(gè)位上的克=3,與林=3重復(fù)，所以學(xué)士1.

(3)林=4,此時(shí)算式為：

奧4匹克數(shù)學(xué)

X4

數(shù)學(xué)奧4匹克

此時(shí)奧只能取1,2.

①若奧=1,則數(shù)=5,克=8,學(xué)=7,匹=2,得到另一個(gè)解：

142857

X4

571428

②若奧=2,則數(shù)=9,這樣十位要向百位進(jìn)3,那么被乘數(shù)百位上的克與4相乘的積的個(gè)

位就為1,則克無值可取，所以奧金2.

(4)若林=5,此時(shí)算式為：

奧5匹克數(shù)學(xué)

X5

■"數(shù)學(xué)-5匹克

此時(shí)，奧只能取1,乘積個(gè)位上的克必為0,那么百位上克與5相乘的積再加上十位的

進(jìn)位不可能等于5,因此林W5.

(5)若林=6,此時(shí)算式為：

奧6匹克數(shù)學(xué)

X6

數(shù)學(xué)奧6匹克

此時(shí)，奧只能為1,則數(shù)=9,這樣被乘數(shù)的十位9與6230769142857

相乘后向百位進(jìn)5,被乘數(shù)的百位克與6相乘的積的個(gè)位就X3X4

應(yīng)為1,因此克無值可取，故林W6.此題有兩個(gè)解：692307571428

［附1)求任一列、任一行以及兩條對(duì)角線上的三個(gè)數(shù)之和都等于267的三階質(zhì)數(shù)幻方.

分析：在3X3的方格中，如果要求填入九個(gè)互不相同的質(zhì)數(shù)，要求任一行、任一列

以及兩條對(duì)角線上的三個(gè)數(shù)之和都相等，那么這樣填好的圖稱為三階質(zhì)數(shù)幻方.中間回

方格中的數(shù)為267+3=89.由于在兩條對(duì)角線、中間一行及中間一列這四組數(shù)中，每回

組的三個(gè)數(shù)中都有89,所以每組的其余兩數(shù)之和必為267-89=178.兩個(gè)質(zhì)數(shù)之和為JLJ國(guó)

178的共有六組：5+173=11+167=29+149=41+137=47+131=71+107.

經(jīng)試驗(yàn)，可得右圖所示的三階質(zhì)數(shù)幻方.

【附2】在右面的口內(nèi)，各填一個(gè)合適的數(shù)字，使算式成立.

分析：從被乘數(shù)個(gè)位上的口里填什么數(shù)字入手及豎式中DX6=()4,是本題的突

破口.這里有兩種情況：4X6=24或9X6=54,都可使口X6=()4成立.也就是

說，被乘數(shù)個(gè)位上的數(shù)字可能是4,也可能是9.

先考慮被乘數(shù)個(gè)位上的數(shù)字是9的可能性,因?yàn)樵诔藬?shù)十位上找不出任何數(shù)字與

9相乘得“整十?dāng)?shù)”，所以被乘數(shù)個(gè)位上的數(shù)字不可能是9.

如果被乘數(shù)個(gè)位上的數(shù)字是4,很容易推出乘數(shù)十位上的數(shù)字應(yīng)是5,才能與4巴⑷

相乘得“整十?dāng)?shù)”.x國(guó)6

由被乘數(shù)乘以乘數(shù)十位上的5得270,也很容易推出被乘數(shù)十位上的數(shù)字是5,一區(qū)24

進(jìn)而可推出其它各數(shù)字.“rA

②4

【鞏固】在口內(nèi)填入適當(dāng)?shù)臄?shù)字，使下列乘法豎式成立:

(1)(2)(3)□□□

□7□□□□x□□口

X□□x□96606

□8□7547□□□

□□□口5口□□4404

□ODD□□□□□□□□□□□□

分析：(1)17X64=1088；(2)5283X39=206037；

(3)734X619=454346,被乘數(shù)是6606和4404的三位數(shù)的公約數(shù).

［附3］右面算式中，相同的漢字表示相同的數(shù)，不同的漢字表示不同的數(shù),新年好

X□□

其中"新”>4.清補(bǔ)殘缺的數(shù)字，那么“新年好”代表的數(shù)字是.

新□□年

□□□口

分析：“新年好”代表的數(shù)字是691.如右下式，“新”2003年

一定小于7,否則A是2大了，是1又小了.不論“新”,

691

是或由于乘法第一行首位是“新”，一定有如新年好

56,B=9.X29

XAB

果“新”=5,第二行百位是4,A無合適的值，因此

新□□年

“新”而“年”對(duì)三數(shù)算一下1382

=6,A=2.27,7,8,91□□□-20039

可知，只有“年”=9合適，如式(3)所示.2003年

(3)

6□口

X□□□

【附4】右面式中每個(gè)口表示一個(gè)數(shù)字，那么乘積是.□□□

□□□□

□5□5

門□口

分析：如右下式，顯然E=l.由6ABXC=D5口5知，B、C中一個(gè)是5,另一5□4

個(gè)是奇數(shù).若C=5,乘積的百位不可能是5,所以B=5.因?yàn)锽=5,所以G=56AB

XCDE

或0.若G=5,則F=9,從而A=9,即皆=695,但695XC不可能得到□F口

□□□G

□5□5

口口不合題意；若則從而即加

55,G=0,F=4,A=4,=645,□□5□4□

由645XC=D5口5,得到C=7.因?yàn)锽=5,G=0,所以D是偶數(shù).

由而x而=645乂而=口口5口4口，得D=2,

原算式為645X721=465045.

【附5】將1、2、3、4、5、6、7、8、9這九個(gè)數(shù)字，分別填入3X3陣列中的九個(gè)方格,

使第二行組成的三位數(shù)是第一行組成的三位數(shù)的2倍，第三行組成的三位數(shù)是第一行組

成的三位數(shù)的3倍.

分析：我們充分利用題目的要求和1至9這九個(gè)數(shù)的特性(五奇四偶)，那么也能縮小每格

中所應(yīng)填的數(shù)的范圍，直至完全確定每格中應(yīng)填的數(shù).為了方便起見，把九個(gè)格中的數(shù)字用

A至I這九個(gè)英文字母代替.例如C=2,則F=4,1=6.因而其余六格應(yīng)包含全部奇數(shù)（1、3、

5、7、9）和偶數(shù)8,由于?！辏菏?2乂麗心，而？=3x而q，所以麗=%前+瓦7，

因此又把3X3方格中的數(shù)看作一個(gè)加式：前兩行之和等于第三行.這對(duì)于我們用奇偶性去分

析加式成立的可能性是有用的.由于個(gè)位上的加法沒有進(jìn)位，因此十位上的三個(gè)數(shù)字不能都

為奇數(shù)（否則將出現(xiàn)奇數(shù)+奇數(shù)=奇數(shù)的矛盾等式），即8一定是其中的一個(gè)十位數(shù)字，顯然

B#（否則E=6,與1=6矛盾）.又H邦（否則，B<8/3,只有B=1.而當(dāng)B=1時(shí)，H至多為5）.

因此E=8,這樣，B=9,H=7.最后，由于AVDVG必有A=LD=3,G=5.由于192x2=384,

192x3=576,所以所填的數(shù)滿足題目要求.

又如，C=4,則F=8,1=2.個(gè)位上的加式向十位進(jìn)1,因此十位上的三個(gè)數(shù)字都是奇數(shù)，

因此6是一個(gè)百位數(shù)字.顯然AW6.如果D=6,則必有A=3,G=9.而B、E、H是1、5、7這三

個(gè)數(shù)，要滿足B+E+1=H，只能B=1,E=5,H=7或B=5,E=LH=7.由于314X2W658,354X2W618,

所以此時(shí)不滿足題目要求.如果G=6,顯然AV3,此時(shí)只有A=l,但當(dāng)A=1時(shí)，G<（1+1）

X3=6.因而當(dāng)C=4時(shí)，不可能有滿足題目要求的填法.

其他的情形可以類似地加以討論，分別給出肯定的或否定的結(jié)論.

解：由分析，下左圖是一種符合要求的填法.

由于作為一個(gè)加法算式（上兩行的和等于第三行），上圖只是在十位上的加式向百位

進(jìn)了1,其他兩個(gè)數(shù)位上都沒有進(jìn)位，因此把它的個(gè)位移到百位的位置上加式仍然成立，所

以上右圖也是一種符合要求的填法.還有兩種符合要求的填法，希望同學(xué)們利用分析中的方

法把它們找出來.

［附6］右式中不同的漢字代表1-9中不同的數(shù)字，當(dāng)算式成立時(shí)，“中國(guó)”這兩

個(gè)漢字所代表的兩位數(shù)最大是多少？

分析：顯然，“新”=9.因?yàn)橐埂爸袊?guó)”盡量大，所以可以假定“中”=8.因?yàn)?/p>

十位加法（含個(gè)位加法進(jìn)位）等于20,所以“北+奧”在1?7中的取值有三種可能：7,

5；7,4；6,5.再考慮到“國(guó)+京+運(yùn)”的個(gè)位數(shù)是8,經(jīng)試算，只有“北”、“奧”等于

7,5,“國(guó)”、“京”、“運(yùn)”等于1,3,4.“國(guó)”取L3,4中最大的4,得到“