考點(diǎn)12等比數(shù)列等比數(shù)列定義如果一個(gè)數(shù)列從第2項(xiàng)起，每一項(xiàng)與它的前一項(xiàng)的比等于同一常數(shù)(不為零)，那么這個(gè)數(shù)列就叫做等比數(shù)列．這個(gè)常數(shù)叫做等比數(shù)列的公比，通常用字母q表示，定義的表達(dá)式為eq\f(an＋1,an)＝q(q≠0，n∈N*)．二．等比數(shù)列的有關(guān)公式1.通項(xiàng)公式：：an＝a1qn－1an＝am·qn－m.2.前n項(xiàng)和公式：Sn＝eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(na1，q＝1，,\f(a1（1－qn）,1－q)＝\f(a1－anq,1－q)，q≠1.))三．等比中項(xiàng)1.等比中項(xiàng)：如果a、G、b成等比數(shù)列，那么G叫做a與b的等比中項(xiàng)．即：G是a與b的等比中項(xiàng)?G2＝ab．“a，G，b成等比數(shù)列”是“G是a與b的等比中項(xiàng)”的充分不必要條件．2.若m＋n＝p＋q＝2r，則am·an＝ap·aq＝aeq\o\al(2,r)；四．等比數(shù)列的前n項(xiàng)和1.數(shù)列am，am＋k，am＋2k，am＋3k，…仍是等比數(shù)列；2.數(shù)列Sm，S2m－Sm，S3m－S2m，…仍是等比數(shù)列(此時(shí){an}的公比q≠－1)．五．等比數(shù)列的判定方法1.定義法：若eq\f(an＋1,an)＝q(q為非零常數(shù))或eq\f(an,an－1)＝q(q為非零常數(shù)且n≥2)，則{an}是等比數(shù)列．2.中項(xiàng)公式法：若數(shù)列{an}中an≠0且aeq\o\al(2,n＋1)＝an·an＋2(n∈N*)，則數(shù)列{an}是等比數(shù)列．3.通項(xiàng)公式法：若數(shù)列的通項(xiàng)公式可寫(xiě)成an＝c·qn－1(c，q均為不為0的常數(shù)，n∈N*)，則{an}是等比數(shù)列．4.前n項(xiàng)和公式法：若數(shù)列{an}的前n項(xiàng)和Sn＝k·qn－k(k為常數(shù)且k≠0，q≠0，1)，則{an}是等比數(shù)列．注意：(1)前兩種方法是判定等比數(shù)列的常用方法，常用于證明；后兩種方法常用于選擇題、填空題中的判定．(2)若要判定一個(gè)數(shù)列不是等比數(shù)列，則只需判定存在連續(xù)三項(xiàng)不成等比數(shù)列即可．六.等比數(shù)列的單調(diào)性當(dāng)q>1，a1>0或0<q<1，a1<0時(shí)，{an}是遞增數(shù)列；當(dāng)q>1，a1<0或0<q<1，a1>0時(shí)，{an}是遞減數(shù)列；當(dāng)q＝1時(shí)，{an}是常數(shù)列．考點(diǎn)一等比數(shù)列基本量的計(jì)算【例】（2023·云南）在等比數(shù)列中，(1)已知，，求；(2)已知，，，求；(3)已知，，求；(4)已知，，求．(5)，，求；(6)，，求；(7)，，求；(8)，，求．【答案】(1)(2)(3)(4)(5)(6)(7)或(8)【解析】（1）等比數(shù)列中，，，則.（2）等比數(shù)列中，，，，由，可得.（3）等比數(shù)列中，，，由，可得.（4）等比數(shù)列中，，，由，可得.（5），，故（6），又，故，故，（7）由，可得，即，解得或.（8），故，即【變式】（2023·廣東各地節(jié)選）已知數(shù)列為等比數(shù)列，前n項(xiàng)和為(1)，，；(2)，，；(3)，，；(4)，，．(5)，，求；(6)，，求q；(7)，，求．(8)，，求n；(9)，求及.【答案】(1)(2)(3)(4)378(5)(6)或(7)(8)6(9)，【解析】（1）由，，得（2）由，，得（3）由，，得（4）由，，得（5）等比數(shù)列中，，，，解得．（6）在等比數(shù)列中，，，顯然公比，，整理得，解得或．（7）因?yàn)?，，所以公比，所以，，所以，即，所以，所以，則.（8）顯然，由，即，解得，又，即，所以.（9）由知，由題意得

，兩式相除得，得，，所以，.考點(diǎn)二等比中項(xiàng)【例21】（2023·寧夏銀川）已知數(shù)列為等比數(shù)列，，則（

）A．2 B．4 C．8 D．16【答案】B【解析】由題設(shè)，則，所以.故選：B【例22】（2023·北京）正項(xiàng)等比數(shù)列中，是方程的兩根，則的值是（

）A．2 B．3 C．4 D．5【答案】A【解析】∵是方程的兩根，∴，∵數(shù)列為正項(xiàng)等比數(shù)列，∴，∴，故選：A．【變式】1．（2023·江蘇蘇州）已知等比數(shù)列中，，，則（

）A．4或 B． C．4 D．8【答案】C【解析】設(shè)公比為，則，因?yàn)?，，所以，所?故選：C.2．（2023·云南大理）已知各項(xiàng)均為正數(shù)的等比數(shù)列，，，則（

）A．7 B．8 C．9 D．10【答案】C【解析】由等比數(shù)列，，，有，又因?yàn)楦黜?xiàng)均為正數(shù)，所以.故選：C．3．（2023·上海閔行）已知等比數(shù)列，是方程的兩個(gè)實(shí)數(shù)根，則的值為（

）．A． B． C． D．【答案】B【解析】由題意可得，，且數(shù)列為等比數(shù)列，設(shè)其公比為，則，，.故選：B.4．（2023·四川甘孜·統(tǒng)考一模）在等比數(shù)列中，是方程的兩根，則（

）A． B． C． D．【答案】A【解析】因?yàn)槭堑缺葦?shù)列，且，是方程的兩根，所以：，且，.根據(jù)等比數(shù)列的性質(zhì)，得：，且，所以∴.故選：A5．（2023河南）在由正數(shù)組成的等比數(shù)列中，若，的為A． B． C． D．【答案】A【解析】在等比數(shù)列{an}中，由，得則故選A.考點(diǎn)三等比數(shù)列前n項(xiàng)和的性質(zhì)【例31】（2023·遼寧）等比數(shù)列的前項(xiàng)和為，若，則（

）A．2 B．2 C．1 D．1【答案】A【解析】設(shè)等比數(shù)列的公比為q，當(dāng)時(shí)，，不合題意；當(dāng)時(shí)，等比數(shù)列前項(xiàng)和公式，依題意.故選：A【例32】（2023·廣東）等比數(shù)列的前m項(xiàng)和為4，前項(xiàng)和為12，則它的前項(xiàng)和是（

）A．28 B．48C．36 D．52【答案】A【解析】設(shè)等比數(shù)列的前項(xiàng)和為，則依題意有，則，且，根據(jù)等比數(shù)列前項(xiàng)和的性質(zhì)有，成等比數(shù)列，所以，即，解得.故選：A.【例33】（2023·全國(guó)·模擬預(yù)測(cè)）設(shè)等比數(shù)列的前項(xiàng)和是.已知，則（

）A．13 B．12 C．6 D．3【答案】A【解析】方法一因?yàn)?，所以，，所以，所?又，得，所以.故選：A.方法二因?yàn)椋?，所以，所以，所?故選：A.【變式】1．（2023·四川宜賓）已知等比數(shù)列的前n項(xiàng)和為，若，則等于（

）A． B． C． D．【答案】D【解析】依題意，所以等比數(shù)列的前n項(xiàng)和為，所以，解得.故選：D.2．（2023·河南省直轄縣級(jí)單位）等比數(shù)列的前項(xiàng)和為，且，則（）A． B． C． D．【答案】C【解析】由等比數(shù)列性質(zhì)可知，成等比數(shù)列，因?yàn)?，所以，所以成等比?shù)列，所以，所以，所以.故選：C.3．（2023·寧夏銀川）設(shè)等比數(shù)列{an}的前n項(xiàng)和為Sn，已知S3=8，S6=7，則S9等于（

）A． B． C． D．【答案】C【解析】已知：，，成等比數(shù)列，且：，，∴，∴.故選：C4．（2023·全國(guó)·模擬預(yù)測(cè)）設(shè)等比數(shù)列的前項(xiàng)和是．已知，，則（

）A．900 B．1200C． D．【答案】B【解析】設(shè)等比數(shù)列的公比為，因?yàn)?，，所以，，得，所以，所以，所以．故選：．5．（2023上·河北石家莊·高三統(tǒng)考期中）已知數(shù)列是等比數(shù)列，為其前項(xiàng)和，若，，則（

）A．27 B．39 C．81 D．120【答案】D【解析】由題知，，，因?yàn)閿?shù)列成等比數(shù)列，所以，所以.故選：D.考點(diǎn)四等比數(shù)列奇數(shù)項(xiàng)或偶數(shù)項(xiàng)之和【例41】（2023河北）已知一個(gè)等比數(shù)列的項(xiàng)數(shù)是是偶數(shù)，其奇數(shù)項(xiàng)之和1011，偶數(shù)項(xiàng)之和為2022，則這個(gè)數(shù)列的公比為（

）.A．8 B． C．4 D．2【答案】D【解析】設(shè)該等比數(shù)列為,其項(xiàng)數(shù)為項(xiàng)，公比為,由題意易知，設(shè)奇數(shù)項(xiàng)之和為,偶數(shù)項(xiàng)之和為，易知奇數(shù)項(xiàng)組成的數(shù)列是首項(xiàng)為，公比為的等比數(shù)列，偶數(shù)項(xiàng)組成的數(shù)列是首項(xiàng)為，公比為的等比數(shù)列，則，，所以,即.所以這個(gè)數(shù)列的公比為2.故選:D.【例42】（2023·重慶）已知等比數(shù)列有項(xiàng)，，所有奇數(shù)項(xiàng)的和為85，所有偶數(shù)項(xiàng)的和為42，則（

）A．2 B．3 C．4 D．5【答案】B【解析】因?yàn)榈缺葦?shù)列有項(xiàng)，則奇數(shù)項(xiàng)有項(xiàng)，偶數(shù)項(xiàng)有項(xiàng)，設(shè)公比為，得到奇數(shù)項(xiàng)為，偶數(shù)項(xiàng)為，整體代入得，所以前項(xiàng)的和為，解得.故選：B【變式】1．（2023·安徽池州）已知等比數(shù)列的公比，前項(xiàng)和為，則其偶數(shù)項(xiàng)為（

）A．15 B．30C．45 D．60【答案】D【解析】設(shè)，則，又因?yàn)?，所以，所?故選:D2．（2023江西）已知一個(gè)項(xiàng)數(shù)為偶數(shù)的等比數(shù)列，所有項(xiàng)之和為所有偶數(shù)項(xiàng)之和的倍，前項(xiàng)之積為，則（）A． B．C． D．【答案】C【解析】由題意可得所有項(xiàng)之和是所有偶數(shù)項(xiàng)之和的倍，所以，，故設(shè)等比數(shù)列的公比為，設(shè)該等比數(shù)列共有項(xiàng)，則，所以，，因?yàn)?，可得，因此?故選：C.3．（2023·河南）已知等比數(shù)列共有32項(xiàng)，其公比，且奇數(shù)項(xiàng)之和比偶數(shù)項(xiàng)之和少60，則數(shù)列的所有項(xiàng)之和是（

）A．30 B．60 C．90 D．120【答案】D【解析】設(shè)等比數(shù)列的奇數(shù)項(xiàng)之和為，偶數(shù)項(xiàng)之和為則，又，則，解得，故數(shù)列的所有項(xiàng)之和是.故選：D4．（2023·陜西寶雞）已知等比數(shù)列中，，，，則（

）A．2 B．3 C．4 D．5【答案】B【解析】設(shè)等比數(shù)列的公比為，則，即，因?yàn)?，所以，則，即，解得，故選：B.考點(diǎn)五等比數(shù)列最值問(wèn)題【例51】（2023廣西）設(shè)等比數(shù)列的公比為，其前項(xiàng)和為，前項(xiàng)積為，并滿足條件，，，下列結(jié)論正確的是（

）A．

B．C．是數(shù)列中的最大值

D．?dāng)?shù)列無(wú)最大值【答案】A【解析】根據(jù)題意，等比數(shù)列中，，則有，有，又由0，即，必有，由此分析選項(xiàng)：對(duì)于A，，故，A正確；對(duì)于B，等比數(shù)列中，，，則，則，即，B錯(cuò)誤；對(duì)于C，，則是數(shù)列中的最大項(xiàng)，C錯(cuò)誤；對(duì)于D，由C的結(jié)論，D錯(cuò)誤；故選：A.【變式】1．（2023黑龍江）設(shè)等比數(shù)列的公比為，其前項(xiàng)和為，前項(xiàng)積為，且滿足條件，，，則下列結(jié)論錯(cuò)誤的是（

）A． B．C．的最大值為 D．的最大值為【答案】C【解析】若，則，，所以，與矛盾；若，則因?yàn)?，所以，，則，與矛盾，因此，所以A正確．因?yàn)?，所以，因此，即B正確．因?yàn)?，所以單調(diào)遞增，即的最大值不為，C錯(cuò)誤．因?yàn)楫?dāng)時(shí)，，當(dāng)時(shí)，，所以的最大值為，即D正確．故選：C2．（2022上·江西贛州·高三校聯(lián)考期中）設(shè)公比為的等比數(shù)列的前項(xiàng)和為，前項(xiàng)積為，且，，，則下列結(jié)論正確的是（

）A． B．C．是數(shù)列中的最大值 D．?dāng)?shù)列無(wú)最大值【答案】B【解析】當(dāng)時(shí)，則，不合乎題意；當(dāng)時(shí)，對(duì)任意的，，且有，可得，可得，此時(shí)，與題干不符，不合乎題意；故，故A錯(cuò)誤；對(duì)任意的，，且有，可得，此時(shí)，數(shù)列為單調(diào)遞減數(shù)列，則，結(jié)合可得，結(jié)合數(shù)列的單調(diào)性可得故，，∴，故B正確；是數(shù)列中的最大值,故CD錯(cuò)誤故選：B.3．（2023·山東青島）（多選）已知各項(xiàng)均為正數(shù)的等比數(shù)列的前項(xiàng)積為，且滿足，，，則（

）A． B．C．對(duì)任意的正整數(shù)，有 D．使得的最小正整數(shù)為4047【答案】BD【解析】依題意，，由于，所以或.若，則，則矛盾，所以，則，所以A選項(xiàng)錯(cuò)誤.，B選項(xiàng)正確.由于，所以的最小值為，即，所以C選項(xiàng)錯(cuò)誤.，由于，所以，所以，所以，由于，且，所以當(dāng)時(shí)，，綜上所述，使得的最小正整數(shù)為，所以D選項(xiàng)正確.故選：BD考點(diǎn)六等比數(shù)列的證明與判斷【例6】（2023河南焦作）已知數(shù)列滿足，設(shè).(1)判斷數(shù)列是否為等比數(shù)列，并說(shuō)明理由;(2)求的通項(xiàng)公式.【答案】(1)是等比數(shù)列，理由見(jiàn)解析(2)【解析】（1）由題知:即:，又，是以1為首項(xiàng),2為公比的等比數(shù)列（2）由（1）知:，.【變式】1．（2023·四川成都·統(tǒng)考二模）已知數(shù)列的首項(xiàng)為3，且滿足.(1)求證：是等比數(shù)列；(2)求數(shù)列的通項(xiàng)公式，并判斷數(shù)列是否是等比數(shù)列.【答案】(1)證明見(jiàn)解析(2)，數(shù)列不是等比數(shù)列【解析】（1）由，，得，又，所以是以為首項(xiàng)，為公比的等比數(shù)列.（2）由（1）得，，所以所以數(shù)列不是等比數(shù)列.2.（2023秋·課時(shí)練習(xí)）已知數(shù)列滿足：，．(1)求證：為等比數(shù)列；(2)求的通項(xiàng)公式．【答案】(1)證明見(jiàn)解析(2)【解析】（1）已知遞推公式，兩邊同時(shí)加上3，得：，因?yàn)椋?，又，所以?shù)列是以為首項(xiàng)、以2為公比的等比數(shù)列.（2）由（1），則.3．（2023·全國(guó)·專題練習(xí)）已知數(shù)列的首項(xiàng)，.(1)證明：數(shù)列為等比數(shù)列；(2)求數(shù)列的通項(xiàng)公式.【答案】(1)證明見(jiàn)解析(2)【解析】（1）因?yàn)?，所以，即，且，所以?shù)列是首項(xiàng)為，公比為的等比數(shù)列.（2）由（1）可求得，所以，即.考點(diǎn)七等比數(shù)列的實(shí)際應(yīng)用【例7】（2023上·河南·高三校聯(lián)考階段練習(xí)）在《增減算法統(tǒng)宗》中有這樣一則故事：“三百七十八里關(guān)，初行健步不為難；次日腳痛減一半，如此六日過(guò)其關(guān)”.其大意是：有人要去某關(guān)口，路程為378里，第一天健步行走，從第二天起由于腳痛，每天走的路程都為前一天的一半，一共走了六天，才到目的地.則此人第4天與第5天共走的里程數(shù)為（

）A．24 B．36 C．42 D．60【答案】B【解析】設(shè)第天走的里程數(shù)為，其中，由題意可知，數(shù)列是以為首項(xiàng)，為公比的等比數(shù)列，所以，解得，所以此人第4天與第5天共走里程數(shù)為.故選：B.【變式】1．（2023·陜西寶雞·校聯(lián)考模擬預(yù)測(cè)）某農(nóng)村合作社引進(jìn)先進(jìn)技術(shù)提升某農(nóng)產(chǎn)品的深加工技術(shù)，以此達(dá)到10年內(nèi)每年此農(nóng)產(chǎn)品的銷(xiāo)售額（單位：萬(wàn)元）等于上一年的1.3倍再減去3.已知第一年（2023年）該公司該產(chǎn)品的銷(xiāo)售額為100萬(wàn)元，則按照計(jì)劃該公司從2023年到2032年該產(chǎn)品的銷(xiāo)售總額約為（參考數(shù)據(jù)：）（

）A．3937萬(wàn)元 B．3837萬(wàn)元C．3737萬(wàn)元 D．3637萬(wàn)元【答案】A【解析】設(shè)，，，所以數(shù)列是首項(xiàng)為，公比為的等比數(shù)列，所以則（萬(wàn)元）.故選：A2．（2023·上海楊浦）我國(guó)古代數(shù)學(xué)典籍《九章算術(shù)》第七章“盈不足”中有一道兩鼠穿墻問(wèn)題：“今有垣厚五尺，兩鼠對(duì)穿，大鼠日一尺，小鼠日一尺，大鼠日自倍，小鼠日自半，問(wèn)何日相逢？”描述的問(wèn)題是：有五尺厚的墻，兩只老鼠從墻的兩邊相對(duì)分別打洞穿墻，大?小鼠第一天都進(jìn)一尺，以后每天，大鼠加倍，小鼠減半，則（

）天后兩鼠相遇.A．1 B．2 C．3 D．4【答案】C【解析】設(shè)天后能打穿，則，化簡(jiǎn)為，令，則，又由函數(shù)的單調(diào)性可知在內(nèi)有唯一零點(diǎn)，所以至少需要天.故選：C.3．（2023北京）我國(guó)古代的數(shù)學(xué)名著《九章算術(shù)》中記載：“今有蒲生一日，長(zhǎng)三尺，蒲生日自半”.其意為：今有蒲草第一日長(zhǎng)高3尺，以后蒲草每日長(zhǎng)高前一日的半數(shù)，則蒲草第5日的高度為（

）A．尺 B．尺 C．尺 D．尺【答案】D【解析】由題意，蒲草每日增長(zhǎng)的高度成等比數(shù)列，等比數(shù)列的首項(xiàng)為3，公比為，蒲草第5日的高度為等比數(shù)列前5項(xiàng)和，（尺），故選：D.4．（2023·河南洛陽(yáng)）我國(guó)古代數(shù)學(xué)名著《算法統(tǒng)宗》中有如下問(wèn)題：“遠(yuǎn)望巍巍塔七層，紅光點(diǎn)點(diǎn)倍加增，共燈三百八十一，請(qǐng)問(wèn)尖頭幾盞燈？”意思是：一座7層塔共掛了381盞燈，且相鄰兩層中的下一層燈數(shù)是上一層燈數(shù)的2倍，則塔的頂層燈數(shù)為（

）A．3 B．4 C．5 D．6【答案】A【解析】設(shè)頂層的燈數(shù)是，則每一層燈數(shù)形成以2為公比的等比數(shù)列，所以，由題可得，解得，所以，塔的頂層的燈數(shù)是3.故選：A.1．（2023·江蘇南通）正項(xiàng)等比數(shù)列中，，，則（

）A． B．3 C．6 D．9【答案】B【解析】設(shè)等比數(shù)列的公比為，因?yàn)閿?shù)列為正項(xiàng)等比數(shù)列，所以，由題，則，所以，所以.故選：B2．（2023·河北邢臺(tái)）在等比數(shù)列中，若，則（

）A．6 B．9 C． D．【答案】A【解析】因?yàn)椋裕ㄘ?fù)值舍去），所以.故選：A3．（2023·江蘇常州）已知等比數(shù)列滿足，，則（

）A．26 B．78 C．104 D．130【答案】B【解析】設(shè)等比數(shù)列公比為，根據(jù)已知可得，，所以，，解得，所以，.故選：B.4．（2023·安徽合肥）在正項(xiàng)等比數(shù)列中，若，，則（

）A．1 B．2 C．3 D．【答案】C【解析】因?yàn)闉榈缺葦?shù)列，所以，故，所以，又，所以.故選：C.5．（2023·云南·怒江傈僳族自治州民族中學(xué)校聯(lián)考一模）已知等比數(shù)列的前項(xiàng)和為，，，則（

）A．29 B．31 C．33 D．36【答案】B【解析】因?yàn)閿?shù)列是等比數(shù)列，，所以，即，則.又因?yàn)椋视?所以，則，所有，所有，故B項(xiàng)正確.故選：B.6．（2023·黑龍江）在等比數(shù)列中，若，則的公比（

）A． B． C． D．4【答案】B【解析】設(shè)等比數(shù)列的公比為，因?yàn)榍遥傻?，可?故選：B.7．（2023·天津和平）在等比數(shù)列中，成等差數(shù)列，則（

）A．3 B． C．9 D．【答案】C【解析】設(shè)的公比為，則由題意可知或，顯然時(shí)，，無(wú)意義舍去；所以.故選：C8．（2023·全國(guó)·模擬預(yù)測(cè)）已知正項(xiàng)等比數(shù)列滿足，若，則（

）A． B． C． D．【答案】A【解析】設(shè)等比數(shù)列的公比為．由，得，解得，得．故選：A9．（2022·云南臨滄）已知正項(xiàng)等比數(shù)列滿足：，若存在兩項(xiàng)使得，則的最小值為（

）A． B． C． D．【答案】A【解析】等比數(shù)列中，，，.，，，∵正項(xiàng)等比數(shù)列，，則，.，，，，且，，當(dāng)且僅當(dāng)，即時(shí)等號(hào)成立.故選：A.10．（2023·陜西）已知數(shù)列是等差數(shù)列，數(shù)列是等比數(shù)列，，且，則（

）A． B． C． D．【答案】B【解析】數(shù)列是等差數(shù)列，，可得，即，數(shù)列是等比數(shù)列，，可得，可得，則.故選：B.11．（2023·河北邢臺(tái)）在正項(xiàng)等比數(shù)列中，為其前n項(xiàng)和，若，，則（

）A．786 B．240 C．486 D．726【答案】D【解析】因?yàn)闉榈缺葦?shù)列，所以，，，…仍為等比數(shù)列．設(shè)，因?yàn)?，，所?，，成等比數(shù)列．由，解得或（舍去），所以數(shù)列，，…的公比為3．因?yàn)?，，，所以，，故?故選：D12．（2023上·陜西榆林·高三?？茧A段練習(xí)）已知各項(xiàng)均為實(shí)數(shù)的等比數(shù)列的前項(xiàng)和為，若，，則（

）A．150 B．140 C．130 D．120【答案】A【解析】設(shè)等比數(shù)列的公比為，在等比數(shù)列中，由，可知，所以，，，構(gòu)成公比為的等比數(shù)列.所以，即，解得（負(fù)值舍去）.因?yàn)?，所以?故選：A13（2023·浙江·統(tǒng)考一模）已知是等比數(shù)列的前項(xiàng)和，且，，則（

）A．11 B．13 C．15 D．17【答案】C【解析】因?yàn)槭堑缺葦?shù)列，是等比數(shù)列的前項(xiàng)和，所以成等比數(shù)列，且，所以，又因?yàn)?，，所以，即，解得或，因?yàn)?，所以，故選：C．14（2023甘肅）已知數(shù)列的前項(xiàng)和，則數(shù)列的前10項(xiàng)中所有奇數(shù)項(xiàng)之和與所有偶數(shù)項(xiàng)之和的比為（

）A． B．2 C． D．【答案】C【解析】當(dāng)時(shí)，，又，即前10項(xiàng)分別為，所以數(shù)列的前10項(xiàng)中，，所以，故選：C．15．（2023·安徽）已知項(xiàng)數(shù)為奇數(shù)的等比數(shù)列的首項(xiàng)為1，奇數(shù)項(xiàng)之和為21，偶數(shù)項(xiàng)之和為10，則這個(gè)等比數(shù)列的項(xiàng)數(shù)為（

）A．5 B．7 C．9 D．11【答案】A【解析】根據(jù)題意，數(shù)列為等比數(shù)列，設(shè)，又由數(shù)列的奇數(shù)項(xiàng)之和為21，偶數(shù)項(xiàng)之和為10，則，故；故選：16．（2023·江西）等比數(shù)列共有項(xiàng)，其中，偶數(shù)項(xiàng)和為84，奇數(shù)項(xiàng)和為170，則（

）A．3 B．4 C．7 D．9【答案】A【解析】因?yàn)榈缺葦?shù)列共有項(xiàng)，所以等比數(shù)列中偶數(shù)項(xiàng)有項(xiàng)，奇數(shù)項(xiàng)有項(xiàng)，由題意得，所以偶數(shù)項(xiàng)和為，奇數(shù)項(xiàng)和為，相減得故選：A17．（2024·全國(guó)·模擬預(yù)測(cè)）已知正項(xiàng)等比數(shù)列的前n項(xiàng)和為．若，，則（

）A． B． C． D．【答案】A【解析】由題意，設(shè)正項(xiàng)等比數(shù)列的公比為，∵，∴.∵，∴，∴，∴，解得（負(fù)值舍去），∴，∴，∴．故選：A．18．（2023·陜西安康·陜西省安康中學(xué)?？寄M預(yù)測(cè)）中國(guó)古代著作《張丘建算經(jīng)》有這樣一個(gè)問(wèn)題：“今有馬行轉(zhuǎn)遲，次日減半疾，七日行七百里”，意思是說(shuō)有一匹馬行走的速度逐漸減慢，每天行走的里程是前一天的一半，七天一共行走了里路，則該馬第五天走的里程數(shù)約為（

）A． B． C． D．【答案】D【解析】設(shè)該馬第天行走的里程數(shù)為，由題意可知，數(shù)列是公比為的等比數(shù)列，所以，該馬七天所走的里程為，解得.故該馬第五天行走的里程數(shù)為.故選：D.19．（2023·安徽）某公司為慶祝公司成立9周年，特意制作了兩個(gè)熱氣球，在氣球上寫(xiě)著“9年耕耘，碩果累累”8個(gè)大字，已知熱氣球在第一分鐘內(nèi)能上升30m，以后每分鐘上升的高度都是前一分鐘的，則該氣球上升到70m高度至少要經(jīng)過(guò)（

）A．3分鐘 B．4分鐘 C．5分鐘 D．6分鐘【答案】B【解析】設(shè)表示熱氣球在第n分鐘內(nèi)上升的高度，由已知．所以前秒熱氣球上升的總高度，因?yàn)?，所以?shù)列為單調(diào)遞增數(shù)列，又，，所以該氣球至少要經(jīng)過(guò)4分鐘才能上升到70高度，故選：B．20．（2023下·河南南陽(yáng)）我國(guó)古代的數(shù)學(xué)名著《九章算術(shù)》中有“衰分問(wèn)題”：今有女子善織，日自倍，五日織十尺，問(wèn)次日織幾問(wèn)？其意為：一女子每天織布的尺數(shù)是前一天的2倍，5天共織布10尺，請(qǐng)問(wèn)第二天織布的尺數(shù)是（

）A． B． C． D．【答案】B【解析】由題可得該女子每天織布的尺數(shù)成等比數(shù)列，設(shè)其首項(xiàng)為，公比為，由等比數(shù)列前項(xiàng)和公式，得到，解得；所以第二天織布的尺數(shù)為．故選：B．21．（2023上·陜西西安·高三西安中學(xué)?？茧A段練習(xí)）我國(guó)古代數(shù)學(xué)典籍《九章算術(shù)》第七章“盈不足”中有一道兩鼠穿墻問(wèn)題：“今有垣厚五尺，兩鼠對(duì)穿，大鼠日一尺，小鼠日一尺，大鼠日自倍，小鼠日自半，問(wèn)何日相逢，各穿幾何”，翻譯過(guò)來(lái)就是：有五尺厚的墻，兩只老鼠從墻的兩邊相對(duì)分別打洞穿墻，大?小鼠第一天都進(jìn)一尺，以后每天，大鼠加倍，小鼠減半，則幾天后兩鼠相遇，這個(gè)問(wèn)題體現(xiàn)了古代對(duì)數(shù)列問(wèn)題的研究，現(xiàn)將墻的厚度改為1200尺，則需要幾天時(shí)間才能打穿（結(jié)果取整數(shù)）（

）A．10 B．11 C．12 D．13【答案】B【解析】設(shè)大鼠和小鼠每天穿墻尺寸分別構(gòu)成數(shù)列，它們都是等比數(shù)列，其中，的公比為，的公比為，設(shè)經(jīng)過(guò)天，大鼠和小鼠穿墻尺寸的和為，則，因?yàn)榕c在上均單調(diào)遞增，所以在上單調(diào)遞增，∵，，∴當(dāng)時(shí)，，當(dāng)時(shí)，，因此需要11天才能打穿，故選：B．27．（2023上·福建莆田）（多選）設(shè)等比數(shù)列的公比為，前項(xiàng)積為，并目滿足條件，，，則下列結(jié)論不正確的是（

）A． B． C．的最大值為 D．【答案】BC【解析】對(duì)于A，由，且，則，，若時(shí)，由，則，，所以，與已知條件矛盾，所以，故A正確；對(duì)于B，結(jié)合選項(xiàng)A可得，所以，故B不正確；對(duì)于C，結(jié)合選項(xiàng)A可得等比數(shù)列的公比為，所以數(shù)列為單調(diào)遞減數(shù)列，又結(jié)合選項(xiàng)A可得，所以的最大值為，故C不正確；對(duì)于D，結(jié)合選項(xiàng)A可得，所以，故D正確．故選：BC．28．（2023上·江西·高三鷹潭一中校聯(lián)考期中）（多選）在等比數(shù)列中，，，，若為的前項(xiàng)和，為的前項(xiàng)積，則（

）A．為單調(diào)遞增數(shù)列 B．C．為的最大項(xiàng) D．無(wú)最大項(xiàng)【答案】BC【解析】由，因此.又因?yàn)閯t.當(dāng)時(shí)，，則，，則，與題意矛盾.因此.則為單調(diào)遞減數(shù)列，故選項(xiàng)A錯(cuò)誤.而，故，選項(xiàng)B正確.又因?yàn)闉閱握{(diào)遞減數(shù)列，則，由可知，，，所以當(dāng)時(shí)，，則.當(dāng)時(shí)，，則.因此的最大項(xiàng)為，則選項(xiàng)C正確，選項(xiàng)D錯(cuò)誤.故答案為：BC.29（2023·江西上饒）（多選）設(shè)等比數(shù)列的公比為，其前項(xiàng)和為，前項(xiàng)積為，并且滿足條件，則下列結(jié)論正確的是（）A． B．1C．的最大值為 D．的最大值為【答案】BD【解析】若，則，，所以，與矛盾；若，則因?yàn)?，所以，，則，與矛盾，因此，所以A不正確．因?yàn)?，所以，因此，故B正確．因?yàn)?，所以單調(diào)遞增，即的最大值不為，故C錯(cuò)誤．因?yàn)楫?dāng)時(shí)，，當(dāng)時(shí)，，所以的最大值為，即D正確．故選：BD.30．（2023·廣東珠?！そy(tǒng)考模擬預(yù)測(cè)）設(shè)是等比數(shù)列，、是方程的兩個(gè)根，則.【答案】【解析】因?yàn)槭堑缺葦?shù)列，、是方程的兩個(gè)根，由韋達(dá)定理可得，由等比中項(xiàng)的性質(zhì)可得，故.故答案為：.31．（2023·上海）數(shù)列是正數(shù)等比數(shù)列，且，則.【答案】7【解析】∵，且，，得：，又，所以：.故答案為：732．（2023·陜西西安）數(shù)列為等比數(shù)列，且，則．【答案】【解析】因?yàn)閿?shù)列為等比數(shù)列，所以，又，則，所以.故答案為：.33．（2023·陜西·校聯(lián)考模擬預(yù)測(cè)）等比數(shù)列滿足：，則的最小值為．【答案】【解析】依題意，等比數(shù)列滿足：，所以，且，所以，當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)等號(hào)成立，此時(shí).所以的最小值為.故答案為：34．（2023·陜西西安·）在正項(xiàng)等比數(shù)列中，為其前項(xiàng)和，若，則.【答案】726【解析】因?yàn)闉檎?xiàng)等比數(shù)列，所以仍為正項(xiàng)等比數(shù)列，設(shè)，因?yàn)椋猿烧?xiàng)等比數(shù)列，由，解得或（舍去），所以數(shù)列的公比為3，因?yàn)?，所以，?故答案為：726.35．（2023上·黑龍江哈爾濱·高三校考開(kāi)學(xué)考試）2020年12月17日凌晨1時(shí)59分，嫦娥五號(hào)返回器攜帶月球樣品成功著陸，這是我國(guó)首次實(shí)現(xiàn)了地外天體采樣返回，標(biāo)志著中國(guó)航天向前又邁出了一大步．月球距離地球約38萬(wàn)千米，有人說(shuō)：在理想狀態(tài)下，若將一張厚度約為0.1毫米的紙對(duì)折次其厚度就可以超過(guò)到達(dá)月球的距離，那么至少對(duì)折的次數(shù)是（，）【答案】【解析】設(shè)對(duì)折次時(shí)，紙的厚度為毫米，每次對(duì)折厚度變?yōu)樵瓉?lái)的倍，由題意知是以為首項(xiàng)，公比為的等比數(shù)列，所以，令，即，所以，即，解得：，所以至少對(duì)折的次數(shù)是，故答案為：42.1．（2023·上海）的三內(nèi)角、、所對(duì)的邊長(zhǎng)分別為、、，若、、成等比數(shù)列，且，則等于（

）A． B． C． D．【答案】D【解析】因?yàn)椋?，成等比?shù)列，所以，又因?yàn)?，所以由余弦定理得，故D項(xiàng)正確.故選：D.2．（2023·山西陽(yáng)泉）兩數(shù)1?9的等差中項(xiàng)是a，等比中項(xiàng)是b，則曲線的離心率為（

）A．或 B．或 C． D．【答案】A【解析】由題意，，若，曲線方程為，表示橢圓，離心率為，時(shí)，曲線方程為，表示雙曲線，離心率為．故選：A．3（2022·四川綿陽(yáng)·一模（文））已知正項(xiàng)等比數(shù)列的前項(xiàng)和為，若，，成等差數(shù)列，則的最小值為(

)A． B． C． D．【答案】B【解析】因?yàn)槭钦?xiàng)等比數(shù)列，所以，，仍然構(gòu)成等比數(shù)列，所以.又，，成等差數(shù)列，所以，，所以.又是正項(xiàng)等比數(shù)列，所以，，當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)取等號(hào).故選：B.4．（2023·全國(guó)·模擬預(yù)測(cè)）已知正項(xiàng)數(shù)列滿足，若存在，使得，則的最小值為（

）A．32 B．64 C．128 D．256【答案】B【解析】因?yàn)?，所以為等比?shù)列，設(shè)的公比為，因?yàn)?，所以，即，得．所以．因?yàn)?，所以，?dāng)且僅當(dāng)時(shí)等號(hào)成立，所以．故選：B.5．（2022·陜西·寶雞中學(xué)模擬預(yù)測(cè)（文））已知中，，、分別是、的等差中項(xiàng)與等比中項(xiàng)，則的面積等于（

）A． B