湖南省茶陵縣三中2024屆數(shù)學(xué)高二下期末學(xué)業(yè)水平測試試題請考生注意：1．請用2B鉛筆將選擇題答案涂填在答題紙相應(yīng)位置上，請用0．5毫米及以上黑色字跡的鋼筆或簽字筆將主觀題的答案寫在答題紙相應(yīng)的答題區(qū)內(nèi)。寫在試題卷、草稿紙上均無效。2．答題前，認真閱讀答題紙上的《注意事項》，按規(guī)定答題。一、選擇題：本題共12小題，每小題5分，共60分。在每小題給出的四個選項中，只有一項是符合題目要求的。1．若,則()A． B． C． D．2．設(shè)隨機變量X～N(1,52)，且P(X≤0)=P(X≥a-2)，則實數(shù)A．10 B．8 C．6 D．43．函數(shù)有極值的充要條件是（）A． B． C． D．4．(2x-3y)9A．-1 B．512 C．-512 D．15．函數(shù)在區(qū)間上的最大值為（）A．2 B． C． D．6．若|x﹣1|≤x|x+1|，則（）A．x1 B．x≤1 C．x1 D．x7．已知橢圓的右焦點為，短軸的一個端點為，直線與橢圓相交于、兩點.若，點到直線的距離不小于，則橢圓離心率的取值范圍為A． B． C． D．8．設(shè)函數(shù)（其中為自然對數(shù)的底數(shù)），若函數(shù)至少存在一個零點，則實數(shù)的取值范圍是（）A． B．C． D．9．函數(shù)的定義域為，導(dǎo)函數(shù)在內(nèi)的圖象如圖所示．則函數(shù)在內(nèi)有幾個極小值點（）A．1 B．2 C．3 D．410．設(shè)集合A={x|x>0}，B={x|x2-5x-14<0}，則A．{x|0<x<5} B．{x|2<x<7}C．{x|2<x<5} D．{x|0<x<7}11．某同學(xué)通過英語聽力測試的概率為，他連續(xù)測試次，要保證他至少有一次通過的概率大于，那么的最小值是()A． B． C． D．12．設(shè)某大學(xué)的女生體重y（單位：kg）與身高x（單位：cm）具有線性相關(guān)關(guān)系，根據(jù)一組樣本數(shù)據(jù)（xi，yi）（i=1，2，…，n），用最小二乘法建立的回歸方程為=0.85x-85.71，則下列結(jié)論中不正確的是A．y與x具有正的線性相關(guān)關(guān)系B．回歸直線過樣本點的中心（，）C．若該大學(xué)某女生身高增加1cm，則其體重約增加0.85kgD．若該大學(xué)某女生身高為170cm，則可斷定其體重必為58.79kg二、填空題：本題共4小題，每小題5分，共20分。13．在空間四邊形中，若分別是的中點，是上點，且，記，則_____.14．根據(jù)如圖所示的偽代碼，最后輸出的i的值為________．15．函數(shù)的單調(diào)遞減區(qū)間是_________.16．設(shè)某同學(xué)選擇等級考科目時，選擇物理科目的概率為0.5，選擇化學(xué)科目的概率為0.6，且這兩個科目的選擇相互獨立，則該同學(xué)在這兩個科目中至少選擇一個的概率是________三、解答題：共70分。解答應(yīng)寫出文字說明、證明過程或演算步驟。17．（12分）已知函數(shù).(1)若曲線在處的切線過點,求的值;(2)是否存在實數(shù),使恒成立?若存在,求出的值;若不存在,請說明理山.18．（12分）如圖所示，在以為直徑的半圓周上，有異于的六個點，直徑上有異于的四個點.則：（1）以這12個點（包括）中的4個點為頂點，可作出多少個四邊形？（2）以這10個點（不包括）中的3個點為頂點，可作出多少個三角形？19．（12分）如圖所示，某地出土的一種“釘”是由四條線段組成，其結(jié)構(gòu)能使它任意拋至水平面后，總有一端所在的直線豎直向上．并記組成該“釘”的四條等長的線段公共點為，釘尖為．（1）判斷四面體的形狀，并說明理由；（2）設(shè)，當(dāng)在同一水平面內(nèi)時，求與平面所成角的大小（結(jié)果用反三角函數(shù)值表示）；（3）若該“釘”著地后的四個線段根據(jù)需要可以調(diào)節(jié)與底面成角的大小，且保持三個線段與底面成角相同，若，，問為何值時，的體積最大，并求出最大值．20．（12分）如圖,在四面體中,在平面的射影為棱的中點,為棱的中點,過直線作一個平面與平面平行,且與交于點,已知,.(1)證明:為線段的中點(2)求平面與平面所成銳二面角的余弦值.21．（12分）已知橢圓的離心率為，點在橢圓上.（1）求橢圓的方程；（2）過橢圓的右焦點作互相垂直的兩條直線、，其中直線交橢圓于兩點，直線交直線于點，求證：直線平分線段.22．（10分）十九大提出，加快水污染防治，建設(shè)美麗中國根據(jù)環(huán)保部門對某河流的每年污水排放量單位：噸的歷史統(tǒng)計數(shù)據(jù)，得到如下頻率分布表：

污水量

頻率

將污水排放量落入各組的頻率作為概率，并假設(shè)每年該河流的污水排放量相互獨立．（Ⅰ）求在未來3年里，至多1年污水排放量的概率；（Ⅱ）該河流的污水排放對沿河的經(jīng)濟影響如下：當(dāng)時，沒有影響；當(dāng)時，經(jīng)濟損失為10萬元；當(dāng)時，經(jīng)濟損失為60萬元為減少損失，現(xiàn)有三種應(yīng)對方案：方案一：防治350噸的污水排放，每年需要防治費萬元；方案二：防治310噸的污水排放，每年需要防治費2萬元；方案三：不采取措施．試比較上述三種方案，哪種方案好，并請說明理由．

參考答案一、選擇題：本題共12小題，每小題5分，共60分。在每小題給出的四個選項中，只有一項是符合題目要求的。1、D【解題分析】

由于兩個對數(shù)值均為正，故m和n一定都小于1，再利用對數(shù)換底公式，將不等式等價變形為以10為底的對數(shù)不等式，利用對數(shù)函數(shù)的單調(diào)性比較m、n的大小即可【題目詳解】∵∴0＜n＜1，0＜m＜1且即lg0.5（）>0?lg0.5（）>0∵lg0.5<0，lgm＜0，lgn＜0∴l(xiāng)gn﹣lgm<0即lgn<lgm?n<m∴1＞m＞n＞0故選D．【題目點撥】本題考查了對數(shù)函數(shù)的圖象和性質(zhì)，對數(shù)的運算法則及其換底公式的應(yīng)用，利用圖象和性質(zhì)比較大小的方法2、D【解題分析】

根據(jù)隨機變量符合正態(tài)分布，從表達式上看出正態(tài)曲線關(guān)于x=1對稱，得到對稱區(qū)間的數(shù)據(jù)對應(yīng)的概率是相等的，根據(jù)兩個區(qū)間的概率相等，得到這兩個區(qū)間關(guān)于x=1對稱，從而得到結(jié)果．【題目詳解】∵隨機變量X～∴正態(tài)曲線關(guān)于x=1對稱，∵P(X≤0)=P(X>a-2)，∴0與a-2關(guān)于x=1對稱，∴1解得a=4，故選D．【題目點撥】本題主要考查正態(tài)曲線的對稱性，考查對稱區(qū)間的概率的相等的性質(zhì)，是一個基礎(chǔ)題．正態(tài)曲線的常見性質(zhì)有：（1）正態(tài)曲線關(guān)于x=μ對稱，且μ越大圖象越靠近右邊，μ越小圖象越靠近左邊；（2）邊σ越小圖象越“痩長”，邊σ越大圖象越“矮胖”;(3)正態(tài)分布區(qū)間上的概率，關(guān)于μ對稱，Px>μ3、C【解題分析】因為，所以，即，應(yīng)選答案C．4、B【解題分析】

(a+b)n展開式中所有項的二項系數(shù)和為【題目詳解】(a+b)n展開式中所有項的二項系數(shù)和為2(2x-3y)9的展開式中各項的二項式系數(shù)之和為2故答案選B【題目點撥】本題考查了二項系數(shù)和，屬于基礎(chǔ)題型.5、D【解題分析】

求出導(dǎo)函數(shù)，利用導(dǎo)數(shù)確定函數(shù)的單調(diào)性，從而可確定最大值．【題目詳解】，當(dāng)時，；時，，∴已知函數(shù)在上是增函數(shù)，在上是減函數(shù)，.故選D．【題目點撥】本題考查用導(dǎo)數(shù)求函數(shù)的最值．解題時先求出函數(shù)的導(dǎo)函數(shù)，由導(dǎo)函數(shù)的正負確定函數(shù)的增減，從而確定最值，在閉區(qū)間的最值有時可能在區(qū)間的端點處取得，要注意比較．6、A【解題分析】

對按照，，進行分類討論，分別解不等式，然后取并集，得到答案.【題目詳解】①當(dāng)時，，即，解得所以②當(dāng)時，，即解得或所以③當(dāng)時，，即解得所以綜上所述，故選A項.【題目點撥】本題考查分類討論解不含參的絕對值不等式，屬于簡單題.7、C【解題分析】

根據(jù)橢圓對稱性可證得四邊形為平行四邊形，根據(jù)橢圓定義可求得；利用點到直線距離構(gòu)造不等式可求得，根據(jù)可求得的范圍，進而得到離心率的范圍.【題目詳解】設(shè)橢圓的左焦點為，為短軸的上端點，連接，如下圖所示：由橢圓的對稱性可知，關(guān)于原點對稱，則又四邊形為平行四邊形又，解得：點到直線距離：，解得：，即本題正確選項：【題目點撥】本題考查橢圓離心率的求解，重點考查橢圓幾何性質(zhì)，涉及到橢圓的對稱性、橢圓的定義、點到直線距離公式的應(yīng)用等知識.8、D【解題分析】令,則，設(shè)，令，，則，發(fā)現(xiàn)函數(shù)在上都是單調(diào)遞增，在上都是單調(diào)遞減，故函數(shù)在上單調(diào)遞增，在上單調(diào)遞減，故當(dāng)時，得，所以函數(shù)至少存在一個零點需滿足，即．應(yīng)選答案D。點睛：解答本題時充分運用等價轉(zhuǎn)化與化歸的數(shù)學(xué)思想，先將函數(shù)解析式中的參數(shù)分離出來，得到，然后構(gòu)造函數(shù)，分別研究函數(shù)，的單調(diào)性，從而確定函數(shù)在上單調(diào)遞增，在上單調(diào)遞減，故當(dāng)時，得，所以函數(shù)至少存在一個零點等價于，即．使得問題獲解。9、A【解題分析】

直接利用極小值點兩側(cè)函數(shù)的單調(diào)性是先減后增，對應(yīng)導(dǎo)函數(shù)值是先負后正，再結(jié)合圖像即可得出結(jié)論.【題目詳解】因為極小值點兩側(cè)函數(shù)的單調(diào)性是先減后增，對應(yīng)導(dǎo)函數(shù)值是先負后正，由圖得：導(dǎo)函數(shù)值先負后正的點只有一個，故函數(shù)在內(nèi)極小值點的個數(shù)是1.故選：A【題目點撥】本題考查了極小值點的概念，需熟記極小值點的定義，屬于基礎(chǔ)題.10、D【解題分析】試題分析：由B={x|x2-5x-14<0}={x|-2<x<7}，所以考點：集合的運算．11、B【解題分析】

由題意利用次獨立試驗中恰好發(fā)生次的概率計算公式以及對立事件發(fā)生的概率即可求得結(jié)果．【題目詳解】由題意可得，，求得，∴，故選B．【題目點撥】本題主要考查次獨立試驗中恰好發(fā)生次的概率計算公式的應(yīng)用，屬于基礎(chǔ)題．12、D【解題分析】根據(jù)y與x的線性回歸方程為y=0.85x﹣85.71，則=0.85＞0，y與x具有正的線性相關(guān)關(guān)系，A正確；回歸直線過樣本點的中心（），B正確；該大學(xué)某女生身高增加1cm，預(yù)測其體重約增加0.85kg，C正確；該大學(xué)某女生身高為170cm，預(yù)測其體重約為0.85×170﹣85.71=58.79kg，D錯誤．故選D．二、填空題：本題共4小題，每小題5分，共20分。13、【解題分析】

由條件可得【題目詳解】因為，分別是的中點所以所以故答案為：【題目點撥】本題考查的是空間向量的線性運算，較簡單.14、1【解題分析】分析：分析程序中各變量、各語句的作用，再根據(jù)流程圖所示的順序，可知：該程序的作用是累加并輸出滿足條件T=1+3+5+7時i的值．詳解：分析程序中各變量、各語句的作用，再根據(jù)流程圖所示的順序，可知：該程序的作用是累加T=1+3+5+7，并輸出滿足條件時i值．∵T=1+3+5+7=16≥10，故輸出的i值為7+2=1．故答案為1．點睛：根據(jù)流程圖（或偽代碼）寫程序的運行結(jié)果，是算法這一模塊最重要的題型，其處理方法是：①分析流程圖（或偽代碼），從流程圖（或偽代碼）中即要分析出計算的類型，又要分析出參與計算的數(shù)據(jù)（如果參與運算的數(shù)據(jù)比較多，也可使用表格對數(shù)據(jù)進行分析管理）?②建立數(shù)學(xué)模型，根據(jù)第一步分析的結(jié)果，選擇恰當(dāng)?shù)臄?shù)學(xué)模型③解模．15、【解題分析】

求出導(dǎo)函數(shù)，在上解不等式可得的單調(diào)減區(qū)間．【題目詳解】，其中，令，則，故函數(shù)的單調(diào)減區(qū)間為，填．【題目點撥】一般地，若在區(qū)間上可導(dǎo)，且，則在上為單調(diào)減函數(shù)；反之，若在區(qū)間上可導(dǎo)且為減函數(shù)，則．注意求單調(diào)區(qū)間前先確定函數(shù)的定義域．16、0.8【解題分析】

根據(jù)相互獨立事件概率的計算公式,及對立事件的概率求法,即可求解.【題目詳解】因為選擇物理科目的概率為0.5,選擇化學(xué)科目的概率為0.6,所以既不選擇物理也不選擇化學(xué)的概率為所以由對立事件的性質(zhì)可知至少選擇一個科目的概率為故答案為:【題目點撥】本題考查了獨立事件的概率求法,對立事件的性質(zhì)應(yīng)用,屬于基礎(chǔ)題.三、解答題：共70分。解答應(yīng)寫出文字說明、證明過程或演算步驟。17、（1）或（2）存在，使得不等式成立，詳見解析【解題分析】

（1）求出導(dǎo)函數(shù)，得切線斜率，寫出切線方程，由切線過點可求得參數(shù)，從而得切線方程；（2），要使恒成立，則是的極小值點，先由此結(jié)論求出參數(shù)，然后驗證是極小值，也是最小值點．【題目詳解】（1）∴曲線在處的切線方程為又切線過點∴∴或（2）的定義域為，要使恒成立，則是的極小值點.∵∴，∵，∴此時，，當(dāng)時，，當(dāng)時，，∴在處取得極小值1，∴當(dāng)時，，當(dāng)時，，即∴當(dāng)時，恒成立，∴【題目點撥】本題考查導(dǎo)數(shù)的幾何意義，考查用導(dǎo)數(shù)研究不等式恒成立問題．不等式恒成立問題，通常轉(zhuǎn)化為求函數(shù)極值．本題通過不等式恒成立及，因此問題轉(zhuǎn)化為就是極小值，從而先求出參數(shù)的值，然后再證明恰是極小值即可．18、（1）360；（2）116.【解題分析】分析：（1）構(gòu)成四邊形，需要四個點，且無三點共線，可以分成三類，將三類情況加到一起即可；（2）類似于（1）可分三種情況討論得三角形個數(shù)為.詳解：（1）構(gòu)成四邊形，需要四個點，且無三點共線，可以分成三類：①四個點從中取出，有個四邊形；②三個點從中取出，另一個點從，中取出，有個四邊形；③二個點從中取出，另外二個點從，中取出，有個四邊形．故滿足條件的四邊形共有(個)．（2）類似于（1）可分三種情況討論得三角形個數(shù)為(個)．點睛:排列與組合問題要區(qū)分開，若題目要求元素的順序則是排列問題，排列問題要做到不重不漏，有些題目帶有一定的約束條件，解題時要先考慮有限制條件的元素,高考中常見的排列組合問題還有分組分配問題，即不同元素分到不同組內(nèi)時，通常先分組后分配.19、（1）正四面體；理由見解析（2）；（3）當(dāng)時，最大體積為：；【解題分析】

（1）根據(jù)線段等長首先確定為四面體外接球球心；又底面，可知為正三棱錐；依次以為頂點均有正三棱錐結(jié)論出現(xiàn)，可知四面體棱長均相等，可知其為正四面體；（2）由為四面體外接球球心及底面可得到即為所求角；設(shè)正四面體棱長為，利用表示出各邊，利用勾股定理構(gòu)造方程可求得，從而可求得，進而得到結(jié)果；（3）取中點，利用三線合一性質(zhì)可知，從而可用表示出底面邊長和三棱錐的高，根據(jù)三棱錐體積公式可將體積表示為關(guān)于的函數(shù)，利用導(dǎo)數(shù)求得函數(shù)的最大值，并確定此時的取值，從而得到結(jié)果.【題目詳解】（1）四面體為正四面體，理由如下：四條線段等長，即到四面體四個頂點距離相等為四面體外接球的球心又底面在底面的射影為的外心四面體為正三棱錐，即，又任意拋至水平面后，總有一端所在的直線豎直向上，若豎直向上可得：可知四面體各條棱長均相等為正四面體（2）由（1）知，四面體為正四面體，且為其外接球球心設(shè)中心為，則平面，如下圖所示：即為與平面所成角設(shè)正四面體棱長為則，在中，，解得：即與平面所成角為：（3）取中點，連接，，為中點且，令，，則設(shè)，，則令，解得：，當(dāng)時，；當(dāng)時，當(dāng)時，取極大值，即為最大值：即當(dāng)時，取得最大值，最大值為：此時，即綜上所述，當(dāng)時，體積最大，最大值為：【題目點撥】本題考查立體幾何中的幾何體特征判斷、直線與平面所成角的求解、三棱錐體積的最值的求解問題；求解三棱錐體積的最值問題，關(guān)鍵是要把底面面積和三棱錐的高均利用某一變量來進行表示，從而將所求體積最值問題轉(zhuǎn)化為關(guān)于此變量的函數(shù)最值問題的求解，進而通過導(dǎo)數(shù)或其他求解函數(shù)最值的方法求得結(jié)果.20、（1）見解析（2）【解題分析】分析：(1)根據(jù)題中兩面平行的條件，結(jié)合面面平行的性質(zhì)，得到線線平行，其中一個點是中點，那就是三角形的中位線，從而得到一定為中點；(2)利用題中所給的相關(guān)的垂直的條件，建立相應(yīng)的坐標(biāo)系，求得面的法向量，利用法向量所成角的余弦值得到對應(yīng)二面角的余弦值.詳解：(1)證明:平面平面，平面平面，平面平面，，為的中點,為的中點.(2)解:為的中點,，以為坐標(biāo)原點,建立空間直角坐標(biāo)系，如圖所示,則，，，易求得，，設(shè)平面的法向量為，則，即，令，得.設(shè)平面的法向量為，則，即，令，得，又平面平面，平面與平面所成銳二面角的余弦值為.點睛：該題考查的是有關(guān)立體幾何的問題，涉及到的知識點有面面平行的性質(zhì)、三角形中位線的平行性以及應(yīng)用空間向量求二面角的余弦值，在求解的過程中，需要對定理的條件和結(jié)論要熟悉，以及空間角的向量求法要掌握.21、(1)(2)見證明【解題分析】

（1）利用，得到，然后代入點即可求解（2）設(shè)直線，以斜率為核心