教育統(tǒng)計學(xué)

03講集中量數(shù)問題你知道什么是集中量數(shù)嗎？請說出你所知道的集中量數(shù)？討論１描述某校教師工資平均水平？年工資單位（萬元）組中值人數(shù)14-1514.5413-1413.5312-1312.5711-1211.5810-1110.599-109.5118-98.5127-87.5406-76.5605-65.5304-54.56小計190討論２有一個學(xué)生第一周記住20個英文單詞，第二周記住23個，第三周記住26個，第四周記住30個，第五周記住34個，問該生學(xué)習(xí)記憶英文單詞的平均進(jìn)步率是多少？討論３有一學(xué)生15分鐘學(xué)會生詞30個，后10分鐘學(xué)會生詞也是30個。問該生每分鐘平均學(xué)會多少個？或平均學(xué)習(xí)速度是多少？主要介紹算術(shù)平均數(shù)幾何平均數(shù)調(diào)和平均數(shù)中數(shù)和眾數(shù)第一節(jié)算術(shù)平均數(shù)一、算術(shù)平均數(shù)的定義算術(shù)平均數(shù)一般簡稱為平均數(shù)，或均數(shù)，或均值。一般用字母M或表示。二、算術(shù)平均數(shù)的數(shù)學(xué)性質(zhì)

①各個變量值與平均數(shù)離差（離均差）之和等于零證明②各個變量值與平均數(shù)離差平方之和為最小值（離均平方和最小）證明：設(shè)x0為不等于平均數(shù)的任意值，則：代入以x0

為中心的離差平方和，得

平均數(shù)的這一性質(zhì)說明：

以任意不為平均數(shù)的數(shù)值為中心計算的離差平方和總大于以平均數(shù)為中心計算的離差平方和，因此，算術(shù)平均數(shù)是誤差最小的總體代表值。三、算術(shù)平均數(shù)的計算方法（一）未分組數(shù)據(jù)計算平均數(shù)（二）使用次數(shù)分布表計算平均數(shù)表3-1次數(shù)分組求平均數(shù)計算表

分組組中值（Xc）次數(shù)（f）Xc×f

計算80—70—60—857565692510675130

合計171315四、算術(shù)平均數(shù)特點與應(yīng)用（一）特點1.反應(yīng)靈敏2.計算嚴(yán)密3.計算簡單4.簡明易解5.適合于進(jìn)一步代數(shù)運算6.較少受抽樣變動的影響（二）運用如果一組數(shù)據(jù)是比較準(zhǔn)確，可靠又同質(zhì)，而且需要每一個數(shù)據(jù)都加入計算，同時還要作進(jìn)一步代數(shù)運算時，這時就要用算術(shù)平均數(shù)表示其集中趨勢。如果一組數(shù)據(jù)中出現(xiàn)兩個極端的數(shù)目，或有一些數(shù)據(jù)不清楚，數(shù)據(jù)不同質(zhì)時，就不宜使用算術(shù)平均數(shù)。在報告平均數(shù)時，要按特別指定的單位來表達(dá)。在書寫平均數(shù)時，習(xí)慣上平均數(shù)保留的小數(shù)位數(shù)要比原來的測量數(shù)據(jù)多一位小數(shù)。第二節(jié)幾何平均數(shù)ＭG一、幾何平均數(shù)的定義定義:

幾何平均數(shù)是計算平均比率或平均速度最適用的一種方法。凡是變量值的連乘積等于總比率或總速度的場合都適宜用幾何平均法計算平均比率或平均速度。例１希望機(jī)械廠生產(chǎn)的機(jī)床要經(jīng)過四個連續(xù)作業(yè)車間才能完成。2003年一季度第一車間鑄造產(chǎn)品的合格率為95%，第二車間粗加工產(chǎn)品的合格率為93%，第三車間精加工產(chǎn)品的合格率為90%，第四車間組裝的合格率為86%，則該企業(yè)的產(chǎn)品合格率為多少？例２某地區(qū)國民生產(chǎn)總值GNP在1988~1989年平均每年遞增15%，1990~1992年平均遞增12%，1993~1997年平均每年遞增9%，試計算：該地區(qū)國民生產(chǎn)總值這十年平均增長速度？例３計算成績平均提高率時間1995199619971998成績65758088比率計算請計算學(xué)生閱讀能力每周平均提高率測驗次數(shù)第一次第二次第三次第四次第五次閱讀能力分?jǐn)?shù)345260.6769.3377.33二、幾何平均數(shù)的應(yīng)用條件⑴一組實驗數(shù)據(jù)中有少數(shù)數(shù)據(jù)偏大或偏小，數(shù)據(jù)的分布呈偏態(tài)。⑵在心理物理學(xué)的等距與等比量表實驗中，只能用幾何平均數(shù)。⑶主要用于計算平均增長率或平均進(jìn)步率等。

第三節(jié)調(diào)和平均數(shù)一、調(diào)和平均數(shù)的意義⒈定義：又稱倒數(shù)平均數(shù)。

⒉在教育領(lǐng)域應(yīng)用：主要應(yīng)用于描述學(xué)習(xí)速度二、調(diào)和平均數(shù)的計算舉例例１有一種蔬菜，早晨的價格每千克0.5元，中午0.2元，晚上0.1元。如果早、中、晚各買1元錢的蔬菜，則當(dāng)天所買的蔬菜平均價格是多少？

以公式表示例２計算和比較兩組學(xué)生演算速度組別學(xué)生速度（每小時所做的題數(shù)）計算第一組ABCD461012第二組EFGH661010三、小結(jié)：算術(shù)平均數(shù)和幾何平均數(shù)、調(diào)和平均數(shù)的關(guān)系

如果根據(jù)同一資料計算，則調(diào)和平均數(shù)最小，幾何平均數(shù)居中，算術(shù)平均數(shù)最大，即：算術(shù)平均數(shù)≥幾何平均數(shù)≥調(diào)和平均數(shù)三、小結(jié)：算術(shù)平均數(shù)和幾何平均數(shù)、調(diào)和平均數(shù)的關(guān)系例有1、3、6、7、9五個數(shù)，計算算術(shù)平均數(shù)和幾何平均數(shù)、調(diào)和平均數(shù)第四節(jié)中數(shù)和眾數(shù)一、中數(shù)㈠中數(shù)的定義和特點定義：中數(shù)又稱中點數(shù)，中位數(shù)，中值，是指按順序排列在一起的一組數(shù)據(jù)中居于中間位置的數(shù)。符號為Md或Mdn。特點:

不受兩極量數(shù)的影響（二）中數(shù)的計算原始數(shù)據(jù)分組數(shù)據(jù)

（二）中數(shù)的計算方法１、原始數(shù)據(jù)求中數(shù)的方法當(dāng)量數(shù)不多時，先把數(shù)據(jù)排序，若數(shù)據(jù)個數(shù)為奇數(shù)時，則為中數(shù)；若數(shù)據(jù)個數(shù)為偶數(shù)時，則為中數(shù)。（1）一組數(shù)據(jù)中無重復(fù)數(shù)值的情況①求數(shù)列4，6，7，8，12的中數(shù)？②有2，3，5，7，8，10，15，19共8個數(shù)，求其中數(shù)。（二）中數(shù)的計算方法（2）一組數(shù)據(jù)中有重復(fù)數(shù)值的情況①當(dāng)重復(fù)數(shù)值沒有位于數(shù)列中間時求數(shù)列5，5，6，10，12，15，17的中數(shù)。②當(dāng)重復(fù)數(shù)目位于數(shù)據(jù)中間，數(shù)據(jù)的個數(shù)為奇數(shù)時求數(shù)列11，11，11，11，13，13，13，17，17的中數(shù)。③當(dāng)重復(fù)數(shù)目位于數(shù)列中間，數(shù)據(jù)的個數(shù)為偶數(shù)時求數(shù)列11，11，11，11，13，13，13，17，17，18的中數(shù)。（二）中數(shù)的計算方法（二）中數(shù)的計算方法２、分組數(shù)據(jù)求中數(shù)的方法公式原理：公式：表3-3利用公式求分組次數(shù)表中中數(shù)

組限

次數(shù)自下而上累積次數(shù)自上而下累積次數(shù)

65—60—55—

50—45—40—35—3411138634845413017933718

31394548二、眾數(shù)（一）眾數(shù)的定義和特點⒈定義：指在一組量數(shù)中，出現(xiàn)頻數(shù)最多的量數(shù)。用符號表示。⒉特點：獲取容易；在一組量數(shù)中，眾數(shù)可能不止一個；在次數(shù)分布中，眾數(shù)受組距和組限的影響很大。（二）眾數(shù)的求法１、用觀察法求眾數(shù)例：求2，3，3，5，3，4，3，6這一組數(shù)據(jù)的眾數(shù)。２、用公式計算眾數(shù)皮爾遜經(jīng)驗公式金氏（W.I.king)插補(bǔ)法（二）眾數(shù)的求法皮爾遜（K.Person)近似公式皮爾遜經(jīng)驗法只有當(dāng)次數(shù)分布呈現(xiàn)正態(tài)或接近正態(tài)時，才能使用。（二）眾數(shù)的求法金氏插補(bǔ)法求眾數(shù)：含眾數(shù)這一區(qū)間的精確下限；：高于眾數(shù)所在組一個組距那一分組區(qū)間的次數(shù)；：低于眾數(shù)所在組一個組距那一分組區(qū)間的次數(shù)；i：組距。

金氏插補(bǔ)法適合次數(shù)分布比較偏斜的情況，比較接近正態(tài)的分布也適用。表3-4用金氏插補(bǔ)法求眾數(shù)組限頻數(shù)算法65—60—55—50—45—40—35—341113863眾數(shù)的應(yīng)用1.當(dāng)需要快速而粗略地尋求一組數(shù)據(jù)的代表值時；2.當(dāng)一組數(shù)據(jù)出現(xiàn)不同質(zhì)的情況時；3.當(dāng)次數(shù)分布中有兩極端的數(shù)目時，除了一般用中數(shù)外，有時也用眾數(shù)；4.當(dāng)粗略估計次數(shù)分布的形態(tài)時，有時用平均數(shù)與眾數(shù)之差，作為表示次數(shù)分布是否偏態(tài)的指標(biāo)。5.當(dāng)一組數(shù)據(jù)中同時有兩個數(shù)值的次數(shù)都比較多時，即次數(shù)分布中出現(xiàn)雙眾數(shù)時，也多用眾數(shù)來表示數(shù)據(jù)分布形態(tài)。平均數(shù)、中數(shù)與眾數(shù)之間的關(guān)系見教材P33在偏態(tài)分布中，平均數(shù)永遠(yuǎn)位于尾端。一般偏態(tài)情況下，中數(shù)離平均數(shù)較近，而距眾數(shù)較遠(yuǎn)。皮爾遜經(jīng)驗公式小結(jié)以數(shù)值為中心的集中量數(shù)算術(shù)平均數(shù)幾何平均數(shù)調(diào)和平均數(shù)以位置為