文檔來源網(wǎng)絡(luò)整理侵權(quán)必刪專題04填空中檔題：幾何綜合題一、填空題1．（2023·天津·統(tǒng)考中考真題）如圖，在邊長為3的正方形的外側(cè)，作等腰三角形，．

（1）的面積為；（2）若F為的中點，連接并延長，與相交于點G，則的長為．【答案】3【分析】（1）過點E作，根據(jù)正方形和等腰三角形的性質(zhì)，得到的長，再利用勾股定理，求出的長，即可得到的面積；（2）延長交于點K，利用正方形和平行線的性質(zhì)，證明，得到的長，進而得到的長，再證明，得到，進而求出的長，最后利用勾股定理，即可求出的長．【詳解】解：（1）過點E作，

正方形的邊長為3，，是等腰三角形，，，，在中，，,故答案為：3；（2）延長交于點K，正方形的邊長為3，，，，，，，，F(xiàn)為的中點，，在和中，，，，由（1）可知，，，，，，，，在中，，故答案為：．

【點睛】本題考查了正方形的性質(zhì)，等腰三角形的性質(zhì)，全等三角形的判定和性質(zhì)，相似三角形的判定和性質(zhì)，勾股定理等知識，作輔助線構(gòu)造全等三角形和相似三角形是解題關(guān)鍵．2．（2022·天津·統(tǒng)考中考真題）如圖，已知菱形的邊長為2，，E為的中點，F(xiàn)為的中點，與相交于點G，則的長等于．【答案】【分析】連接FB，作交AB的延長線于點G．由菱形的性質(zhì)得出，，解直角求出，，推出FB為的中位線，進而求出FB，利用勾股定理求出AF，再證明，得出．【詳解】解：如圖，連接FB，作交AB的延長線于點G．∵四邊形是邊長為2的菱形，∴，，∵，∴，∴，，∵E為的中點，∴，∴，即點B為線段EG的中點，又∵F為的中點，∴FB為的中位線，∴，，∴，即是直角三角形，∴．在和中，，‘∴，∴，∴，又∵，∴，∴，∴，∴．故答案為：．【點睛】本題考查菱形的性質(zhì)，平行線的性質(zhì)，三角函數(shù)解直角三角形，三角形中位線的性質(zhì)，相似三角形的判定與性質(zhì)等，綜合性較強，添加輔助線構(gòu)造直角是解題的關(guān)鍵．3．（2021·天津·統(tǒng)考中考真題）如圖，正方形的邊長為4，對角線相交于點O，點E，F(xiàn)分別在的延長線上，且，G為的中點，連接，交于點H，連接，則的長為．【答案】【分析】先作輔助線構(gòu)造直角三角形，求出CH和MG的長，再求出MH的長，最后利用勾股定理求解即可．【詳解】解:如圖,作OK⊥BC，垂足為點K，∵正方形邊長為4，∴OK=2，KC=2，∴KC=CE，∴CH是△OKE的中位線∴，作GM⊥CD，垂足為點M，∵G點為EF中點，∴GM是△FCE的中位線，∴，，∴，在Rt△MHG中，，故答案為：．【點睛】本題綜合考查了正方形的性質(zhì)、三角形中位線定理、勾股定理等內(nèi)容，解決本題的關(guān)鍵是能作出輔助線構(gòu)造直角三角形，得到三角形的中位線，利用三角形中位線定理求出相應(yīng)線段的長，利用勾股定理解直角三角形等．4．（2023·天津河西·統(tǒng)考一模）如圖，中，，點E是邊的中點，連接，F(xiàn)是的中點，連接，則的長為．【答案】【分析】連接，由題意易得，然后根據(jù)含30度的直角三角形的性質(zhì)及勾股定理可進行求解．【詳解】解：連接，如圖所示：∵四邊形是平行四邊形，∴，∵，∴，∵點E是邊的中點，∴，∴是等邊三角形，，∴，，∴，∴在中，，∵點F是的中點，∴，∴在中，；故答案為．【點睛】本題主要考查勾股定理、含30度直角三角形的性質(zhì)、等邊三角形的性質(zhì)與判定及平行四邊形的性質(zhì)，熟練掌握勾股定理、含30度直角三角形的性質(zhì)、等邊三角形的性質(zhì)與判定及平行四邊形的性質(zhì)是解題的關(guān)鍵．5．（2023·天津和平·統(tǒng)考一模）如圖，圓內(nèi)接四邊形，，對角線平分，過點作交的延長線于點，若，，則的面積為．【答案】【分析】首先證明，再過點A作，垂足為點M，過點B作，垂足為點N．根據(jù)，分別求出，的面積，即可求得四邊形的面積，然后通過證得，即可求得的面積=四邊形的面積．【詳解】∵四邊形內(nèi)接于圓，∴，∵，∴，∵平分，∴，∴，∴，∴是等邊三角形，過點A作，垂足為點M，過點B作，垂足為點N．∴，∵，∴，∴，∵，∴，∴中，，∵是等邊三角形，∴四邊形的面積∵，∴，∵，∴，∴，∵四邊形內(nèi)接于，∴，在和中，，∴，∴的面積=四邊形的面積．故答案為：【點睛】本題考查圓內(nèi)接四邊形的性質(zhì)，等邊三角形的判定和性質(zhì)，勾股定理，三角形的面積等知識，解題的關(guān)鍵是學(xué)會添加常用輔助線，構(gòu)造直角三角形解決問題．6．（2023·天津南開·統(tǒng)考一模）如圖，正方形中，E為上一點，過B作于G，延長至點F使，延長交于點M，連接，若C為中點，，則的長為．【答案】【分析】過C點作于H點，證明，得出，證明，根據(jù)勾股定理求出，根據(jù)等腰三角形的判定求出即可解決問題．【詳解】解：過C點作于H點，如圖所示：∵四邊形為正方形，∴，，∵，，∴，∴，，∴，在和中，∵，，，∴，∴，∵C為的中點，∴，∵，，∴，∴，∴，∴，∵，，∴，∴，解得：，負(fù)值舍去，∴，∵，，∴，∴，∴．故答案為：．【點睛】本題主要考查的是全等三角形的判定及性質(zhì)、等腰三角形的判定及性質(zhì)和正方形的性質(zhì)，解題的關(guān)鍵是作出輔助線，構(gòu)造全等三角形，證明．7．（2023·天津紅橋·統(tǒng)考一模）如圖，已知正方形的邊長為8，E為的中點，F(xiàn)為上一點，且，若G，H分別為的中點，連接，則的長為．【答案】【分析】根據(jù)正方形的性質(zhì)和勾股定理可得，取的中點，連接，過點作于點，過點作于點，得矩形，然后證明，得，所以，利用勾股定理求出，則，求出，再根據(jù)三角形中位線定理即可解決問題．【詳解】解：正方形的邊長為8，為的中點，，，，，，，如圖，取的中點，連接，過點作于點，過點作于點，得矩形，，，，，，，，，為的中點，，是的中點，，，設(shè)，則，，，，，則，，，，，分別為，的中點，．故答案為：．【點睛】本題考查了正方形的性質(zhì)，三角形中位線定理，相似三角形的判定與性質(zhì)，解決本題的關(guān)鍵是得到．8．（2023·天津東麗·統(tǒng)考一模）如圖，正方形的邊長為4，點是邊中點，垂直平分且分別交、于點、，則的長為.【答案】/0.5【分析】連接，設(shè)，則，根據(jù)線段垂直平分線的性質(zhì)可得，則.根據(jù)勾股定理列方程求出即可得的長.【詳解】連接，設(shè)，∵四邊形是正方形，且邊長為4，，是中點，∵重直平分，，解得，.故答案為:【點睛】本題主要考查了正方形的性質(zhì)，線段垂直平分線的性質(zhì)以及勾股定理.設(shè)未知數(shù)，根據(jù)勾股定理列方程是解題的關(guān)鍵.9．（2023·天津河?xùn)|·一模）已知，如圖，已知菱形的邊長為6，，點E，F(xiàn)分別在的延長線上，且，G是的中點，連接，則的長是．【答案】【分析】取的中點，連接，過點作于點，過點作于點，分別求出的長，利用勾股定理即可得出結(jié)果．【詳解】解：∵菱形的邊長為6，，∴，∴，∴，取的中點，連接，則：，∵G是的中點，∴，∴，過點作于點，過點作于點，則，∴四邊形為矩形，∴，，，∵，∴，∴，∴，∴；故答案為：．【點睛】本題考查菱形的性質(zhì)，矩形的判定和性質(zhì)，三角形的中位線定理，含30度的直角三角形．解題的關(guān)鍵是添加輔助線，構(gòu)造特殊圖形．10．（2023·天津·校聯(lián)考一模）如圖，矩形對角線相交于點，為上一點，連接，F(xiàn)為的中點，．若，，則的長為．【答案】2【分析】如圖，連接，是的中位線，則，，，在中，由勾股定理求的值，由矩形的性質(zhì)可得，根據(jù)，求解的值即可．【詳解】解：如圖，連接，由題意知，是的中位線，∴，，∴，在中，由勾股定理得，由矩形的性質(zhì)可得，∴，故答案為：2．【點睛】本題考查了中位線，勾股定理，矩形的性質(zhì)等知識．解題的關(guān)鍵在于添加輔助線，構(gòu)造中位線．11．（2023·天津濱海新·統(tǒng)考一模）如圖，在正方形中，是邊上一點，連接，點為的中點，過點作的垂線分別交，于點，，連接交于點，若，，則的長為．【答案】【分析】過點M作交于點H，利用特殊角的三角函數(shù)值求出，，再根據(jù)正方形的性質(zhì)和矩形的性質(zhì)，得到，，連接，根據(jù)平分線的性質(zhì)，易證，進而證明，得到，利用特殊角的三角函數(shù)值求出，，進而得到，，然后證明，得到，進而求得，即可求出的長．【詳解】解：過點M作交于點H，，，，，，四邊形是正方形，，，，，，四邊形是矩形，，，連接，點為的中點，，垂直平分，，，，，在和中，，，，，，在和中，，，，在中，，，，，，，，，，，，，故答案為：．【點睛】本題考查了全等三角形的判定和性質(zhì)，相似三角形的判定和性質(zhì)，解直角三角形，正方形的性質(zhì)等知識，作輔助線構(gòu)造全等三角形，靈活運用三角函數(shù)值求邊長是解題關(guān)鍵．12．（2023年天津市西青區(qū)中考一模數(shù)學(xué)試卷）如圖，點是正方形中延長線上一點，連接，點是的中點，連接，若，，則的長為．【答案】【分析】如圖所示，過點F作分別交于G、H，則四邊形為矩形，，，由正方形的性質(zhì)得到，證明，得到，，在中，由勾股定理得，則，進而求出，在中，由勾股定理得．【詳解】解：如圖所示，過點F作分別交于G、H，則四邊形為矩形，∴，，∵四邊形是正方形，∴，∵點是的中點，∴，又∵，∴，，，在中，由勾股定理得，∴，∴，∴，在中，由勾股定理得，故答案為：．【點睛】本題主要考查了正方形的性質(zhì)，矩形的性質(zhì)與判定，勾股定理，全等三角形的性質(zhì)與判定等等，正確作出輔助線構(gòu)造全等三角形是解題的關(guān)鍵．13．（2023·天津河北·統(tǒng)考一模）如圖，在菱形中，，將菱形繞點A順時針方向旋轉(zhuǎn)，對應(yīng)得到菱形，點G在上，與交于點H，則的長．【答案】/【分析】以A點為原點，所在的直線為y軸，建立直角坐標(biāo)系，延長交y軸于點M，過G點作軸于點N，根據(jù)菱形的性質(zhì)以及三角函數(shù)求出，，，，再利用待定系數(shù)法求出直線的解析式為：，直線的解析式為：，進而求出，問題隨之得解．【詳解】解：以A點為原點，所在的直線為y軸，建立直角坐標(biāo)系，延長交y軸于點M，過G點作軸于點N，如圖，∵在菱形中，，，，∴軸，，，∴，即，，∴，，根據(jù)旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)有：，，根據(jù)菱形的性質(zhì)有：，∴，∴，，∴，∵，，∴，，設(shè)直線的解析式為：，∴，解得：，即直線的解析式為：，同理可得：直線的解析式為：，聯(lián)立：，解得：，∴，

∵，∴，故答案為：．【點睛】本題考查了解直角三角形，菱形的性質(zhì)，勾股定理以及一次函數(shù)的圖象與性質(zhì)等知識，構(gòu)建坐標(biāo)系，求出，是解答本題的關(guān)鍵．14．（2023·天津河西·天津市新華中學(xué)?？家荒＃┤鐖D，正方形的邊長為4，是邊上一點，，連接，與相交于點，過點作，交于點，連接，則點到的距離為．

【答案】【分析】過M作于，交于，連接，根據(jù)正方形的性質(zhì)得，，，再判斷是等腰直角三角形得，設(shè)，則，由勾股定理求出，再根據(jù)證得，設(shè)點到的距離為，根據(jù)求出答案．【詳解】解：過M作于，交于，連接，

四邊形是正方形，，，，，，在中，，，，，，是等腰直角三角形，，設(shè)，則，，，，，，，，，，，，，，，，，設(shè)點到的距離為，，，故答案為：．【點睛】本題是四邊形綜合題，主要考查正方形的性質(zhì)，全等三角形的判定與性質(zhì)，等腰直角三角形的判定與性質(zhì)，三角函數(shù)的定義，勾股定理等知識點，解題關(guān)鍵是正確作出輔助線求出相關(guān)的線段長．15．（2023·天津和平·統(tǒng)考二模）如圖，已知正方形的邊長為4，點為邊上一點，，在的右側(cè)，以為邊作正方形，為的中點，則的長等于．【答案】/【分析】以點B為坐標(biāo)原點，所在直線為x軸，所在直線為y軸建立平面直角坐標(biāo)系，得到點，過點G作軸于點M，則，證明，則，得到,則點G的坐標(biāo)是，由為的中點，得到點H的坐標(biāo)是，進一步即可求得的長．【詳解】解：以點B為坐標(biāo)原點，所在直線為x軸，所在直線為y軸建立平面直角坐標(biāo)系，∵正方形的邊長為4，點為邊上一點，，∴點，過點G作軸于點M，則，∴，∵以為邊作正方形，∴，，∴，∴，∵，

∴，∴，∴,∴點G的坐標(biāo)是，∵為的中點，∴點H的坐標(biāo)是，即，∴．故答案為：【點睛】此題考查了勾股定理、全等三角形的判定和性質(zhì)、正方形的性質(zhì)、坐標(biāo)與圖形等知識，數(shù)形結(jié)合和準(zhǔn)確計算是解題的關(guān)鍵．16．（2023·天津紅橋·統(tǒng)考二模）如圖，是矩形紙片的邊上一點，沿折疊該紙片，使點的對應(yīng)點恰好落在上，若，，則的長為．【答案】【分析】設(shè)則，，,勾股定理求得，則，在中，勾股定理求得，在中，勾股定理即可求解．【詳解】解：∵是矩形紙片的邊上一點，沿折疊該紙片，使點的對應(yīng)點恰好落在上，設(shè)∴，，,在中，∴，∴，在中，，∴解得：∴，在中，，故答案為：．【點睛】本題考查了矩形的折疊問題，勾股定理，熟練掌握勾股定理是解題的關(guān)鍵．17．（2023·天津南開·統(tǒng)考二模）如圖，在平行四邊形中，對角線、相交于點，，點，點分別是，的中點，連接，，于點，交于點，，則線段的長為；【答案】16【分析】連接．根據(jù)等腰三角形的性質(zhì)得出，根據(jù)中位線的性質(zhì)證，得出，再用勾股定理列方程求出即可．【詳解】解：如解圖，連接．∵在中，點、分別為、的中點，∴，為的中位線，∴，，∵在中，，，∴，．∵，，∴，∵，，∴，∴，∴，∴，又∵，∴．在和中，，∴，∴，又∵在中，，，∴，∴（負(fù)值已舍去），∴，故答案為：．【點睛】本題考查了平行四邊形的性質(zhì)、等腰三角形的性質(zhì)、全等三角形的判定與性質(zhì)、勾股定理等知識，解題關(guān)鍵是恰當(dāng)連接輔助線，通過全等、中位線和勾股定理等知識準(zhǔn)確推理計算．18．（2023·天津河?xùn)|·統(tǒng)考二模）如圖，已知四邊形和四邊形均為正方形，且是的中點，連接，若，則的長為．

【答案】【分析】四邊形和四邊形均為正方形，且是的中點，，如圖所示，過點作于，交于，與交于點，可證，，根據(jù)勾股定理即可求解．【詳解】解：∵四邊形和四邊形均為正方形，且是的中點，，∴，∴在中，，如圖所示，過點作于，交于，與交于點，

∵四邊形為正方形，∴，∵，∴，在中，，∴，∴，，即為中點，同理，可證，∴，∴在中，，∴，故答案為：．【點睛】本題主要考查正方形與直角三角形勾股定理的綜合，掌握正方形的性質(zhì)，全等三角形的判定和性質(zhì)，勾股定理是解題的關(guān)鍵．19．（2023·天津河北·統(tǒng)考二模）如圖，在矩形中，，連接，點在上，平分．

【答案】/【分析】過點D作，由平分可得是等腰直角三角形，再根據(jù)矩形性質(zhì)和勾股定理易求對角線長，進而解三角形求出、即可解答．【詳解】解：過點D作，如圖：

∵平分，∴，∴，∵在矩形中，，∴，，，∴，∴，，∴，，∴，故答案為：．【點睛】本題主要考查了矩形性質(zhì)和解三角形，解題關(guān)鍵是過點D作構(gòu)造是等腰直角三角形，再解三角形．20．（2023·天津·統(tǒng)考二模）如圖，是等邊三角形，，D為AB上一點，，與的延長線相交于點E，F(xiàn)為的中點，H為的中點，連接．則的長為．

【答案】【分析】過點F作于點G，根據(jù)等邊三角形的性質(zhì)即可得到，根據(jù)及即可求出，根據(jù)勾股定理即可求出，根據(jù)中點定義即可求出，根據(jù)可求出，根據(jù)勾股定理即可求出，根據(jù)中點定義即可求出，進一步求出，再用勾股定理可求出結(jié)果．【詳解】解：如圖，過點F作于點G

∵是等邊三角形，∴∴∴∵．∴∴．∴∴∵F為的中點，∴∵∴∴∴∵H為的中點∴．∴∴．故答案為：．【點睛】本題考查勾股定理，等邊三角形的性質(zhì)，含30°的直角三角形的性質(zhì)，正確作出輔助線利用勾股定理求長度是解題的關(guān)鍵．21．（2023·天津河西·統(tǒng)考二模）如圖，已知正方形的邊長為6，是邊的中點，連接，在邊上有一點，滿足，則的長為．

【答案】5【分析】利用正方形的性質(zhì)，證，得，，從而得，再證，得，設(shè)，則，，在中，由勾股定理，要求得到x，繼而可求解．【詳解】解：過點B作于G，連接，

∵正方形∴，，∵是邊的中點，∴，∵，∴，∴∵，，∴，∴，，∴，∵，∴，∴，設(shè)，則，，在中，由勾股定理，得解得：，∴．故答案為：5．【點睛】本題考查正方形的性質(zhì)，全等三角形的判定與性質(zhì)，勾股定理，熟練掌握全等三角形的判定與性質(zhì)，勾股定理是解題的關(guān)鍵．22．（2023·天津東麗·統(tǒng)考二模）如圖，正方形的邊長是，對角線的交點為，點在邊上且，，連接，則．

【答案】【分析】如圖，在上截取線段，使得，可求得，根據(jù)勾股定理求解相應(yīng)線段的長度即可．【詳解】解：如圖，在上截取線段，使得，

在正方形中，，，，，∵，∴，∴，∴，∴，∴，，∴，∴為等腰直角三角形，，在中，由勾股定理可得：，則，在中，由勾股定理可得：∴，在中，故答案為：．【點睛】此題考查了正方形的性質(zhì)，全等三角形的判定與性質(zhì)，勾股定理以及等腰三角形的判定與性質(zhì)，解題的關(guān)鍵是作出合適的輔助線，找到全等三角形．23．（2023·天津濱海新·統(tǒng)考二模）如圖，在矩形中，點E，F(xiàn)分別是較長邊，上的點，且，，連接交于點M，連接，若，，則．

【答案】【分析】先根據(jù)矩形的判定與性質(zhì)證明四邊形、四邊形為矩形，進而證明矩形是正方形，過O作于G，則，，證明得到，進而求得，在中利用勾股定理求解即可．【詳解】解：∵四邊形是矩形，∴，，，，，∵，則，∴四邊形、四邊形為矩形，∴，，,∵，∴，∴矩形是正方形，∴，，如圖，過O作于G，則，，

∵，∴，則，∵，∴，∴，則，在中，，，∴，故答案為：．【點睛】本題考查矩形的判定與性質(zhì)、正方形的判定與性質(zhì)、等腰三角形的性質(zhì)、相似三角形的判定與性質(zhì)、勾股定理等知識，熟練掌握矩形和正方形的性質(zhì)是解答的關(guān)鍵．24．（2023年天津市西青區(qū)中考二模數(shù)學(xué)試題）如圖，四邊形是正方形，點在邊上，點在的延長線上，滿足，連接與對角線交于點，連接，，若，則的長為．

【答案】【分析】過點作交與點，則，由四邊形是正方形可證明，從而得出為等腰直角三角形，進一步求出為等腰直角三角形，可證出，所以，即點為中點，即可得出的長度．【詳解】解：過點作交與點，則，

四邊形是正方形，，，，，，，，為等腰直角三角形，，，，四邊形是正方形，，則為等腰直角三角形，，，，，，

，則，，即點為中點，．故答案為：．【點睛】本題考查了正方形的性質(zhì)，三角形全等的判定與性質(zhì)，等腰三角形的性質(zhì)，正確作出輔助線，構(gòu)建出全等三角形證明為中點是解答本題的關(guān)鍵．25．（2023·天津河西·天津市新華中學(xué)?？级＃┤鐖D，已知∠AED＝∠ACB＝90°，AC=BC=3，AE=DE=1，點D在AB上，連接CE，點M，點N分別為BD，CE的中點，則MN的長為．【答案】【分析】連接DN并延長DN交AC于F，連接BF，根據(jù)DE∥AC，可證△EDN≌△CFN，可得DE=CF，求出DN=FN，F(xiàn)C=ED，得出MN是中位線，再證△CAE≌△BCF，得出BF=CE,即可解題．【詳解】解：連接DN并延長DN交AC于F，連接BF，如圖，∵∠AED＝∠ACB＝90°，AC=BC=3，AE=DE=1，，，，∵點N為CE的中點，，在和中，，，，∵點M為BD的中點，是的中位線，，，，在和中，，，．【點睛】本題考查了等腰直角三角形性質(zhì)，全等三角形的性質(zhì)和判定，三角形的中位線，平行線性質(zhì)和判定的應(yīng)用，勾股定理．26．（2023·天津南開·統(tǒng)考三模）如圖，中，，，點D，E分別在邊，上，且，連接，點M是的中點，點N是BC的中點，線段MN的長為．

【答案】【分析】作，連接，延長交于，連接，作于．根據(jù)平行線的性質(zhì)可得，根據(jù)全等三角形的判定和性質(zhì)可得，，求得，根據(jù)平行線的性質(zhì)可得，根據(jù)特殊角的三角函數(shù)可得，，根據(jù)三角形中位線的判定和性質(zhì)可得．【詳解】解：如圖，作，連接，延長交于，連接，作于

∵∴∵，∴∴，∵∴∵，∴∵∴∴∵，∴為的中位線∴，故答案為：．【點睛】本題考查了平行線的性質(zhì)，全等三角形的判定和性質(zhì)，特殊角的三角函數(shù)，三角形中位線的判定和性質(zhì)，解題的關(guān)鍵是學(xué)會添加常用輔助線，構(gòu)造全等三角形解決問題．27．（2023·天津和平·統(tǒng)考三模）如圖，在中，，，點D是中點，E是邊上一點，且，則的長等于．

【答案】【分析】如圖，延長到，使，過作交于，連接，證明，則，，，由，，可得，則，由三角形外角的性質(zhì)可得，則，由分別為的中點，則是的中位線，根據(jù)，計算求解即可．【詳解】解：如圖，延長到，使，過作交于，連接，

∴，又∵，，∴，∴，，，∵，，∴，∴，∵，∴，∴，∵分別為的中點，∴是的中位線，∴，故答案為：．【點睛】本題考查了全等三角形的判定與性質(zhì)，三角形外角的性質(zhì)，等邊對等角，余弦，中位線等知識．解題的關(guān)鍵在于對知識的熟練掌握與靈活運用．28．（2023·天津紅橋·統(tǒng)考三模）在四邊形中，，若，，則的長為．

【答案】【分析】延長交于點，證明為等腰三角形，過點作于點，得到，得到，求出的長，利用勾股定理求出的長，再利用勾股定理求出的長即可．【詳解】解：延長交于點，過點作于點，

∵，，，∴，，∴，∵，∴，∴，，∴，∵，∴，∴，在中，∴，

在中，，∴；故答案為：．【點睛】本題考查等腰三角形的判定和性質(zhì)，勾股定理，平行線分線段成比例．解題的關(guān)鍵是添加輔助線，構(gòu)造等腰三角形．29．（2023·天津河北·統(tǒng)考三模）如圖，在邊長為的等邊中，，分別為，的中點，于點，為的中點，連接，則的長為．

【答案】【分析】直接利用三角形中位線定理進而得出，且，再利用勾股定理以及直角三角形的性質(zhì)得出以及的長．【詳解】解：在邊長為的等邊中，，分別為，的中點，是的中位線，，且，，于點，，，，，故，為的中點，，．故答案為：．【點睛】此題主要考查了勾股定理以及等邊三角形的性質(zhì)和三角形中位線定理，正確得出的長是解題關(guān)鍵．30．（2023·天津河西·天津市新華中學(xué)校考三模）如圖，四邊形是邊長為6的正方形，點E在邊上，，過點E作，分別交，于點G，F(xiàn)，M，N分別是，的中點，則的長是．

【答案】【分析】先證四邊形和都是矩形，由是等腰直角三角形，M是的中點，可得．由“矩形的對角線相等且互相平分”可得，且N是的中點．根據(jù)勾股定理求出的長，即可求出的長．【詳解】

解：如圖，連接、，∵四邊形是正方形，．又，，，∴四邊形和都是矩形，．，是等腰直角三角形．∵M是的中點，，．∵四邊形是矩形，．又∵N是的中點，∴N是的中點，．故答案為：．【點睛】本題主要考查了正方形的性質(zhì)，矩形的判定和性質(zhì)，以及“直角三角形斜邊中線等于斜邊一半”．熟練掌握以上知識，正確的作出輔助線是解題的關(guān)鍵．31．（2023·天津河西·統(tǒng)考模擬預(yù)測）如圖，在正方形ABCD中，點E是邊BC上的一點，點F在邊CD的延長線上，且，連接EF交邊AD于點G．過點A作，垂足為點M，交邊CD于點N．若，，則線段AN的長為【答案】【分析】連接AE、AF、EN，首先可證得，AE=AF，可證得垂直平分EF，可得EN=FN，再根據(jù)勾股定理即可求得正方形的邊長，再根據(jù)勾股定理即可求得AN的長．【詳解】解：如圖：連接AE、AF、EN，四邊形ABCD是正方形設(shè)AB=BC=CD=AD=a，，在與中，，，是等腰三角形，又，垂直平分EF，，又，，在中，，，解得a=20，，，在中，，，故答案為：．【點睛】本題考查了正方形的性質(zhì)，全等三角形的判定與性質(zhì)，等腰三角形的判定與性質(zhì)，線段垂直平分線的性質(zhì)，勾股定理，證得垂直平分EF是解決本題的關(guān)鍵．32．（2023·天津河?xùn)|·天津市第七中學(xué)?？寄M預(yù)測）如圖，在邊長為4的菱形中，，將沿射線的方