第八章立體幾何初步8.4空間點(diǎn)、直線、平面之間的位置關(guān)系8.4.1平面課后篇鞏固提升必備知識(shí)基礎(chǔ)練1.空間中可以確定一個(gè)平面的條件是()A.三個(gè)點(diǎn) B.四個(gè)點(diǎn)C.三角形 D.四邊形答案C解析當(dāng)三個(gè)點(diǎn)共線時(shí)不能確定一個(gè)平面,故選項(xiàng)A錯(cuò)誤;當(dāng)四個(gè)點(diǎn)為三棱錐的四個(gè)頂點(diǎn)時(shí),最多確定四個(gè)平面,故選項(xiàng)B錯(cuò)誤;三角形的三個(gè)頂點(diǎn)不共線,因此能確定一個(gè)平面,故選項(xiàng)C正確;空間四邊形不能確定一個(gè)平面,故選項(xiàng)D錯(cuò)誤.2.圓心和圓上任意兩點(diǎn)可確定的平面有()A.0個(gè) B.1個(gè)C.2個(gè) D.1個(gè)或無數(shù)個(gè)答案D解析若圓心和圓上兩點(diǎn)共線,則可確定無數(shù)個(gè)平面;若三點(diǎn)不共線,則確定一個(gè)平面.3.已知A,B是點(diǎn),a,b,l是直線,α是平面,如果a?α,b?α,l∩a=A,l∩b=B,那么下列關(guān)系中成立的是()A.l?α B.l∈αC.l∩α=A D.l∩α=B答案A解析由基本事實(shí)2或畫圖可知:l?α.4.已知α,β為平面,A,B,M,N為點(diǎn),a為直線,下列推理錯(cuò)誤的是()A.A∈a,A∈β,B∈a,B∈β?a?βB.M∈α,M∈β,N∈α,N∈β?α∩β=MNC.A∈α,A∈β?α∩β=AD.A,B,M∈α,A,B,M∈β,且A,B,M不共線?α,β重合答案C解析兩平面有公共點(diǎn),則兩平面有一條交線,故C錯(cuò).5.(多選題)下列說法錯(cuò)誤的是()A.不共面的四點(diǎn)中,任意三點(diǎn)不共線B.三條兩兩相交的直線在同一平面內(nèi)C.有三個(gè)不同公共點(diǎn)的兩個(gè)平面重合D.依次首尾相接的四條線段不一定共面答案BC解析由基本事實(shí)易知選項(xiàng)A,D正確;對(duì)于選項(xiàng)B,如正方體中,具有同一頂點(diǎn)的三條棱不在同一平面內(nèi),故選項(xiàng)B錯(cuò)誤;對(duì)于選項(xiàng)C,三個(gè)不同的公共點(diǎn)可在兩平面的交線上,故選項(xiàng)C錯(cuò)誤.6.平面α∩平面β=l,點(diǎn)A,B∈α,點(diǎn)C∈平面β且C?l,AB∩l=R,設(shè)過點(diǎn)A,B,C三點(diǎn)的平面為平面γ,則β∩γ=()A.直線AC B.直線BCC.直線CR D.以上都不對(duì)答案C解析根據(jù)題意畫出圖形,如圖所示,因?yàn)辄c(diǎn)C∈β,且點(diǎn)C∈γ,所以C∈β∩γ.因?yàn)辄c(diǎn)R∈AB,所以點(diǎn)R∈γ,又R∈β,所以R∈β∩γ,從而β∩γ=CR.7.三條直線兩兩平行,則過其中任意兩條直線最多共可確定個(gè)平面.

答案3解析當(dāng)三條直線在同一個(gè)平面內(nèi)時(shí),則可確定一個(gè)平面;當(dāng)三條直線不在同一個(gè)平面內(nèi)時(shí),如三棱柱三條側(cè)棱所在直線,此時(shí)可確定三個(gè)平面.8.把下列符號(hào)敘述所對(duì)應(yīng)的圖形的序號(hào)填在題后橫線上.(1)A?α,a?α:;

(2)α∩β=a,P?α且P?β:;

(3)a?α,a∩α=A:;

(4)α∩β=a,α∩γ=c,β∩γ=b,a∩b∩c=O:.

答案(1)③(2)④(3)①(4)②解析根據(jù)幾何中的圖示法和幾何描述法的對(duì)應(yīng)關(guān)系,(1)A?α,a?α:對(duì)應(yīng)③;(2)α∩β=a,P?α且P?β:對(duì)應(yīng)④;(3)a?α,a∩α=A:對(duì)應(yīng)①;(4)α∩β=a,α∩γ=c,β∩γ=b,a∩b∩c=O:對(duì)應(yīng)②.9.如圖,在正方體ABCDA1B1C1D1中,點(diǎn)M,N,E,F分別是棱CD,AB,DD1,AA1上的點(diǎn),若MN與EF交于點(diǎn)Q,求證:D,A,Q三點(diǎn)共線.證明∵M(jìn)N∩EF=Q,∴Q∈直線MN,Q∈直線EF.又M∈直線CD,N∈直線AB,CD?平面ABCD,AB?平面ABCD,∴M,N∈平面ABCD,∴MN?平面ABCD.∴Q∈平面ABCD.同理,可得EF?平面ADD1A1.∴Q∈平面ADD1A1.又平面ABCD∩平面ADD1A1=AD,∴Q∈直線AD,即D,A,Q三點(diǎn)共線.10.如圖所示,在正方體ABCDA1B1C1D1中,E,F分別為D1C1,C1B1的中點(diǎn),AC∩BD=P,A1C1∩EF=Q.求證:(1)D,B,F,E四點(diǎn)共面;(2)若A1C交平面DBEF于點(diǎn)R,則P,Q,R三點(diǎn)共線.證明(1)∵EF是△D1B1C1的中位線,∴EF∥B1D1.在正方體AC1中,B1D1∥BD,∴EF∥BD.∴EF,BD確定一個(gè)平面,即D,B,F,E四點(diǎn)共面.(2)正方體AC1中,設(shè)A1ACC1確定的平面為α,又設(shè)平面BDEF為β.∵A1C1∩EF=Q,∴Q∈A1C1,Q∈EF,∴Q∈α,Q∈β.則Q是α與β的公共點(diǎn).同理,P是α與β的公共點(diǎn).∴α∩β=PQ.又A1C交平面β于點(diǎn)R,∴R∈A1C.∴R∈α,且R∈β,則R∈PQ,故P,Q,R三點(diǎn)共線.關(guān)鍵能力提升練11.已知平面α與平面β,γ都相交,則這三個(gè)平面的交線可能有()A.1條或2條 B.2條或3條C.1條或3條 D.1條或2條或3條答案D解析當(dāng)α過平面β與γ的交線時(shí),這三個(gè)平面有1條交線;當(dāng)β與γ平行時(shí),α與β和γ各有一條交線,共有2條交線;當(dāng)β∩γ=b,α∩β=a,α∩γ=c時(shí),有3條交線.12.已知α,β,γ是平面,a,b,c是直線,α∩β=a,β∩γ=b,γ∩α=c,若a∩b=P,則()A.P∈c B.P?c C.c∩a=? D.c∩β=?答案A解析如圖,∵a∩b=P,∴P∈a,P∈b.∵α∩β=a,β∩γ=b,∴P∈α,P∈γ,而γ∩α=c,∴P∈c.13.(多選題)如圖,ABCDA1B1C1D1是長方體,O是B1D1的中點(diǎn),直線A1C交平面AB1D1于點(diǎn)M,則下列結(jié)論正確的是()A.A,M,O三點(diǎn)共線B.A,M,O,A1四點(diǎn)共面C.A,O,C,M四點(diǎn)共面D.B,B1,O,M四點(diǎn)共面答案ABC解析因?yàn)锳,M,O三點(diǎn)既在平面AB1D1內(nèi),又在平面AA1C內(nèi),故A,M,O三點(diǎn)共線,從而易知ABC均正確.14.在正方體ABCDA1B1C1D1中,M,N分別是棱DD1和BB1上的點(diǎn),MD=13DD1,NB=13BB1,那么正方體中過M,N,C1的截面圖形是(A.三角形 B.四邊形C.五邊形 D.六邊形答案C解析設(shè)直線C1M,CD相交于點(diǎn)E,直線C1N,CB相交于點(diǎn)F,連接EF交直線AD于點(diǎn)P,交直線AB于點(diǎn)Q,則五邊形C1MPQN為所求截面圖形.15.如圖,已知在四面體ABCD中,E,F分別是AB,AD的中點(diǎn),G,H分別是BC,CD上的點(diǎn),且BGGC=DHHC=2.求證:直線EG,FH證明∵E,F分別是AB,AD的中點(diǎn),∴EF∥BD,且EF=12BD又BGGC=∴GH∥BD,且GH=13BD∴EF∥GH,且EF>GH,∴四邊形EFHG是梯形,其兩腰所在直線必相交.設(shè)兩腰EG,FH的延長線相交于一點(diǎn)P,∵EG?平面ABC,FH?平面ACD,∴P∈平面ABC,P∈平面ACD.又平面ABC∩平面ACD=AC,∴P∈AC,故直線EG,FH,AC相交于同一點(diǎn).學(xué)科素養(yǎng)創(chuàng)新練16.如圖,在棱長為a的正方體ABCDA1B1C1D1中,M,N分別是AA1,D1C1的中點(diǎn),過D,M,N三