第3章離散傅里葉變換3.1信號頻域分析的幾種形式3.2離散傅里葉變換的定義3.3DFT與DTFT、Z變換的關系3.4離散傅里葉變換的性質3.5用DFT計算數(shù)字頻譜的誤差及解決方法3.6用MATLAB實現(xiàn)離散傅里葉變換習題

3.1信號頻域分析的幾種形式

1.連續(xù)時間非周期信號的傅里葉變換(FT)

連續(xù)時間信號x(t)的傅里葉變換X(Ω)定義為反變換由下式確定

如圖3-1所示為連續(xù)信號x(t)及其傅里葉變換X(Ω)。由該圖可以看出,連續(xù)信號的傅里葉變換也是連續(xù)的,這不便于計算機處理。圖3-1連續(xù)信號及其傅里葉變換

2.連續(xù)時間周期信號的傅里葉級數(shù)表示(FS)

連續(xù)時間周期信號x(t)的傅里葉級數(shù)表示把x(t)展開為復指數(shù)信號ejkΩ0t的加權和,即

設周期信號x(t)的周期為Ｔ,稱Ω0=2π/T為基波頻率,簡稱為基頻；對k>1的一般情況,稱kΩ0為k次諧波頻率。k次諧波的系數(shù)X(kΩ0)由下式確定

圖3-2所示為連續(xù)周期信號x(t)及其傅里葉級數(shù)表示X(kΩ0)。由該圖可以看出,連續(xù)時間周期信號的傅里葉級數(shù)把頻域變成離散的了,但時域仍然是連續(xù)的,這也不便于計算機處理。圖3-2連續(xù)時間周期信號及其傅里葉級數(shù)

3.序列的離散時間傅里葉變換(DTFT)

對連續(xù)時間信號進行采樣,得到在時間上離散的信號即序列。非周期序列x(n)可以通過離散時間傅里葉變換得到其頻譜,離散時間傅里葉變換X(ejω)定義如下：

離散時間傅里葉反變換定義為

非周期序列x(n)的傅里葉變換X(ejω)是ω的連續(xù)函數(shù)且隱含著周期性,X(ejω)的周期為2π,這個周期性質表明為了分析目的僅僅需要X(ejω)的一個周期即可。如圖3-3所示

為離散序列及其離散時間傅里葉變換,從圖中可以看出頻域的周期性是由時域的離散化所致。但是從圖中可以看出頻域還是連續(xù)的,同樣不便于計算機處理。

圖3-3離散序列及其離散時間傅里葉變換

圖3-4離散周期序列及其離散傅里葉級數(shù)

至此,我們已經(jīng)介紹了信號頻域分析的四處形式,總結如下：

?連續(xù)時間非周期信號的傅里葉變換其時域和頻域都是連續(xù)的；

?連續(xù)時間周期信號的傅里葉級數(shù)表示其時域是連續(xù)的,但頻域是離散的；

?非周期序列的離散時間傅里葉變換其時域是離散的,但頻域是連續(xù)的；

?周期序列的離散時間傅里葉級數(shù)表示其時域和頻域都是離散的。

信號在時域和頻域都具有連續(xù)與離散、周期與非周期兩種特征,其對應規(guī)律如下：如果信號在頻域是離散的,則該信號在時域必然表現(xiàn)為周期性；反之,如果信號在時域是離散的,則該信號在頻域必然是周期的。所以,周期的離散信號(序列)經(jīng)過DFS表示,其頻域一定既是周期又是離散的。存在這種對應規(guī)律的原因是：一個域的離散化導致另一個域的周期化；一個域的周期化導致另一個域的離散化。

3.2離散傅里葉變換的定義3.2.1DFT與DFS的關系DFS將信號的時域和頻域都離散化了,但兩者都是周期性的。實際中遇到的序列往往都是有限長的序列,一般并不滿足周期性。但是我們知道,一個周期序列和其周期的離散頻譜所攜帶的信息都體現(xiàn)在一個周期,即周期序列和有限長序列在攜帶信息上并無本質區(qū)別。這樣通過將有限長序列人為地延拓成為周期序列,然后對其離散傅里葉級數(shù)取它的主值區(qū)間,就可以得到有限長序列的離散頻譜。所以,離散傅里葉變換為有限長序列提供了一個有效的頻率分析方法。

圖3-5

DFS與DFT的關系示意圖

3.2.2

DFT的定義

對于有限長序列x(n),0≤n≤N-1,其N點離散傅里葉變換和離散傅里葉反變換的定義分別為

DFT的定義可以寫成矩陣形式

X=Wx

其中,x為輸入序列組成的向量,即x=[

x(0),x1),…,x(N-1)]T；X為DFT序列組成的向量,即X=[X(0),X(1),…,X(N-1)]T；W為DFT矩陣,即

3.2.3

DFT的物理意義

式(3-13)看似比較復雜,它是數(shù)字信號處理中數(shù)字譜分析最有用的工具。為了理解式(3-13),通過歐拉公式e-jθ

=cosθ-jsinθ,可以將其轉化為

把式(3-13)中復雜的指數(shù)轉化為實數(shù)部分與虛數(shù)部分,其中X(k)為DFT第k個輸出部分,k為DFT在頻域的輸出序號,k=0,1,2,3,…,N-1。x(n)則為輸入樣本序列,n為時域輸入序號,n=0,1,2,3,…,N-1。數(shù)值N是一個很重要的參數(shù),因為它決定了所需要輸入樣本的大小頻域輸出結果的分辨率和計算N點DFT函數(shù)所要的時間。

由此可見,DFT的每一個輸出值X(k)都由輸入序列值與不同頻率的正弦和余弦乘積之和來確定。不同的頻率取決于原始信號的采集頻率fs和DFT的樣本數(shù)量N。比如,給定一個速率為500每秒的樣本連續(xù)信號,然后對其執(zhí)行16點DFT數(shù)據(jù)抽樣,則正弦函數(shù)的頻率為fs/N=500/16或者31.25Hz。其他X(k)的分析頻率則是基頻的整數(shù)倍,例如：

圖3-6模擬頻率與數(shù)字頻率之間的定標關系

例3-1已知序列x(n)=δ(n),求它的N點DFT。

δ(n)的X(k)如圖3７所示。這是一個很特殊的例子,它表明對序列δ(n)來說,不論對它進行多少點的DFT,所得結果都是一個離散矩形序列,這是因為δ(n)的頻譜是均勻譜。

圖3-7序列δ(ｎ)及其離散傅里葉變換

圖3-8有限長序列及其DFT

3.3

DFT與DTFT、Z變換的關系

前面已討論了DFT與DFS的關系,現(xiàn)在討論DFT與DTFT、Z變換的關系。

1.DFT與Z變換的關系若x(n)是一個長度為N的有限長序列,對x(n)進行Z變換,有

圖3-9DFT與DTFT、Z變換的關系

2.DFT與DTFT變換的關系

由于DTFT,即序列的傅里葉變換X(ejω)是單位圓上的Z變換,根據(jù)式(3-26),DFT與DTFT的關系為

上式說明X(k)也可以視為序列x(n)的傅里葉變換X(ejω)在區(qū)間[0,2π]上的N點等間隔采樣,其采樣間隔為ωN=2π/N,圖3-9(b)給出了X(ejω)和X(k)的關系。DFT的變換區(qū)間長度N不同,對X(ejω)在區(qū)間[0,2π]上的采樣間隔和采樣點數(shù)不同,所以DFT的變換結果也不同。

該序列的N=8點DFT為

圖3-10給出了矩形序列R6(n)的DTFT以及N=8、N=16、N=32、N=64不同點數(shù)的DFT的幅度值。從中可以看出,DFT就是對序列頻譜的等間隔采樣。

圖3-10矩形序列R6(n)的DTFT以及不同點數(shù)的DFT

3.4離散傅里葉變換的性質

1．線性特性若w(n)=ax(n)+by(n),則

DFT[w(n)]=W(k)=aX(k)+bY(k)(3-36)

如果x(n)和y(n)的序列長度N1、N2不同,則選擇N=ｍax［N1,N2］作為變換長度,而短序列通過補0達到N點。

2.DFT隱含的周期性

離散傅里葉變換定義了時域N個離散點到頻域N個頻率點的一一映射,但是定義式本身隱含著周期性,即

x(n)和X(k)都是周期為N的序列。

離散傅里葉變換定義中的正變換和反變換分別限定0≤n≤N-1和0≤k≤N-1。用計算機或數(shù)字處理器對信號進行頻譜分析時,一般都期望信號在時域和頻域都是離散和有限的,因而這種限定是自然而然和合情合理的。離散傅里葉變換潛在的周期性直接導出了它具有許多優(yōu)異的特性,利用這些特性就得到了離散傅里葉變換的快速算法,它使得計算DFT高效而方便。我們可以把x(n)和Ｘ(k)看成是其中的任意一個周期,只要進行DFT計算時取的點數(shù)N不小于對信號的采樣點數(shù)M,DFT和IDFT都是精確的。

3.循環(huán)(圓周)移位的概念

在定義序列x(n)的N點離散傅里葉變換時,把序號n約束為0≤n≤N-1。期望移位后新序列的序號n也滿足前述約束,顯然使用模運算符定義循環(huán)移位即可滿足這個約束條件。定義循環(huán)移位運算如下：

圖3-11給出了循環(huán)移位運算的實例。其中圖3-11(a)為原序列x(n),圖3-11(b)為x1(n)=x(〈n-2〉6),圖3-11(c)為x2(n)=x(〈n+2〉6)。圖中的n表示序列的序號,序號按順時針依次排列。x(〈n-2〉6)使得x(n)的所有取值依順時針移位2個點；而x(〈n+2〉6)使得x(n)的所有取值依逆時針移位2個點。這樣移動的結果是所有取值的相對位置不變,而對應的新序列的序號保持不動,把序號與取值對應起來就構成了新序列,如圖3-11(b)中,新的序列為x1(0)=x(4),x1(1)=x(5),x1(2)=x(0),x1(3)=x(1),x1(4)=x(2),x1(5)=x(3)。

圖3-11循環(huán)(圓周)移位運算示意圖

循環(huán)移位可以想象將序列x(n)順序排列在N等分的圓周上,x(n-m)是將序列各元素在圓周上按順時針旋轉m個位置,而x(n+m)是將序列各元素在圓周上按反時針方向旋轉m個位置,所以,循環(huán)移位又叫圓周移位。

為簡便起見,記

同理

4.時域循環(huán)移位性質

若x(n)?X(k),則

或者簡記為

序列在時域循環(huán)移位m個單位,其DFT的相位頻譜各次諧波相位平移,但幅度頻譜不變。

5.頻域循環(huán)移位性質

若x(n)?X(k),則

或者簡記為

序列在時域被調制相當于頻譜的平移,包括幅度頻譜和相位頻譜。

6.循環(huán)卷積定理

1)兩個有限長序列的循環(huán)卷積

2)時域循環(huán)卷積定理

7.共軛對稱性

設x?(n)為x(n)實共軛復序列,若x(n)?X(k),則有

同理

在討論DTFT的對稱性時,也提到過共軛對稱序列和共軛范對稱序列,那里的對稱性是指關于縱坐標的對稱性。DFT的對稱性有所不同,序列x(n)和其離散傅里葉變換X(k)都是有限長序列,其定義的區(qū)間為0≤n≤N-1,所以,DFT的對稱性是指關于N/2的對稱性。

8.帕薩瓦爾定理

設x(n)和y(n)的N點離散傅里葉變換分別為X(k)和Y(k),則有如下帕薩瓦爾定理

特別地,當x(n)=y(n)時,帕薩瓦爾定理變?yōu)?/p>

式(3-57)表明,序列在時域和頻域的能量是不變的,故也稱為能量守恒定理。

3.5用DFT計算數(shù)字頻譜的誤差及解決方法

首先通過一個例題來了解利用DFT計算數(shù)字頻譜的好處。

圖3-12混合頻率信號的時域、頻域分析

在實際應用中,原始信號可能是無限長的連續(xù)時間信號,為了利用離散傅里葉變換計算這樣信號的離散頻譜,還必須進行一些必要的處理,而這些處理過程可能對原始信號的真實頻譜產生誤差,下面討論誤差產生的原因和解決的辦法。

如果原始信號是連續(xù)的模擬信號xa(t),第一步是對其進行等間隔采樣得到采樣信號,則由時域采樣定理知采樣信號的頻譜是xa(t)頻譜的周期延拓。為了避免頻譜混疊,要求采樣頻率不小于信號最高頻率的兩倍。一般來說,原始信號是有限長的,所以其頻譜寬度是無限的,因此,在對有限長信號進行采樣前先進行抗混疊濾波,一方面使得采樣頻率無需非常高,另外一方面避免了頻譜混疊。通過對連續(xù)信號xa(t)進行采樣就得到了離散序列x(n)=xa(nT)。

第二步是對x(n)進行截短處理,這是因為x(n)太長則不利于處理。截短處理在時域進行,它通過把x(n)乘以一個長度為N的窗函數(shù)w(n)得到有限長序列x(n)w(n)。x(n)w(n)的離散時間傅里葉變換(DTFT)是x(n)的離散時間傅里葉變換X(ω)與w(n)的離散時間傅里葉變換W(n)之卷積。因為有限長序列w(n)的頻譜寬度是無限的,所以乘積x(n)w(n)的頻譜也是無限的,即頻譜“擴散”(拖尾,展寬)了,或者說頻譜“泄露”了。為了減小頻譜泄露,可以采取兩個方法：其一,增加窗函數(shù)的寬度,即取更多的數(shù)據(jù)；其二,采用性能更優(yōu)的窗函數(shù),這些窗函數(shù)具有比矩形窗旁瓣小主瓣窄的優(yōu)點,這必將減小頻譜泄露,在FIR數(shù)字濾波器設計一章中會詳細講解這個問題。

作為實例,下面考慮用矩形窗函數(shù)RL(n)對離散余弦序列cos(ω0n)進行截短處理后的頻譜,截短得到的序列為cos(ω0n)RL(n)。圖3-13(a)給出了cos(nπ/3)的頻譜,圖3-13(b)為cos(nπ/3)截短處理后的頻譜,由圖可以清楚地看出頻譜發(fā)生了泄漏。

圖3-13

cos(nπ/3)的DTFT及截短處理后的DTFT

由于x(n)w(n)的頻譜依然是連續(xù)的,所以要進行第三步處理：對x(n)w(n)的頻譜進行離散化,即等間隔采樣得到M個離散點。與時域的等間隔采樣導致頻域的周期延拓相對偶,這種頻域的等間隔采樣導致了時域的周期延拓。在講解離散傅里葉變換的物理意義時,已經(jīng)指出只要一個周期內的采樣點數(shù)M≥N,則時域信號不會發(fā)生混疊。

以下介紹兩個有關分辨率的概念。“頻率分辨率”是指所用的算法將所分析的時域信號頻譜中兩個靠得很近的譜峰分辨開來的能力,“頻率分辨率”通常也稱為“物理頻率分辨

率”,以便與“計算頻率分辨率”相區(qū)別?！坝嬎泐l率分辨率”是指所分析的信號的離散頻譜中相鄰點間的頻率間隔。

將x(t)用間隔Ts=采樣得到x(n),采樣頻率為fs=1/Ts,則能得到總的采樣點數(shù)為M=Tu/Ts=Tufs。我們知道在對x(n)進行N點離散傅里葉變換時,只要N≥M。這里的計算頻率分辨率為

物理頻率分辨率為

將M=Tufs代入式(3-60)得到的物理頻率分辨率與式(3-58)給出的一致,這說明不能光靠增加采樣點數(shù)M來提高物理頻率分辨率,這是因為在信號的持續(xù)時間Tu保持不變的前提下,采樣點數(shù)M增加,則采樣間隔Ts=減小,但M與Ts=兩者的乘積保持為Tu不變。

在進行離散傅里葉變換時,通過在有效數(shù)據(jù)后面補充一些零來達到改善頻譜的目的,但這并不能提高算法的物理頻率分辨率,這是因為物理頻率分辨率由有效的數(shù)據(jù)點數(shù)M決定。從根本上說,補零并沒有提供新的信息,不能提高分辨率就理所當然了,但這樣做能提高算法的計算頻率分辨率。此外補零可以使得總的點數(shù)N是2的整數(shù)次冪,便于用下一章要講解的快速傅里葉變換來高效地計算離散傅里葉變換。

我們知道x(n)的N點離散傅里葉變換X(k)與x(n)的離散時間傅里葉變換在頻率點2πk/N的取值相等。通過這N個離散的頻率點處的離散時間傅里葉變換來觀察序列的頻譜,就像通過一個“柵欄”觀賞風景一樣,只能在這些離散的頻率點處看到真實的景象,稱這種現(xiàn)象為“柵欄效應”。顯然如果N足夠大(如果有效數(shù)據(jù)長度M不變,可以通過補零增大N),這些頻率點分布得足夠稠密,則可減小柵欄效應。補零可以把原來由于頻率點錯位而攔住的有效頻率成分顯現(xiàn),但并不能提高算法的物理頻率分辨率,或者說原來分不開的兩個頻峰,補零后依然不能分開。

圖3-14為序列補零對DTFT與DFT的影響。圖3-14(a)為在有效長度為Ｍ的序列尾部補充了N1-M個零點,圖3-14(b)為對應的DTFT。由式(3-62)知,補零后的DTFT與沒有補零的DTFT一致,對圖3-14(b)所示的DTFT在一個周期內進行間隔為2π／N1等間隔采樣,采樣點對應的值就是N1點離散傅里葉變換X1(k),如圖3-14(c)所示。對原序列尾部補充了N2-M(其中N2＞N1)個零點得到圖3-14(d),圖3-14(e)為對應的DTFT,與圖31４(b)一致。對圖3-14(e)所示的DTFT在一個周期內進行間隔為2π／N2等間隔采樣,采樣點對應的值就是N2點離散傅里葉變換X2(k),如圖3-14(f)所示。

圖3-14序列補零對DTFT與DFT的影響

在計算DFT時,需要選擇合適的采樣點數(shù)M,下面給出具體的方法。設X(ω)的截止頻率為fc,這個可以事先確定,因為已知x(t)就可以得到Ｘ(ω)及其截止頻率fc。為了避免混疊,選擇采樣頻率fs滿足2.5fc≤fs≤3.0fc。若給定頻率分辨率Δfp,可得需要的最少采樣點數(shù)Ｍ為

3.6用MATLAB實現(xiàn)離散傅里葉變換

本節(jié)通過MATLAB實現(xiàn)對連續(xù)信號進行DFT的分析。

例3-9設待分析的信號是三個正弦波的加權和,即

圖3-15依次為采樣得到的離散序列的40、100、150和200點DFT。由圖3-15可以看出DFT的點數(shù)比所需的采樣點數(shù)少時,算法的分辨率不足以分辨出所有的頻率分量。

圖3-15例3-9進行不同點數(shù)的DFT分析結果

圖3-15例3-9進行不同點數(shù)的DFT分析結果

例3-10設x(n)＝R4(n),計算該序列在變換區(qū)間分別為N=8、N=16、