2024屆安徽省江南十校數(shù)學高二下期末考試試題考生請注意：1．答題前請將考場、試室號、座位號、考生號、姓名寫在試卷密封線內(nèi)，不得在試卷上作任何標記。2．第一部分選擇題每小題選出答案后，需將答案寫在試卷指定的括號內(nèi)，第二部分非選擇題答案寫在試卷題目指定的位置上。3．考生必須保證答題卡的整潔?？荚嚱Y(jié)束后，請將本試卷和答題卡一并交回。一、選擇題：本題共12小題，每小題5分，共60分。在每小題給出的四個選項中，只有一項是符合題目要求的。1．若，則（）A． B．1 C．0 D．2．若復數(shù)滿足，則的值是（）A． B． C． D．3．設非零向量滿足，，則向量間的夾角為()A．150° B．60°C．120° D．30°4．某次聯(lián)歡會要安排3個歌舞類節(jié)目、2個小品類節(jié)目和1個相聲類節(jié)目的演出順序，則同類節(jié)目不相鄰的排法種數(shù)是A．72 B．120 C．144 D．1685．已知復數(shù)在復平面內(nèi)的對應點關于實軸對稱，（為虛數(shù)單位），則（）A． B． C． D．6．小趙、小錢、小孫、小李到4個景點旅游，每人只去一個景點，設事件A為“4個人去的景點不相同”，事件B為“小趙獨自去一個景點”，則P(A|B)＝（）A． B．C． D．7．方程表示雙曲線的一個充分不必要條件是（）A．－3＜m＜0 B．－3＜m＜2C．－3＜m＜4 D．－1＜m＜38．設離散型隨機變量的概率分布列如表：1234則等于（）A． B． C． D．9．若函數(shù)在區(qū)間上的圖象如圖所示，則的值（）A． B．C． D．10．已知=（為虛數(shù)單位），則復數(shù)（）A． B． C． D．11．已知隨機變量，若，則（）A． B． C． D．12．從班委會5名成員中選出3名，分別擔任班級學習委員、文娛委員與體育委員，其中甲、乙二人不能擔任文娛委員，則不同的選法共有()種.A．36 B．30 C．12 D．6二、填空題：本題共4小題，每小題5分，共20分。13．樣本中共有5個個體，其值分別為，0，1，2，1．則樣本方差為________．14．若，且，則的最大值為______．15．已知隨機變量，若，則__________．16．設關于x，y的不等式組表示的平面區(qū)域為．記區(qū)域上的點與點距離的最小值為，若，則的取值范圍是__________；三、解答題：共70分。解答應寫出文字說明、證明過程或演算步驟。17．（12分）已知函數(shù)在其定義域內(nèi)有兩個不同的極值點.（1）求的取值范圍；（2）試比較與的大小，并說明理由；（3）設的兩個極值點為，證明.18．（12分）已知函數(shù)（1）當時，，求的取值范圍；（2）時，證明：f(x)有且僅有兩個零點。19．（12分）設等差數(shù)列的前項和為，且，．（1）求數(shù)列的通項公式；（2）設數(shù)列，求的前項和．20．（12分）如圖，在四棱錐中，底面為菱形，，，為線段的中點，為線段上的一點.（1）證明：平面平面.（2）若，二面角的余弦值為，求與平面所成角的正弦值.21．（12分）函數(shù)(為實數(shù)).(1)若，求證：函數(shù)在上是增函數(shù)；(2)求函數(shù)在上的最小值及相應的的值；(3)若存在，使得成立，求實數(shù)的取值范圍.22．（10分）選修4-4：坐標系與參數(shù)方程已知直線：（為參數(shù)），以坐標原點為極點，軸正半軸為極軸建立極坐標系.圓的極坐標方程為.（Ⅰ）求圓心的極坐標；（Ⅱ）設點的直角坐標為，直線與圓的交點為,求的值.

參考答案一、選擇題：本題共12小題，每小題5分，共60分。在每小題給出的四個選項中，只有一項是符合題目要求的。1、D【解題分析】分析：根據(jù)題意求各項系數(shù)和，直接賦值法令x=-1代入即可得到.詳解：已知，根據(jù)二項式展開式的通項得到第r+1項是，故當r為奇數(shù)時，該項系數(shù)為負，故原式令x=-1代入即可得到.故答案為D.點睛：這個題目考查了二項式中系數(shù)和的問題，二項式主要考查兩種題型，一是考查系數(shù)和問題；二是考查特定項系數(shù)問題；在做二項式的問題時，看清楚題目是求二項式系數(shù)還是系數(shù)，還要注意在求系數(shù)和時，是不是缺少首項；解決這類問題常用的方法有賦值法，求導后賦值，積分后賦值等.2、C【解題分析】

先用復數(shù)除法進行化簡，之后求共軛復數(shù)即可.【題目詳解】因為故：故其共軛復數(shù)為：故選：C.【題目點撥】本題考查復數(shù)的除法運算，涉及共軛復數(shù)，屬基礎題.3、C【解題分析】

利用平方運算得到夾角和模長的關系，從而求得夾角的余弦值，進而得到夾角.【題目詳解】即本題正確選項：【題目點撥】本題考查向量夾角的求解，關鍵是利用平方運算和數(shù)量積運算將問題變?yōu)槟ｉL之間的關系，求得夾角的余弦值，從而得到所求角.4、B【解題分析】分兩類，一類是歌舞類用兩個隔開共種，第二類是歌舞類用三個隔開共種，所以N=+=120.種．選B.5、A【解題分析】

由題意，求得，則，再根據(jù)復數(shù)的除法運算，即可求解．【題目詳解】由題意，復數(shù)在復平面內(nèi)的對應點關于實軸對稱，，則，則根據(jù)復數(shù)的運算，得.故選A.【題目點撥】本題主要考查了復數(shù)的表示，以及復數(shù)的除法運算，其中解答中熟記復數(shù)的運算法則，準確運算是解答的關鍵，著重考查了運算與求解能力，屬于基礎題．6、A【解題分析】

這是求小趙獨自去一個景點的前提下，4

個人去的景點不相同的概率，求出相應基本事件的個數(shù)，按照公式計算，即可得出結(jié)論．【題目詳解】小趙獨自去一個景點共有4×3×3×3＝108種情況，即n(B)＝108,4個人去的景點不同的情況有種，即n(AB)＝24，.故選：A【題目點撥】本題考查條件概率，考查學生的計算能力，確定基本事件的個數(shù)是關鍵．7、A【解題分析】由題意知，，則C，D均不正確，而B為充要條件，不合題意，故選A.8、D【解題分析】分析：利用離散型隨機變量X的概率分布列的性質(zhì)求解.詳解：由離散型隨機變量X的分布列知：，解得.故選：D.點睛：本題考查概率的求法，是基礎題，解題時要注意離散型隨機變量X的概率分布列的性質(zhì)的靈活應用.9、A【解題分析】

根據(jù)周期求，根據(jù)最值點坐標求【題目詳解】因為,因為時，所以因為，所以，選A.【題目點撥】本題考查由圖像求三角函數(shù)解析式，考查基本分析求解能力，屬基礎題.10、D【解題分析】試題分析：由，得，故選D.考點：復數(shù)的運算.11、D【解題分析】

由二項分布的期望公式，可計算得，由，即得解.【題目詳解】由題意隨機變量，由二項分布的期望公式，可得故選：D【題目點撥】本題考查了二項分布的期望公式及概率公式，考查了學生概念理解，數(shù)學運算的能力，屬于中檔題.12、A【解題分析】從班委會5名成員中選出3名，分別擔任班級學習委員、文娛委員與體育委員，其中甲、乙二人不能擔任文娛委員，因為先從其余3人中選出1人擔任文藝委員，再從4人中選2人擔任學習委員和體育委員，所以不同的選法共有種.本題選擇A選項.二、填空題：本題共4小題，每小題5分，共20分。13、2【解題分析】

根據(jù)題中數(shù)據(jù)，求出平均值，再由方差計算公式，即可求出結(jié)果.【題目詳解】因為，0，1，2，1這五個數(shù)的平均數(shù)為：，所以其方差為：.故答案為：.【題目點撥】本題主要考查計算幾個數(shù)的方差，熟記公式即可，屬于基礎題型.14、.【解題分析】分析：由題可得：，再結(jié)合可得：，故，解不等式即可.詳解：由題得根據(jù)基本不等式可知：，由可得：故，所以解得：，故的最大值為.故答案為：.點睛：考查基本不等式的運用，解不等式，考查學生的思維分析能力，本題能得出然后聯(lián)立原式將看成一個整體作為變量取求解是解題關鍵，屬于難題.15、0.8【解題分析】

直接根據(jù)正態(tài)分布的對稱性得到答案.【題目詳解】隨機變量，故.故答案為：.【題目點撥】本題考查了正態(tài)分布，意在考查學生對于正態(tài)分布對稱性的靈活運用.16、；【解題分析】

根據(jù)不等式組表示的平面區(qū)域，又直線過點，因此可對分類討論，以求得，當時，是到直線的距離，在其他情況下，表示與可行域內(nèi)頂點間的距離．分別計算驗證．【題目詳解】如圖，區(qū)域表示在第一象限（含軸的正半軸），直線過點，表示直線的上方，當時，滿足題意，當時，直線與軸正半軸交于點，當時，，當時，，滿足題意，當時，，不滿足題意，綜上的取值范圍是．故答案為．【題目點撥】本題考查二元一次不等式組表示的平面區(qū)域，解題關鍵是在求時要分類討論．是直接求兩點間的距離還是求點到直線的距離，這要區(qū)分開來．三、解答題：共70分。解答應寫出文字說明、證明過程或演算步驟。17、(1)；（2）；理由見解析；（3）證明見解析【解題分析】

（1）根據(jù)函數(shù)在定義域內(nèi)有兩個不同極值點可知方程有兩個不等正根，將問題轉(zhuǎn)化為與在上有兩個不同交點；利用過一點曲線的切線的求解方法可求出過原點與相切的直線的斜率，從而可得，解不等式求得結(jié)果；（2）令，求導后可知在上單調(diào)遞減，從而可得，化簡可得；（3）易知是方程的兩根，令，可整理得到，從而將所證不等式化為，采用換元的方式可知只需證，恒成立；構(gòu)造函數(shù)，，利用導數(shù)可知在上單調(diào)遞增，可得，進而證得結(jié)論.【題目詳解】（1）由題意得：定義域為；在上有兩個不同極值點等價于方程有兩個不等正根即：與在有兩個不同的交點設過的的切線與相切于點則切線斜率，解得：過的的切線的斜率為：，解得：即的取值范圍為：（2）令，則時，；時，在上單調(diào)遞增；在上單調(diào)遞減，即：即：（3）由（1）知，是方程的兩根即：，設，則原不等式等價于：即：設，則，只需證：，設，在上單調(diào)遞增即在上恒成立所證不等式成立【題目點撥】本題考查導數(shù)在研究函數(shù)中的應用，涉及到根據(jù)極值點個數(shù)求解參數(shù)范圍、通過構(gòu)造函數(shù)的方式比較大小、利用導數(shù)證明不等式的問題；利用導數(shù)證明不等式的關鍵是能夠?qū)⑺C不等式轉(zhuǎn)化為與兩個極值點有關的函數(shù)的最值的求解問題，通過求解最值可確定不等關系.18、（1）（2）見解析【解題分析】

（1）參變分離，求最值。確定的取值范圍。（2）求導判斷的單調(diào)性。說明零點存在。【題目詳解】（1）由得令，∴在上時增函數(shù)∴∴.（2）當時，（）∴∴∴在是增函數(shù)又，∴在上有且僅有一個解，設為-0+↘最小↗∴又∴有且僅有兩個零點.【題目點撥】本題考查參變分離，利用單調(diào)性討論函數(shù)零點，屬于中檔題。19、（1）；（2）．【解題分析】試題分析：（1）將已知條件轉(zhuǎn)化為數(shù)列的首項和公差表示，通過解方程組可得到基本量的值，從而求得通項公式；（2）借助于（1）可求得的通項公式，結(jié)合特點利用列項求和法求和試題解析：（1）由已知有，則（2），則考點：數(shù)列求通項公式就和20、（1）見解析；（2）【解題分析】

（1）由得平面PAE，進而可得證；（2）先證得平面，設，以為坐標原點，的方向為軸正方向，建立空間直角坐標系，分別計算平面的法向量為和，設與平面所成角為，則，代入計算即可得解.【題目詳解】（1）證明：連接，因為，為線段的中點，所以.又，，所以為等邊三角形，.因為，所以平面，又平面，所以平面平面.（2）解：設，則，因為，所以，同理可證，所以平面.如圖，設，以為坐標原點，的方向為軸正方向，建立空間直角坐標系.易知為二面角的平面角，所以，從而.由，得.又由，，知，.設平面的法向量為，由，，得，不妨設，得.又，，所以.設與平面所成角為，則.所以與平面所成角的正弦值為.【題目點撥】用向量法求解空間線面角的關鍵在于“四破”：第一，破“建系關”，構(gòu)建恰當?shù)目臻g直角坐標系；第二，破“求坐標關”，準確求解相關點的坐標；第三，破“求法向量關”，求出平面的法向量；第四，破“應用公式關”.21、（1）函數(shù)在上是增函數(shù)；（2）見解析；（3）.【解題分析】試題分析：（1）當時，在（0，+∞）上恒成立，故函數(shù)在（1，+∞）上是增函數(shù)；（2）求導)，當x∈[1，e]時，．分①，②，③，三種情況得到函數(shù)f（x）在[1，e]上是單調(diào)性，進而得到[f（x）]min；（3）由題意可化簡得到，令，利用導數(shù)判斷其單調(diào)性求出最小值為．試題解析：(1)當時，，其定義域為，，當時，恒成立，故函數(shù)在上是增函數(shù).(2)，當時，，①若，在上有(僅當，時，)，故函數(shù)在上是增函數(shù)，此時；②若，由，得，當時，有，此時在區(qū)間上是減函數(shù)；當時，有，此時，在區(qū)間上是增函數(shù)，故；③若，在上有(僅當，時，)，故函數(shù)在上是減函數(shù)，此時綜上可知，當時，的最小值為1，相應的的值為1；當時，的最小值為，相應的值為；當時，的最小值為，相應的的值為.(3)不等式可化為，因為，所以，且等號不能同時取，所以，即，所以，令，則，當時，，，從而(僅當時取等號)，所以在上為增函數(shù)，所以的最小值為，所以實數(shù)的取值范圍為.點睛：不等式的存在問題即為不等式的有解問題，常用的方法有兩個：一是，分離變量法，將變量和參數(shù)移到不等式的兩邊，要就函數(shù)的圖像，找參數(shù)范圍即可；二是，含參討論法，此法是一般方法，也是高考的熱點問題，需要求導，