吉林省長(zhǎng)春市雙陽(yáng)區(qū)長(zhǎng)春一五一中學(xué)2024屆數(shù)學(xué)高二第二學(xué)期期末考試試題注意事項(xiàng)1．考試結(jié)束后，請(qǐng)將本試卷和答題卡一并交回．2．答題前，請(qǐng)務(wù)必將自己的姓名、準(zhǔn)考證號(hào)用0．5毫米黑色墨水的簽字筆填寫在試卷及答題卡的規(guī)定位置．3．請(qǐng)認(rèn)真核對(duì)監(jiān)考員在答題卡上所粘貼的條形碼上的姓名、準(zhǔn)考證號(hào)與本人是否相符．4．作答選擇題，必須用2B鉛筆將答題卡上對(duì)應(yīng)選項(xiàng)的方框涂滿、涂黑；如需改動(dòng)，請(qǐng)用橡皮擦干凈后，再選涂其他答案．作答非選擇題，必須用05毫米黑色墨水的簽字筆在答題卡上的指定位置作答，在其他位置作答一律無(wú)效．5．如需作圖，須用2B鉛筆繪、寫清楚，線條、符號(hào)等須加黑、加粗．一、選擇題：本題共12小題，每小題5分，共60分。在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，只有一項(xiàng)是符合題目要求的。1．已知為坐標(biāo)原點(diǎn)，，是雙曲線：（，）的左、右焦點(diǎn)，雙曲線上一點(diǎn)滿足，且，則雙曲線的離心率為（）A． B．2 C． D．2．函數(shù)f(x)與它的導(dǎo)函數(shù)f'(x)的大致圖象如圖所示，設(shè)g(x)=f(x)exA．15 B．25 C．33．在中，為邊上一點(diǎn)，且，向量與向量共線，若，，，則（）A．3 B． C．2 D．4．下列函數(shù)中，即是奇函數(shù)，又在上單調(diào)遞增的是A． B． C． D．5．已知一列數(shù)按如下規(guī)律排列：,則第9個(gè)數(shù)是()A．-50 B．50 C．42 D．—426．若對(duì)任意的，不等式恒成立，則的取值范圍是（）A． B． C． D．7．由曲線，圍成的封閉圖形的面積為（）A． B． C． D．8．已知正三棱柱的所有頂點(diǎn)都在球的球面上，且該正三棱柱的底面邊長(zhǎng)為，體積為，則球的表面積為（）A． B． C． D．9．已知數(shù)列為單調(diào)遞增的等差數(shù)列，為前項(xiàng)和，且滿足，、、成等比數(shù)列，則()A．55 B．65 C．70 D．7510．已知橢圓的兩個(gè)焦點(diǎn)為,且,弦過(guò)點(diǎn),則的周長(zhǎng)為()A． B． C． D．11．在同一坐標(biāo)系中，將曲線變?yōu)榍€的伸縮變換公式是（）A． B． C． D．12．定義在區(qū)間上的函數(shù)的圖象如圖所示，以為頂點(diǎn)的△ABC的面積記為函數(shù)，則函數(shù)的導(dǎo)函數(shù)的大致圖象為()A． B． C． D．二、填空題：本題共4小題，每小題5分，共20分。13．從集合隨機(jī)取一個(gè)為,從集合隨機(jī)取一個(gè)為,則方程可以表示___個(gè)不同的雙曲線.14．在極坐標(biāo)系中，兩點(diǎn)間的距離______.15．已知.經(jīng)計(jì)算，，，，則根據(jù)以上式子得到第個(gè)式子為_(kāi)_____.16．已知為橢圓上任意一點(diǎn)，點(diǎn)，分別在直線與上，且，，若為定值，則橢圓的離心率為_(kāi)_____.三、解答題：共70分。解答應(yīng)寫出文字說(shuō)明、證明過(guò)程或演算步驟。17．（12分）已知.(1)當(dāng)，時(shí)，求不等式的解集；(2)當(dāng)，時(shí)，的圖象與x軸圍成的三角形面積大于24，求的取值范圍．18．（12分）已知是等差數(shù)列，滿足，，數(shù)列滿足，，且是等比數(shù)列.（1）求數(shù)列和的通項(xiàng)公式；（2）求數(shù)列的前項(xiàng)和.19．（12分）設(shè)a∈R，函數(shù)f（1）當(dāng)a=1時(shí)，求fx在3（2）設(shè)函數(shù)gx=fx+ax-1-e1-x，當(dāng)g20．（12分）已知二階矩陣對(duì)應(yīng)的變換將點(diǎn)變換成，將點(diǎn)變換成.（1）求矩陣的逆矩陣；（2）若向量，計(jì)算.21．（12分）在平面直角坐標(biāo)系xOy中，曲線C的參數(shù)方程為，（θ為參數(shù)），以原點(diǎn)為極點(diǎn)，x軸非負(fù)半軸為極軸建立極坐標(biāo)系．（1）求曲線C的極坐標(biāo)方程；（2）在平面直角坐標(biāo)系xOy中，A（﹣2，0），B（0，﹣2），M是曲線C上任意一點(diǎn)，求△ABM面積的最小值．22．（10分）已知、為橢圓的左右焦點(diǎn)，是坐標(biāo)原點(diǎn)，過(guò)作垂直于軸的直線交橢圓于．（1）求橢圓的方程；（2）若過(guò)點(diǎn)的直線與橢圓交于、兩點(diǎn)，若，求直線的方程．

參考答案一、選擇題：本題共12小題，每小題5分，共60分。在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，只有一項(xiàng)是符合題目要求的。1、D【解題分析】設(shè)P為雙曲線右支上一點(diǎn),=m,=n,|F1F2|=2c，由雙曲線的定義可得m?n=2a，點(diǎn)P滿足,可得m2+n2=4c2，即有(m?n)2+2mn=4c2，又mn=2a2，可得4a2+4a2=4c2，即有c=a，則離心率e=故選：D.2、B【解題分析】

結(jié)合圖象可得到f'(x)-f(x)<0成立的x的取值范圍，從而可得到g(x)【題目詳解】由圖象可知，y軸左側(cè)上方圖象為f'(x)的圖象，下方圖象為對(duì)g(x)求導(dǎo)，可得g'(x)=f'(x)-f(x)ex，結(jié)合圖象可知x∈(0,1)和x∈(4,5)時(shí)，f'(x)-f(x)<0，即g(x)在0,1和【題目點(diǎn)撥】本題考查了函數(shù)的單調(diào)性問(wèn)題，考查了數(shù)形結(jié)合的數(shù)學(xué)思想，考查了導(dǎo)數(shù)的應(yīng)用，屬于中檔題.3、B【解題分析】取BC的中點(diǎn)E，則與向量共線，所以A、D、E三點(diǎn)共線，即中邊上的中線與高線重合，則.因?yàn)椋訥為的重心，則所以本題選擇B選項(xiàng).4、B【解題分析】分析：對(duì)四個(gè)選項(xiàng)分別進(jìn)行判斷即可得到結(jié)果詳解：對(duì)于，，，，不是奇函數(shù)，故錯(cuò)誤對(duì)于，，，當(dāng)時(shí)，，函數(shù)在上不單調(diào)，故錯(cuò)誤對(duì)于，函數(shù)在上單調(diào)遞減，故錯(cuò)誤故選點(diǎn)睛：對(duì)函數(shù)的奇偶性作出判斷可以用其定義法，單調(diào)性的判斷可以根據(jù)函數(shù)的圖像性質(zhì)，或者利用導(dǎo)數(shù)來(lái)判斷。5、A【解題分析】分析：根據(jù)規(guī)律從第3個(gè)數(shù)起，每一個(gè)數(shù)等于前兩個(gè)數(shù)之差，確定第9個(gè)數(shù).詳解：因?yàn)閺牡?個(gè)數(shù)起，每一個(gè)數(shù)等于前兩個(gè)數(shù)之差，所以第9個(gè)數(shù)是，選A.點(diǎn)睛：由前幾項(xiàng)歸納數(shù)列通項(xiàng)的常用方法為：觀察(觀察規(guī)律)、比較(比較已知數(shù)列)、歸納、轉(zhuǎn)化(轉(zhuǎn)化為特殊數(shù)列)、聯(lián)想(聯(lián)想常見(jiàn)的數(shù)列)等方法.6、A【解題分析】

由已知可得對(duì)任意的恒成立，設(shè)則當(dāng)時(shí)在上恒成立，在上單調(diào)遞增，又在上不合題意；當(dāng)時(shí)，可知在單調(diào)遞減，在單調(diào)遞增，要使，在上恒成立，只要，令可知在上單調(diào)遞增，在上單調(diào)遞減，又，故選A.7、C【解題分析】圍成的封閉圖形的面積為，選C.8、C【解題分析】

正三棱柱的底面中心的連線的中點(diǎn)就是外接球的球心，求出球的半徑即可求出球的表面積．【題目詳解】由題意可知，正三棱柱的底面中心的連線的中點(diǎn)就是外接球的球心，底面中心到頂點(diǎn)的距離為，設(shè)正三棱柱的高為，由，得，∴外接球的半徑為，∴外接球的表面積為：．故選C．【題目點(diǎn)撥】本題主要考查了正三棱柱的外接球的表面積的求法，找出球的球心是解題的關(guān)鍵，考查空間想象能力與計(jì)算能力，是中檔題．9、A【解題分析】

設(shè)公差為d，，，解出公差，利用等差數(shù)列求和公式即可得解.【題目詳解】由題：數(shù)列為單調(diào)遞增的等差數(shù)列，為前項(xiàng)和，且滿足，、、成等比數(shù)列，設(shè)公差為d，，，解得，所以.故選：A【題目點(diǎn)撥】此題考查等差數(shù)列基本量的計(jì)算，根據(jù)等比中項(xiàng)的關(guān)系求解公差，利用求和公式求前十項(xiàng)之和.10、D【解題分析】

求得橢圓的a，b，c，由橢圓的定義可得△ABF2的周長(zhǎng)為|AB|+|AF2|+|BF2|=4a，計(jì)算即可得到所求值．【題目詳解】由題意可得橢圓+=1的b=5，c=4，a==，由橢圓的定義可得|AF1|+|AF2|=|BF1|+|BF2|=2a，即有△ABF2的周長(zhǎng)為|AB|+|AF2|+|BF2|=|AF1|+|AF2|+|BF1|+|BF2|=4a=4．故選D．【題目點(diǎn)撥】本題考查三角形的周長(zhǎng)的求法，注意運(yùn)用橢圓的定義和方程，定義法解題是關(guān)鍵，屬于基礎(chǔ)題．11、C【解題分析】

根據(jù)新舊兩個(gè)坐標(biāo)的對(duì)應(yīng)關(guān)系，求得伸縮變換的公式.【題目詳解】舊的，新的，故，故選C.【題目點(diǎn)撥】本小題主要考查曲線的伸縮變換公式，屬于基礎(chǔ)題，解題關(guān)鍵是區(qū)分清楚新舊兩個(gè)坐標(biāo)的對(duì)應(yīng)關(guān)系.12、D【解題分析】

連結(jié)AB后，AB長(zhǎng)為定值，由C點(diǎn)變化得到三角形面積函數(shù)的增減性，從而得到面積函數(shù)的導(dǎo)數(shù)的正負(fù)，則答案可求．【題目詳解】解：如圖，△ABC的底邊AB長(zhǎng)一定，在點(diǎn)C由A到B的過(guò)程中，△ABC的面積由小到大再減小，然后再增大再減小，對(duì)應(yīng)的面積函數(shù)的導(dǎo)數(shù)先正后負(fù)再正到負(fù)．且由原圖可知，當(dāng)C位于AB連線和函數(shù)f（x）的圖象交點(diǎn)附近時(shí)，三角形的面積減或增較慢，故選D．【題目點(diǎn)撥】本題主要考查函數(shù)的單調(diào)性與其導(dǎo)函數(shù)的正負(fù)之間的關(guān)系，屬于基礎(chǔ)題．二、填空題：本題共4小題，每小題5分，共20分。13、8【解題分析】

根據(jù)雙曲線方程的特點(diǎn),結(jié)合分類和分步計(jì)數(shù)原理直接求解即可.【題目詳解】因?yàn)榉匠瘫硎倦p曲線,所以.因此可以分成兩類：第一類：從集合中取一個(gè)正數(shù),從集合取一個(gè)負(fù)數(shù),有種不同的取法；第二類：從集合中取一個(gè)負(fù)數(shù),從集合取一個(gè)正數(shù),有種不同的取法.所以一共有種不同的方法.故答案為：8【題目點(diǎn)撥】本題考查了雙曲線方程的特點(diǎn),考查了分類和分步計(jì)數(shù)原理,考查了數(shù)學(xué)運(yùn)算能力.14、6【解題分析】

求出的大小，得出A,O,B三點(diǎn)共線，即可求解.【題目詳解】設(shè)極點(diǎn)為O，由題意可知即A,O,B三點(diǎn)在一條直線上所以【題目點(diǎn)撥】本題主要考查了極坐標(biāo)的性質(zhì)，要清楚極坐標(biāo)的含義，屬于基礎(chǔ)題.15、【解題分析】

我們分析等式左邊數(shù)的變化規(guī)律及等式兩邊數(shù)的關(guān)系，歸納推斷后，即可得到答案.【題目詳解】觀察已知中等式：，，，，…，則，故答案為：.【題目點(diǎn)撥】歸納推理的一般步驟是：（1）通過(guò)觀察個(gè)別情況發(fā)現(xiàn)某些相同性質(zhì)；（2）從已知的相同性質(zhì)中推出一個(gè)明確表達(dá)的一般性命題（猜想），屬于中檔題.16、【解題分析】

設(shè)，求出M，N的坐標(biāo)，得出關(guān)于的式子，根據(jù)P在橢圓上得到的關(guān)系，進(jìn)而求出離心率.【題目詳解】設(shè)，則直線PM的方程為，直線PN的方程為，聯(lián)立方程組，解得，聯(lián)立方程組，解得，則又點(diǎn)P在橢圓上，則有，因?yàn)闉槎ㄖ担瑒t，，.【題目點(diǎn)撥】本題考查橢圓離心率的求法，有一定的難度.三、解答題：共70分。解答應(yīng)寫出文字說(shuō)明、證明過(guò)程或演算步驟。17、（1）；（2）.【解題分析】分析：(1)將代入函數(shù)解析式，利用零點(diǎn)分段法，將絕對(duì)值不等式轉(zhuǎn)化為若干個(gè)不等式組，最后求并集得到原不等式的解集；(2)結(jié)合的條件，將函數(shù)解析式化簡(jiǎn)，化為分段函數(shù)的形式，求得相關(guān)點(diǎn)的坐標(biāo)，利用面積公式，得到參數(shù)所滿足的不等關(guān)系式，從而求得結(jié)果.詳解：(1)當(dāng)時(shí),.不等式等價(jià)于或或解得或，即.所以不等式的解集是.(2)由題設(shè)可得,所以函數(shù)的圖象與軸圍成的三角形的三個(gè)頂點(diǎn)分別為，，.所以三角形的面積為.由題設(shè)知,解得.點(diǎn)睛：該題考查的是有關(guān)絕對(duì)值不等式的問(wèn)題，一是需要明確采用零點(diǎn)分段法求解絕對(duì)值不等式，二是會(huì)應(yīng)用題的條件，尋找參數(shù)所滿足的對(duì)應(yīng)的式子，最后求解即可得結(jié)果.18、（1），；（2）【解題分析】試題分析：（1）利用等差數(shù)列，等比數(shù)列的通項(xiàng)公式先求得公差和公比，即得到結(jié)論;（2）利用分組求和法，由等差數(shù)列及等比數(shù)列的前n項(xiàng)和公式即可求得數(shù)列前n項(xiàng)和．試題解析：（Ⅰ）設(shè)等差數(shù)列{an}的公差為d，由題意得d===1．∴an=a1+（n﹣1）d=1n設(shè)等比數(shù)列{bn﹣an}的公比為q，則q1===8，∴q=2，∴bn﹣an=（b1﹣a1）qn﹣1=2n﹣1，∴bn=1n+2n﹣1（Ⅱ）由（Ⅰ）知bn=1n+2n﹣1，∵數(shù)列{1n}的前n項(xiàng)和為n（n+1），數(shù)列{2n﹣1}的前n項(xiàng)和為1×=2n﹣1，∴數(shù)列{bn}的前n項(xiàng)和為；考點(diǎn)：1.等差數(shù)列性質(zhì)的綜合應(yīng)用；2.等比數(shù)列性質(zhì)的綜合應(yīng)用；1.數(shù)列求和．19、（1）增區(qū)間是x∈34,1，減區(qū)間是x∈【解題分析】試題分析：（1）當(dāng)a=1時(shí)，求得f(x)，求導(dǎo)f'(x)，令h(x)=2x-x2-ex-1，則h'(x)=2-2x-ex-1在(34,2)是減函數(shù)，從而h(x)在(34,2)上是減函數(shù)，進(jìn)而得出f(x)在(試題解析：（1）當(dāng)a=1時(shí)，f(x)=則f'(x)=(2x-x2顯然h'(x)在區(qū)間(34,2)內(nèi)是減函數(shù)，又∴h(x)在區(qū)間(34,2)內(nèi)是減函數(shù)，又∵h(yuǎn)(1)=0∴當(dāng)∴f'(x)>0當(dāng)x∈(1,2)時(shí)，h(x)<0∴f'(x)<0∴f(x)在區(qū)間(34（2）由題意，知g(x)=(x2根據(jù)題意，方程-x2∴Δ=4+4a>0，即a>-1，且x∵x1其中f'(x)=(2x-∵-所以上式化為(2-又∵2-x1>0，所以不等式可化為x①當(dāng)x1=0，x1②當(dāng)x1∈(0,1)時(shí)，2令函數(shù)k(x)=顯然k(x)是R內(nèi)的減函數(shù)，當(dāng)x∈(0,1)，k(x)<k(0)=③x1∈(-∞,0)時(shí)，2由②，當(dāng)x∈(-∞,0)，k(x)>k(0)=2ee+1考點(diǎn)：利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的極值；利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的單調(diào)性；利用導(dǎo)數(shù)求閉區(qū)間上函數(shù)的最值.【方法點(diǎn)晴】本題主要考查了利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的單調(diào)性，函數(shù)的極值問(wèn)題，取閉區(qū)間上的最值問(wèn)題，著重考查了分類討論的數(shù)學(xué)思想和轉(zhuǎn)化與化歸的思想方法，是一道綜合試題，試題有一定的難度，本題解答中把不等式可化為x1[2e1-x1-λe1-20、（1）；（2）．【解題分析】分析：（1）利用階矩陣對(duì)應(yīng)的變換的算法解出，再求（2）先計(jì)算矩陣的特征向量，再計(jì)算詳解：（1），則，，解得，，，，所以，所以；（2）矩陣的特征多項(xiàng)式為，令，解得，，從而求得對(duì)應(yīng)的一個(gè)特征向量分別為，.令，求得，，所以.點(diǎn)睛：理解矩陣的計(jì)算規(guī)則和相互之間的轉(zhuǎn)換．21、（1）ρ2﹣6ρcosθ﹣8ρsinθ+21＝1．（2）9﹣2．【解題分析】

(1)先將化簡(jiǎn)成直角坐標(biāo)方程,再利用與化簡(jiǎn)即可.(2)由為以為底,到的距離為高可知要求面積的最小值即求到的距離最大值.再設(shè)求解最值即可.【題目詳解】（1）∵曲線C的參數(shù)方程為,（θ為參數(shù)）,有.上下平方相加得曲線C的直角坐標(biāo)方程為,化簡(jiǎn)得將與,代入得曲線C的直角坐標(biāo)方程有：．（2）設(shè)點(diǎn)到直線AB：x+y+2＝1的距離為d,則,當(dāng)sin（）＝﹣1時(shí),d有最小值,所以△ABM面積的最小值S9﹣2．【題目點(diǎn)撥】本題主要考查了參數(shù)方程與直角坐標(biāo)和極坐標(biāo)系的互化,同時(shí)與考查了圓上的點(diǎn)到直線距離最值的問(wèn)題,屬于中