匯報人：AA概率論與數(shù)理統(tǒng)計5.32024-01-20目錄概率論基本概念隨機(jī)變量及其分布多維隨機(jī)變量及其分布隨機(jī)變量數(shù)字特征大數(shù)定律和中心極限定理數(shù)理統(tǒng)計基本概念01概率論基本概念Chapter樣本空間所有可能結(jié)果的集合，常用大寫字母S表示。事件樣本空間的子集，即某些可能結(jié)果的組合。事件常用大寫字母A、B、C等表示。基本事件只包含一個樣本點的事件，其發(fā)生的概率通常定義為該樣本點發(fā)生的概率。樣本空間與事件030201可加性對于任意兩個互斥事件A和B（即A∩B=?），有P(A∪B)=P(A)+P(B)。概率定義在相同條件下，對某事件A進(jìn)行n次試驗，若事件A發(fā)生的次數(shù)m與總次數(shù)n的比值m/n隨著n的增大而趨于某一常數(shù)p，則稱p為事件A發(fā)生的概率。非負(fù)性對于任意事件A，其概率P(A)≥0。規(guī)范性整個樣本空間S發(fā)生的概率為1，即P(S)=1。概率定義及性質(zhì)在事件B發(fā)生的條件下，事件A發(fā)生的概率，記作P(A|B)。條件概率的計算公式為P(A|B)=P(AB)/P(B)，其中P(AB)表示事件A和B同時發(fā)生的概率。若事件A的發(fā)生與否對事件B的發(fā)生概率沒有影響，即P(AB)=P(A)P(B)，則稱事件A與事件B相互獨立。獨立性的判斷方法包括定義法、等價條件法等。條件概率事件的獨立性條件概率與獨立性02隨機(jī)變量及其分布Chapter隨機(jī)變量定義及分類定義隨機(jī)變量是定義在樣本空間上的實值函數(shù)，它將樣本空間中的每一個樣本點映射到一個實數(shù)。分類根據(jù)隨機(jī)變量取值的連續(xù)性，可分為離散型隨機(jī)變量和連續(xù)型隨機(jī)變量。二項分布n重伯努利試驗中成功次數(shù)的分布，記作B(n,p)，其中n為試驗次數(shù)，p為成功概率。泊松分布描述單位時間內(nèi)隨機(jī)事件發(fā)生的次數(shù)，記作P(λ)，其中λ為平均發(fā)生率。0-1分布隨機(jī)變量只取0和1兩個值，分布律由成功概率p決定。常見離散型隨機(jī)變量分布均勻分布在某一區(qū)間內(nèi)取值等可能的連續(xù)型隨機(jī)變量，記作U(a,b)，其中a,b為區(qū)間端點。指數(shù)分布描述連續(xù)型隨機(jī)事件發(fā)生的時間間隔，記作Exp(λ)，其中λ為平均發(fā)生率。正態(tài)分布影響某一數(shù)量指標(biāo)的隨機(jī)因素很多，而每一個因素所起的作用不太大，則這個指標(biāo)的取值近似服從正態(tài)分布，記作N(μ,σ^2)，其中μ為均值，σ^2為方差。010203常見連續(xù)型隨機(jī)變量分布03多維隨機(jī)變量及其分布Chapter設(shè)$(X,Y)$是二維隨機(jī)變量，對于任意實數(shù)$x,y$，二元函數(shù)$F(x,y)=P{(Xleqx)cap(Yleqy)}$稱為二維隨機(jī)變量$(X,Y)$的聯(lián)合分布函數(shù)。聯(lián)合分布函數(shù)如果二維隨機(jī)變量$(X,Y)$的聯(lián)合分布函數(shù)$F(x,y)$可微，則稱函數(shù)$f(x,y)=frac{partial^2F}{partialxpartialy}$為$(X,Y)$的聯(lián)合概率密度。聯(lián)合概率密度二維隨機(jī)變量聯(lián)合分布邊緣概率密度如果$(X,Y)$的聯(lián)合概率密度為$f(x,y)$，則$X$的邊緣概率密度為$f_X(x)=int_{-infty}^{infty}f(x,y)dy$，$Y$的邊緣概率密度為$f_Y(y)=int_{-infty}^{infty}f(x,y)dx$。邊緣分布函數(shù)二維隨機(jī)變量$(X,Y)$關(guān)于$X$的邊緣分布函數(shù)定義為$F_X(x)=F(x,infty)$，關(guān)于$Y$的邊緣分布函數(shù)定義為$F_Y(y)=F(infty,y)$。條件分布設(shè)二維隨機(jī)變量$(X,Y)$的聯(lián)合概率密度為$f(x,y)$，且$f_X(x)>0$，則在$X=x$的條件下，$Y$的條件概率密度為$f_{Y|X}(y|x)=frac{f(x,y)}{f_X(x)}$。邊緣分布與條件分布定義：設(shè)二維隨機(jī)變量$(X,Y)$的聯(lián)合概率密度為$f(x,y)$，邊緣概率密度分別為$f_X(x)$和$f_Y(y)$。如果對于所有的$x,y$都有$f(x,y)=f_X(x)f_Y(y)$，則稱隨機(jī)變量$X$和$Y$是相互獨立的。性質(zhì)：相互獨立的隨機(jī)變量具有以下性質(zhì)$P{Xleqx,Yleqy}=P{Xleqx}P{Yleqy}$；$E[XY]=E[X]E[Y]$；$D[X+Y]=D[X]+D[Y]$。0102030405相互獨立隨機(jī)變量04隨機(jī)變量數(shù)字特征Chapter數(shù)學(xué)期望描述隨機(jī)變量取值的“平均水平”，是概率加權(quán)下的平均值。對于離散型隨機(jī)變量，數(shù)學(xué)期望是所有可能取值與其對應(yīng)概率的乘積之和；對于連續(xù)型隨機(jī)變量，數(shù)學(xué)期望則是通過積分計算得到。方差衡量隨機(jī)變量取值與其數(shù)學(xué)期望的偏離程度。方差越大，說明隨機(jī)變量取值的波動性或分散程度越大；方差越小，則說明隨機(jī)變量取值越趨近于數(shù)學(xué)期望。數(shù)學(xué)期望與方差協(xié)方差與相關(guān)系數(shù)衡量兩個隨機(jī)變量變化趨勢的相似程度。當(dāng)兩個隨機(jī)變量同時向相反方向變化時，協(xié)方差為負(fù)值；當(dāng)兩個隨機(jī)變量同時向同一方向變化時，協(xié)方差為正值。協(xié)方差的大小還反映了兩個隨機(jī)變量變化幅度的大小。協(xié)方差是協(xié)方差的標(biāo)準(zhǔn)化形式，用于消除量綱影響，更準(zhǔn)確地反映兩個隨機(jī)變量之間的線性相關(guān)程度。相關(guān)系數(shù)的取值范圍為[-1,1]，其中-1表示完全負(fù)相關(guān)，1表示完全正相關(guān)，0表示不相關(guān)。相關(guān)系數(shù)VS描述隨機(jī)變量的分布形態(tài)，特別是偏態(tài)和峰態(tài)。一階原點矩即為數(shù)學(xué)期望，二階中心矩即為方差，三階標(biāo)準(zhǔn)化矩描述分布的偏態(tài)，四階標(biāo)準(zhǔn)化矩描述分布的峰態(tài)。協(xié)方差矩陣用于描述多個隨機(jī)變量之間的線性相關(guān)關(guān)系。協(xié)方差矩陣的對角線元素為各個隨機(jī)變量的方差，非對角線元素為不同隨機(jī)變量之間的協(xié)方差。通過協(xié)方差矩陣可以方便地計算相關(guān)系數(shù)矩陣，從而更全面地了解多個隨機(jī)變量之間的相關(guān)關(guān)系。矩矩、協(xié)方差矩陣05大數(shù)定律和中心極限定理Chapter含義大數(shù)定律是描述隨機(jī)事件在大量重復(fù)試驗中呈現(xiàn)出的穩(wěn)定性的一種規(guī)律。即當(dāng)試驗次數(shù)足夠多時，隨機(jī)事件發(fā)生的頻率將趨近于該事件發(fā)生的概率。種類包括伯努利大數(shù)定律、辛欽大數(shù)定律等。應(yīng)用在保險、金融、醫(yī)學(xué)等領(lǐng)域中，大數(shù)定律被廣泛應(yīng)用于風(fēng)險評估和決策分析。大數(shù)定律含義中心極限定理是概率論中的重要定理之一，它指出當(dāng)獨立隨機(jī)變量的數(shù)量足夠多時，這些隨機(jī)變量的和或平均值將趨近于正態(tài)分布。前提條件要求隨機(jī)變量相互獨立且具有有限的方差。應(yīng)用在統(tǒng)計學(xué)中，中心極限定理為參數(shù)估計和假設(shè)檢驗提供了重要的理論依據(jù)。同時，在自然科學(xué)、社會科學(xué)、工程學(xué)等領(lǐng)域中，中心極限定理也被廣泛應(yīng)用于數(shù)據(jù)分析和建模。中心極限定理06數(shù)理統(tǒng)計基本概念Chapter研究對象的全體個體組成的集合，通常用一個隨機(jī)變量$X$及其分布$F(x)$來描述?？傮w從總體中隨機(jī)抽取的一部分個體，用于推斷總體的性質(zhì)。樣本量記為$n$，樣本觀測值記為$x_1,x_2,ldots,x_n$。樣本樣本所有可能取值的集合。樣本空間總體與樣本由樣本觀測值計算得到的用于描述樣本特征的量，如樣本均值、樣本方差等。統(tǒng)計量不依賴于任何未知參數(shù)。包括無偏性、有效性、一致性等。無偏性指統(tǒng)計量的期望值等于總體參數(shù)的真實值；有效性指對于同一總體參數(shù)的兩個無偏估計量，方差較小的更有效；一致性指當(dāng)樣本量趨于無窮大時，統(tǒng)計量依概率收斂于總體參數(shù)的真實值。統(tǒng)計量統(tǒng)計量的性質(zhì)統(tǒng)計量及其性質(zhì)01020304抽樣分布描述樣本統(tǒng)計量分布的概率分布。常見的抽樣分布有$chi^2$分布、$t$分布和$F$分布。$t$分布學(xué)生