匯報人：AA2024-01-20概率論與數(shù)理統(tǒng)計二維隨機變量及其分布目錄CONTENTS二維隨機變量基本概念二維離散型隨機變量二維連續(xù)型隨機變量二維隨機變量的獨立性二維隨機變量的數(shù)字特征二維隨機變量函數(shù)的分布01二維隨機變量基本概念二維隨機變量定義設E是一個隨機試驗，它的樣本空間是S={e}，設X=X{e}和Y=Y{e}是定義在S上的隨機變量，由它們構成的一個向量（X，Y），叫做二維隨機變量或二維隨機向量。二維隨機變量的性質(zhì)二維隨機變量(X,Y)的性質(zhì)不僅與X、Y各自的性質(zhì)有關，而且還依賴于這兩個隨機變量的相互關系。定義與性質(zhì)聯(lián)合分布函數(shù)聯(lián)合分布函數(shù)的定義設(X,Y)是二維隨機變量，對于任意實數(shù)x,y，二元函數(shù)：F(x,y)=P{(X<=x)∩(Y<=y)}=>P(X<=x,Y<=y)稱為二維隨機變量(X,Y)的分布函數(shù)，或稱為X和Y的聯(lián)合分布函數(shù)。聯(lián)合分布函數(shù)的性質(zhì)1.F(x,y)對x,y是不減函數(shù)；2.0<=F(x,∞)<=1，0<=F(∞,y)<=1；3.F(x,-∞)=0，F(xiàn)(-∞,y)=0；4.F(x,y)關于x,y右連續(xù)；5.P{(X>x)(Y>y)}=1-F(x,y)。二維隨機變量(X,Y)作為一個整體，具有分布函數(shù)F(x,y)，而X和Y都是隨機變量，各自也有分布函數(shù)，將它們分別記為FX(x)，F(xiàn)Y(y)，依次稱為二維隨機變量(X,Y)關于X和Y的邊緣分布函數(shù)。邊緣分布函數(shù)可以由聯(lián)合分布函數(shù)確定。邊緣分布函數(shù)的定義1.FX(x)，F(xiàn)Y(y)分別是x和y的不減函數(shù)；2.0<=FX(x)<=1，0<=FY(y)<=1；3.FX(-∞)=0，F(xiàn)X(∞)=1；FY(-∞)=0，F(xiàn)Y(∞)=1。邊緣分布函數(shù)的性質(zhì)邊緣分布函數(shù)02二維離散型隨機變量定義設$X$和$Y$是兩個離散型隨機變量，稱$P{X=x_i,Y=y_j}=p_{ij},i,j=1,2,ldots$為$X$和$Y$的聯(lián)合概率分布。非負性$p_{ij}geq0$，對所有的$i,j$。歸一性$sum_{i=1}^{infty}sum_{j=1}^{infty}p_{ij}=1$。聯(lián)合概率分布邊緣概率分布01定義：二維離散型隨機變量$X$和$Y$的邊緣概率分布定義為02$P{X=x_i}=sum_{j=1}^{infty}p_{ij},i=1,2,ldots$03$P{Y=y_j}=sum_{i=1}^{infty}p_{ij},j=1,2,ldots$04性質(zhì)：邊緣概率分布描述了隨機變量$X$和$Y$各自取值的概率，與聯(lián)合概率分布有關，但不等同于聯(lián)合概率分布。條件概率分布設$P{X=x_i,Y=y_j}=p_{ij}>0$，則稱$P{X=x_i|Y=y_j}=frac{p_{ij}}{P{Y=y_j}}$為在$Y=y_j$條件下，$X=x_i$的條件概率。定義條件概率具有一般概率的性質(zhì)，即非負性和歸一性。同時，條件概率反映了在已知部分信息（如$Y=y_j$）的情況下，隨機變量$X$取值的概率。性質(zhì)03二維連續(xù)型隨機變量定義設二維隨機變量(X,Y)的分布函數(shù)為F(x,y)，如果存在非負函數(shù)f(x,y)，使得對于任意x,y有F(x,y)=∫∫f(u,v)dudv（積分區(qū)域為x≤u≤∞，y≤v≤∞），則稱(X,Y)為連續(xù)型隨機變量，f(x,y)稱為(X,Y)的聯(lián)合概率密度函數(shù)。性質(zhì)聯(lián)合概率密度函數(shù)f(x,y)具有非負性和規(guī)范性，即f(x,y)≥0，且∫∫f(x,y)dxdy=1（積分區(qū)域為全平面）。幾何意義聯(lián)合概率密度函數(shù)f(x,y)在點(x,y)處的值表示事件{X=x,Y=y}發(fā)生的概率密度，即在該點附近單位面積內(nèi)事件發(fā)生的概率。聯(lián)合概率密度函數(shù)邊緣概率密度函數(shù)性質(zhì)邊緣概率密度函數(shù)具有非負性和規(guī)范性，即fX(x)≥0，fY(y)≥0，且∫fX(x)dx=1，∫fY(y)dy=1（積分區(qū)域分別為x或y的取值范圍）。定義設二維連續(xù)型隨機變量(X,Y)的聯(lián)合概率密度函數(shù)為f(x,y)，則X和Y的邊緣概率密度函數(shù)分別為fX(x)=∫f(x,y)dy和fY(y)=∫f(x,y)dx（積分區(qū)域分別為全平面和x或y的取值范圍）。幾何意義邊緣概率密度函數(shù)fX(x)和fY(y)分別表示隨機變量X和Y在各自取值范圍內(nèi)取值的概率密度。要點三定義設二維連續(xù)型隨機變量(X,Y)的聯(lián)合概率密度函數(shù)為f(x,y)，邊緣概率密度函數(shù)分別為fX(x)和fY(y)。若在某一區(qū)域內(nèi)fY(y)>0，則稱條件概率密度函數(shù)為f(x|y)=f(x,y)/fY(y)。類似地，若在某一區(qū)域內(nèi)fX(x)>0，則稱條件概率密度函數(shù)為f(y|x)=f(x,y)/fX(x)。要點一要點二性質(zhì)條件概率密度函數(shù)具有非負性和規(guī)范性，即f(x|y)≥0，f(y|x)≥0，且∫f(x|y)dx=1（積分區(qū)域為x的取值范圍），∫f(y|x)dy=1（積分區(qū)域為y的取值范圍）。幾何意義條件概率密度函數(shù)f(x|y)和f(y|x)分別表示在已知Y=y或X=x的條件下，隨機變量X或Y在各自取值范圍內(nèi)取值的概率密度。要點三條件概率密度函數(shù)04二維隨機變量的獨立性輸入標題02010403獨立性的定義與性質(zhì)定義：若二維隨機變量$(X,Y)$滿足$F(x,y)=F_X(x)F_Y(y)$，則稱$X$與$Y$相互獨立。若$X$與$Y$相互獨立，則對于任意函數(shù)$g(X)$和$h(Y)$，隨機變量$g(X)$與$h(Y)$也相互獨立。若$X$與$Y$相互獨立，則對于任意實數(shù)$x$和$y$，事件${Xleqx}$與事件${Yleqy}$相互獨立。性質(zhì)定義：對于離散型隨機變量$(X,Y)$，若其聯(lián)合概率分布律滿足$p_{ij}=p_icdotp_j'$，則稱$X$與$Y$相互獨立。若離散型隨機變量$X$與$Y$相互獨立，則它們的邊緣概率分布律分別等于各自的概率分布律。若離散型隨機變量$X$與$Y$相互獨立，則對于任意正整數(shù)$m,n$，事件${X=m}$與事件${Y=n}$相互獨立。性質(zhì)離散型隨機變量的獨立性定義：對于連續(xù)型隨機變量$(X,Y)$，若其聯(lián)合概率密度函數(shù)滿足$f(x,y)=f_X(x)f_Y(y)$，則稱$X$與$Y$相互獨立。性質(zhì)若連續(xù)型隨機變量$X$與$Y$相互獨立，則它們的邊緣概率密度函數(shù)分別等于各自的概率密度函數(shù)。若連續(xù)型隨機變量$X$與$Y$相互獨立，則對于任意實數(shù)區(qū)間$(a,b]$和$(c,d]$，事件${a<Xleqb}$與事件${c<Yleqd}$相互獨立。若連續(xù)型隨機變量$X$與$Y$相互獨立，且函數(shù)$g(x)$和$h(y)$連續(xù)，則隨機變量$g(X)$與$h(Y)$也相互獨立。連續(xù)型隨機變量的獨立性05二維隨機變量的數(shù)字特征VS描述二維隨機變量取值的“中心”位置，是隨機變量所有可能取值的加權平均數(shù)，權數(shù)為每個取值的概率。方差衡量二維隨機變量取值的離散程度，即各取值與數(shù)學期望的偏離程度。方差越大，說明隨機變量的取值越分散；方差越小，說明隨機變量的取值越集中。數(shù)學期望數(shù)學期望與方差衡量兩個隨機變量的總體誤差，反映兩個隨機變量線性相關的程度和方向。如果兩個隨機變量的變化趨勢一致，則協(xié)方差為正；如果兩個隨機變量的變化趨勢相反，則協(xié)方差為負；如果兩個隨機變量相互獨立，則協(xié)方差為零。是協(xié)方差的標準化形式，消除了量綱的影響，更準確地反映兩個隨機變量之間的線性相關程度。相關系數(shù)的取值范圍為[-1,1]，其中1表示完全正相關，-1表示完全負相關，0表示不相關。協(xié)方差相關系數(shù)協(xié)方差與相關系數(shù)矩描述二維隨機變量分布形態(tài)的特征數(shù)，包括一階原點矩（即數(shù)學期望）和二階中心矩（即方差）。高階矩可以進一步描述分布的偏態(tài)和峰態(tài)等特征。協(xié)方差矩陣由二維隨機變量的協(xié)方差構成的矩陣，用于描述兩個隨機變量之間的線性相關關系。協(xié)方差矩陣是對稱矩陣，主對角線上的元素分別是兩個隨機變量的方差，非主對角線上的元素是兩個隨機變量的協(xié)方差。通過協(xié)方差矩陣可以方便地求出相關系數(shù)矩陣，從而更全面地了解兩個隨機變量之間的相關關系。矩與協(xié)方差矩陣06二維隨機變量函數(shù)的分布和的分布若二維隨機變量(X,Y)的聯(lián)合概率密度函數(shù)為f(x,y)，則Z=X+Y的分布函數(shù)為：FZ(z)=∫∫f(x,y)dxdy，其中積分區(qū)域為D：x+y≤z。若X和Y相互獨立，且分別服從正態(tài)分布N(μ1,σ1^2)和N(μ2,σ2^2)，則Z=X+Y也服從正態(tài)分布，其期望為E(Z)=μ1+μ2，方差為D(Z)=σ1^2+σ2^2。若二維隨機變量(X,Y)的聯(lián)合概率密度函數(shù)為f(x,y)，則Z=X-Y的分布函數(shù)為：FZ(z)=∫∫f(x,y)dxdy，其中積分區(qū)域為D：x-y≤z。若X和Y相互獨立，且分別服從正態(tài)分布N(μ1,σ1^2)和N(μ2,σ2^2)，則Z=X-Y也服從正態(tài)分布，其期望為E(Z)=μ1-μ2，方差為D(Z)=σ1^2+σ2^2。差的分布若二維隨機變量(X,Y)的聯(lián)合概率密度函數(shù)為f(x,y)，則Z=XY的分布函數(shù)通常難以直接求得，但可以通過變換方法或數(shù)值計算得到。若X和Y相互獨立，且分別服從均勻分布U(0,1)，則Z=XY的概率密度函數(shù)為：fZ(z)=-ln(z)