2024屆吳忠市重點(diǎn)中學(xué)高二數(shù)學(xué)第二學(xué)期期末統(tǒng)考試題注意事項(xiàng)1．考試結(jié)束后，請(qǐng)將本試卷和答題卡一并交回．2．答題前，請(qǐng)務(wù)必將自己的姓名、準(zhǔn)考證號(hào)用0．5毫米黑色墨水的簽字筆填寫在試卷及答題卡的規(guī)定位置．3．請(qǐng)認(rèn)真核對(duì)監(jiān)考員在答題卡上所粘貼的條形碼上的姓名、準(zhǔn)考證號(hào)與本人是否相符．4．作答選擇題，必須用2B鉛筆將答題卡上對(duì)應(yīng)選項(xiàng)的方框涂滿、涂黑；如需改動(dòng)，請(qǐng)用橡皮擦干凈后，再選涂其他答案．作答非選擇題，必須用05毫米黑色墨水的簽字筆在答題卡上的指定位置作答，在其他位置作答一律無(wú)效．5．如需作圖，須用2B鉛筆繪、寫清楚，線條、符號(hào)等須加黑、加粗．一、選擇題：本題共12小題，每小題5分，共60分。在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，只有一項(xiàng)是符合題目要求的。1．設(shè)，隨機(jī)變量X，Y的分布列分別為X123Y123PP當(dāng)X的數(shù)學(xué)期望取得最大值時(shí)，Y的數(shù)學(xué)期望為（）A．2 B． C． D．2．已知函數(shù)，若，則實(shí)數(shù)a的取值范圍是（）A． B． C． D．3．某地區(qū)一次聯(lián)考的數(shù)學(xué)成績(jī)近似地服從正態(tài)分布，已知，現(xiàn)隨機(jī)從這次考試的成績(jī)中抽取100個(gè)樣本，則成績(jī)低于48分的樣本個(gè)數(shù)大約為（）A．6 B．4 C．94 D．964．函數(shù)的最大值為（）A． B．1 C． D．5．已知與之間的一組數(shù)據(jù)：01231357則與的線性回歸方程必過(guò)A． B． C． D．6．六位同學(xué)站成一排照相，若要求同學(xué)甲站在同學(xué)乙的左邊，則不同的站法有（）A．種 B．種 C．種 D．種7．已知定義在上的函數(shù)的導(dǎo)函數(shù)為，且對(duì)任意都有，，則不等式的解集為（）A． B． C． D．8．隨機(jī)變量服從二項(xiàng)分布，且，則等于（）A． B． C． D．9．若拋物線,過(guò)其焦點(diǎn)的直線與拋物線交于兩點(diǎn),則的最小值為()A．6 B． C．9 D．10．已知隨機(jī)變量服從的分布列為123…nP…則的值為（）A．1 B．2 C． D．311．“十二平均律”是通用的音律體系，明代朱載堉最早用數(shù)學(xué)方法計(jì)算出半音比例，為這個(gè)理論的發(fā)展做出了重要貢獻(xiàn)．十二平均律將一個(gè)純八度音程分成十二份，依次得到十三個(gè)單音，從第二個(gè)單音起，每一個(gè)單音的頻率與它的前一個(gè)單音的頻率的比都等于同一個(gè)常數(shù)．若第一個(gè)單音的頻率為f，第三個(gè)單音的頻率為，則第十個(gè)單音的頻率為（）A． B． C． D．12．用數(shù)學(xué)歸納法證明：時(shí)，在第二步證明從到成立時(shí)，左邊增加的項(xiàng)數(shù)是（）A． B． C． D．1二、填空題：本題共4小題，每小題5分，共20分。13．若隨機(jī)變量，且，則______.14．曲線在點(diǎn)處的切線方程為_(kāi)______．15．設(shè)，是兩條不同的直線，，是兩個(gè)不同的平面，有下列五個(gè)命題：①若，與平面，都平行，則；②若，，，則；③若，，則；④若，，則；⑤若，，，則.其中所有真命題的序號(hào)是________.16．已知一組數(shù)據(jù)，，，，的方差為，則數(shù)據(jù)2，2，2，2，2的方差為_(kāi)______．三、解答題：共70分。解答應(yīng)寫出文字說(shuō)明、證明過(guò)程或演算步驟。17．（12分）在平面直角坐標(biāo)系中，直線的參數(shù)方程為(為參數(shù))．在極坐標(biāo)系(與直角坐標(biāo)系取相同的長(zhǎng)度單位，且以原點(diǎn)為極點(diǎn)，以軸正半軸為極軸)中，圓的極坐標(biāo)方程為．（1）求直線的普通方程和圓的直角坐標(biāo)方程；（2）設(shè)圓與直線交于，兩點(diǎn)，若點(diǎn)的坐標(biāo)為，求．18．（12分）已知函數(shù)在處有極值.（1）求的解析式.（2）求函數(shù)在上的最值.19．（12分）某地方政府召開(kāi)全面展開(kāi)新舊動(dòng)能轉(zhuǎn)換重大工程動(dòng)員大會(huì)，動(dòng)員各方力量，迅速全面展開(kāi)新舊動(dòng)能轉(zhuǎn)換重大工程．某企業(yè)響應(yīng)號(hào)召，對(duì)現(xiàn)有設(shè)備進(jìn)行改造，為了分析設(shè)備改造前后的效果，現(xiàn)從設(shè)備改造前、后生產(chǎn)的大量產(chǎn)品中各抽取了200件作為樣本，檢測(cè)一項(xiàng)質(zhì)量指標(biāo)值．若該項(xiàng)質(zhì)量指標(biāo)值落在內(nèi)的產(chǎn)品視為合格品，否則為不合格品．如圖所示的是設(shè)備改造前樣本的頻率分布直方圖．（1）若設(shè)備改造后樣本的該項(xiàng)質(zhì)量指標(biāo)值服從正態(tài)分布，求改造后樣本中不合格品的件數(shù)；（2）完成下面2×2列聯(lián)表，并判斷是否有99%的把握認(rèn)為該企業(yè)生產(chǎn)的這種產(chǎn)品的質(zhì)量標(biāo)值與設(shè)備改造有關(guān)．0設(shè)備改造前設(shè)備改造后合計(jì)合格品件數(shù)不合格品件數(shù)合計(jì)附參考公式和數(shù)據(jù)：若，則，．0.1500.1000.0500.0250.0102.0722.7063.8415.0246.63520．（12分）已知等差數(shù)列滿足：，．的前n項(xiàng)和為．（Ⅰ）求及；（Ⅱ）令（）,求數(shù)列的前項(xiàng)和．21．（12分）設(shè)函數(shù)f（x）=，求函數(shù)f（x）的單調(diào)區(qū)間．22．（10分）一個(gè)商場(chǎng)經(jīng)銷某種商品，根據(jù)以往資料統(tǒng)計(jì)，每位顧客采用的分期付款次數(shù)的分布列為：123450.40.20.20.10.1商場(chǎng)經(jīng)銷一件該商品，采用1期付款，其利潤(rùn)為200元；采用2期或3期付款，其利潤(rùn)為250元；采用4期或5期付款，其利潤(rùn)為300元．表示經(jīng)銷一件該商品的利潤(rùn)．(1)求購(gòu)買該商品的3位顧客中，恰有2位采用1期付款的概率；(2)求的分布列及期望．

參考答案一、選擇題：本題共12小題，每小題5分，共60分。在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，只有一項(xiàng)是符合題目要求的。1、D【解題分析】

利用數(shù)學(xué)期望結(jié)合二次函數(shù)的性質(zhì)求解X的期望的最值，然后求解Y的數(shù)學(xué)期望.【題目詳解】∵，∴當(dāng)時(shí)，EX取得最大值，此時(shí).故選：D【題目點(diǎn)撥】本題主要考查數(shù)學(xué)期望和分布列的求法，還考查了運(yùn)算求解的能力，屬于中檔題.2、D【解題分析】由函數(shù)，可得，所以函數(shù)為奇函數(shù)，又，因?yàn)?，所以，所以函?shù)為單調(diào)遞增函數(shù)，因?yàn)?，即，所以，解得，故選D．點(diǎn)睛：本題考查了函數(shù)的單調(diào)性、奇偶性和函數(shù)不等式的求解問(wèn)題，其中解答中函數(shù)的奇偶性和函數(shù)的單調(diào)性，轉(zhuǎn)化為不等式是解答的關(guān)鍵，著重考查了分析問(wèn)題和解答問(wèn)題的能力，對(duì)于解函數(shù)不等式：首先根據(jù)函數(shù)的單調(diào)性和奇偶性把不等式轉(zhuǎn)化為的形式，然后根據(jù)函數(shù)的單調(diào)性去掉“”，轉(zhuǎn)化為具體的不等式(組)，此時(shí)要注意與的取值應(yīng)在外層函數(shù)的定義域內(nèi)是試題的易錯(cuò)點(diǎn)．3、B【解題分析】

由已知根據(jù)正態(tài)分布的特點(diǎn)，可得，根據(jù)對(duì)稱性，則，乘以樣本個(gè)數(shù)得答案．【題目詳解】由題意，知，可得，又由對(duì)稱軸為，所以，所以成績(jī)小于分的樣本個(gè)數(shù)為個(gè)．故選：B．【題目點(diǎn)撥】本題考查正態(tài)分布曲線的特點(diǎn)及曲線所表示的意義，以及考查正態(tài)分布中兩個(gè)量和的應(yīng)用，其中熟記正態(tài)分布的對(duì)稱性是解答的關(guān)鍵，屬于基礎(chǔ)題．4、A【解題分析】

由題意求得導(dǎo)數(shù)，得到函數(shù)單調(diào)性，即可求解函數(shù)的最大值，得到答案.【題目詳解】由題意，可得，當(dāng)時(shí)，，則函數(shù)單調(diào)遞增；當(dāng)時(shí)，，則函數(shù)單調(diào)遞減，所以函數(shù)的最大值為，故選A.【題目點(diǎn)撥】本題主要考查了利用導(dǎo)數(shù)求解函數(shù)的最值問(wèn)題，其中解答中求得函數(shù)的導(dǎo)數(shù)，得出函數(shù)的單調(diào)性是解答的關(guān)鍵，著重考查了推理與運(yùn)算能力，屬于基礎(chǔ)題.5、B【解題分析】

先求出x的平均值，y的平均值，回歸直線方程一定過(guò)樣本的中心點(diǎn)（，），代入可得答案．【題目詳解】解：回歸直線方程一定過(guò)樣本的中心點(diǎn)（，），，∴樣本中心點(diǎn)是（1.5，4），則y與x的線性回歸方程y＝bx+a必過(guò)點(diǎn)（1.5，4），故選B．【題目點(diǎn)撥】本題考查平均值的計(jì)算方法，回歸直線的性質(zhì)：回歸直線方程一定過(guò)樣本的中心點(diǎn)（，）．6、C【解題分析】

先作分類，甲在左邊第一位，有；甲在左邊第二位，有；甲在左邊第三位，有；甲在左邊第四位，有；甲在左邊第五位，有；然后直接相加求解即可【題目詳解】甲在左邊第一位，有；甲在左邊第二位，有；甲在左邊第三位，有；甲在左邊第四位，有甲在左邊第五位，有；不同的站法有種，選C.【題目點(diǎn)撥】本題考查排列問(wèn)題，屬于基礎(chǔ)題7、B【解題分析】

先構(gòu)造函數(shù)，求導(dǎo)得到在R上單調(diào)遞增，根據(jù)函數(shù)的單調(diào)性可求得不等式的解集.【題目詳解】構(gòu)造函數(shù)，，.又任意都有.在R上恒成立.在R上單調(diào)遞增.當(dāng)時(shí)，有，即的解集為.【題目點(diǎn)撥】本題主要考查利用函數(shù)的單調(diào)性解不等式，根據(jù)題目條件構(gòu)造一個(gè)新函數(shù)是解決本題的關(guān)鍵.8、B【解題分析】因?yàn)?所以,解得.即等于.故選B.9、B【解題分析】分析：設(shè)直線方程為，聯(lián)立方程組得出A，B兩點(diǎn)坐標(biāo)的關(guān)系，根據(jù)拋物線的性質(zhì)得出關(guān)于A，B兩點(diǎn)坐標(biāo)的式子，使用基本不等式得出最小值.詳解：拋物線的焦點(diǎn)，設(shè)直線方程為，聯(lián)立方程組，得，設(shè)，則，，由拋物線的性質(zhì)得，.故選：B.點(diǎn)睛：本題考查了拋物線的性質(zhì)，直線與拋物線的位置關(guān)系，屬于中檔題.10、A【解題分析】

由概率之和為1，列出等式，即可求得k值.【題目詳解】由概率和等于1可得：，即.故選A.【題目點(diǎn)撥】本題考查分布列中概率和為1，由知識(shí)點(diǎn)列式即可得出結(jié)論.11、B【解題分析】

根據(jù)題意，設(shè)單音的頻率組成等比數(shù)列{an}，設(shè)其公比為q，由等比數(shù)列的通項(xiàng)公式可得q的值，進(jìn)而計(jì)算可得答案．【題目詳解】根據(jù)題意，設(shè)單音的頻率組成等比數(shù)列{an}，設(shè)其公比為q，（q＞0）則有a1＝f，a3，則q2，解可得q，第十個(gè)單音的頻率a10＝a1q9＝（）9ff，故選：B．【題目點(diǎn)撥】本題考查等比數(shù)列的通項(xiàng)公式，關(guān)鍵是求出該等比數(shù)列的公比，屬于基礎(chǔ)題．12、A【解題分析】

先求出n=k+1時(shí)左邊最后的一項(xiàng)，再求左邊增加的項(xiàng)數(shù).【題目詳解】n=k+1時(shí)左邊最后的一項(xiàng)為，n=k時(shí)左邊最后一項(xiàng)為，所以左邊增加的項(xiàng)數(shù)為.故選：A【題目點(diǎn)撥】本題主要考查數(shù)學(xué)歸納法，意在考查學(xué)生對(duì)該知識(shí)的理解掌握水平.二、填空題：本題共4小題，每小題5分，共20分。13、4【解題分析】

由隨機(jī)變量，且，可得的值，計(jì)算出,可得的值.【題目詳解】解：由隨機(jī)變量，且，可得，，，.故答案為：4.【題目點(diǎn)撥】本題主要考查離散型隨機(jī)變量的期望與方差，熟悉二項(xiàng)分布的期望和方差的性質(zhì)是解題的關(guān)鍵.14、.【解題分析】

對(duì)函數(shù)求導(dǎo)得，把代入得，由點(diǎn)斜式方程得切線方程為.【題目詳解】因?yàn)?，所以，又切點(diǎn)為，所以在點(diǎn)處的切線方程為.【題目點(diǎn)撥】本題考查運(yùn)用導(dǎo)數(shù)的幾何意義，求曲線在某點(diǎn)處的切線方程.15、②⑤【解題分析】

根據(jù)相關(guān)定義、定理進(jìn)行研究，也可借助長(zhǎng)方體、正方體等進(jìn)行驗(yàn)證【題目詳解】①當(dāng)時(shí)，與不一定平行，故①錯(cuò)誤；③當(dāng)垂直于與交線時(shí)，才垂直于，故③錯(cuò)誤；④可能在上，故④錯(cuò)誤；故②⑤正確【題目點(diǎn)撥】本題考查利用性質(zhì)、定理判斷直線與直線、直線與平面、平面與平面間的位置關(guān)系16、2【解題分析】

根據(jù)方差的性質(zhì)運(yùn)算即可.【題目詳解】由題意知：本題正確結(jié)果：【題目點(diǎn)撥】本題考查方差的運(yùn)算性質(zhì)，屬于基礎(chǔ)題.三、解答題：共70分。解答應(yīng)寫出文字說(shuō)明、證明過(guò)程或演算步驟。17、（1）直線l的普通方程為；圓C的直角坐標(biāo)方程為；（2）.【解題分析】

（1）由直線的參數(shù)方程消去參數(shù)可直接得到普通方程；由極坐標(biāo)與直角坐標(biāo)的互化公式，可直接得到圓的直角坐標(biāo)方程；（2）將直線參數(shù)方程代入圓的直角坐標(biāo)方程，結(jié)合韋達(dá)定理，根據(jù)參數(shù)的方法，即可求出結(jié)果.【題目詳解】(1)由直線的參數(shù)方程(為參數(shù))得直線的普通方程為由,得,即圓的直角坐標(biāo)方程為．(2)將直線的參數(shù)方程代入圓的直角坐標(biāo)方程，得，即，由于>0,故可設(shè)，是上述方程的兩個(gè)實(shí)根，所以又直線過(guò)點(diǎn)P(3,)，故．【題目點(diǎn)撥】本題主要考查參數(shù)方程與普通方程的互化，以及極坐標(biāo)方程與直角坐標(biāo)方程的互化，熟記公式即可，屬于?？碱}型.18、(1)(2)最大值為為【解題分析】分析：（1）先求出函數(shù)的導(dǎo)數(shù)，根據(jù)，聯(lián)立方程組解出的值，即可得到的解析式；（2）求出，分別令求得的范圍，可得函數(shù)增區(qū)間，求得的范圍，可得函數(shù)的減區(qū)間，利用單調(diào)性可得函數(shù)的極值，然后求出的值，與極值比較大小即可求得函數(shù)的最值.詳解：（1）由題意：，又由此得：經(jīng)驗(yàn)證：∴（2）由（1）知，又所以最大值為為點(diǎn)睛：本題主要考查利用導(dǎo)數(shù)判斷函數(shù)的單調(diào)性以及函數(shù)的極值與最值，屬于中檔題.求函數(shù)極值的步驟：(1)確定函數(shù)的定義域；(2)求導(dǎo)數(shù)；(3)解方程求出函數(shù)定義域內(nèi)的所有根；(4)列表檢查在的根左右兩側(cè)值的符號(hào)，如果左正右負(fù)（左增右減），那么在處取極大值，如果左負(fù)右正（左減右增），那么在處取極小值.（5）如果只有一個(gè)極值點(diǎn)，則在該處即是極值也是最值；（6）如果求閉區(qū)間上的最值還需要比較端點(diǎn)值的函數(shù)值與極值的大小.19、（1）10；（2）列聯(lián)表見(jiàn)解析，有99%的把握認(rèn)為該企業(yè)生產(chǎn)的這種產(chǎn)品的質(zhì)量指標(biāo)值與設(shè)備改造有關(guān)．【解題分析】

（1）設(shè)備改造后該項(xiàng)質(zhì)量指標(biāo)服從正態(tài)分布，得，，然后，然后即可求出（2）由設(shè)備改造前樣本的頻率分布直方圖，可知不合格頻數(shù)為，然后填表，再算出即可【題目詳解】解：（1）∵設(shè)備改造后該項(xiàng)質(zhì)量指標(biāo)服從正態(tài)分布，得，，又∵，∴設(shè)備改造后不合格的樣本數(shù)為．（2）由設(shè)備改造前樣本的頻率分布直方圖，可知不合格頻數(shù)為．得2×2列聯(lián)表如下設(shè)備改造前設(shè)備改造后合計(jì)合格品160190350不合格品401050合計(jì)200200400，∴有99%的把握認(rèn)為該企業(yè)生產(chǎn)的這種產(chǎn)品的質(zhì)量指標(biāo)值與設(shè)備改造有關(guān)．【題目點(diǎn)撥】本題考查的知識(shí)點(diǎn)有正態(tài)分布、頻率分布直方圖、獨(dú)立性檢驗(yàn)，屬于基礎(chǔ)題型.20、（Ⅰ）;（Ⅱ）．【解題分析】試題分析：（1）設(shè)等差數(shù)列的公差為，由已知可得解得，則及可求；（2）由（1）可得，裂項(xiàng)求和即可試題解析：（1）設(shè)等差數(shù)列的公差為，因?yàn)椋?，所以有，解得，所以?/p>