信號與系統(tǒng)第一章第1章信號與系統(tǒng)的基本概念

1.1信號的描述及分類

1.2

信號的運(yùn)算

1.3

系統(tǒng)的數(shù)學(xué)模型及其分類

1.4

系統(tǒng)的模擬

1.5

線性時(shí)不變系統(tǒng)分析方法概述習(xí)題1第1章信號與系統(tǒng)的基本概念

1.1信號的描述及其分類1.1.1信號及其描述什麼是信號（signal）？廣義地說，信號是隨時(shí)間變化的某種物理量。在通信技術(shù)中，一般將語言、文字、圖像或數(shù)據(jù)等統(tǒng)稱為消息（message）。在消息中包含有一定數(shù)量的資訊（information）。但是，資訊的傳送一般都不是直接的，它必須借助於一定形式的信號（光信號、聲信號、電信號等），才能遠(yuǎn)距離快速傳輸和進(jìn)行各種處理。因而，信號是消息的表現(xiàn)形式，它是通信傳輸?shù)目陀^對象，而消息則是信號的具體內(nèi)容，它蘊(yùn)藏在信號之中。本課程將只討論應(yīng)用廣泛的電信號，它通常是隨時(shí)間變化的電壓或電流，在某些情況下，也可以是電荷或磁通。由於信號是隨時(shí)間而變化的，在數(shù)學(xué)上可以用時(shí)間t的函數(shù)f(t)來表示，因此，“信號”與“函數(shù)”兩個(gè)名詞常常通用。信號的特性可以從兩個(gè)方面來描述，即時(shí)間特性和頻率特性。信號可寫成數(shù)學(xué)運(yùn)算式，即是時(shí)間t的函數(shù)，它具有一定的波形，因而表現(xiàn)出一定波形的時(shí)間特性，如出現(xiàn)時(shí)間的先後、持續(xù)時(shí)間的長短、重複週期的大小及隨時(shí)間變化的快慢等。另一方面，任意信號在一定條件下總可以分解為許多不同頻率的正弦分量，即具有一定的頻率成份，因而表現(xiàn)為一定波形的頻率特性，如含有大小不同頻率分量、主要頻率分量佔(zhàn)有不同的範(fàn)圍等。信號的形式所以不同，就因?yàn)樗鼈兏髯杂胁煌臅r(shí)間特性和頻率特性，而信號的時(shí)間特性和頻率特性有著對應(yīng)的關(guān)係，不同的時(shí)間特性將導(dǎo)致不同的頻率特性的出現(xiàn)。

1.1.2信號的分類對於各種信號，可以從不同的角度進(jìn)行分類。

1．確定信號和隨機(jī)信號

按時(shí)間函數(shù)的確定性劃分，信號可分為確定信號和隨機(jī)信號兩類。確定信號（determinatesignal）是指一個(gè)可以表示為確定的時(shí)間函數(shù)的信號。對於指定的某一時(shí)刻，信號有確定的值。如我們熟知的正弦信號、週期脈衝信號等。隨機(jī)信號（randomsignal）則與之不同，它不是一個(gè)確定的時(shí)間函數(shù)，通常只知道它取某一數(shù)值的概率，如噪音信號等。實(shí)際傳輸?shù)男盘枎缀醵季哂胁豢深A(yù)知的不確定性，因而都是隨機(jī)信號。如，通信系統(tǒng)中傳輸?shù)男盘枎в胁淮_定性，接收者在收到所傳送的消息之前，對資訊源所發(fā)出的消息是不知道的，否則，接收者就不可能由它得知任何新的消息，也就失去通信的意義。另外，信號在傳輸過程中難免受各種干擾和雜訊的影響，將使信號產(chǎn)生失真。所以，一般的通信信號都是隨機(jī)信號。但是，在一定條件下，隨機(jī)信號也表現(xiàn)出某些確定性，通常把在較長時(shí)間內(nèi)比較確定的隨機(jī)信號，近似地看成確定信號，以使分析簡化。2．連續(xù)信號和離散信號按照函數(shù)時(shí)間取值的連續(xù)性劃分，確定信號可分為連續(xù)時(shí)間信號和離散時(shí)間信號，簡稱連續(xù)信號和離散信號。連續(xù)信號（continuoussignal）是指在所討論的時(shí)間內(nèi)，對任意時(shí)刻值除若干個(gè)不連續(xù)點(diǎn)外都有定義的信號，通常用f(t)表示。離散信號（discretesignal）是指只在某些不連續(xù)規(guī)定的時(shí)刻有定義，而在其他時(shí)刻沒有定義的信號。通常用f(tk)或f(kT)[簡寫f(k)]表示，如圖1.1-2所示。圖中信號f(tk)只在t

k

=－2,－1,0,1,2,3,…等離散時(shí)刻才給出函數(shù)值。

3.週期信號和非週期信號按信號（函數(shù)）的週期性劃分，確定信號又可以分為週期信號與非週期信號。

週期信號（periodicsignal）是指一個(gè)每隔一定時(shí)間T，周而復(fù)始且無始無終的信號，它們的運(yùn)算式可寫為 f(t)=f(t+n

T) n=0,1,2,…

滿足此關(guān)係式的最小T值稱為信號的週期。只要給出此信號在任一週期內(nèi)的變化過程，便可確知它在任一時(shí)刻的數(shù)值。非週期信號（aperiodicsignal）在時(shí)間上不具有周而復(fù)始的特性。非週期信號也可以看作為一個(gè)週期T趨於無窮大時(shí)的週期信號。

4．

能量信號與功率信號信號按時(shí)間函數(shù)的可積性劃分，可以分為能量信號，功率信號和非功非能信號。信號可看作是隨時(shí)間變化的電壓或電流，信號f(t)在1歐姆的電阻上的暫態(tài)功率為

|f(t)|2，在時(shí)間區(qū)間所消耗的總能量定義為：

（1.1-1）其平均功率定義為：

（1.1-2）上兩式中，被積函數(shù)都是f(t)的絕對值平方，所以信號能量E和信號功率P都是非負(fù)實(shí)數(shù)。 若信號f(t)的能量0<E<,此時(shí)P=0，則稱此信號為能量有限信號，簡稱能量信號（energysignal）。 若信號f(t)的功率0<P<,此時(shí)E=，則稱此信號為功率有限信號，簡稱功率信號（powersignal）。 信號f(t)可以是一個(gè)既非功率信號，又非能量信號，如單位斜坡信號就是一個(gè)例子。但一個(gè)信號不可能同時(shí)既是功率信號，又是能量信號。

一般說來週期信號都是功率信號，非週期信號或者是能量信號，或者是功率信號，或者既非能量信號又非功率信號。屬於能量信號的非週期信號稱為脈衝信號，它在有限時(shí)間範(fàn)圍內(nèi)有一定的數(shù)值。

1.1.3典型連續(xù)信號下麵給出一些典型連續(xù)信號的運(yùn)算式和波形，我們今後會經(jīng)常遇到它們。典型離散信號的運(yùn)算式及波形將在第五章中討論。1．單位階躍信號（unitstepsignal）單位階躍信號的定義為： （1.1-3）其波形在躍變點(diǎn)t=0處，函數(shù)值未定。

若單位階躍信號躍變點(diǎn)在t=t0處，則稱其為延遲單位階躍函數(shù)。2.單位沖激信號（unitimpulsesignal）單位沖激信號(t)是一個(gè)特殊信號，它不是用普通的函數(shù)來定義。它的工程定義如式（1.1-5）描述。這個(gè)定義由狄拉克(P.A.M.Dirac)提出，故又稱狄拉克函數(shù)。它除在原點(diǎn)以外，處處為零，並且具有單位面積值。直觀地看，這一函數(shù)可以設(shè)想為一列窄脈衝的極限。如一個(gè)矩形脈衝。3.

複指數(shù)信號（complexexponentialsignal）和為複數(shù)，稱複頻率。由於複指數(shù)信號能概括多種情況，所以可利用它來描述多種基本信號，如直流信號、指數(shù)信號、等幅、增幅或減幅正弦或余弦信號，因此，它是信號與系統(tǒng)分析中經(jīng)常遇到的重要信號。上面我們介紹了幾種最基本的信號，接著來介紹有關(guān)信號的各種運(yùn)算。

1.2信號的運(yùn)算1.2.1信號的相加與相乘兩個(gè)信號相加（相乘）可得到一個(gè)新的信號，它在任意時(shí)刻的值等於兩個(gè)信號在該時(shí)刻的值之和（積）。信號相加與相乘運(yùn)算可以通過信號的波形(或信號的運(yùn)算式)進(jìn)行。

1.2.2信號的導(dǎo)數(shù)與積分信號f(t)的導(dǎo)數(shù)是指或記作f‘(t)，從波形看，它表示信號值隨時(shí)間變化的變化率。當(dāng)f(t)含有不連續(xù)點(diǎn)時(shí)，由於引入了沖激函數(shù)的概念，f(t)在這些不連續(xù)點(diǎn)上仍有導(dǎo)數(shù)，出現(xiàn)沖激，其強(qiáng)度為原函數(shù)在該處的跳變數(shù)。信號f(t)的積分是指或記作f(-1)(t)，從波形看，它在任意時(shí)刻t的值為從－到t區(qū)間，f(t)與時(shí)間軸所包圍的面積。1.2.3信號的時(shí)移和折疊信號f（t）時(shí)移(t0>0)，就是將f（t）運(yùn)算式中所有引數(shù)t用t替換,成為。信號f(t)的折疊就是將f(t)運(yùn)算式以及定義域中的變數(shù)t用–t替換，成為f(-t)。

1.2.4信號的尺度變換尺度變換就是把信號f(t)以及定義域中引數(shù)t用at去置換，成為f(at)。

1.3系統(tǒng)的數(shù)學(xué)模型及其分類1.3.1系統(tǒng)的概念什麼是系統(tǒng)（system）？廣義地說，系統(tǒng)是由若干相互作用和相互依賴的事物組合而成的具有特定功能的整體。例如，通信系統(tǒng)、自動控制系統(tǒng)、電腦網(wǎng)絡(luò)系統(tǒng)、電力系統(tǒng)、水利灌溉系統(tǒng)等。通常將施加於系統(tǒng)的作用稱為系統(tǒng)的輸入激勵；而將要求系統(tǒng)完成的功能稱為系統(tǒng)的輸出回應(yīng)。1.3.2系統(tǒng)的數(shù)學(xué)模型分析一個(gè)實(shí)際系統(tǒng)，首先要對實(shí)際系統(tǒng)建立數(shù)學(xué)模型，在數(shù)學(xué)模型的基礎(chǔ)上，再根據(jù)系統(tǒng)的初始狀態(tài)和輸入激勵，運(yùn)用數(shù)學(xué)方法求其解答，最後又回到實(shí)際系統(tǒng)，對結(jié)果作出物理解釋，並賦予物理意義。所謂系統(tǒng)的模型是指系統(tǒng)物理特性的抽象，以數(shù)學(xué)運(yùn)算式或具有理想特性的符號圖形來表徵系統(tǒng)特性。系統(tǒng)模型的建立是有一定條件的，對於同一物理系統(tǒng)，在不同條件下可以得到不同形式的數(shù)學(xué)模型。另一方面，對於不同的物理系統(tǒng)，經(jīng)過抽象和近似，有可能得到形式上完全相同的數(shù)學(xué)模型。1．3．3系統(tǒng)的分類

系統(tǒng)的分類比較複雜，我們主要考慮其數(shù)學(xué)模型的差異來劃分不同的類型。

1．

連續(xù)時(shí)間系統(tǒng)和離散時(shí)間系統(tǒng)

輸入和輸出均為連續(xù)時(shí)間信號的系統(tǒng)稱為連續(xù)時(shí)間系統(tǒng)。輸入和輸出均為離散時(shí)間信號的系統(tǒng)稱為離散時(shí)間系統(tǒng)。模擬通信系統(tǒng)是連續(xù)時(shí)間系統(tǒng)，而數(shù)字電腦就是離散時(shí)間系統(tǒng)。連續(xù)時(shí)間系統(tǒng)的數(shù)學(xué)模型是微分方程，而離散時(shí)間系統(tǒng)則用差分方程來描述。2．

線性系統(tǒng)和非線性系統(tǒng)

線性系統(tǒng)是指具有線性特性的系統(tǒng)。所謂線性特性（linearity）系指齊次性與疊加性。若系統(tǒng)輸入增加k倍，輸出也增加k倍，這就是齊次性（homogeneity）。若有幾個(gè)輸入同時(shí)作用於系統(tǒng)，而系統(tǒng)總的輸出等於每一個(gè)輸入單獨(dú)作用所引起的輸出之和，這就是疊加性（superpositionProperty）。系統(tǒng)同時(shí)具有齊次性和疊加性便呈現(xiàn)線性特性。一個(gè)系統(tǒng)的輸出不僅與輸入有關(guān)，還與系統(tǒng)的初始狀態(tài)有關(guān)。設(shè)具有初始狀態(tài)的系統(tǒng)加入激勵時(shí)的總回應(yīng)為y(t)；僅有激勵而初始狀態(tài)為零的回應(yīng)為y

zs(t)，稱為零狀態(tài)回應(yīng)；僅有初始狀態(tài)而激勵為零時(shí)的回應(yīng)為y

zi(t)，稱為零輸入回應(yīng)。若將系統(tǒng)的初始狀態(tài)看成系統(tǒng)的另一種輸入激勵，則對於線性系統(tǒng)，根據(jù)系統(tǒng)的線性特性，其輸出總回應(yīng)必然是每個(gè)輸入單獨(dú)作用時(shí)相應(yīng)輸出的疊加。

因此，一般線性系統(tǒng)必須具有：

a.

分解性（decompositionproperty）：即y(t)=y

zs(t)+y

zi(t)（1.3-6）

b．零輸入線性——當(dāng)系統(tǒng)有多個(gè)初始狀態(tài)時(shí)，零輸入回應(yīng)對每個(gè)初始狀態(tài)呈線性。

c．零狀態(tài)線性——當(dāng)系統(tǒng)有多個(gè)輸入時(shí)，零狀態(tài)回應(yīng)對每個(gè)輸入呈線性。凡不具備上述特性的系統(tǒng)則稱為非線性系統(tǒng)。3．

時(shí)不變系統(tǒng)和時(shí)變系統(tǒng)只要初始狀態(tài)不變，系統(tǒng)的輸出僅取決於輸入而與輸入的起始作用時(shí)刻無關(guān)，這種特性稱為時(shí)不變性。具有時(shí)不變特性的系統(tǒng)為時(shí)不變系統(tǒng)（timeinvariantsystem）。不具有時(shí)不變特性的系統(tǒng)為時(shí)變系統(tǒng)（timevaryingsystem）。對時(shí)不變系統(tǒng)，如果激勵是x(t)，系統(tǒng)產(chǎn)生的回應(yīng)是y(t)，當(dāng)激勵延遲一段時(shí)間td為x(t–td)，則系統(tǒng)的回應(yīng)也同樣延遲td時(shí)間為y(t–td)，其波形形狀不變。公式化地表示為：若 x(t)y(t)則x(t–td)y(t–td) (1.3-7)系統(tǒng)的線性和時(shí)不變性是兩個(gè)不同的概念，線性系統(tǒng)可以是時(shí)不變的，也可以是時(shí)變的，非線性系統(tǒng)也是如此。本課程只討論線性時(shí)不變（LTI）系統(tǒng)，簡稱線性系統(tǒng)。線性時(shí)不變連續(xù)（離散）系統(tǒng)的數(shù)學(xué)模型為常係數(shù)微分（差分）方程。4．因果系統(tǒng)和非因果系統(tǒng)

因果系統(tǒng)（Causalsystem）是回應(yīng)不會超前激勵的系統(tǒng)。非因果系統(tǒng)（noncausalsystem）是回應(yīng)能領(lǐng)先於激勵的系統(tǒng)。

1.4系統(tǒng)的模擬如前所述，把一個(gè)實(shí)際系統(tǒng)抽象為數(shù)學(xué)模型，便於用數(shù)學(xué)方法進(jìn)行分析。另外，還可借助簡單而易於實(shí)現(xiàn)的物理裝置，用實(shí)驗(yàn)的方法來觀察和研究系統(tǒng)參數(shù)和輸入信號對於系統(tǒng)回應(yīng)的影響。此時(shí)，需要對系統(tǒng)進(jìn)行實(shí)驗(yàn)?zāi)M。系統(tǒng)模擬（systemsimulation）不需要仿製實(shí)際系統(tǒng)，而只需在數(shù)學(xué)意義上的等效，使模擬系統(tǒng)與實(shí)際系統(tǒng)具有相同的數(shù)學(xué)運(yùn)算式。1.4.1基本運(yùn)算器連續(xù)系統(tǒng)的模擬一般需要三種基本的運(yùn)算器：加法器、標(biāo)量乘法器和積分器。模擬一個(gè)系統(tǒng)的微分方程不用微分器而用積分器，這是因?yàn)榉e分器對信號起“平滑”作用，甚至對短時(shí)間內(nèi)信號的劇烈變化也不敏感，而微分器將會使信號的雜訊大大增加，因而使用較少，顯然積分器的抗干擾性能比微分器好，運(yùn)算精度高。1.4.2連續(xù)系統(tǒng)的模擬圖對於連續(xù)的線性時(shí)不變系統(tǒng)，可用線性常係數(shù)微分方程來描述，根據(jù)微分方程可作出相應(yīng)的模擬圖。構(gòu)成系統(tǒng)模擬圖的規(guī)則如下：(1)把微分方程輸出函數(shù)的最高導(dǎo)數(shù)項(xiàng)保留在等式左邊，把其他各項(xiàng)移到等式右邊；(2)將最高階導(dǎo)數(shù)作為第一個(gè)積分器的輸入，其輸出作為第二個(gè)積分器的輸入，以後每經(jīng)過一個(gè)積分器，輸出函數(shù)的導(dǎo)數(shù)階數(shù)就降低一階，直到獲得輸出函數(shù)為止；(3)把各個(gè)階數(shù)降低了的導(dǎo)數(shù)及輸出函數(shù)分別通過各自的標(biāo)量乘法器，一齊送到第一個(gè)積分器前的加法器與輸入函數(shù)相加，加法器的輸出就是最高階導(dǎo)數(shù)。這就構(gòu)成了一個(gè)完整的模擬圖。

現(xiàn)在考慮更一般的情況，即微分方程右邊含有輸入函數(shù)導(dǎo)數(shù)的情況。例如，二階微分方程

(1.4-8)則引入輔助函數(shù)，使代入原方程由此可見完整的二階系統(tǒng)模擬圖：根據(jù)系統(tǒng)模擬圖列寫微分方程的一般步驟：（1）選中間變數(shù)q(t)。設(shè)系統(tǒng)最右端積分器的輸出為q(t)；（2）寫出各加法器輸出信號的方程；（3）消去中間變數(shù)q(t)，可得微分方程。以上介紹了連續(xù)時(shí)間系統(tǒng)的時(shí)域模擬方法，關(guān)於離散時(shí)間系統(tǒng)的模擬將在第五章仲介紹。它們的S域(複頻域)或Z域模擬將在第六章仲介紹。

1-5線性時(shí)不變系統(tǒng)分析方法概述在系統(tǒng)分析中，線性時(shí)不變系統(tǒng)分析具有重要意義。這是因?yàn)椋阂环矫?，?shí)際工作的多數(shù)系統(tǒng)在指定條件下可被近似為線性時(shí)不變系統(tǒng)；另一方面，線性時(shí)不變系統(tǒng)的分析方法已經(jīng)比較成熟，形成了較為完善的體系。而非線性系統(tǒng)與時(shí)變系統(tǒng)的分析雖然已經(jīng)發(fā)展了一些實(shí)用方法，但作為普通的理論，至今尚未達(dá)到成熟的階段。分析線性系統(tǒng)一般必須首先建立描述系統(tǒng)的數(shù)學(xué)模型，然後再進(jìn)一步求得系統(tǒng)數(shù)學(xué)模型的解。在建立系統(tǒng)模型方面，系統(tǒng)的數(shù)學(xué)描述方法可分兩類：一類稱為輸入-輸出描述法；一類稱為狀態(tài)變數(shù)描述法。輸入-輸出描述法著眼於系統(tǒng)激勵與回應(yīng)的關(guān)係，並不涉及系統(tǒng)內(nèi)部變數(shù)的情況。因而，這種方法對於單輸入、單輸出系統(tǒng)較為方便。一般而言，描述線性時(shí)不變系統(tǒng)的輸入-輸出關(guān)係，對連續(xù)系統(tǒng)是常係數(shù)線性微分方程，對離散系統(tǒng)是常係數(shù)線性差分方程。狀態(tài)變數(shù)描述法不僅可以給出系統(tǒng)的回應(yīng)，還可提供系統(tǒng)內(nèi)部各變數(shù)的情況，特別適用於多輸入、多輸出系統(tǒng)。用這種方法建立的數(shù)學(xué)式為一階標(biāo)準(zhǔn)形式，便於電腦求解。狀態(tài)變數(shù)分析法還適用於時(shí)變系統(tǒng)和非線性系統(tǒng)，已成為系統(tǒng)理論與近代控制工程的基礎(chǔ)。從系統(tǒng)數(shù)學(xué)模型的求解方法來講，基本上可分為時(shí)域方法和變換域方法兩類。時(shí)域法是直接分析時(shí)間變數(shù)的函數(shù)，研究系統(tǒng)的時(shí)域特性。對於輸入-輸出描述的數(shù)學(xué)模型，可求解常係數(shù)線性微分方程或差分方程；對於狀態(tài)變數(shù)描述的數(shù)學(xué)模型，則需求解矩陣方程。線上性系統(tǒng)時(shí)域分析方法中，卷積方法非常重要，不管是連續(xù)系統(tǒng)中的卷積還是離散系統(tǒng)中的卷積和，都為分析線性系統(tǒng)提供了簡單而有效的方法，本書中將詳細(xì)討論這種方法。變換域方法是將信號與系統(tǒng)的時(shí)間變數(shù)函數(shù)變換成相應(yīng)變換域的某個(gè)變數(shù)函數(shù)。例如，傅裏葉變換（FT）是以頻率作為變數(shù)的函數(shù)，利用FT來研究系統(tǒng)的頻率特性；拉普拉斯變換（LT）與Z變換（ZT）則注重研究零點(diǎn)與極點(diǎn)分佈，對系統(tǒng)進(jìn)行S（複頻率）域和Z域分析。變換域方法可以將分析中的微分方程或差分方程轉(zhuǎn)換為代數(shù)方程，或?qū)⒕矸e積分與卷積和轉(zhuǎn)換為乘法運(yùn)算，使信號與系統(tǒng)分析的求解過程變得簡單而方便。在分析線性時(shí)不變系統(tǒng)中，時(shí)域法和變換域法都以疊加性、線性和時(shí)不變性為分析問題的基準(zhǔn)。首先把激勵信號分解為某種基本單元信號，然後求出在這些基本單元信號分別作用下系統(tǒng)的零狀態(tài)回應(yīng)，最後疊加。應(yīng)該指出，卷積方法求得的是零狀態(tài)回應(yīng)。變換域方法不限於求零狀態(tài)回應(yīng)，也可用來求零輸入回應(yīng)或直接求全回應(yīng)，它是求解數(shù)學(xué)模型的有力工具。狀態(tài)變數(shù)分析法適用於時(shí)域法和變換域方法。本書按照先輸入-輸出描述後介紹狀態(tài)變數(shù)描述，先連續(xù)系統(tǒng)後離散系統(tǒng)，先時(shí)域後變換域的順序，研究線性時(shí)不變系統(tǒng)的基本分析方法。信號與系統(tǒng)第二章第2章連續(xù)信號與系統(tǒng)的時(shí)域分析

2.1沖激函數(shù)及其性質(zhì)

2.2系統(tǒng)的沖激回應(yīng)

2.3信號的時(shí)域分解和卷積積分

2.4卷積的圖解和卷積積分限的確定

2.5卷積積分的性質(zhì)

2.6卷積的數(shù)值計(jì)算

習(xí)題2

2.1

沖激函數(shù)及其性質(zhì)2.1.1沖激函數(shù)沖激函數(shù)是對於集中於一個(gè)瞬間（或一點(diǎn)）出現(xiàn)的物理量的一種理想描述。

單位沖激函數(shù)的工程定義:

單位沖激函數(shù)的工程定義直觀地反映了它出現(xiàn)時(shí)間極短和麵積為1兩個(gè)特點(diǎn)。從它t=0時(shí)函數(shù)值趨於無窮大，可以看出，不是通常意義下的函數(shù)。人們將這類非常規(guī)函數(shù)稱為廣義函數(shù)（generalizedfunction），或稱分配函數(shù)（distributionfunction）。這類函數(shù)的數(shù)學(xué)定義不是象普通函數(shù)那樣，由對應(yīng)於引數(shù)的變化值所取的函數(shù)值來定義，而是由它對另一個(gè)函數(shù)（常稱為測試函數(shù)）的作用效果來定義的，也就是說，不是用它“是”什麼來定義，而是用它能“做”什麼來定義的。和單位沖激函數(shù)的嚴(yán)格的數(shù)學(xué)定義。

2.1.2沖激函數(shù)的性質(zhì)作為廣義函數(shù)，沖激函數(shù)除了式（2.1-4）和式（2.1-16）所描述的取樣性質(zhì)（或稱篩選性質(zhì)）外，還具有如下常用性質(zhì)：

1.加權(quán)特性

2.單位沖激函數(shù)為偶函數(shù)

3.單位階躍函數(shù)的導(dǎo)數(shù)是單位沖激函數(shù)

4.尺度變換

5.沖激函數(shù)的導(dǎo)數(shù)及其性質(zhì)單位沖激函數(shù)及其各階導(dǎo)數(shù)和積分是一族最常用的奇異函數(shù)。（2.1-4）2.2系統(tǒng)的沖激回應(yīng)線性時(shí)不變時(shí)間系統(tǒng)的單位沖激回應(yīng)，是指系統(tǒng)初始狀態(tài)為零，激勵為單位沖激信號作用下的回應(yīng)，簡稱沖激回應(yīng)，用h(t)表示。它反映了系統(tǒng)的特性，同時(shí)也是利用卷積積分進(jìn)行系統(tǒng)時(shí)域分析的重要基礎(chǔ)。

1.對於簡單電路，直接計(jì)算該電路在單位沖激信號作用下的零狀態(tài)回應(yīng)，即可求得沖激回應(yīng)h(t)。

2.先計(jì)算系統(tǒng)的階躍回應(yīng)s(t)，然後利用沖激回應(yīng)和階躍回應(yīng)的關(guān)係計(jì)算沖激回應(yīng)h(t)。

3.從系統(tǒng)的微分方程求解沖激回應(yīng)。2.3信號的時(shí)域分解和卷積積分上一節(jié)討論了系統(tǒng)對於單位沖激信號這一特殊激勵下的零狀態(tài)回應(yīng)，本節(jié)將研究任意波形信號可以分解為連續(xù)的沖激信號之和，以及任意信號作用下的零狀態(tài)回應(yīng)問題，進(jìn)而說明卷積積分的物理意義。2.3.1信號的時(shí)域分解任意波形的信號可以分解為連續(xù)的加權(quán)沖激信號之和。

任意波形的信號也可以分解為無限多個(gè)連續(xù)的加權(quán)階躍信號之和。2.3.2

零狀態(tài)回應(yīng)---卷積積分任意波形信號作用於線性系統(tǒng)引起的零狀態(tài)回應(yīng)，為

(2.3-10）

式（2.3-10）是卷積積分的一般形式，當(dāng)與受到某種限制時(shí)，其積分上、下限會有所變化。若t<t1時(shí)，x(t)=0，式（2.3-10）中的積分下限應(yīng)從t1開始，式（2.3-10）應(yīng)表示為

(2.3-12）相反，若x(t)不受此限，而t<t2時(shí)，h(t)=0，積分上限應(yīng)取t-t2

，式（2.3-10）應(yīng)表示為（2.3-13）若t<t1時(shí)，x(t)=0，而t<t2時(shí)，h(t)=0，式（2.3-10）積分上,下限為（2.3-14）更一般的確定卷積積分的積分限的方法將在下一節(jié)中進(jìn)一步進(jìn)行分析討論。2.4卷積的圖解和卷積積分限的確定上一節(jié)討論了一般形式的卷積積分，以及x(t)和h(t)均為有始函數(shù)時(shí)積分上下限的表示方法，但實(shí)際上卷積積分限還要根據(jù)具體情況來確定，特別是當(dāng)x(t)和h(t)兩者或兩者之一是分段定義的函數(shù)時(shí)，圖解能幫助正確地確定卷積積分的上下限。

2.4.1卷積的圖解卷積的圖解能夠直觀地理解卷積積分的計(jì)算過程。卷積的圖解歸納起來有下列五個(gè)步驟：

1.換元：將和中的變數(shù)t更換為變數(shù)τ；

2.折疊：作出相對於縱軸的鏡象；

3.位移：把平移一個(gè)t值；

4.相乘：將位移後的函數(shù)乘以；

5.積分：和乘積曲線下的面積即為t時(shí)刻的卷積值。

由於卷積積分的計(jì)算步驟包括換元、折疊、位移、相乘與積分，故卷積也稱為褶積或卷乘等。

2.4.2卷積的另一種計(jì)算方法如果x(t)和h(t)兩者或兩者之一是分段連續(xù)的函數(shù)時(shí)，採用式（2.3-14）進(jìn)行卷積計(jì)算也是一種較為簡便的方法。

2.5卷積積分的性質(zhì)作為一種數(shù)學(xué)運(yùn)算方法，卷積積分具有某些特殊的性質(zhì)。利用這些性質(zhì)可使卷積運(yùn)算大為簡化。

2.5.1卷積代數(shù)通常，卷積積分與代數(shù)中的乘法運(yùn)算性質(zhì)相類似。（1）卷積運(yùn)算滿足交換律（2）卷積積分滿足分配律（3）卷積積分滿足結(jié)合律2.5.2卷積的微分與積分上述卷積代數(shù)運(yùn)算的規(guī)律與普通乘法類似，但卷積的微分或積分運(yùn)算卻與普通兩函數(shù)的乘積的微分、積分運(yùn)算不同。（1）卷積的微分性質(zhì)（2）卷積的積分性質(zhì)（3）卷積的微積分性質(zhì)任意函數(shù)x(t)與單位沖激函數(shù)

(t)卷積的結(jié)果仍然是本身，根據(jù)式（2.3-3）和卷積的定義，有（2.5-17）由此可見任意函數(shù)x(t)與一個(gè)延遲時(shí)間為t1秒的單位沖激函數(shù)

(t-t1)的卷積，只是使x(t)在時(shí)間上延遲了t1，而波形不變。這一性質(zhì)稱為重現(xiàn)特性（replicationproperty）。2.5.4卷積的時(shí)移若，則

(2.5-22)

2.6卷積的數(shù)值計(jì)算卷積積分除通過直接積分或查表的方法進(jìn)行求解外，還可以利用電腦求解，這就是卷積積分的數(shù)值計(jì)算。信號與系統(tǒng)第三章第3章

連續(xù)信號與系統(tǒng)的頻域分析

3.1週期信號分解為傅裏葉級數(shù)

3.2信號在正交函數(shù)空間的分解

3.3週期信號的頻譜

3.4非週期信號的頻譜

3.5一些常見信號的頻域分析

3.6傅裏葉變換的性質(zhì)及其應(yīng)用

3.7相關(guān)函數(shù)與譜密度

3.8連續(xù)系統(tǒng)的頻域分析

3.9信號的無失真?zhèn)鬏敽屠硐霝V波器

3.10希爾伯特變換

3.11取樣定理

3.12多路複用習(xí)題3第3章

連續(xù)信號與系統(tǒng)的頻域分析

上一章討論了連續(xù)時(shí)間信號與系統(tǒng)的時(shí)域分析。它是以沖激函數(shù)為基本信號，任意信號可以分解為一系列加權(quán)的沖激信號之和，而系統(tǒng)的零狀態(tài)回應(yīng)是輸入信號與沖激回應(yīng)的卷積。本章將以正弦函數(shù)或虛指函數(shù)為基本信號，任意信號可以表示成一系列不同頻率的正弦信號或虛指函數(shù)信號之和。連續(xù)信號與系統(tǒng)的頻域分析就是將時(shí)間變數(shù)變換為頻率變數(shù)的分析方法，這種方法以傅裏葉（Fourier）變換理論為工具，將時(shí)間域映射到頻率域，揭示了信號內(nèi)在的頻率特性以及信號時(shí)間特性與頻率特性之間的密切關(guān)係。3.1週期信號分解為傅裏葉級數(shù)一個(gè)連續(xù)時(shí)間信號若每隔一定的時(shí)間T按相同的變換規(guī)律重複變化，此信號稱為週期信號。

3.1.1

三角型傅裏葉級數(shù)

由高等數(shù)學(xué)知識，以T為週期的週期信號f(t)，若滿足下列狄裏赫利（Dirichlet）條件：

1.在一個(gè)週期內(nèi)滿足絕對可積，即

2.在一個(gè)週期內(nèi)只有有限個(gè)極大值和極小值；

3.在一個(gè)週期內(nèi)只有有限個(gè)不連續(xù)點(diǎn)。則可展開為如下三角型傅裏葉級數(shù)

(3.1-2)式中，也稱基本角頻率,係數(shù)a0,an,bn稱為三角型傅裏葉級數(shù)的係數(shù)，它們分別為(3.1-3a)(3.1-3b)(3.1-3c)

利用信號波形的對稱性，可以方便地求取傅裏葉級數(shù)的係數(shù)。

1.f(t)為偶函數(shù)

2.f(t)為奇函數(shù)

3.f(t)為偶諧函數(shù)4.f(t)為奇諧函數(shù)

，則只含有常數(shù)項(xiàng)和余弦項(xiàng)；而。,則只含正弦項(xiàng)；而。

，偶半波對稱,則只含有偶次諧波。

，奇半波對稱,則只含有奇次諧波。若將式(3.1-2)中同頻率項(xiàng)合併，即

三角型傅裏葉級數(shù)可寫成工程上更為實(shí)用的形式：3.1.2

指數(shù)型傅裏葉級數(shù)三角函數(shù)與虛指數(shù)函數(shù)有著密切的關(guān)係，根據(jù)歐拉（Eular）公式，有故三角型傅裏葉級數(shù)和指數(shù)型傅裏葉級數(shù)實(shí)質(zhì)上是同一級數(shù)的兩種不同的表現(xiàn)形式。於是，可將原傅裏葉級數(shù)寫成緊湊的形式

(3.1-10)這就是指數(shù)型傅裏葉級數(shù)。將式(3.1-3)中的an和bn代入式(3.1-9a)即可求得指數(shù)型傅裏葉級數(shù)的係數(shù)

(3.1-11)一般情況下，F(xiàn)n是關(guān)於變數(shù)n

0的復(fù)函數(shù)，故又稱為指數(shù)型傅裏葉級數(shù)的複係數(shù).當(dāng)f(t)是實(shí)週期信號時(shí)，其傅裏葉複係數(shù)Fn的模和實(shí)部是n

0偶函數(shù)；Fn的相角和虛部是n

0的奇函數(shù)。

指數(shù)型傅裏葉級數(shù)中出現(xiàn)負(fù)頻率分量，這只是一種數(shù)學(xué)表達(dá)形式，沒有太多的物理意義。實(shí)際上，正負(fù)頻率分量總是共軛成對地出現(xiàn)。一對共軛的正負(fù)頻率分量之和構(gòu)成一個(gè)實(shí)際的諧波分量.3.2

信號在正交函數(shù)空間的分解傅裏葉級數(shù)表明，滿足狄裏赫利條件的任意週期信號可以用一系列正、余弦函數(shù)或虛指數(shù)函數(shù)的線性組合來表示。本節(jié)試圖探討是否還可以用其他函數(shù)的線性組合來表示一個(gè)任意函數(shù)。把信號分解為某種基本信號的疊加是分析信號和系統(tǒng)的基本思想。信號分解為正交函數(shù)的原理與向量分解為正交向量的概念相似。本節(jié)首先回顧向量的正交分解，然後引入函數(shù)正交的概念，最後討論任意信號分解為正交信號之和。

3.2.1向量的正交與分解

3.2.2

正交函數(shù)向量正交的概念可以推廣到函數(shù)或信號。3.2.3

用正交函數(shù)表示信號由n個(gè)正交向量構(gòu)成一個(gè)n維向量空間，該向量空間中的任意向量均可按式(3.2-4)進(jìn)行分解。這同樣可以推廣到函數(shù)空間。對於某給定信號，可以選擇各種可能的完備正交函數(shù)集來表示。但三角函數(shù)集和虛指數(shù)函數(shù)集是最重要、最方便的，這是因?yàn)樗鼈兙哂幸恍╋@著的優(yōu)點(diǎn)。（1）三角函數(shù)和指數(shù)函數(shù)是自然界中最常見、最基本的函數(shù)。（2）三角函數(shù)和虛指數(shù)函數(shù)是簡諧函數(shù)，用它們表示信號，就自然建立了時(shí)間和頻率這兩個(gè)基本物理量之間的聯(lián)繫。很多系統(tǒng)（例如濾波器、資訊傳輸通道等）的特性主要是由頻域特性來描述的。（3）簡諧信號容易產(chǎn)生、傳輸和處理。（4）三角函數(shù)（或指數(shù)函數(shù)）信號通過線性時(shí)不變系統(tǒng)後，仍為三角函數(shù)（或指數(shù)函數(shù)）信號，其重複頻率不變，只是幅度和相位發(fā)生變化，給計(jì)算帶來方便。（5）三角函數(shù)和指數(shù)函數(shù)的加、減、乘、微分和積分運(yùn)算後仍然是三角函數(shù)和指數(shù)函數(shù)。（6）以後我們會看到，時(shí)域中的卷積運(yùn)算在頻域中會轉(zhuǎn)變?yōu)槌朔e運(yùn)算，從而找到了計(jì)算積分的一種新的簡便方法。

3.3週期信號的頻譜式（3.1-4）和式（3.1-10）說明，週期信號可分解為各次諧波頻率分量的疊加，而傅裏葉係數(shù)或反映了不同諧波分量的幅度，或反映了不同諧波分量的相位。將它們沿頻率（或）軸分佈的圖形畫出來，就稱為週期信號的頻譜（Spectrum）圖。這種圖形清晰地表征了週期信號的頻域特性，從頻域角度反映了該信號攜帶的全部資訊。3.3.1週期信號的單邊頻譜和雙邊頻譜週期信號的三角型傅裏葉級數(shù)中，分量的形式

,為整數(shù)，故把隨變化的圖形稱為單邊幅度頻譜，把隨變化的圖形稱為單邊相位頻譜，兩圖合在一起稱為的單邊頻譜。類此，週期信號的指數(shù)型傅裏葉級數(shù)中，把隨變化的圖形稱為雙邊幅度頻譜，把隨變化的圖形稱為雙邊相位頻譜。兩圖合在一起稱為的雙邊頻譜。畫頻譜圖時(shí)必須注意下麵幾點(diǎn)：（1）,但當(dāng)時(shí)，;（2）三角型傅裏葉級數(shù)必須統(tǒng)一用余弦函數(shù)來表示；（3）由於表示振幅，故；（4）當(dāng)f(t)是實(shí)信號時(shí)，雙邊幅度頻譜是的偶函數(shù)，雙邊相位頻譜的奇函數(shù)；（5）為了使圖形清晰，採用豎線代替點(diǎn)的辦法來表示相應(yīng)幅度或相位的數(shù)值，稱為譜線，譜線只在基波的整倍數(shù)處出現(xiàn)。一般情況下，是關(guān)於的復(fù)函數(shù)。但當(dāng)f(t)是實(shí)偶函數(shù),

也為實(shí)偶函數(shù)；而f(t)為實(shí)奇函數(shù)時(shí)為虛奇函數(shù)。故若將一般的實(shí)信號分解為偶分量和奇分量之和，由式(2.3-6)和式(3.1-12),有

若的頻譜是，則的偶分量的頻譜是的實(shí)部，即；而的奇分量的頻譜是的虛部乘以j，即。信號的頻譜圖和信號的波形圖同樣都形象地描述了信號的全部特性，前者是信號的頻域描述法，而後者是信號的時(shí)域描述法。週期信號的頻譜有如下特點(diǎn)：

(1)離散性：譜線沿頻率呈離散分佈，這種頻譜稱為離散頻譜；

(2)諧波性：各譜線間呈等距分佈，相鄰譜線間的距離正好等於基波頻率，不可能包含不是基波整數(shù)倍的其他頻率分量；

(3)

收斂性：（或）一般隨總是趨於零。

3.3.2週期信號的功率譜週期信號屬於功率信號。為了方便，研究週期信號在1

電阻上消耗的平均功率，稱為歸一化平均功率，如果是實(shí)信號，無論它表示電壓還是電流，其平均功率為

(3.3-2)式中，T為週期信號的週期。

(3.3-6)式(3.3-6)稱為帕什瓦爾（Parseval）定理。也稱功率等式。該式表明週期信號的平均功率不僅可以在時(shí)域中求取，還可以在頻域中確定。

從式(3.3-6b)右邊兩項(xiàng)分別就是週期信號的直流分量和各次諧波分量在1

電阻上消耗的平均功率，因此，它表明了週期信號在時(shí)域中的平均功率等於頻域中的直流分量和各次諧波分量的平均功率之和。把各平均功率分量即隨變化的圖形稱為週期信號的功率頻譜，簡稱功率譜（Powerspectrum）。顯然，週期信號的功率譜也是離散頻譜。可見，功率譜是相應(yīng)的雙邊幅度頻譜的平方，而與相應(yīng)的相位譜無關(guān)。從週期信號的功率譜中可以看出各平均功率分量的分佈情況，另外還可以確定在週期信號的有效頻帶寬度內(nèi)諧波分量所具有的平均功率占整個(gè)週期信號的平均功率之比。

3.4非週期信號的頻譜前面幾節(jié)討論了週期信號的頻譜，在自然界裏除了週期信號外，還廣泛存在著非週期信號。這些非週期信號能否分解為指數(shù)型級數(shù)，應(yīng)該如何分解。這些就是本節(jié)要討論的問題。

3.4.1

從傅裏葉級數(shù)到傅裏葉變換對於週期信號可以表示成指數(shù)型傅裏葉級數(shù),即寫成

(3.4-2)和(3.4-3)由上節(jié)對週期矩形脈衝信號的討論已經(jīng)知道，當(dāng)T變大時(shí)，基本角頻率變小，相應(yīng)的離散譜線變密，此時(shí)各頻率分量的幅度也變小，頻譜包絡(luò)線的形狀不變。當(dāng)T趨於無限大時(shí)，儘管頻譜包絡(luò)線的形狀不變，但譜線都趨於無窮小。如果此時(shí)仍然討論展開為傅裏葉級數(shù)問題已經(jīng)沒有實(shí)際意義。為了描述非週期信號的頻譜特性，考慮到T非常大時(shí)，就變得非常小，可用來表示。式(3.4-3)可改寫成(3.4-4)當(dāng)時(shí)，，用來表示；用來表示；離散變數(shù)變成連續(xù)變數(shù)；同時(shí)將求和改為積分；則非週期信號可表示為

這樣，可以把非週期信號表示為無窮期指數(shù)信號的積分，稱為傅裏葉積分，簡稱為傅氏積分。同時(shí)根據(jù)式(3.4-4)、(3.4-5)有(3.4-7)今後為了書寫的簡便，常將寫成。式(3.4-7)和式(3.4-8)稱為傅裏葉變換對，其中式(3.4-8)稱為傅裏葉正變換，簡稱傅氏變換。而式(3.4-7)稱為傅裏葉反變換，簡稱傅氏反變換。並採用下列記號：

(3.4-9)與的對應(yīng)關(guān)係還可簡化為

(3.4-10)(3.4-8)

3.4.2頻譜函數(shù)的物理意義及其自身特性週期信號的指數(shù)型傅裏葉級數(shù)表明:週期信號可以分解為無限多個(gè)頻率為、複振幅為的指數(shù)分量的離散和；而非週期信號的傅裏葉積分則表明非週期信號可以分解為無限多個(gè)頻率為、振幅為的指數(shù)分量的連續(xù)和（積分）。這樣，週期信號的分解就推廣到非週期信號。

從上式可以看出，是單位頻帶的複振幅。具有密度的概念，因此稱為頻譜密度函數(shù)（Spectrumdensityfunction）,簡稱為頻譜函數(shù)或頻譜密度，在與週期信號頻譜不發(fā)生混淆的情況下也簡稱為頻譜。由3.3節(jié)可知，信號在時(shí)域中是連續(xù)、週期的，其頻譜在頻域中是離散、非週期的；從本節(jié)傅裏葉變換定義可知，信號在時(shí)域中是連續(xù)、非週期的，其頻譜在頻域中也是連續(xù)、非週期的。以後我們將會知道，信號在時(shí)域中是離散、非週期的，其頻譜在頻域中是連續(xù)、週期的；信號在時(shí)域中是離散、週期的，其頻譜在頻域中也是離散、週期的。一般是的復(fù)函數(shù)，可以寫作

(3.4-13)式中是的模，它代表信號中各頻率分量幅度的相對大??；是的幅角，它表示信號中各頻率分量之間的相位關(guān)係。習(xí)慣上把和的曲線也分別稱為幅度頻譜和相位頻譜。非週期信號的頻譜密度與相對應(yīng)的週期信號的傅裏葉複係數(shù)之間的關(guān)係是應(yīng)用上述關(guān)係可以較方便地從週期信號的求取相應(yīng)的非週期信號的，或者相反。在形狀上與相應(yīng)的週期信號的頻譜包絡(luò)線相同。

3.4.3

傅裏葉變換的存在性非週期信號是否存在傅裏葉變換，仍應(yīng)滿足類似於傅裏葉級數(shù)的狄裏赫利條件，不同之處僅僅在於一個(gè)週期的範(fàn)圍，即要求信號在無限區(qū)間內(nèi)絕對可積。利用式(3.4-8)，有

(3.4-21)上式表明，若滿足無限區(qū)間內(nèi)絕對可積，則必然有界。但這僅是充分條件而不是必要條件。這意味著滿足絕對可積條件的能量信號其必然存在。但是，如果在頻域內(nèi)引入廣義函數(shù)後，對於並不滿足絕對可積條件的功率信號，甚至某些非功率非能量信號，其也存在，且有確定的運(yùn)算式。這給信號的頻域分析與系統(tǒng)的頻域分析帶來很大的方便。

3.5

一些常見信號的頻域分析常見信號是組成複雜信號的基礎(chǔ)，如果再與下一節(jié)討論的傅裏葉變換性質(zhì)結(jié)合起來，幾乎可以分析工程中遇到的所有信號的頻譜。本節(jié)討論的信號中，有的不滿足絕對可積的條件，引入廣義函數(shù)的概念以後，使許多不滿足絕對可積條件的功率信號和某些非功率、非能量信號也存在傅裏葉變換，而且具有非常清楚的物理意義，這樣就可以把週期信號和非週期信號的分析方法統(tǒng)一起來，使傅裏葉變換應(yīng)用更為廣泛。

1.矩形脈衝A2.三角形脈衝03.單邊實(shí)指數(shù)脈衝

4.雙邊實(shí)指數(shù)脈衝5.符號函數(shù)符號函數(shù)(或稱正負(fù)號函數(shù))如圖3.5-5(a)所示。顯然這種信號不滿足絕對可積的條件，直接用定義式也無法得到它的傅裏葉變換。如果將看成是下列函數(shù)的極限6.單位沖激函數(shù)單位沖激函數(shù)是實(shí)偶函數(shù)，其傅裏葉變換也應(yīng)是實(shí)偶函數(shù),有

(3.5-14)即單位沖激函數(shù)頻譜是常數(shù)1，其時(shí)域、頻域圖形如圖所示。也就是說，在時(shí)域中變化異常劇烈的沖激信號包含幅度相等的所有頻率分量，即其頻譜密度在整個(gè)頻率範(fàn)圍內(nèi)是均勻分佈的。這樣的頻譜常稱為“均勻譜”或“白色頻譜”。017.直流信號1根據(jù)傅裏葉反變換定義，有得直流信號1的傅氏變換8.虛指數(shù)信號考慮到?jīng)_激函數(shù)是偶函數(shù)，可得如下重要公式9.單位階躍信號兩邊取傅裏葉變換，得週期信號的頻譜為由此，可以得到週期信號的傅裏葉變換公式：週期信號的傅裏葉級數(shù)

3.6傅裏葉變換的性質(zhì)及其應(yīng)用傅裏葉變換建立了信號時(shí)域和頻域的一一對應(yīng)關(guān)係。也就是說任一信號可以有時(shí)域和頻域兩種描述方法。信號在一個(gè)域中所具有的特性，必然在另一個(gè)域中有其相對應(yīng)的特性出現(xiàn)。為了進(jìn)一步瞭解時(shí)域和頻域之間的內(nèi)在聯(lián)繫，當(dāng)在某一個(gè)域中分析發(fā)生困難時(shí)，利用傅裏葉變換的性質(zhì)可以轉(zhuǎn)換到另一個(gè)域中進(jìn)行分析計(jì)算；另外，根據(jù)定義來求取傅裏葉正、反變換時(shí)，不可避免地會遇到繁雜的積分或不滿足絕對可積而可能出現(xiàn)廣義函數(shù)的麻煩。下麵將系統(tǒng)地討論傅裏葉變換的性質(zhì)及其應(yīng)用，從而用簡捷的方法求取傅裏葉正、反變換。

1.線性

2.

對稱性：

3.

尺度變換尺度變換特性也稱比例性。4.

時(shí)移性

5.

頻移性由頻移特性，由公式可得6.

卷積定理有兩個(gè)卷積定理，一個(gè)為時(shí)域卷積定理，另一個(gè)為頻域卷積定理。時(shí)域卷積定理

頻域卷積定理卷積定理在信號和系統(tǒng)分析中佔(zhàn)有重要的地位，它說明了兩函數(shù)在時(shí)域（或頻域）中的卷積積分，對應(yīng)於頻域（或時(shí)域）中兩者的傅裏葉變換（或反變換）應(yīng)具有的關(guān)係。7.

時(shí)域微分和積分則

8.頻域微分和積分(1)頻域微分(2)頻域積分3.7相關(guān)函數(shù)與譜密度信號的頻譜是頻域中描述信號特徵的方法之一，此外，還可以用能量譜密度或功率譜密度來描述信號。而相關(guān)是在時(shí)域中描述信號特徵的重要方法。這一節(jié)中，將通過相關(guān)函數(shù)的傅裏葉變換，從而找到從頻域計(jì)算能量信號的能量譜密度和功率信號的功率譜密度的另一種方法。為了簡便起見，我們只討論實(shí)信號。

3.7.1能量譜密度（Energyspectraldensity）第一章中已經(jīng)定義了實(shí)能量信號的能量為式(3.7-1)表示電壓或電流信號在1

電阻上所消耗的能量。（3.7-3）上式也稱為帕什瓦爾定理或非週期能量信號的能量等式。為了瞭解能量在頻域中的分佈情況，定義能量譜密度為

(3.7-4)

3.7.2功率譜密度（Powerspectraldensity）若是實(shí)功率信號，則其平均功率定義為

(3.7-7)將式(3.7-8)和式(3.7-9)代入式(3.7-7),可得到功率信號的平均功率為

(3.7-10)式中

(3.7-11)稱為功率信號的功率譜密度。

3.7.3相關(guān)函數(shù)在很多情況下，需要比較兩個(gè)信號的相似程度。相關(guān)函數(shù)是研究隨機(jī)信號而引入的概念，但對確定信號同樣適用?；ハ嚓P(guān)函數(shù)定義：自相關(guān)函數(shù)定義：相關(guān)運(yùn)算和卷積運(yùn)算之間的關(guān)係。

3.7.4相關(guān)函數(shù)的譜密度儘管相關(guān)函數(shù)的概念是建立在信號時(shí)域波形之間，但它卻與能量譜密度函數(shù)或功率譜密度函數(shù)之間存在著確定的關(guān)係。根據(jù)時(shí)域卷積定理可以證明

(3.7-21)或(3.7-22)可見，互相關(guān)函數(shù)與是一對傅裏葉變換，具有能量譜的性質(zhì)，通常稱為能量信號和的互能量譜密度，簡稱互能量譜。如A同樣，可得能量信號：功率信號：

3.8連續(xù)系統(tǒng)的頻域分析方法系統(tǒng)的頻域分析就是尋求不同信號激勵下其回應(yīng)隨頻率變化的規(guī)律。本節(jié)將以信號的頻譜分析為基礎(chǔ)，討論信號作用於線性系統(tǒng)時(shí)在頻域中求解零狀態(tài)回應(yīng)的方法，這種系統(tǒng)的頻域分析法又稱為傅裏葉變換分析法。

3.8.1

傅裏葉變換分析法線性時(shí)不變系統(tǒng)的數(shù)學(xué)模型可以用一個(gè)n階常係數(shù)線性微分方程來描述，即對上式兩邊取傅裏葉變換，由時(shí)域微分性質(zhì)，可得可見，通過傅裏葉變換，可以把常係數(shù)線性微分方程變成關(guān)於激勵和回應(yīng)的傅裏葉變換的代數(shù)方程。從而使問題得以簡化。於是得輸出回應(yīng)的傅裏葉變換為

是兩個(gè)關(guān)於的多項(xiàng)式之比，其中分母與分子多項(xiàng)式的係數(shù)分別是微分方程左邊與右邊相應(yīng)項(xiàng)的係數(shù)。定義為系統(tǒng)在零狀態(tài)條件下回應(yīng)與激勵的頻譜之比，稱為系統(tǒng)的（頻域形式的）系統(tǒng)函數(shù)(Systemfunction)，也稱為頻率回應(yīng)特性（簡稱頻率回應(yīng)）。顯然是的復(fù)函數(shù)，它表徵了系統(tǒng)的頻率特性，是系統(tǒng)特性的頻域描述。對於一個(gè)系統(tǒng)來說，如果已知、和中的兩個(gè)，便可方便地確定第三個(gè)。1．求取激勵的傅裏葉變換，即

2.確定系統(tǒng)的系統(tǒng)函數(shù)；

3．求取回應(yīng)的傅裏葉變換；

4．再將從頻域反變換到時(shí)域，從而求得零狀態(tài)回應(yīng)的時(shí)間函數(shù)。由於傅裏葉變換的積分區(qū)間為，因此，頻域分析法求取的回應(yīng)是零狀態(tài)回應(yīng)?；蛘哒f，由於無法表示系統(tǒng)的初始儲能，頻域分析法無法求得其零輸入回應(yīng)。在傅裏葉變換分析法中，系統(tǒng)函數(shù)起著重要的作用，有必要進(jìn)行進(jìn)一步地討論，以便更好地理解傅裏葉變換分析法的實(shí)質(zhì)。

3.8.2系統(tǒng)特性的頻域表徵系統(tǒng)函數(shù)描述了系統(tǒng)在零狀態(tài)條件下回應(yīng)的傅裏葉變換與激勵的傅裏葉變換之間的關(guān)係，可以按照式(3.8-3)由系統(tǒng)的微分方程求得。可見，系統(tǒng)函數(shù)只與系統(tǒng)本身的特性有關(guān)，而與激勵無關(guān)。系統(tǒng)函數(shù)是系統(tǒng)的沖激回應(yīng)的傅裏葉變換，這是一個(gè)十分重要的變換對。系統(tǒng)的沖激回應(yīng)和系統(tǒng)函數(shù)這一變換對分別從時(shí)域和頻域兩個(gè)方面表徵了同一系統(tǒng)的特性。當(dāng)系統(tǒng)的激勵為無時(shí)限虛指數(shù)信號時(shí)，系統(tǒng)的零狀態(tài)回應(yīng)由時(shí)域卷積積分可求得，為

(3.8-5)上式表明，當(dāng)一個(gè)無時(shí)限虛指數(shù)信號作用於線性系統(tǒng)時(shí)，其輸出的零狀態(tài)回應(yīng)仍為同頻率的虛指數(shù)信號，不同的是回應(yīng)比激勵多乘一個(gè)與時(shí)間t無關(guān)的系統(tǒng)函數(shù)。根據(jù)式(3.8-5)，可以更深刻地理解傅裏葉變換分析法的物理意義。它實(shí)質(zhì)上就是把信號分解為無窮多個(gè)虛指數(shù)分量之和，即

其中在範(fàn)圍內(nèi)的分量為，由式(3.8-5),對應(yīng)於這個(gè)分量的回應(yīng)為，當(dāng)把無窮多個(gè)回應(yīng)分量疊加起來，便得到了總回應(yīng)，即

(3.8-6)

這裏可以看出，系統(tǒng)的頻域分析法與時(shí)域分析法存在相似之處。在時(shí)域分析法中是把信號分解為無窮多個(gè)沖激信號之和，即把沖激信號作為單元信號，然後求取各單元信號作用於系統(tǒng)的回應(yīng)，再進(jìn)行疊加；而在頻域分析法中則是把信號分解為無窮多個(gè)無時(shí)限虛指數(shù)信號之和。即把虛指數(shù)信號作為單元信號，然後求取各個(gè)單元信號作用於系統(tǒng)的回應(yīng)，再進(jìn)行疊加。因此，這兩種分析法只不過是採用單元信號不同。另外，卷積分析法是直接在時(shí)域中求解系統(tǒng)的零狀態(tài)回應(yīng),而傅裏葉變換分析法則是在頻域中求解系統(tǒng)的零狀態(tài)回應(yīng)的傅裏葉變換後，再反變換到時(shí)域中去。這兩種分析方法可以通過傅裏葉變換的時(shí)域卷積定理聯(lián)繫起來。系統(tǒng)函數(shù)表徵了系統(tǒng)的頻域特性，是頻域分析的關(guān)鍵，如上所述，系統(tǒng)函數(shù)有下列幾種求解的方法：

1．當(dāng)已知系統(tǒng)微分方程時(shí)，可以對微分方程兩邊取其傅裏葉變換，按照式(3.8-3)直接求?。?/p>

2．當(dāng)已知系統(tǒng)的沖激回應(yīng)時(shí)，可以對其求傅裏葉變換來求??；

3．可假設(shè)時(shí)的零狀態(tài)回應(yīng)與的比來求取；

4．當(dāng)已知具體電路的情況下，系統(tǒng)函數(shù)可以由電路的零狀態(tài)回應(yīng)頻域等效電路模型來求取。而無需列寫電路的微分方程。

3.8.3傅裏葉變換分析法舉例這裏我們先討論系統(tǒng)的非週期信號的回應(yīng)，然後討論系統(tǒng)的正弦信號穩(wěn)態(tài)回應(yīng)，最後討論系統(tǒng)的一般週期信號的回應(yīng)。系統(tǒng)的正弦信號穩(wěn)態(tài)回應(yīng)：為

3.9信號的無失真?zhèn)鬏敽屠硐霝V波器由於表示信號的時(shí)間函數(shù)與其在頻域中頻域函數(shù)相互存在著一一對應(yīng)關(guān)係。系統(tǒng)對於給定激勵的回應(yīng)問題，從信號分析的角度來看，就是對激勵信號的頻譜進(jìn)行加工和改造，結(jié)果使回應(yīng)信號的波形有別於激勵信號。

3.9.1無失真?zhèn)鬏敆l件信號通過系統(tǒng)後，有時(shí)不希望產(chǎn)生失真，例如通信系統(tǒng)中對信號的放大或衰減；有時(shí)希望產(chǎn)生預(yù)定的失真，例如脈衝技術(shù)中的整形電路。下麵討論系統(tǒng)對信號無失真?zhèn)鬏敃r(shí)，應(yīng)該具有怎樣的時(shí)域和頻域特性。從時(shí)域來看，無失真?zhèn)鬏數(shù)臈l件是指回應(yīng)與激勵的相比只有幅度大小和出現(xiàn)時(shí)間先後的不同，而波形沒有變化。如果激勵信號為x(t)，無失真?zhèn)鬏數(shù)幕貞?yīng)為y(t)，應(yīng)滿足(3.9-1)式中，k

是一個(gè)與時(shí)間t

無關(guān)的常數(shù)，是信號通過系統(tǒng)後的延遲時(shí)間。如果不滿足式(3.9-1)就稱為有失真?zhèn)鬏敗Ｏ曼I從頻域來看，若對式(3.9-1)兩邊取傅裏葉變換，根據(jù)時(shí)移性質(zhì)，可得

(3.9-2)由上式可知，信號傳輸無失真，系統(tǒng)的頻率回應(yīng)函數(shù)應(yīng)為

(3.9-3a)系統(tǒng)幅度頻譜和相位頻譜分別為

(3.9-3b)式(3.9-3)就是為使信號無失真?zhèn)鬏攲ο到y(tǒng)頻率回應(yīng)函數(shù)提出的要求：（1）在全部頻率範(fàn)圍內(nèi)，系統(tǒng)的幅頻特性應(yīng)為一常數(shù)，即系統(tǒng)的通頻帶應(yīng)為無窮大；（2）系統(tǒng)相頻特性應(yīng)為通過原點(diǎn)的直線，即應(yīng)與成正比。系統(tǒng)無失真?zhèn)鬏數(shù)念l域特性如圖3.9-2所示。k信號的無失真?zhèn)鬏敆l件

式(3.9-3)是系統(tǒng)無失真?zhèn)鬏數(shù)臈l件，根據(jù)信號與傳輸系統(tǒng)的具體情況或要求，以上條件可以適當(dāng)放寬，如在傳輸有限帶寬信號時(shí)，只要在信號所佔(zhàn)有的頻帶範(fàn)圍內(nèi)，系統(tǒng)的幅度、相位特性滿足式(3.9-3b)條件就可以了。對於線性系統(tǒng)來說，工程上其幅頻特性和相位特性都可能不滿足式(3.9-3)的條件，或者說，幅度和相位都可能產(chǎn)生失真或崎變。而且幅度失真和相位失真起著相互不可替代的作用。在不同的應(yīng)用場合，對幅度失真和相位失真的要求不盡相同。由於人耳對相位失真敏感度較差，因而在語言傳輸?shù)膱龊?，人們主要關(guān)注的是幅度失真。它會明顯影響語音傳輸?shù)囊糍|(zhì)、音調(diào)和保真度，而相位失真在很大程度上不會影響語音的可懂性。當(dāng)然，如果相位失真過大也是不允許的。例如將一句話表示為x(t)，則x(-t)為一句話倒過來講，兩者的差別僅在於相位相差，但此時(shí)人們無法聽懂這句話了。而對於圖象傳輸?shù)那闆r，由於人眼的視覺特性對相位失真十分敏感，它會嚴(yán)重影響圖象的輪廓和對比度，因此人們主要關(guān)注的是相位失真。最後指出，對於一個(gè)系統(tǒng)，如果輸出信號中出現(xiàn)了輸入信號所沒有的新的頻率分量，通常將系統(tǒng)這樣的失真稱為非線性失真。當(dāng)然，線上性系統(tǒng)中不會出現(xiàn)非線性失真，上述幅度失真和相位失真統(tǒng)稱為線性失真。3.9.2理想濾波器前面已經(jīng)指出，為使信號在傳輸過程中儘量不產(chǎn)生失真，要求系統(tǒng)的頻率特性在信號的帶寬範(fàn)圍內(nèi)滿足不失真?zhèn)鬏數(shù)臈l件，而理想濾波器是能滿足這種要求的系統(tǒng)，因此它在系統(tǒng)分析中得到廣泛應(yīng)用。理想低通濾波器1

理想低通濾波器的頻率特性

由於理想低通濾波器的通頻帶不為無窮大，而是有限值，故這一系統(tǒng)又稱為帶限系統(tǒng)，顯然信號通過這種帶限系統(tǒng)時(shí)，還會產(chǎn)生失真，失真的大小一方面取決於帶限系統(tǒng)的頻帶寬度，另一方面取決於信號的頻帶寬度。下麵以理想低通濾波器為例，討論該系統(tǒng)的單位沖激回應(yīng)。設(shè)，則其頻譜,理想低通濾波器的回應(yīng)的頻譜，得單位沖激回應(yīng)為

定義：上升時(shí)間，為可見，系統(tǒng)失真了。再討論其階躍回應(yīng)：

3.9.3物理可實(shí)現(xiàn)系統(tǒng)對系統(tǒng)函數(shù)的要求從時(shí)域來討論：從頻域來討論：必須滿足佩利－維納準(zhǔn)則：

3.10

希爾伯特變換希爾伯特（Hilbert）變換揭示了由傅裏葉變換聯(lián)繫的時(shí)域和頻域之間的一種等價(jià)互換關(guān)係，它與傅裏葉變換的對稱性有緊密的聯(lián)繫。希爾伯特變換所得到的概念和方法在信號與系統(tǒng)以及信號處理的理論和實(shí)踐中有著重要的意義和實(shí)用價(jià)值。

3.10.1希爾伯特變換的定義為了引出希爾伯特變換，首先考察因果系統(tǒng)的特性。由3.9節(jié)討論可知，佩利－維納準(zhǔn)則只對系統(tǒng)的幅度頻譜提出了約束條件，它只是系統(tǒng)物理可實(shí)現(xiàn)的必要條件，為此，還必須尋求對系統(tǒng)相位特性的約束條件。系統(tǒng)可實(shí)現(xiàn)性的實(shí)質(zhì)是系統(tǒng)必須具有因果性。由於因果性的制約，系統(tǒng)函數(shù)的實(shí)部與虛部或模與相位之間會有某種相互制約的特性，這種特性以希爾伯特變換的形式表現(xiàn)出來。式(3.10-3a)和(3.10-3b)稱為希爾伯特變換對。由於這一對變換都是頻率的函數(shù)，所以又稱為頻域希爾伯特變換。它表明一個(gè)具有因果性的系統(tǒng)函數(shù)所具有的特性。換言之，因果系統(tǒng)的實(shí)部和虛部相互是不獨(dú)立的，即實(shí)部可以由虛部唯一地確定，反之亦然。因此，因果系統(tǒng)的系統(tǒng)函數(shù)可以僅由其實(shí)部或虛部唯一地表示，即或3.10.2

解析信號的希爾伯特變換表示法由傅裏葉變換可知，即時(shí)間信號可以分解為偶分量和奇分量，其傅裏葉變換在頻域中表現(xiàn)為複值函數(shù)，但其實(shí)部和虛部，或者模和相位分別是頻域的實(shí)偶函數(shù)和實(shí)奇函數(shù)，這種特性稱之為實(shí)信號在時(shí)域中表現(xiàn)為奇偶對稱性，對應(yīng)地其頻譜在頻域中表現(xiàn)為（複）共軛對稱性。由上一小節(jié)的討論，當(dāng)即時(shí)間信號是因果函數(shù)時(shí)，不僅滿足上述時(shí)域奇偶對稱性及其頻域共軛對稱性，而且其頻譜的實(shí)部和虛部，還可以用希爾伯特變換來聯(lián)繫，或者說，頻譜的實(shí)部和虛部只有一個(gè)是獨(dú)立的。根據(jù)傅裏葉變換時(shí)域和頻域之間的對稱特性可以想像，上述時(shí)域和頻域的這些特性可以有對等互換的關(guān)係，即若頻譜是實(shí)因果函數(shù)，那麼，其時(shí)域表達(dá)一定是複值函數(shù)，其時(shí)域複值函數(shù)的實(shí)部和虛部必然是共軛對稱的，而且還必然滿足希爾伯特變換。

3.10.3

希爾伯特變換的基本性質(zhì)常見性質(zhì)都可以用希爾伯特變換的定義和變數(shù)代換的方法加以證明。

3.11

取樣定理

前面主要討論的是連續(xù)時(shí)間信號，除此之外，還有離散時(shí)間信號，離散時(shí)間信號可以從每隔一定時(shí)間對連續(xù)時(shí)間信號進(jìn)行取樣（也稱抽樣）來獲得。取樣定理（也稱抽樣定理）論述在一定條件下連續(xù)時(shí)間信號完全可以用該信號在等時(shí)間間隔上的暫態(tài)值（樣本值）來表示。這些樣本值包含了該連續(xù)信號的全部資訊，利用這些樣本值可以沒有失真地恢復(fù)原信號。取樣定理為連續(xù)時(shí)間信號與離散時(shí)間信號相互轉(zhuǎn)換提供了理論依據(jù)。

3.11.1

時(shí)域取樣所謂“取樣”就是利用取樣脈衝序列s(t),從連續(xù)信號f(t)中“抽取”一系列離散樣本值的過程，這時(shí)所得到的離散信號稱為取樣信號。

不難看出，在數(shù)學(xué)上斬波實(shí)質(zhì)上是連續(xù)信號

f(t)與取樣脈衝序列s(t)作相乘運(yùn)算。取樣信號fS(t)可寫成其頻譜分別為和3.11.2

自然取樣取樣脈衝序列s(t)的頻譜取樣信號fS(t)的頻譜

3.11.3

理想取樣取樣信號

fS(t)的頻譜

3.11.4

時(shí)域取樣定理時(shí)域抽樣定理可見，抽樣定理必須滿足兩個(gè)條件：一個(gè)在頻譜區(qū)間()以外為零的頻帶有限信號(帶限信號)，可以唯一地由其均勻時(shí)間間隔