新諛彩杼推教孽選弟2—3第一章得.后習題豳答

第一章計數(shù)原理

1.1分類加法計數(shù)原理與分步乘法計數(shù)原理

練習（P6）

1、（1）要完成的“一件事情”是“選出1人完成工作”，不同的選法種數(shù)是5+4=9；

（2）要完成的“一件事情”是“從A村經(jīng)8村到C村去”，不同路線條數(shù)是3X2=6.

2、（1）要完成的“一件事情”是“選出1人參加活動”，不同的選法種數(shù)是3+5+4=12；

（2）要完成的“一件事情”是“從3個年級的學生中各選1人參加活動”，不同選法種

數(shù)是3X5X4=60.

3、因為要確定的是這名同學的專業(yè)選擇，并不要考慮學校的差異，

所以應當是6+4—1=9（種）可能的專業(yè)選擇.

練習（P10）

1、要完成的“一件事情”是“得到展開式的一項”.由于每一項都是。肉Q的形式，所以可

以分三步完成：第一步，取《，有3種方法；笫二步，取與，有3種方法；第三步，取或，

有5種方法.根據(jù)分步乘法計數(shù)原理，展開式共有3X3X5=45（項）.

2、要完成的“一件事情”是“確定一個電話號碼的后四位”.分四步完成，每一步都是從

0?9這10個數(shù)字中取一個，共有10X10X10X10=10000（個）.

3、要完成的“一件事情”是“從5名同學中選出正、副組長各1名”.第一步選正組長，

有5種方法；第二步選副組長，有4種方法.共有選法5X4=20（種）.

4、要完成的“一件事情”是“從6個門中的一個進入并從另一個門出去”.分兩步完成：

先從6個門中選一個進入，再從其余5個門中選一個出去.共有進出方法6X5=30（種）.

習題1.1A組（P12）

1、“一件事情”是“買一臺某型號的電視機”.不同的選法有4+7=11（種）.

2、“一件事情”是“從甲地經(jīng)乙地或經(jīng)丙地到丁地去”.所以是“先分類，后分步”，不同

的路線共有2X3+4X2=14（條）.

3、對于第一問，“一件事情”是“構成一個分數(shù)”.由于1,5,9,13是奇數(shù)，4,8,12,

16是偶數(shù)，所以1,5,9,13中任意一個為分子，都可以與4,8,12,16中的任意一個構成

分數(shù).因此可以分兩步來構成分數(shù)：第一步，選分子，有4種選法；第二步，選分母，也有4

種選法.共有不同的分數(shù)4義4=16（個）.

對于第二問，“一件事情”是“構成一個真分數(shù)”.分四類：分子為1時，分母可以從4,8,

12,16中任選一個，有4個；分子為5時，分母可以從8,12,16中選一個，有3個；分子

為9時，分母從12,16中選一個，有2個；分子為13時，分母只能選16,有1個.所以共有

真分數(shù)4+3+2+1=10（個）.

4、“一件事情”是“接通線路”.根據(jù)電路的有關知識，容易得到不同的接通線路有3+1

+2X2=8（條）.

5、（1）“一件事情”是“用坐標確定一個點”.由于橫、縱坐標可以相同，因此可以分兩步

完成：第一步，從A中選橫坐標，有6個選擇；第二步，從A中選縱坐標，也有6個選擇.所

以共有坐標6X6=36（個）.

（2）“一件事情”是“確定一條直線的方程”.由于斜率不同截距不同、斜率不同截距相同、

斜率相同截距不同的直線都是互不相同的，因此可分兩步完成：第一步，取斜率，有4種取法;

第二步，取截距，有4種取法.所以共有直線4X4=16（條）.

習題1.1B組（P13）

1、“一件事情”是“組成一個四位數(shù)字號碼”.由于數(shù)字可以重復，最后一個只能在。?5

這六個數(shù)字中撥，所以有號碼10X10X10X6=6000(個).

2、(1)“一件事情”是“4名學生分別參加3個運動隊中的一個，每人限報一個，可以報同

一個運動隊”.應該是人選運動隊，所以不同報法種數(shù)是3上

(2)“一件事情”是“3個班分別從5個風景點中選擇一處游覽”.應該是人選風景點，故

不同的選法種數(shù)是53.

1.2排列與組合

練習(P20)

1、(1)ab,ac,ad,ha,bc,bd,ca,cb,cd,da,db,dc；

(2)ab,ac,ad,ae,ba,bc,bd,be,ca,ch,cd,ce,da,db,dc,de,ea,eb,ec,ed.

2、(1)=15x14x13x12=32760；(2)A；=7!=5040；

(3)父-2履=8x7x6x5-2x8x7=1568；(4)空=冷=5.

44

N2345678

N!2624120720504040320

4、⑴略.⑵星-8A；+7A；=84一8A；+A；=A；.

5、羯=60(種).6、A：=24(種).

練習(P25)

1、(1)甲、乙，甲、丙，甲、J,乙、丙，乙、J,丙、J;

(2)

冠軍甲乙甲丙甲T乙丙乙T丙T

亞軍乙'1'丙甲T甲丙乙丁乙T丙

2、\ABC,\ABD,MCD,ABCD.

3、Cl=20(種).4、C：=6(個).

5、(1)C；="=15：(2)=8x7x6=56；

61x281x2x3

(3)C；-C；=35-15=20；(4)3C；-2C；=3x56-2x10=148.

公m+1m+l("+1)!n\

o、---7C.I+I-------------------------=-i----7-=Cn

〃+1H+1(zn+1)![(n+1)-(m+1)]!m!(〃一機)！

習題1.2A組(P27)

1、(1)58+4A：=5x60+4x12=348；(2)A：+A：+A：+A：=4+12+24+24=64.

2

2、(1)C]=455；(2)C；索=60n=1313400；(3)C；+C：=亍;

（4）CH=C；M?c；=（〃+1）?-

3、（1）A：：；一A：=（〃+1）A：-A：=〃然=〃"；；

（2）（〃+l）!〃！_（"+1）!一女一k+1）〃！

~~k\（k-l）!一~k\-it!.

4、由于4列火車各不相同，所以停放的方法與順序有關，有4=1680（種）不同的停法.

5、A：=24.

6、由于書架是單層的，所以問題相當于20個元素的全排列，有種不同的排法.

7、可以分三步完成：第一步，安排4個音樂節(jié)目，共有A：種排法；第二步，安排舞蹈節(jié)

目，共有A；種排法；第三步，安排曲藝節(jié)目，共有引種排法.所以不同的排法有

=288（種）.

8、由于〃個不同元素的全排列共有〃!個，而〃!2〃，所以由〃個不同的數(shù)值可以以不同的

順序形成其余的每一行，并且任意兩行的順序都不同.

為使每一行都不重復，機可以取的最大值是〃!.

9、（1）由于圓上的任意3點不共線，圓的弦的端點沒有順序，所以共可以畫G：=45（條）

不同的弦；

（2）由于三角形的頂點沒有順序，所以可以畫的圓內(nèi)接三角形有=120（個）.

10、（1）凸五邊形有5個頂點，任意2個頂點的連線段中，除凸五邊形的邊外都是對角線,

所以共有對角線以-5=5（條）；

（2）同（1）的理由，可得對角線為C：—〃=四二2（條）.說明：本題采用間接法更方便.

2

11、由于四張人民幣的面值都不相同，組成的面值與順序無關，所以可以分為四類面值，

分別由1張、2張、3張、4張人民幣組成，共有不同的面值C：+C：+C；+C：=15（種）.

12、（1）由“三個不共線的點確定一個平面”，所確定的平面與點的順序無關，所以共可確

定的平面數(shù)是C；=56；

（2）由于四面體由四個頂點唯一確定，而與四個點的順序無關，所以共可確定的四面體個

數(shù)是盤）=210.

13、（1）由于選出的人沒有地位差異，所以是組合問題，不同的方法數(shù)是C；=10.

（2）由于禮物互不相同，與分送的順序有關系，所以是排列問題，不同方法數(shù)是用=60；

(3)由于5個人中每個人都有3中選擇，而且選擇的時間對別人沒有影響，所以是一個“可

重復排列”問題，不同方法數(shù)是35=243；

(4)由于只要取出元素，而不必考慮順序，所以可以分兩步取元素：第一步，從集合A中

取，有機種取法；第二步，從集合B中取，有〃種取法.所以共有取法加〃種.

說明：笫(3)題是“可重復排列”問題，但可以用分步乘法計數(shù)原理解決.

14、由于只要選出要做的題目即可，所以是組合問題，另外，可以分三步分別從第1,2,3

題中選題，不同的選法種數(shù)有

15、由于選出的人的地位沒有差異，所以是組合問題.

(1)=60；

(2)其余2人可以從剩下的7人中任意選擇，所以共有C；=21(種)選法；

(3)用間接法，在9人選4人的選法中，把男甲和女乙都不在內(nèi)的去掉，就得到符合條

件的選法數(shù)為C；-C；=91；

如果采用直接法，則可分為3類：只含男甲；只含女乙；同時含男甲女乙，得到符合條件

的方法數(shù)為C；+C：+C；=91；

(4)用間接法，在9人選4人的選法中，把只有男生和只有女生的情況排除掉，得到選

法總數(shù)為C：=120.

也可以用直接法，分別按照含男生1,2,3人分類，得到符合條件的選法數(shù)為

16、按照去的人數(shù)分類，去的人數(shù)分別為1,2,3,4,5,6,而去的人大家沒有地位差異,

所以不同的去法有C：+C；+C；+C：+C；+C：=63(種).

17、(1)G%=1274196；(2)C^-C^=124234110；(3)C^g=2410141734；

(4)解法1：=125508306.解法2：。短—。蕊=125508306.

說明：解答本題時，要注意區(qū)分“恰有”“至少有”等詞.

習題1.2B組(P28)

1、容易知道，在C；7注彩票中可以有一個一等獎.

在解決第2問時，可分別計算37選6及37選8中的一等獎的中獎機會，它們分別是

一=-------和-X-=-------------

/2324784Cj738608020

1

要將一等獎的機會提高到一一以上且不超過

6000000500000

500000</<6000000,

用計算機可得，〃=6,或“=31.

所以可在37個數(shù)中取6個或31個.

2、可以按照I,H,IH,IV的順序分別著色：分別有5,4,3,3種方法，所以著色種數(shù)有

5X4X3X3=180(種).

3、”先取元素后排列”，分三步完成：第一步，從1,3,5,7,9中取3個數(shù)，有種取

法；第二步，從2,4,6,8中取2個數(shù)，有種取法；第三步，將取出的5個數(shù)全排列，有

6種排法.共有符合條件的五位數(shù)(?；,《?收=7200(個).

4、由于甲和乙都沒有得冠軍，所以冠軍是其余3人中的一個，有4種可能；乙不是最差的，

所以是第2,3,4名中的一種有種可能；上述位置確定后，甲連同其他2人可任意排列，

有8種排法.所以名次排列的可能情況的種數(shù)是A；??用=54.

5、等式兩邊都是兩個數(shù)相乘，可以想到分步乘法計數(shù)原理，于是可得如下分步取組合的方

法.

在〃個人中選擇〃?個人搞衛(wèi)生工作，其中女個人擦窗，機-上個人拖地，共有多少種不同的

選取人員的方法？

解法1：利用分步計數(shù)原理，先從〃個人中選用個人，然后從選出的加個人中再選出女個人

擦窗，剩余的人拖地，這樣有種不同的選取人員的方法；

解法2：直接從〃個人中選女個人擦窗，然后在剩下的〃-女個人中選機-女個人拖地，這樣，

由分步計數(shù)原理得，共有C：C；工種不同的人員選擇方法.

所以，Cd=CC成立.

說明：經(jīng)常引導學生從一個排列組合的運算結果或等式出發(fā)，構造一個實際問題加以解釋,

有助于學生對問題的深入理解，檢查結果，糾正錯誤.

1.3二項式定理

練習(P31)

1、p1+7p6q+21p'q2+35p%'+35p，4+21p，’+7pq"+q1.

2、7；=C；(2a)4.(3b)2=2160a%2

3、心，(—擊)「=空?號.

4、D.理由是心=。"°一5(-1)5=-盤/.

練習(P35)

n〃一1

1、(1)當〃是偶數(shù)時，最大值C,?；當〃是奇數(shù)時，最大值c,7.

(2)G'I+C：|+…+C：：=；.2“=1024.(3)

2、；C：+C；+C：+…+C：+—+C：=2",

2、C：+C：+C：+…+C：+…+C：=2",

C：+C；+…=C：+C：+…

???c：+c；+c：+…+C+…+禺

=6+q+…)+(《+0；+???)

=2(端+《+…)=2"

2n

???C；+C；+…+C；=E=2"-13、略.

習題1.3A組(P36)

i、⑴C：P"+cP”(i-P)+c：p”2(i-尸y+…+c：P'T(i-py+…+c;;(i-py；

?^0z^?lz^?2

(2)、+"+、+…+J.

2"2"2"2"

2、(1)(a+與9=八9/存36/*+84〃7+126/從歷+126。花屐+84/〃+

36a2b2^/b+9ab2y[b^+by

J72127221a351-1-2二.Z

(2)(——^)7=—x2--x5+—x2-—x2+lQx2-168x2+224x2-128x2.

2Vx1283282

3、(1)(1+Vx)5+(1-Vx)5=2+20x+10x2；

_!_11_1

(2)(2/+3x”)4—(2/-3『5)4=192x+432k.

4、(1)前4項分別是1,-30x,420x2,_3640x3；

(2)7；=-2099520。%%(3)4=924；

(4)展開式的中間兩項分別為1，T§,其中

8,7

Ts=C15(xA/7)(->Vx)=-6435x"y"Vx

7；=C^(x77)7(-yVx)8=6435x"y"77

5、(1)含4的項是第6項，它的系數(shù)是盤>(-5'=-處；

x28

(2)常數(shù)項是第6項，7；=C,V2,O-5(-1)5=-252.

6、(1)T=C；,x2-r(--)r=(—DP；,一一"

r+iX

6、(1)乙=a,廿-「(-%=(-

X

由2〃-2/?=0得r=〃，即(x--)2n的展開式中常數(shù)項是

X

"(-i)"G,

=(_])“(2〃)!

n\n\

.[、“12345?…?(2〃-1)?2〃

=(-1)----------------------------------

n\n\

,i[1?35…?(2〃—1)][2?4?6?…?2九]

=(T)---------------------n-------------------

nini

[135?…?(2〃—1)]?2〃?加

=(-1)-------------------------------

n\n\

(oyi1-3-5--.(2n-l)

n\

(2)(l+x)2"的展開式共有2〃+1項，所以中間一項是

&J35?…；(2"-1)(2》，

n!

7、略.

8、展開式的第4項與第8項的二項式系數(shù)分別是C：與C；,

由C；=C；-7,得3=〃一7,即“=10.

所以，這兩個二項式系數(shù)分別是Cj與G3即120.

習題1.3B組(P37)

1、(1)?.,(〃+1)"-1=〃"++...+C：%2++1-1

n

=n++C：*2+…+C；2〃2+n2

="2(“"-2+C：〃"-3++...+c；2+])

+1能被〃2整除；

(2)V99'°-1=(100-I)10-1

l982

=100'°-C1o-100+C1o-100+---+C1V100-C1V100+l-l

lo982

=100-C1'o-100+C1o-100+---+C1o-100-10xl00

I715I3

=1OOO(1O-C1'O-1O+CI?-1O+---+C1V1O-1)

...99人一1能被1000整除.

2、由(2-1)"=2”一C'?-2"T+C；-2-2+…+(_i)i.C：T.2+(T)"C：,

得2"-C：-2"-'+C~-T-2+…+?2+(—I)"=1.

第一章裒司參考題A組(P40)

1、(1)n2；

說明：這里的“一件事情”是“得到展開式中的一項”.由于項的形式是巴勺，而i,/都有〃

種取法.

(2)C"：=525；

(3)A：?4；=480,或8?A：=480；

說明：第一種方法是先考慮有限制的這名歌手的出場位置，第二種方法是先考慮有限制的

兩個位置.

(4)C；；

說明：因為足球票無座，所以與順序無關，是組合問題.

(5)35；

說明：對于每一名同學來說，有3種講座選擇，而且允許5名同學聽同一個講座，因此是

一個“有重復排列”問題，可以用分步乘法原理解答.

(6)54；

說明：對角線的條數(shù)等于連接正十二邊形中任意兩個頂點的線段的條數(shù)減去其中的正

十二邊形的邊12條：。1：—12=0以—12=54.

2

(7)第〃+1項.

說明：展開式共有2〃+1項，且各系數(shù)與相應的二項式系數(shù)相同.

2、(1)4+4+4+4+￡+婕=1956；

說明：只要數(shù)字是1,2,3,4,5,6中的，而且數(shù)字是不重復的一位數(shù)、二位數(shù)、三位數(shù)、

四位數(shù)、五位數(shù)和六位數(shù)都符合要求.

(2)2^=240.

說明：只有首位數(shù)是6和5的六位數(shù)才符合要求.

3、(1)C；=56；(2)C；+C；+C；+C；=30.

4、C；+C：=98.

說明：所請的人的地位沒有差異，所以是組合問題.按照“其中兩位同學是否都請”為標準

分為兩類.

5、(1)。：=妁:?；說明：任意兩條直線都有交點，而且交點各不相同.

2

(2)日=迎二殳.說明：任意兩個平面都有一條交線，而且交線互不相同.

2

6、(1)/=64446024；(2)=442320；(3)C1-C^+C1-C^=446976.

7、.?川?&?用=103680.

說明：由于不同類型的書不能分開，所以可以將它們看成一個整體，相當于是3個元素的

全排列.但同類書之間可以交換順序，所以可以分步對它們進行全排列.

8、(1)—26x~；

說明：第三項是含尤2的項，其系數(shù)是C132+C：-G(-2X3)+C；(-2)2-26.

(2)&|=C；8(9X)3(-一目,由題意有

37x

18-r--=0

2

解得r=12,&=18564；

(3)由題意得2C：=C：+C,：°,即

2?幾！n\n\

--------=---------1----------

9!(〃-9)!8!(n-8)!10!(n-10)!

化簡得〃~—37〃+322=0,解得〃=14,“=23；

(4)解法1：設(二是(l-x)i°展開式的第r+1項，由題意知，所求展開式中/的系數(shù)為

%70與1+1的系數(shù)之和.

2

幾=盤)(-4,^+1=C,l(-x)\r+l=C,；(-x),

因此，的系數(shù)=c[—+=135.

解法2：原式=(T)(l_x)9

=(1-X3)(1-9X+C>2-CgX3+C>4+???)

因此，/的系數(shù)=C；+9=135.

9、5555+9=(56-35+9

=56'5—C*5654+…+或；?56—1+9

=56”—C；5.5654+…+C；；-56+8

由于5655-C*5654+…+C；；?56+8中各項都能被8整除，因此5555+9也能被8整除.

第一章裒習參老題B組(P41)

1、(1)C：：；=%=21,即:(〃+1>〃=21,解得〃=6；

(2)A：.A>A：=4x2x24=192；

說明：先排有特殊要求的，再排其他的.

(3)3x3x3x3=34,4x4x4=43；

說明：根據(jù)映射定義，只要集合A中任意一個元素在集合8中能夠找到唯一對應的元素,

就能確定一個映射，對應的元素可以相同，所以是“有重復排列”問題.

(4)用6X10"=6500000；(5)C；—12=58；

說明：在從正方體的8個頂點中任取4個的所有種數(shù)C；中，

排除四點共面的12種情況，即正方體表面上的6種四點共

面的情況，以及如右圖中ABC'。'這樣的四點共面的其他

6種情況，因此三棱錐的個數(shù)為C；-12=58

(6)1或-1.

說明：令x=l,這時(l-2x)"的值就是展開式中各項系數(shù)的和，其值是

-是奇數(shù)

(1-2)"

1,〃是偶數(shù)

2、(1)先從1,3,5中選1個數(shù)放在末位，有A；種情況；再從除0以外的4個數(shù)中選1

個數(shù)放在首位，有4：種情況；然后將剩余的數(shù)進行全排列，有用種情況.所以能組成的六位

奇數(shù)個數(shù)為A；?A：.A：=288.

(2)解法1：由0,1,2,3,4,5組成的所有沒有重復數(shù)字的正整數(shù)的個數(shù)是8

其中不大于201345的正整數(shù)的個數(shù)，當首位數(shù)字是2時，只有201345這1個；當首位數(shù)字是

1時，有反個.因此，所求的正整數(shù)的個數(shù)是A-A；-(1+&)=479.

解法2：由0,1,2,3,4,5組成的沒有重復數(shù)字的正整數(shù)中，大于201345的數(shù)

分為以下幾種情況：

前4位數(shù)字為2013,只有201354,個數(shù)為1；

同理，前3位數(shù)字為201,個數(shù)為⑷?川；前2位數(shù)字為20,個數(shù)為

首位數(shù)字為2,個數(shù)為首位數(shù)字為3,4,5中的一個，個數(shù)為&?g；

根據(jù)分類計數(shù)原理，所求的正整數(shù)的個數(shù)是1+8?用+?A；+A：?A：+.8=479.

3、（1）分別從兩組平行線中各取兩條平行線，便可構成一個平行四邊形，所以可以構成的

平行四邊形個數(shù)為C"=；加〃（團-1）（〃-1）；

（2）分別從三組平行平面中各取兩個平行平面，便可構成一個平行六面體，所以可以構

成的平行六面體個數(shù)為叱?C>C：=lmn/（m-1）（〃-1）（/-1）.

o

4、（1）先排不能放在最后的那道工序，有"種排法；再排其余的4道工序，有用種排法.

根據(jù)分步乘法計數(shù)原理，排列加工順序的方法共有A；?A：=96（種）；

（2）先排不能放在最前和最后的那兩道工序，有種排法；再排其余的3道工序，有

種排法，根據(jù)分步乘法計數(shù)原理，排列加工順序的方法共有A1A；=36（種）.

5、解法1：由等比數(shù)列求和公式得（1+x）3+（1+x）4+.??+（1+x）"2=（1+x）*3—（1+.I,

X

上述等式右邊分子的兩個二項式中含f項的系數(shù)分別是,c；,

因此它們的差加3-。=〃（〃2+6〃+11）,就是所求展開式中含一項的系數(shù).

6

解法2：原式中含/項的系數(shù)分別是C；,C：,…，Gt，因此它們的和就是所求展開式

中含一項的系數(shù).與復習參考題B組第2題同理，可得

n(n2+6/2+11)

c；+c：+-+c3y3-C；

6

償2—3第二車該石句題儒答

第二章隨機變量及其分布

2.1離散型隨機變量及其分布列

練習（P45）

1、（1）能用離散型隨機變量表示.可能的取值為2,3,4,5,6,7,8,9,10,11,12.

（2）能用離散型隨機變量表示.可能的取值為0,1,2,3,4,5.

（3）不能用離散型隨機變量表示.

說明：本題的目的是檢驗學生是否理解離散型隨機變量的含義.在（3）中，實際值與規(guī)定

值之差可能的取值是在0附近的實數(shù)，既不是有限個值，也不是可數(shù)個值.

2、可以舉的例子很多，這里給出幾個例子：

例1某公共汽車站一分鐘內(nèi)等車的人數(shù)；

例2某城市一年內(nèi)下雨的天數(shù)；

例3一位跳水運動員在比賽時所得的分數(shù)；

例4某人的手機在1天內(nèi)接收到電話的次數(shù).

說明：本題希望學生能觀察生活中的隨機現(xiàn)象，知道哪些量是隨機變量，哪些隨機變量又

是離散型隨機變量.

練習(P49)

1、設該運動員一次罰球得分為X,X是一個離散型隨機變量，其分布列為

X01

P0.30.7

說明：這是一個兩點分布的例子，投中看作試驗成功，沒投中看作試驗失敗.通過這樣的例

子可以使學生理解兩點分布是一個很常用的概率模型，實際中大量存在.雖然離散型隨機變量

的分布列可以用解析式的形式表示，但當分布列中的各個概率是以數(shù)值的形式給出時，通常用

列表的方式表示分布列更為方便.

2、拋擲一枚質(zhì)地均勻的硬幣兩次，其全部可能的結果為｛正正，正反，反正，反反｝.正面

向上次數(shù)X是一個離散型隨機變量，

P(X=o)=p(｛反反｝)=—=0.25

4

2

P(X=1)=P(｛正反｝U｛反正｝)=—=0.5

4

P(X=2)=P(｛正正｝)」=0.25

X012

P0.250.50.25

說明：這個離散型隨機變量雖然簡單，但卻是幫助學生理解隨機變量含義的一個很好的例

子.試驗的全部可能的結果為｛正正，正反，反正，反反｝,隨機量X的取值范圍為｛0,1,2｝,

對應關系為

正正-*2正反1反正-1反反一0

在這個例子中，對應于1的試驗結果有兩個，即“正反”和“反正”，因此用隨機變量X不

能表示隨機事件｛正反｝.這說明對于一個具體的隨機變量而言，有時它不能表示所有的隨機事

件.

可以通過讓學生們分析下面的推理過程存在的問題，進一步鞏固古典概型的知識.如果把

X所有取值看成是全體基本事件，即建=｛0,1,2｝.

根據(jù)古典概型計算概率的公式有P(X=1)=P(｛1｝)=1.

這與解答的結果相矛盾.原因是這里的概率模型不是古典概型，因此上面式中的最后一個等

號不成立.詳細解釋下：雖然。中只含有3個基本事件，但是出現(xiàn)這3個基本事件不是等可能

的，因此不能用古典概型計算概率的公式來計算事件發(fā)生的概率.

3、設抽出的5張牌中包含A牌的張數(shù)為X,則X服從超幾何分布，其分布列為

「5T

尸（x=i）=-i=0,1,2,3,4.

因此抽出的5張牌中至少3張4的概率為

P(X>3)=P(X=3)+P(X=4)?0.002.

說明：從52張牌任意取出5張，這5張牌中包含A的個數(shù)X是一個離散型隨機變量.把52

張牌看成是52件產(chǎn)品，把牌A看成次品，則X就成為從含有四件次品的52件產(chǎn)品中任意抽

取5件中的次品數(shù)，因此X服從超兒何分布.

本題的目的是讓學生熟悉超幾何分布模型，體會超幾何分布在不同問題背景下的表現(xiàn)形式.

當讓本題也可以用古典概型去解決，但不如直接用超兒何分布簡單.另外，在解題中分布列是

用解析式表達的，優(yōu)點是書寫簡單，一目了然.

4、兩點分布的例子：擲一枚質(zhì)地均勻的硬幣出現(xiàn)正面的次數(shù)X服從兩點分布；射擊一次命

中目標的次數(shù)服從兩點分布.

超兒何分布的例子：假設某魚池中僅有鯉魚和蛇魚兩種魚，其中鯉魚200條，蛇魚40條，

從魚池中任意取出5條魚，這5條魚包含鞋魚的條數(shù)X服從超幾何分布.

說明：通過讓學生舉例子的方式，幫助學生理解這兩個概率模型.

習題2.1A組（P49）

1、（1）能用離散型隨機變量表示.

設能遇到的紅燈個數(shù)為X,它可能的取值為0,1,2,3,4,5.

事件｛X=0｝表示5個路口遇到的都不是紅燈；事件｛X=1｝表示5個路口其中有1個路

口遇到紅燈，其他4個路口都不是紅燈；事件｛X=2｝表示5個路口其中有2個路口遇到紅燈,

其他3個路口都不是紅燈；事件｛X=3｝表示5個路口其中有3個路口遇到紅燈，剩下2個路

口都不是紅燈；事件｛X=4｝表示5個路口其中有4個路口遇到紅燈，另外1個路口都不是紅

燈；事件｛X=5｝表示5個路口全部都遇到紅燈.

（2）能用離散型隨機變量表示.

L成績不及格

2,成績及格

定義X=13,成績中

4,成績良

5,成績優(yōu)

則X是一個離散型隨機變量，可能的取值為1,2,3,4,5.

事件｛X=1｝表示該同學取得的成績?yōu)椴患案?；事件｛X=2｝表示該同學取得的成績?yōu)榧?/p>

格；事件｛X=3｝表示該同學取得的成績?yōu)橹?；事件｛X=4｝表示該同學取得的成績?yōu)榱?；?/p>

件｛X=5｝表示該同學取得的成績?yōu)閮?yōu).

說明：本題是考查學生是否理解離散型隨機變量的含義.在（2）中，需要學生建立一個對

應關系，因為隨機變量的取值一定是實數(shù)，但這個對應關系不是唯一的，只要是從五個等級到

實數(shù)的意義映射即可.

2、某同學跑Ikm所用時間X不是一個離散型隨機變量.如果我們只關心該同學是否能夠

取得優(yōu)秀成績，可以定義如下的隨機變量：

0,跑1km所用的時間＞4min

1,跑1km所用的時間＜4min

它是離散型隨機變量，且僅取兩個值：0或1.

事件］丫=1｝表示該同學跑1km所用時間小于等于4min,能夠取得優(yōu)秀成績；事件底=0｝

表示該同學跑1km所用時間大于4min,不能夠取得優(yōu)秀成績.

說明：考查學生在一個隨機現(xiàn)象中能否根據(jù)關心的問題不同定義不同的隨機變量，以簡化

問題的解答.可以與教科書中電燈泡的壽命的例子對比，基本思想是一致的.

3、一般不能.比如擲一一枚質(zhì)地均勻的硬幣兩次，用隨機變量X表示出現(xiàn)正面的次數(shù)，則不

能用隨機變量X表示隨機事件｛第1次出現(xiàn)正面且第2次出現(xiàn)反面｝和｛第1次出現(xiàn)反而且第2

次出現(xiàn)正面｝.因為｛X=1｝=｛第1次出現(xiàn)正面且第2次出現(xiàn)反面｝U｛第1次出現(xiàn)反面且第2

次出現(xiàn)正面｝,所以這兩個事件不能分別用隨機變量X表示.

說明：一個隨機變量是與一個事件域相對應的，一個事件域一般是由部分事件組成，但要

滿足一定的條件.對離散型隨機變量，如果它取某個值是由兒個隨機變量組成，則這兒個隨機

事件就不能用隨機變量表示，比如從一批產(chǎn)品中依次取出幾個產(chǎn)品，用X表示取出的產(chǎn)品中

次品的個數(shù)，這時我們不能用X表示隨機事件｛第i次取出次品，其他均為合格品｝.

4、不正確，因為取所有值的概率和不等于1.

說明：考查學生對分布列的兩個條件的理解，每個概率不小于0,其和等于1,

即(1)/?,.>0,z=l,2,???,?；

⑵￡P,=L

/=1

5、射擊成績優(yōu)秀可以用事件｛XN8｝表示，因此射擊優(yōu)秀的概率為

P｛X28｝=P(X=8)+P(X=9)+P(X=10)=0.28+0.29+0.22=0.79

說明：本題知識點是用隨機變量表示隨機事件，并通過分布列計算隨機事件的概率.

6、用X表示該班被選中的人數(shù)，則X服從超兒何分布，其分布列為

尸(x=i)=4聚1,2,3,4.

jo

該班恰有2名同學被選到的概率為

__4_!_x__2_6_!_

C2c82!x2!8M8!190

&X=2)=-^==a0312-

30!609

10!x20!

說明：本題與49頁練習的第3題類似，希望學生在不同背景下能看出超幾何分布模型.

習題2.1B組(P49)

1、(1)設隨機抽出的3篇課文中該同學能背誦的X0123

篇數(shù)為X,則X是一個離散型隨機變量，它可能的

c°c3clc2r2Clc3c°

取值為0,1,2,3,且X服從超幾何分布，分布列P-6/4

333c3

為JcoJcoJco□io

即

X0123

13]_]_

p

30lo26

(2)該同學能及格表示他能背出2或3篇，故他能及格的概率為

P(XN2)=P(X=2)+P(X=3)=-+-=-=0.667.

263

說明：本題是為了讓學生熟悉超幾何分布模型，并能用該模型解決實際問題.

2、用X表示所購買彩票上與選出的7個基本號碼相同的號碼的個數(shù)，則X服從超兒何分

布，其分布列為

尸(X=?)=/=0,1,2,3,4,5,6,7.

至少中三等獎的概率為

「5「2C1Q7

P(X>5)=-^^+^^+^^=——?0.001.

C；6C；6G92752

說明：與上題類似同樣是用超兒何分布解決實際問題，從此題的結算結果可以看出至少中

三等獎的概率近似為1/1000.

2.2二項分布及其應用

練習(P54)

1、設第1次抽到A的事件為3,第2次抽到A的事件為C，則第1次和第2次都抽到A

的事件為6c.

解法1：在第1次抽到A的條件下，撲克牌中僅剩下51張牌，其中有3張A,所以在第1

次抽到A的條件下第2次也抽到A的概率為

3

心味彳

解法2：在第1次抽到A的條件下第2次也抽到A的概率為

解法3：在第1次抽到A的條件下第2次也抽到A的概率為

4x3

P(BC)_52x51l3

(?~P(B)~4x51~51~

52x51

說明：解法1是利用縮小基本事件范圍的方法計算條件概率，即分析在第1次抽到A的條

件下第2次抽取一張牌的隨機試驗的所有可能結果，利用古典概型計算概率的公式直接得到結

果.解法2實際上是在原來的基本事件范圍內(nèi)通過事件的計數(shù)來計算條件概率.第3種方法是

利用條件概率的定義來計算.這里可以讓學生體會從不同角度求解條件概率的特點.

2,設第1次抽出次品的時間為B,第2次抽出正品的事件為C,則第1次抽出次品且第2

次抽出正品的事件為BC.

解法1：在第1次抽出次品的條件下，剩下的99件產(chǎn)品中有4件次品，所以在第1次抽出

次品的條件卜第2次抽出正品的概率為

「(MR

解法2：在第1次抽出次品的條件下第2次抽出正品的概率為

%⑻=爵=簿嗡

解法3：在第1次抽出次品的條件下第2次抽出正品的概率為

5x95

昨忸)=續(xù)2=%黑=史.

1P⑻5x9999

100x99

說明：與上題類似，可以用不同方法計算條件概率.

3、例1箱中3張獎券中只有1張能中獎，現(xiàn)分別由3人無放回地任意抽取，在已知第一

個人抽到獎券的條件下，第二個人抽到獎券的概率或第三個人抽到獎券的概率，均為條件概率,

它們都是。

例2某班有45名同學，其中20名男生，25名女生，依次從全班同學中任選兩名同學

代表班級參加知識競賽，在第1名同學是女生的條件下，第2名同學也是女生的概率.

說明：這樣的例子很多，學生舉例的過程可以幫助學生理解條件概率的含義.

練習(P55)

1、利用古典概型計算的公式，可以求得

P(A)=0.5,P⑻=0.5,P(C)=0.5,

P(AB)=0.25,P(BC)=0.25,P(AC)=0.25,

可以驗證

尸(AB)=P(A)P(B),P(BC)=P(B)P(C),P(AC)=P(A)P(C).

所以根據(jù)事件相互獨立的定義，有事件A與8相互獨立，事件8與C相互獨立，事件A與C

相互獨立.

說明：本題中事件A與5相互獨立比較顯然，因為拋擲的兩枚硬幣之間是互不影響的.但

事件8與C相互獨立，事件A與C相互獨立不顯然，需要利用定義驗證，從該習題可以看出，

事件之間是否獨立有時根據(jù)實際含義就可做出判斷，但有時僅根據(jù)實際含義是不能判斷，需要

用獨立性的定義判斷.

2、(1)先摸出1個白球不放回的條件下，口袋中剩下3個球，其中僅有1個白球，所以在

先摸出1個白球不放回的條件下，再摸出1個白球的概率是1/3.

(2)先摸出1個白球后放回的條件下，口袋中仍然有4個球，其中有2個白球，所以在

先摸出1個白球后放回的條件下，再摸出1個白球的概率是1/2.

說明：此題的目的是希望學生體會有放回摸球與無放回摸球的區(qū)別，在有放回摸球中第2

次摸到白球的概率不受第1次摸球結果的影響，而在無放回摸球中第2次摸到白球的概率受第

1次摸球結果的影響.

3、設在元旦期間甲地降雨的事件為A,乙地降雨的事件