高考文數(shù)

(課標Ⅲ專用)§5.2平面向量的數(shù)量積及應(yīng)用1.(2018課標全國Ⅱ,4,5分)已知向量a,b滿足|a|=1,a·b=-1,則a·(2a-b)=

()A.4

B.3

C.2

D.0五年高考A組

統(tǒng)一命題·課標卷題組答案

B本題考查數(shù)量積的定義和運算.a·(2a-b)=2|a|2-a·b=2×12-(-1)=3.故選B.解題關(guān)鍵掌握數(shù)量積的運算是求解關(guān)鍵.2.(2016課標全國Ⅲ,3,5分)已知向量

=

,

=

,則∠ABC=

()A.30°

B.45°

C.60°

D.120°答案

A

cos∠ABC=

=

,所以∠ABC=30°,故選A.3.(2015課標全國Ⅱ,4,5分)向量a=(1,-1),b=(-1,2),則(2a+b)·a=

()A.-1

B.0

C.1

D.2答案

C因為2a+b=2(1,-1)+(-1,2)=(2,-2)+(-1,2)=(1,0),所以(2a+b)·a=(1,0)·(1,-1)=1×1+0×(-1)=

1.故選C.4.(2019課標全國Ⅲ,13,5分)已知向量a=(2,2),b=(-8,6),則cos<a,b>=

.答案-

解析本題考查平面向量夾角的計算,通過向量的坐標運算考查學(xué)生的運算求解能力,體現(xiàn)運

算法則與運算方法的素養(yǎng)要素.由題意知cos<a,b>=

=

=-

.5.(2017課標全國Ⅲ,13,5分)已知向量a=(-2,3),b=(3,m),且a⊥b,則m=

.答案2解析∵a⊥b,∴a·b=0,又a=(-2,3),b=(3,m),∴-6+3m=0,解得m=2.6.(2017課標全國Ⅰ,13,5分)已知向量a=(-1,2),b=(m,1).若向量a+b與a垂直,則m=

.答案7解析本題考查向量數(shù)量積的坐標運算.∵a=(-1,2),b=(m,1),∴a+b=(m-1,3),又(a+b)⊥a,∴(a+b)·a=-(m-1)+6=0,解得m=7.7.(2016課標全國Ⅰ,13,5分)設(shè)向量a=(x,x+1),b=(1,2),且a⊥b,則x=

.答案-

解析因為a⊥b,所以x+2(x+1)=0,解得x=-

.思路分析混淆兩向量平行與垂直的條件是造成失分的主要原因.考點一數(shù)量積的定義及模、夾角的運算B組自主命題·省(區(qū)、市)卷題組1.(2017浙江,10,4分)如圖,已知平面四邊形ABCD,AB⊥BC,AB=BC=AD=2,CD=3,AC與BD交于

點O.記I1=

·

,I2=

·

,I3=

·

,則

()

A.I1<I2<I3

B.I1<I3<I2

C.I3<I1<I2

D.I2<I1<I3

答案

C解法一:因為AB=BC,AB⊥BC,∴∠BCO=45°.過B作BE⊥AC于E,則∠EBC=45°.因為AD<DC,所以D、A在BE所在直線的同側(cè),從而∠DBC>45°,又∠BCO=45°,∴∠BOC為銳角.從而∠AOB為鈍角,所以∠DOC為鈍角.故I1<0,I3<0,I2>0.又OA<OC,OB<OD,故可設(shè)

=-λ1

(λ1>1),

=-λ2

(λ2>1),從而I3=

·

=λ1λ2

·

=λ1λ2I1,又λ1λ2>1,I1<0,∴I3<I1<0,∴I3<I1<I2.故選C.

解法二:如圖,建立直角坐標系,則B(0,0),A(0,2),C(2,0).

設(shè)D(m,n),由AD=2和CD=3,得

從而有n-m=

>0,∴n>m.從而∠DBC>45°,又∠BCO=45°,∴∠BOC為銳角.從而∠AOB為鈍角.故I1<0,I3<0,I2>0.又OA<OC,OB<OD,故可設(shè)

=-λ1

(λ1>1),

=-λ2

(λ2>1),從而I3=

·

=λ1λ2

·

=λ1λ2I1,又λ1λ2>1,I1<0,I3<0,∴I3<I1,∴I3<I1<I2.故選C.2.(2019北京,9,5分)已知向量a=(-4,3),b=(6,m),且a⊥b,則m=

.答案8解析本題考查兩向量垂直的充要條件和向量的坐標運算,考查了方程的思想方法.∵a⊥b,∴a·b=(-4,3)·(6,m)=-24+3m=0,∴m=8.易錯警示容易把兩向量平行與垂直的條件混淆.3.(2018北京,9,5分)設(shè)向量a=(1,0),b=(-1,m).若a⊥(ma-b),則m=

.答案-1解析本題主要考查平面向量數(shù)量積的坐標運算.∵a=(1,0),b=(-1,m),∴a2=1,a·b=-1,由a⊥(ma-b)得a·(ma-b)=0,即ma2-a·b=0,即m-(-1)=0,∴m=-1.解析

解法一:

·

表示

在

方向上的投影與|

|的乘積,當(dāng)P在B點時,

·

有最大值,此時

·

=2×3=6.

解法二:設(shè)P(x,y),則

·

=(2,0)·(x+2,y)=2x+4,由題意知-1≤x≤1,∴x=1時,

·

取最大值6,∴

·

的最大值為6.答案64.(2017北京,12,5分)已知點P在圓x2+y2=1上,點A的坐標為(-2,0),O為原點,則

·

的最大值為

.5.(2016山東,13,5分)已知向量a=(1,-1),b=(6,-4).若a⊥(ta+b),則實數(shù)t的值為

.答案-5解析因為a⊥(ta+b),所以a·(ta+b)=0,即ta2+a·b=0,又因為a=(1,-1),b=(6,-4),所以|a|=

,a·b=1×6+(-1)×(-4)=10,因此可得2t+10=0,解得t=-5.1.(2018天津,8,5分)在如圖的平面圖形中,已知OM=1,ON=2,∠MON=120°,

=2

,

=2

,則

·

的值為

()

A.-15

B.-9

C.-6

D.0考點二數(shù)量積的綜合應(yīng)用答案

C解法一:連接OA.∵

=

-

=3

-3

=3(

-

)-3(

-

)=3(

-

),∴

·

=3(

-

)·

=3(

·

-|

|2)=3×(2×1×cos120°-12)=3×(-2)=-6.故選C.解法二:在△ABC中,不妨設(shè)∠A=90°,取特殊情況ON⊥AC,以A為坐標原點,AB,AC所在直線分

別為x軸,y軸建立如圖所示的平面直角坐標系,因為∠MON=120°,ON=2,OM=1,所以O(shè)

,C

,M

,B

.故

·

=

·

=-

-

=-6.故選C.

2.(2018浙江,9,4分)已知a,b,e是平面向量,e是單位向量.若非零向量a與e的夾角為

,向量b滿足b2-4e·b+3=0,則|a-b|的最小值是

()A.

-1

B.

+1

C.2

D.2-

答案

A設(shè)

=a,

=b,

=e,以O(shè)為原點,

的方向為x軸正方向建立平面直角坐標系,則E(1,0).不妨設(shè)A點在第一象限,∵a與e的夾角為

,∴點A在從原點出發(fā),傾斜角為

,且在第一象限內(nèi)的射線上.設(shè)B(x,y),由b2-4e·b+3=0,得x2+y2-4x+3=0,即(x-2)2+y2=1,即點B在圓(x-2)2+y2=1上運

動.而

=a-b,∴|a-b|的最小值即為點B到射線OA的距離的最小值,即為圓心(2,0)到射線y=

x(x≥0)的距離減去圓的半徑,∴|a-b|min=

-1.選A.一題多解將b2-4e·b+3=0轉(zhuǎn)化為b2-4e·b+3e2=0,即(b-e)·(b-3e)=0,∴(b-e)⊥(b-3e).設(shè)

=e,

=a,

=b,

=3e,

=2e,則

⊥

,∴點B在以M為圓心,1為半徑的圓上運動,如圖.

∵|a-b|=|

|,∴|a-b|的最小值即為點B到射線OA的距離的最小值,即為圓心M到射線OA的距離減去圓的半徑.∵|

|=2,∠AOM=

,∴|a-b|min=2sin

-1=

-1.3.(2019天津,14,5分)在四邊形ABCD中,AD∥BC,AB=2

,AD=5,∠A=30°,點E在線段CB的延長線上,且AE=BE,則

·

=

.答案-1解析本題主要考查平面幾何知識的應(yīng)用、解三角形、向量的坐標運算及數(shù)量積的求解;考

查學(xué)生數(shù)形結(jié)合思想的應(yīng)用以及運算求解能力;通過向量的不同表現(xiàn)形式更全面考查了學(xué)生

邏輯推理、直觀想象及數(shù)學(xué)運算的核心素養(yǎng).解法一:∵∠BAD=30°,AD∥BC,∴∠ABE=30°,又EA=EB,∴∠EAB=30°,在△EAB中,AB=2

,∴EA=EB=2.以A為坐標原點,直線AD為x軸建立如圖所示的平面直角坐標系.則A(0,0),D(5,0),E(1,

),B(3,

),∴

=(2,-

),

=(1,

),∴

·

=(2,-

)·(1,

)=-1.解法二:同解法一,求出EB=EA=2,以

,

為一組基底,則

=

-

,

=

+

=

-

,∴

·

=(

-

)·

=

·

-

+

·

-

=

×5×2

×

-12-

×25=-1.4.(2019江蘇,12,5分)如圖,在△ABC中,D是BC的中點,E在邊AB上,BE=2EA,AD與CE交于點O.若

·

=6

·

,則

的值是

.

答案

解析本題考查平面向量基本定理、向量的線性運算、平面向量的數(shù)量積等有關(guān)知識,考查

學(xué)生的抽象概括能力和運算求解能力,考查的核心素養(yǎng)為數(shù)學(xué)運算.過D作DF∥EC,交AB于F.∵D為BC的中點,∴F為BE的中點,

又BE=2EA,∴EF=EA,又DF∥EO,∴AO=

AD,∴

=

=

×

(

+

).∴

·

=

(

+

)·

=

.∵

·

=6

·

,∴

·

=

-

+

·

,∴

=3

,∴|

|=

|

|,∴

=

.一題多解由于題目中對∠BAC沒有限制,所以不妨設(shè)∠BAC=90°,AB=c,AC=b,建立如圖所示

的平面直角坐標系.

則E

,D

,易得lAD:y=

x,lEC:

+

=1,聯(lián)立得

解得

則O

.由

·

=6

·

得6

·

=0,∴c2=3b2,∴c=

b,∴

=

.5.(2017天津,14,5分)在△ABC中,∠A=60°,AB=3,AC=2.若

=2

,

=λ

-

(λ∈R),且

·

=-4,則λ的值為

.答案

解析本題主要考查平面向量的線性運算以及數(shù)量積運算.由

=2

得

=

+

,所以

·

=

·(λ

-

)=

λ

·

-

+

λ

-

·

,又

·

=3×2×cos60°=3,

=9,

=4,所以

·

=λ-3+

λ-2=

λ-5=-4,解得λ=

.

思路分析根據(jù)

=2

得

=

+

,利用

·

=-4以及向量的數(shù)量積建立關(guān)于λ的方程,從而求得λ的值.一題多解以A為原點,AB所在的直線為x軸建立平面直角坐標系,如圖,因為AB=3,AC=2,∠

∠BAC=60°,所以B(3,0),C(1,

),又

=2

,所以D

,所以

=

,而

=λ

-

=λ(1,

)-(3,0)=(λ-3,

λ),因此

·

=

(λ-3)+

×

λ=

λ-5=-4,解得λ=

.

6.(2017江蘇,12,5分)如圖,在同一個平面內(nèi),向量

,

,

的模分別為1,1,

,

與

的夾角為α,且tanα=7,

與

的夾角為45°.若

=m

+n

(m,n∈R),則m+n=

.

答案3解析本題考查平面向量基本定理及其應(yīng)用,平面向量的夾角及其應(yīng)用等知識.解法一:∵tanα=7,α∈[0,π],∴cosα=

,sinα=

,∵

與

的夾角為α,∴cosα=

=

,∵

=m

+n

,|

|=|

|=1,|

|=

,∴

=

,①又∵

與

的夾角為45°,∴

=

=

,②又cos∠AOB=cos(45°+α)=cosαcos45°-sinαsin45°=

×

-

×

=-

,∴

·

=|

|·|

|·cos∠AOB=-

,將其代入①②得m-

n=

,-

m+n=1,兩式相加得

m+

n=

,所以m+n=3.解法二:過C作CM∥OB,CN∥OA,分別交線段OA,OB的延長線于點M,N,則

=m

,

=n

,由正弦定理得

=

=

,∵|

|=

,由解法一知,sinα=

,cosα=

,∴|

|=

=

=

,|

|=

=

=

,又

=m

+n

=

+

,|

|=|

|=1,∴m=

,n=

,∴m+n=3.1.(2015廣東,9,5分)在平面直角坐標系xOy中,已知四邊形ABCD是平行四邊形,

=(1,-2),

=(2,1),則

·

=

()A.5

B.4C.3

D.2C組教師專用題組答案

A∵四邊形ABCD是平行四邊形,∴

=

+

=(3,-1),∴

·

=2×3+1×(-1)=5.選A.2.(2015陜西,8,5分)對任意平面向量a,b,下列關(guān)系式中

的是

()A.|a·b|≤|a||b|

B.|a-b|≤||a|-|b||C.(a+b)2=|a+b|2

D.(a+b)·(a-b)=a2-b2

答案

B設(shè)向量a,b的夾角為θ,因為a·b=|a||b|cosθ,所以|a·b|=|a||b||cosθ|≤|a||b|,A成立;由向量

的運算律易知C,D成立.故選B.3.(2015重慶,7,5分)已知非零向量a,b滿足|b|=4|a|,且a⊥(2a+b),則a與b的夾角為

()A.

B.

C.

D.

答案

C因為a⊥(2a+b),所以a·(2a+b)=0,得到a·b=-2|a|2,設(shè)a與b的夾角為θ,則cosθ=

=

=-

,又0≤θ≤π,所以θ=

,故選C.4.(2014湖南,10,5分)在平面直角坐標系中,O為原點,A(-1,0),B(0,

),C(3,0),動點D滿足|

|=1,則|

+

+

|的取值范圍是

()A.[4,6]

B.[

-1,

+1]C.[2

,2

]

D.[

-1,

+1]答案

D由|

|=1知,點D是以C為圓心,1為半徑的圓上的動點,設(shè)D(x,y),則(x-3)2+y2=1.|

+

+

|=|(x-1,y+

)|表示點D到點P(1,-

)的距離,又|

|=

=

,因此

-1≤|

|≤

+1,故選D.5.(2017浙江,15,6分)已知向量a,b滿足|a|=1,|b|=2,則|a+b|+|a-b|的最小值是

,最大值是

.答案4;2

解析解法一:∵|a+b|+|a-b|≥|(a+b)+(a-b)|=2|a|=2,且|a+b|+|a-b|≥|(a+b)-(a-b)|=2|b|=4,∴|a+b|+|a-b|≥4,當(dāng)且僅當(dāng)a+b與a-b反向時取等號,此時|a+b|+|a-b|取最小值4.∵

≤

=

=

,∴|a+b|+|a-b|≤2

.當(dāng)且僅當(dāng)|a+b|=|a-b|時取等號,此時a·b=0.故當(dāng)a⊥b時,|a+b|+|a-b|有最大值2

.解法二:設(shè)x=|a+b|,由||a|-|b||≤|a+b|≤|a|+|b|,得1≤x≤3.設(shè)y=|a-b|,同理,1≤y≤3.而x2+y2=2a2+2b2=10,故可設(shè)x=

cosθ,

≤cosθ≤

,y=

sinθ,

≤sinθ≤

.設(shè)α1,α2為銳角,且sinα1=

,sinα2=

,則有α1≤θ≤α2,又0<α1<

<α2<

,則x+y=

(cosθ+sinθ)=2

sin

,α1+

≤θ+

≤α2+

,而

<α1+

<

<α2+

<

,故當(dāng)θ+

=

,即θ=

時,x=y,此時|a+b|=|a-b|,所以當(dāng)a⊥b時,x+y=|a+b|+|a-b|有最大值2

.又sin

=sin

=

=

,故當(dāng)θ=α1或θ=α2時,x=3,y=1或x=1,y=3,此時a∥b,x+y=|a+b|+|a-b|有最小值4.解法三:設(shè)b=(2,0),a=(x,y),則x2+y2=1.則|a+b|+|a-b|=

+

=

+

=

+

=

=

,∵0≤x2≤1,故當(dāng)x=0,即a⊥b時,|a+b|+|a-b|有最大值2

,當(dāng)x2=1,即a∥b時,|a+b|+|a-b|有最小值4.6.(2016浙江,15,4分)已知平面向量a,b,|a|=1,|b|=2,a·b=1.若e為平面單位向量,則|a·e|+|b·e|的最大

值是

.答案

解析由已知易得a,b所成角為60°,如圖.

設(shè)向量e與a所成角為α,e與b所成角為β,則α與β的關(guān)系為β=60°-α(e在區(qū)域Ⅰ)或β=60°+α(e在區(qū)域Ⅱ)或β=300°-α(e在區(qū)域Ⅲ)或β=α-60°

(e在區(qū)域Ⅳ).當(dāng)β=60°-α(e在區(qū)域Ⅰ)時,|a·e|+|b·e|=cosα+2cosβ=2cosα+

sinα=

sin(α+φ),其中tanφ=

,則φ>30°,∵φ≤α+φ≤60°+φ,∴|a·e|+|b·e|的最大值為

.同理可得另三種情況下所求最大值均為

.故|a·e|+|b·e|的最大值為

.7.(2015湖北,11,5分)已知向量

⊥

,|

|=3,則

·

=

.答案9解析∵

⊥

,∴

·

=0,即

·(

-

)=0,∴

·

=

=9.8.(2015安徽,15,5分)△ABC是邊長為2的等邊三角形,已知向量a,b滿足

=2a,

=2a+b,則下列結(jié)論中正確的是

.(寫出所有正確結(jié)論的編號)①a為單位向量;②b為單位向量;③a⊥b;④b∥

;⑤(4a+b)⊥

.答案①④⑤解析∵

=2a,|

|=2,∴2|a|=2,∴|a|=1,故①正確.由

=

-

=2a+b-2a=b,知④正確,又|b|=|

|=2,故②不正確.由a·b=

·

=

×2×2×

=-1,知③不正確.由(4a+b)·

=(2

+

)·

=2

·

+

=2×2×2×

+4=0,知⑤正確.綜上,結(jié)論正確的是①④⑤.9.(2014重慶,12,5分)已知向量a與b的夾角為60°,且a=(-2,-6),|b|=

,則a·b=

.答案10解析由a=(-2,-6),得|a|=

=2

,∴a·b=|a||b|cos<a,b>=2

×

×cos60°=10.10.(2014江西,12,5分)已知單位向量e1,e2的夾角為α,且cosα=

,若向量a=3e1-2e2,則|a|=

.答案3解析由向量數(shù)量積的定義知e1·e2=|e1||e2|cosα=1×1×

=

,而a2=(3e1-2e2)2=9

-12e1·e2+4

=9×12-12×

+4×12=9,所以|a|=3.11.(2014四川,14,5分)平面向量a=(1,2),b=(4,2),c=ma+b(m∈R),且c與a的夾角等于c與b的夾角,

則m=

.答案2解析

a=(1,2),b=(4,2),則c=ma+b=(m+4,2m+2),|a|=

,|b|=2

,a·c=5m+8,b·c=8m+20.∵c與a的夾角等于c與b的夾角,∴

=

,∴

=

,解得m=2.12.(2014天津,13,5分)已知菱形ABCD的邊長為2,∠BAD=120°,點E,F分別在邊BC,DC上,BC=3

BE,DC=λDF.若

·

=1,則λ的值為

.答案2解析如圖,

=

+

=

+

,

=

+

=

+

=

+

,

所以

·

=

·

=

·

+

2+

2=

×2×2×cos120°+

+

=1,解得λ=2.考點一數(shù)量積的定義及模、夾角的運算三年模擬A組2017—2019年高考模擬·考點基礎(chǔ)題組1.(2019貴州貴陽一中高三月考,3)已知向量|a|=1,|b|=

,且a⊥(a-b),則|a-b|=

()A.1

B.

C.

D.

答案

A∵|a|=1,|b|=

,且a⊥(a-b),∴a·(a-b)=0,即|a|2-a·b=0,∴a·b=1,∴(a-b)2=|a|2+|b|2-2a·b=1+2-2=1,∴|a-b|=1.故選A.2.(2019四川內(nèi)江數(shù)學(xué)一診,5)若|a|=1,|b|=2,|a+2b|=

,則a與b的夾角為

()A.

B.

C.

D.

答案

D∵|a|=1,|b|=2,|a+2b|=

,∴(a+2b)2=a2+4b2+4a·b=1+16+4a·b=13,∴a·b=-1,∴cos<a,b>=

=-

,又0≤<a,b>≤π,∴a,b的夾角為

.故選D.3.(2017貴州遵義模擬,6)設(shè)向量e1,e2是兩個互相垂直的單位向量,且a=2e1-e2,b=e2,則|a+2b|=

()A.2

B.

C.2

D.4答案

B因為|e1|=|e2|=1,e1·e2=0,所以a2=(2e1-e2)2=5,b2=1,a·b=(2e1-e2)·e2=-1,所以(a+2b)2=a2+4a·b

+4b2=5-4+4=5,所以|a+2b|=

.4.(2019四川高三部分重點中學(xué)聯(lián)考五,9)如圖,△AOB為等腰直角三角形,OA=1,OC為斜邊AB

上的高,P為線段OC的中點,則

·

=

()

A.-1

B.-

C.-

D.-

答案

D解法一:由已知得,|

|=

|

|=

×

=

,|

|=1,∠AOP=

,則

·

=(

-

)·

=

-

·

=

-|

||

|cos

=

-

=-

.故選D.解法二:建立如圖所示的直角坐標系,

則A(0,1),B(1,0),C

,P

,∴

=

,

=

,∴

·

=

·

=

-

=-

.故選D.5.(2019西藏拉薩中學(xué)高三第五次月考,11)若|a|=2,|b|=1,且a與b的夾角為60°,當(dāng)|a-xb|取得最小

值時,實數(shù)x的值為

()A.2

B.-2

C.1

D.-1答案

C(a-xb)2=a2-2xa·b+x2b2=4-2xa·b+x2=x2-2x+4=(x-1)2+3,可知當(dāng)x=1時,|a-xb|取得最小值

,所以實數(shù)x的值為1.6.(2019云南師范大學(xué)附屬中學(xué)高三上月考,4)已知正三角形ABC的邊長為2

,重心為G,P是線段AC上一點,則

·

的最小值為

()A.-

B.-2

C.-

D.-1答案

C取BC的中點為D,連接AD,因為△ABC為正三角形,所以△ABC的重心G在AD上,且AG=

AD,則

=

=

×

(

+

)=

(

+

).因為P是AC上一點,設(shè)

=t,t∈[0,1],則

=t

,則

=

-

=t

-

(

+

)=-

+

,則

·

=

·t

=-

·

+t

·

=-

|

||

|cos∠BAC+t

|

|2=-

×2

×2

×

+

×(2

)2=12t2-6t.因為t∈[0,1],所以當(dāng)t=-

=

時,

·

取得最小值,且12×

-6×

=-

.故選C.7.(2019四川資陽高三二診,14)若向量a=(1,1),b=(2,3),c=(3,x),若滿足條件(2a+b)·c=2,則x=

.答案-2解析(2a+b)·c=(4,5)·(3,x)=2,即12+5x=2,解得x=-2.1.(2019廣西百校高三大聯(lián)考,5)已知兩個單位向量a,b的夾角為60°,則下列向量是單位向量的

是

()A.a+bB.a-

bC.a+

bD.a-b考點二數(shù)量積的綜合應(yīng)用答案

D∵(a-b)2=|a|2-2a·b+|b|2=1-2×1×1×cos60°+1=1,∴|a-b|=1,∴a-b是單位向量,故選D.2.(2019四川成都石室中學(xué)高三上月考,3)已知向量b在向量a方向上的投影為-2,且|a|=1,則a·b=

()A.-1

B.1

C.-2

D.2答案

C∵|b|cos<a,b>=-2,|a|=1,∴a·b=|a||b|cos<a,b>=-2,故選C.3.(2019四川成都七中高三周考,7)已知向量

,

滿足|

|=|

|=1,

·

=0,

=λ

+μ

(λ,μ∈R),若M為AB的中點,并且|

|=1,則點(λ,μ)的軌跡方程是

()A.

+

=1

B.

+(μ+1)2=1C.(λ-1)2+(μ-1)2=1

D.

+

=1答案

D∵M是AB的中點,∴在△ABO中,

=

(

+

),∴|

|=|

-

|=

=1,∴

=1,∴

+

=1,故選D.4.(2019四川達州一診,11)扇形OAB的半徑為1,圓心角為90°,P是

上的動點,則

·(

-

)的最小值是

()A.0

B.-1

C.-

D.

答案

B根據(jù)題意建立平面直角坐標系,如圖所示,

設(shè)點P(x,y),則

∴

=(x,y),

=(1,0),

=(0,1),∴

·(

-

)=x-y,易知當(dāng)x=0,y=1時,x-y取得最小值-1,故

·(

-

)的最小值是-1.故選B.5.(2019云南昆明高三測試,13)已知向量a=(-1,3),b=(1,t),若(a-2b)⊥a,則t=

.答案2解析已知向量a=(-1,3),b=(1,t),所以a-2b=(-3,3-2t).由(a-2b)⊥a,得(a-2b)·a=(-3,3-2t)·(-1,3)=3+9-6t=0,解得t=2.故答案為2.6.(2019四川綿陽南山中學(xué)一診,15)平面向量a,b,c兩兩所成的角相等,且|a|=1,|b|=2,|c|=3,則|a+b+

c|=

.答案

或6解析∵平面向量a,b,c兩兩所成的角相等,∴兩兩所成的角為0°或120°,∵|a|=1,|b|=2,|c|=3,當(dāng)所成角為120°時,a·b=1×2×cos120°=-1,a·c=1×3×cos120°=-

,b·c=2×3×cos120°=-3.則|a+b+c|=

=

=

.同理可得當(dāng)所成角為0°時,|a+b+c|=6.故答案為

或6.7.(2019貴州遵義四中高三上第二次月考,15)已知兩個單位向量a,b的夾角為60°,c=ta+(1-t)b,若

b·c=0,則實數(shù)t=

.答案2解析由題意得,a·b=|a||b|cos60°=

,因為b·c=0,即b·[ta+(1-t)b]=ta·b+(1-t)b2=

t+(1-t)=1-

t=0,解得t=2.故答案為2.B組

2017—2019年高考模擬·專題綜合題組時間:30分鐘分值:50分一、選擇題(每小題5分,共30分)1.(2018四川雅安三診,5)已知向量a=(2,-1),b=(1,3),且a⊥(a+mb),則m=

()A.1

B.5

C.-1

D.-5答案

B

a+mb=(2,-1)+m(1,3)=(2,-1)+(m,3m)=(m+2,3m-1),因為a⊥(a+mb),所以a·(a+mb)=2(m+

2)+(-1)×(3m-1)=2m+4-3m+1=5-m=0,所以m=5.故選B.2.(2019四川高三部分重點中學(xué)聯(lián)考四,9)在△ABC中,AB=AC=2,BC=2

,則

·

=

()A.-2

B.-2

C.2

D.2

答案

A在△ABC中,由余弦定理得cosA=

=

=-

,所以

·

=|

||

|cosA=2×2×

=-2,故選A.3.(2019貴州畢節(jié)高三上聯(lián)考,6)已知兩個單位向量e1,e2互相垂直,則下列選項中的兩個向量的

夾角為45°的是

()A.e1-e2與e1+e2B.e2與e1-e2C.e1與e2-e1D.e1與e1+e2

答案

D∵(e1-e2)·(e1+e2)=

-

=1-1=0,∴e1-e2與e1+e2互相垂直,A錯誤,e2與e1-e2的夾角為135°,e1與e2-e1的夾角也為135°,故B,C錯誤,e1與e1+e2的夾角為45°,D正確.故選D.4.(2019四川成都七中高三上入學(xué)考試,5)若平面向量a,b滿足(2a-b)⊥b,則下列各式恒成立的是

()A.|a+b|=|a|

B.|a+b|=|b|C.|a-b|=|a|

D.|a-b|=|b|答案

C∵(2a-b)⊥b,∴(2a-b)·b=0,即2a·b=b2,∴a2+b2-2a·b=a2,即(a-b)2=a2,則|a-b|=|a|.故選C.5.(2019貴州遵義航天高級中學(xué)高三五模,6)設(shè)四邊形ABCD為平行四邊形,|

|=6,|

|