1.1集合的概念（精講）目錄第一部分：思維導(dǎo)圖（總覽全局）第二部分：知識點(diǎn)精準(zhǔn)記憶第三部分：課前自我評估測試第四部分：典型例題剖析重點(diǎn)題型一：集合的概念重點(diǎn)題型二：元素與集合的關(guān)系重點(diǎn)題型三：集合中元素的特性及其應(yīng)用重點(diǎn)題型四：集合的表示方法重點(diǎn)題型五：集合中的含參問題角度1：已知集合相等求參數(shù)角度2：已知集合元素個(gè)數(shù)求參數(shù)重點(diǎn)題型六：集合與方程的綜合問題第五部分：新定義問題第六部分：高考（模擬）題體驗(yàn)第一部分：思第一部分：思維導(dǎo)圖總覽全局第二部分：知識點(diǎn)精準(zhǔn)記憶第二部分：知識點(diǎn)精準(zhǔn)記憶知識點(diǎn)1：集合的含義一般地,我們把研究對象統(tǒng)稱為元素,通常用小寫拉丁字母,,,…表示.把一些元素組成的總體叫做集合(簡稱為集),通常用大寫拉丁字母,,,…表示集合.

知識拓展集合的三個(gè)特性：①描述性：集合是一個(gè)原始的不加定義的概念，像點(diǎn)、直線一樣，只能描述性地說明.②廣泛性：凡是看得見、摸得著、想得到的任何事物都可以作為組成集合的對象.③整體性：集合是一個(gè)整體，已暗示“所有”“全部”“全體”的含義，因此一些對象一旦組成了集合，那么這個(gè)集合就是這些對象的全體，而非個(gè)別對象.知識點(diǎn)2：元素與集合2.1元素與集合的關(guān)系(1)屬于(belongto)：如果是集合的元素，就說屬于，記作.(2)不屬于(notbelongto)：如果不是集合的元素，就說不屬于，記作.特別說明：表示一個(gè)元素，表示一個(gè)集合.它們間的關(guān)系為：.2.2集合元素的三大特性（1）確定性：給定的集合，它的元素必須是確定的，也就是說，給定一個(gè)集合，那么任何一個(gè)元素在不在這個(gè)集合中就確定了，我們把這個(gè)性質(zhì)稱為集合元素的確定性.（2）互異性（考試?？继攸c(diǎn)，注意檢驗(yàn)集合的互異性）：一個(gè)給定集合中元素是互不相同的，也就是說，集合中的元素是不重復(fù)出現(xiàn)的，我們把這個(gè)性質(zhì)稱為集合元素的互異性.（3）無序性：集合中的元素是沒有固定順序的，也就是說，集合中的元素沒有前后之分，我們把這個(gè)性質(zhì)稱為集合元素的無序性.知識點(diǎn)3：集合的表示方法與分類3.1常用數(shù)集及其符號常用數(shù)集自然數(shù)集正整數(shù)集整數(shù)集有理數(shù)集實(shí)數(shù)集數(shù)學(xué)符合或3.2集合的表示方法（1）自然語言法：用文字?jǐn)⑹龅男问矫枋黾系姆椒ń凶鲎匀徽Z言法（2）列舉法：把集合的所有元素一一列舉出來，并用花括號“”括起來表示集合的方法叫做列舉法．注用列舉法表示集合時(shí)注意：①元素與元素之間必須用“，”隔開．②集合中的元素必須是明確的．③集合中的元素不能重復(fù)．④集合中的元素可以是任何事物．（3）描述法定義：一般地，設(shè)表示一個(gè)集合，把集合中所有具有共同特征的元素所組成的集合表示為，這種表示集合的方法稱為描述法．有時(shí)也用冒號或分號代替豎線．具體方法：在花括號內(nèi)先寫上表示這個(gè)集合元素的一般符號及取值(或變化)范圍，再畫一條豎線，在豎線后寫出這個(gè)集合中元素所具有的共同特征．（4）（韋恩圖法）：在數(shù)學(xué)中，我們經(jīng)常用平面上封閉曲線的內(nèi)部代表集合，這種圖形稱為圖。3.3集合的分類根據(jù)集合中元素的個(gè)數(shù)可以將集合分為有限集和無限集.（1）有限集：含有有限個(gè)元素的集合是有限集，如方程的實(shí)數(shù)解組成的集合，其中元素的個(gè)數(shù)為有限個(gè)，故為有限集.有限集通常推薦用列舉法或描述法表示，也可將元素寫在圖中來表示.（2）無限集：含有無限個(gè)元素的集合是無限集，如不等式的解組成的集合，其中元素的個(gè)數(shù)為無限個(gè)，故為無限集.通常用描述法表示。知識點(diǎn)4：集合相等只要構(gòu)成兩個(gè)集合的元素是一樣的,我們就稱這兩個(gè)集合是相等的.記作：,例如：，第三部分：課前自我評估測試第三部分：課前自我評估測試1．（2022·全國·高一課時(shí)練習(xí)）判斷正誤．（1）接近于0的數(shù)可以組成集合．()（2）分別由元素0，1，2和2，0，1組成的兩個(gè)集合是相等的．()（3）一個(gè)集合中可以找到兩個(gè)相同的元素．()2．（2022·全國·高一課時(shí)練習(xí)）已知集合M有兩個(gè)元素3和，且，則實(shí)數(shù)___________．3．（2022·全國·高一課時(shí)練習(xí)）用“”或“”填空．___________N；___________Z；___________Q；___________R．4．（2022·全國·高一課時(shí)練習(xí)）方程的解集用列舉法表示為()A．

B．

C．

D．5．（2022·全國·高一課時(shí)練習(xí)）已知集合，那么正確的是()A．

B．

C．

D．第四部分：第四部分：典型例題剖析重點(diǎn)題型一：集合的概念典型例題例題1．下面各組對象中不能形成集合的是（

）A．所有的直角三角形 B．一次函數(shù)C．高一年級中家離學(xué)校很遠(yuǎn)的學(xué)生 D．大于2的所有實(shí)數(shù)例題2．判斷下列各組對象能否構(gòu)成集合．若能構(gòu)成集合，指出是有限集還是無限集；若不能構(gòu)成集合，試說明理由．(1)北京各區(qū)縣的名稱；(2)尾數(shù)是5的自然數(shù)；(3)我們班身高大于1.7m的同學(xué)．同類題型演練1．給出下列表述：①聯(lián)合國常任理事國；②充分接近的實(shí)數(shù)的全體；③方程的實(shí)數(shù)根④全國著名的高等院校.以上能構(gòu)成集合的是（

）A．①③ B．①② C．①②③ D．①②③④2．下列說法中正確的是（

）A．與定點(diǎn)A，B等距離的點(diǎn)不能構(gòu)成集合B．由“title”中的字母構(gòu)成的集合中元素的個(gè)數(shù)為5C．一個(gè)集合中有三個(gè)元素a，b，c，其中a，b，c是的三邊長，則不可能是等邊三角形D．高中學(xué)生中的游泳能手能構(gòu)成集合重點(diǎn)題型二：元素與集合的關(guān)系典型例題例題1．（2022·江蘇·高一）給出下列關(guān)系：①；②；③；④，其中正確的個(gè)數(shù)為（

）A．1 B．2 C．3 D．4例題2．（2022·全國·高一專題練習(xí)）用符號“”和“”填空：（1）______；

（2）1______；

（3）_____；（4）______；

（5）______；

（6）0______．同類題型演練1．（2022·全國·高一）給出下列四個(gè)關(guān)系：π∈R，0?Q，0.7∈N，0∈?，其中正確的關(guān)系個(gè)數(shù)為（

）A．4 B．3 C．2 D．12．（2022·廣西桂林·高一期末）下列關(guān)系中，正確的是（

）A． B． C． D．3．（2022·湖南·高一課時(shí)練習(xí)）用符號“∈”或“?”填空：1____N，－3____N，___Q，___N，1__Z，－3___Q，0___Z，___R，0___N*，π___R，___Q，___Z．重點(diǎn)題型三：集合中元素的特性及其應(yīng)用典型例題例題1．（2022·全國·高三專題練習(xí)）設(shè)集合，若，則的值為（

）．A．，2 B． C．，，2 D．，2例題2．（2022·全國·高一專題練習(xí)）已知集合，且．求實(shí)數(shù)的值；同類題型演練1．（2021·江蘇·常州市第一中學(xué)高一期中）已知集合，若，則實(shí)數(shù)的值為（

）．A． B． C．或 D．或2．（2022·全國·高一專題練習(xí)）若，則的可能值為（

）A．0，2 B．0，1C．1，2 D．0，1，23．（2022·上海民辦南模中學(xué)高三階段練習(xí)）若，則實(shí)數(shù)a的取值集合為______．重點(diǎn)題型四：集合的表示方法(1)列舉法典型例題例題1．（2022·廣西·高二學(xué)業(yè)考試）設(shè)為我國四大河流長江、黃河、黑龍江、珠江組成的集合，那么集合等于（

）A．{長江，黃河} B．{長江，黑龍江}C．{長江，珠江} D．{長江，黃河，黑龍江，珠江}例題2．（2022·內(nèi)蒙古·赤峰紅旗中學(xué)松山分校高一期末（文））方程的所有實(shí)數(shù)根組成的集合為（）A． B． C． D．例題3．（2022·全國·高一課時(shí)練習(xí)）方程組的解集是（

）．A． B． C． D．同類題型演練1．（2022·廣東廣雅中學(xué)高一階段練習(xí)）方程的解集可表示為（

）A． B．C． D．2．（2022·北京·高一期中）方程組的解集是（

）A． B． C． D．3．（2022·全國·高一課時(shí)練習(xí)）一元二次方程的解集為（

）A． B． C． D．重點(diǎn)題型四：集合的表示方法(2)描述法典型例題例題1．（2022·全國·高一課時(shí)練習(xí)）由大于且小于的偶數(shù)所組成的集合是（

）A． B．C． D．例題2．（2022·江西省崇義中學(xué)高一期中）集合用列舉法表示是（

）A．{1，2，3，4} B．{1，2，3，4，5}C．{0，1，2，3，4，5} D．{0，1，2，3，4}例題3．（2022·遼寧·大連八中高一階段練習(xí)）集合的元素個(gè)數(shù)為（

）A．4 B．5 C．10 D．12同類題型演練1．（2022·全國·高一專題練習(xí)）用描述法表示奇數(shù)集合：①A＝{a|a＝2k+1，k∈Z}②B＝{a|a＝2k﹣1，k∈Z}③C＝{2b+1|b∈Z}④D＝{d|d＝4k±1，k∈Z}．上述表示方法正確的個(gè)數(shù)是（）A．1 B．2 C．3 D．42．（2022·江蘇·高一課時(shí)練習(xí)）由大于-3且小于11的偶數(shù)所組成的集合是（

）A．{x|-3<x<11，x∈Z}B．{x|-3<x<11}C．{x|-3<x<11，x=2k}D．{x|-3<x<11，x=2k，k∈Z}3．（2022·湖南·雅禮中學(xué)高一階段練習(xí)）已知集合，則集合A的真子集個(gè)數(shù)為（

）A．32 B．4 C．5 D．31重點(diǎn)題型五：集合中的含參問題角度1：已知集合相等求參數(shù)典型例題例題1．（2022·浙江·慈溪市三山高級中學(xué)高二學(xué)業(yè)考試）已知集合，若，則（

）A．3 B．4 C． D．例題2．（2022·全國·高一）集合，則的值為（

）A．0 B．1 C．－1 D．±1同類題型演練1．（2022·浙江麗水·高一期末）已知集合，，若，則實(shí)數(shù)_______2．（2022·湖南·衡陽市田家炳實(shí)驗(yàn)中學(xué)高一階段練習(xí)）已知，.若，則______.3．（2022·河北唐山·高一期中）設(shè)集合，，若，則_____________．角度2：已知集合元素個(gè)數(shù)求參數(shù)典型例題例題1．（2022·上海市建平中學(xué)高二階段練習(xí)）若集合有且只有一個(gè)元素，則的取值集合為__________．例題2．（2021·全國·高一專題練習(xí)）若為單元素集，則實(shí)數(shù)的取值的集合為______．例題3．（2022·上海市奉賢中學(xué)高一階段練習(xí)）已知集合.（1）若中只有一個(gè)元素，求及；（2）若中至多有一個(gè)元素，求的取值范圍.同類題型演練1．（2021·福建寧德·高三期中）集合至多有一個(gè)元素，則的取值范圍是___________.2．（2022·全國·高一專題練習(xí)）已知集合，在下列條件下分別求實(shí)數(shù)m的取值范圍：(1)；(2)恰有一個(gè)元素.3．（2021·全國·高一專題練習(xí)）已知集合，其中為常數(shù)，且.（1）若A是單元素集合，求的取值范圍；（2）若A中至少有一個(gè)元素，求的取值范圍；（3）若A中至多有一個(gè)元素，求的取值范圍.重點(diǎn)題型六：集合與方程的綜合問題典型例題例題1．（2022·全國·高一專題練習(xí)）已知集合.(1)若，求，的值；(2)若，且，求，的值.例題2．（2021·全國·高一課時(shí)練習(xí)）已知關(guān)于的方程（、）.(1)求方程的解集.(2)若，關(guān)于上述方程僅有正整數(shù)解，求的所有取值組成的集合.同類題型演練1．（2021·全國·高一課時(shí)練習(xí)）已知集合．(1)若，求實(shí)數(shù)a的值；(2)若集合A中僅含有一個(gè)元素，求實(shí)數(shù)a的值；(3)若集合A中僅含有兩個(gè)元素，求實(shí)數(shù)a的取值范圍．2．（2021·全國·高一課時(shí)練習(xí)）若集合.（1）若，求的值；（2）若，求的值．第五部分：新第五部分：新定義問題1．（2022·全國·高一）當(dāng)一個(gè)非空數(shù)集滿足：如果，則，且時(shí)，時(shí)，我們稱就是一個(gè)數(shù)域，以下關(guān)于數(shù)域的說法：①是任何數(shù)域的元素；②若數(shù)域有非零元素，則；③集合是一個(gè)數(shù)域；④有理數(shù)集是一個(gè)數(shù)域；⑤任何一個(gè)有限數(shù)域的元素個(gè)數(shù)必為奇數(shù)，其中正確的選項(xiàng)是（

）A．①②④ B．②③④⑤ C．①④⑤ D．①②④⑤2．（2021·湖北省武昌實(shí)驗(yàn)中學(xué)高一階段練習(xí)）非空集合A具有下列性質(zhì)：（1）若x、y∈A，則∈A；（2）若x、y∈A，則x+y∈A，下列判斷一定成立的是（

）①﹣1?A；②∈A；③若x、y∈A，則xy∈A；④若x、y∈A，則x﹣y?A．A．①③ B．①② C．①②③ D．①②③④3．（2020·上海市嘉定區(qū)第一中學(xué)高一期中）當(dāng)一個(gè)非空數(shù)集滿足“如果，則，且時(shí)，”時(shí)，我們稱就是一個(gè)數(shù)域，以下四個(gè)數(shù)域的命題；①0是任何數(shù)域的元素；②若數(shù)域有非零元素，則;③集合是一個(gè)數(shù)域④有理數(shù)集是一個(gè)數(shù)域其中假命題的是（

）A．① B．② C．③ D．④4．（2021·浙江·高一單元測試）在整數(shù)集中，被除所得余數(shù)為的所有整數(shù)組成一個(gè)“類”，記為，即，，給出如下四個(gè)結(jié)論：①；②；③若整數(shù)屬于同一“類”，則；④若，則整數(shù)屬于同一“類”.其中，正確結(jié)論的個(gè)數(shù)是（

）.A．1 B．2 C．3 D．4第六部分：高第六部分：高考（模擬）題體驗(yàn)1．（2022·貴州·貴陽一中模擬預(yù)測（文））已知集合則集合的元素個(gè)數(shù)為（

）A．6 B．7 C．8 D．92．（2022·河北·模擬預(yù)測）已知集合中所含元素的個(gè)數(shù)為（

）A．2 B．4 C．6 D．83．（2022·陜西·模擬預(yù)測（文））已知表示正整數(shù)集合，若集合，則中元素的個(gè)數(shù)為（

）A．16 B．15 C．14 D．134．（2022·山東濟(jì)南·二模）已知集合，，，則C中元素的個(gè)數(shù)為（

）A．1 B．2 C．3 D．45．（2022·重慶南開中學(xué)模擬預(yù)測）已知集合，，則集合（

）A． B． C． D．6．（2022·湖南·岳陽一中一模）定義集合的一種運(yùn)算：，若，，則中的元素個(gè)數(shù)為（

）A． B． C． D．1.1集合的概念（精講）目錄第一部分：思維導(dǎo)圖（總覽全局）第二部分：知識點(diǎn)精準(zhǔn)記憶第三部分：課前自我評估測試第四部分：典型例題剖析重點(diǎn)題型一：集合的概念重點(diǎn)題型二：元素與集合的關(guān)系重點(diǎn)題型三：集合中元素的特性及其應(yīng)用重點(diǎn)題型四：集合的表示方法重點(diǎn)題型五：集合中的含參問題角度1：已知集合相等求參數(shù)角度2：已知集合元素個(gè)數(shù)求參數(shù)重點(diǎn)題型六：集合與方程的綜合問題第五部分：新定義問題第六部分：高考（模擬）題體驗(yàn)第一部分：思第一部分：思維導(dǎo)圖總覽全局第二部分：知識點(diǎn)精準(zhǔn)記憶第二部分：知識點(diǎn)精準(zhǔn)記憶知識點(diǎn)1：集合的含義一般地,我們把研究對象統(tǒng)稱為元素,通常用小寫拉丁字母,,,…表示.把一些元素組成的總體叫做集合(簡稱為集),通常用大寫拉丁字母,,,…表示集合.

知識拓展集合的三個(gè)特性：①描述性：集合是一個(gè)原始的不加定義的概念，像點(diǎn)、直線一樣，只能描述性地說明.②廣泛性：凡是看得見、摸得著、想得到的任何事物都可以作為組成集合的對象.③整體性：集合是一個(gè)整體，已暗示“所有”“全部”“全體”的含義，因此一些對象一旦組成了集合，那么這個(gè)集合就是這些對象的全體，而非個(gè)別對象.知識點(diǎn)2：元素與集合2.1元素與集合的關(guān)系(1)屬于(belongto)：如果是集合的元素，就說屬于，記作.(2)不屬于(notbelongto)：如果不是集合的元素，就說不屬于，記作.特別說明：表示一個(gè)元素，表示一個(gè)集合.它們間的關(guān)系為：.2.2集合元素的三大特性（1）確定性：給定的集合，它的元素必須是確定的，也就是說，給定一個(gè)集合，那么任何一個(gè)元素在不在這個(gè)集合中就確定了，我們把這個(gè)性質(zhì)稱為集合元素的確定性.（2）互異性（考試?？继攸c(diǎn)，注意檢驗(yàn)集合的互異性）：一個(gè)給定集合中元素是互不相同的，也就是說，集合中的元素是不重復(fù)出現(xiàn)的，我們把這個(gè)性質(zhì)稱為集合元素的互異性.（3）無序性：集合中的元素是沒有固定順序的，也就是說，集合中的元素沒有前后之分，我們把這個(gè)性質(zhì)稱為集合元素的無序性.知識點(diǎn)3：集合的表示方法與分類3.1常用數(shù)集及其符號常用數(shù)集自然數(shù)集正整數(shù)集整數(shù)集有理數(shù)集實(shí)數(shù)集數(shù)學(xué)符合或3.2集合的表示方法（1）自然語言法：用文字?jǐn)⑹龅男问矫枋黾系姆椒ń凶鲎匀徽Z言法（2）列舉法：把集合的所有元素一一列舉出來，并用花括號“”括起來表示集合的方法叫做列舉法．注用列舉法表示集合時(shí)注意：①元素與元素之間必須用“，”隔開．②集合中的元素必須是明確的．③集合中的元素不能重復(fù)．④集合中的元素可以是任何事物．（3）描述法定義：一般地，設(shè)表示一個(gè)集合，把集合中所有具有共同特征的元素所組成的集合表示為，這種表示集合的方法稱為描述法．有時(shí)也用冒號或分號代替豎線．具體方法：在花括號內(nèi)先寫上表示這個(gè)集合元素的一般符號及取值(或變化)范圍，再畫一條豎線，在豎線后寫出這個(gè)集合中元素所具有的共同特征．（4）（韋恩圖法）：在數(shù)學(xué)中，我們經(jīng)常用平面上封閉曲線的內(nèi)部代表集合，這種圖形稱為圖。3.3集合的分類根據(jù)集合中元素的個(gè)數(shù)可以將集合分為有限集和無限集.（1）有限集：含有有限個(gè)元素的集合是有限集，如方程的實(shí)數(shù)解組成的集合，其中元素的個(gè)數(shù)為有限個(gè)，故為有限集.有限集通常推薦用列舉法或描述法表示，也可將元素寫在圖中來表示.（2）無限集：含有無限個(gè)元素的集合是無限集，如不等式的解組成的集合，其中元素的個(gè)數(shù)為無限個(gè)，故為無限集.通常用描述法表示。知識點(diǎn)4：集合相等只要構(gòu)成兩個(gè)集合的元素是一樣的,我們就稱這兩個(gè)集合是相等的.記作：,例如：，第三部分：課前自我評估測試第三部分：課前自我評估測試1．（2022·全國·高一課時(shí)練習(xí)）判斷正誤．（1）接近于0的數(shù)可以組成集合．()（2）分別由元素0，1，2和2，0，1組成的兩個(gè)集合是相等的．()（3）一個(gè)集合中可以找到兩個(gè)相同的元素．()【答案】

錯(cuò)誤

正確

錯(cuò)誤【詳解】（1）接近于0的數(shù)不確定是哪些數(shù)，對象不確定，所以接近于0的數(shù)不能組成一個(gè)集合．該結(jié)論錯(cuò)誤．（2）兩個(gè)集合的元素完全相同，所以兩個(gè)集合是相等的．該結(jié)論正確．（3）一個(gè)集合中的元素互異，不能找到兩個(gè)相同的元素，該結(jié)論錯(cuò)誤．2．（2022·全國·高一課時(shí)練習(xí)）已知集合M有兩個(gè)元素3和，且，則實(shí)數(shù)___________．【答案】3因?yàn)?，且集合M有兩個(gè)元素3和a+1，所以或，又不成立，所以∴故答案為：33．（2022·全國·高一課時(shí)練習(xí)）用“”或“”填空．___________N；___________Z；___________Q；___________R．【答案】

?

∈

?

∈4．（2022·全國·高一課時(shí)練習(xí)）方程的解集用列舉法表示為()A．

B．

C．

D．【答案】B，所以方程的解集為故選：B5．（2022·全國·高一課時(shí)練習(xí)）已知集合，那么正確的是()A．

B．

C．

D．【答案】A由或故A對，B、C、D錯(cuò)故選：A第四部分：第四部分：典型例題剖析重點(diǎn)題型一：集合的概念典型例題例題1．下面各組對象中不能形成集合的是（

）A．所有的直角三角形 B．一次函數(shù)C．高一年級中家離學(xué)校很遠(yuǎn)的學(xué)生 D．大于2的所有實(shí)數(shù)【答案】C所有的直角三角形，能形成直角三角形集合，一次函數(shù)，元素是確定的，可以形成集合，大于2的所有實(shí)數(shù)，能形成集合，而高一年級中家離學(xué)校很遠(yuǎn)的學(xué)生，這里的“很遠(yuǎn)”的標(biāo)準(zhǔn)不確定，因而這里的學(xué)生就不確定，所以高一年級中家離學(xué)校很遠(yuǎn)的學(xué)生不能形成集合，故選：C例題2．判斷下列各組對象能否構(gòu)成集合．若能構(gòu)成集合，指出是有限集還是無限集；若不能構(gòu)成集合，試說明理由．(1)北京各區(qū)縣的名稱；(2)尾數(shù)是5的自然數(shù)；(3)我們班身高大于1.7m的同學(xué)．【答案】(1)能；有限集；(2)能；無限集；(3)能；有限集.(1)因?yàn)楸本└鲄^(qū)縣的名稱是確定的，故北京各區(qū)縣的名稱能構(gòu)成集合；因?yàn)楸本└鲄^(qū)縣是有限的，故該集合為有限集；(2)因?yàn)槲矓?shù)是5的自然數(shù)是確定的，故尾數(shù)是5的自然數(shù)能構(gòu)成集合；因?yàn)槲矓?shù)是5的自然數(shù)是無限的，故該集合為無限集；(3)因?yàn)槲覀儼嗌砀叽笥?.7m的同學(xué)是確定的，故我們班身高大于1.7m的同學(xué)能構(gòu)成集合；因?yàn)槲覀儼嗌砀叽笥?.7m的同學(xué)是有限的，故該集合為有限集.同類題型演練1．給出下列表述：①聯(lián)合國常任理事國；②充分接近的實(shí)數(shù)的全體；③方程的實(shí)數(shù)根④全國著名的高等院校.以上能構(gòu)成集合的是（

）A．①③ B．①② C．①②③ D．①②③④【答案】A①聯(lián)合國的常任理事國有：中國、法國、美國、俄羅斯、英國.所以可以構(gòu)成集合.②中的元素是不確定的，不滿足集合確定性的條件，不能構(gòu)成集合.③方程的實(shí)數(shù)根是確定，所以能構(gòu)成集合.④全國著名的高等院校.不滿足集合確定性的條件，不構(gòu)成集合.故選：A2．下列說法中正確的是（

）A．與定點(diǎn)A，B等距離的點(diǎn)不能構(gòu)成集合B．由“title”中的字母構(gòu)成的集合中元素的個(gè)數(shù)為5C．一個(gè)集合中有三個(gè)元素a，b，c，其中a，b，c是的三邊長，則不可能是等邊三角形D．高中學(xué)生中的游泳能手能構(gòu)成集合【答案】C解：對于A：與定點(diǎn)A，B等距離的點(diǎn)在線段的中垂線上，故可以組成集合，即A錯(cuò)誤；對于B：由集合元素的互異性可知，由“title”中的字母構(gòu)成的集合中元素的個(gè)數(shù)為4，故B錯(cuò)誤；對于C：因?yàn)榧系脑鼐哂谢ギ愋?，所以a，b，c互不相等，故不可能是等邊三角形，即C正確；對于D：游泳能手模棱兩可，不具有確定性，故D錯(cuò)誤；故選：C重點(diǎn)題型二：元素與集合的關(guān)系典型例題例題1．（2022·江蘇·高一）給出下列關(guān)系：①；②；③；④，其中正確的個(gè)數(shù)為（

）A．1 B．2 C．3 D．4【答案】B是實(shí)數(shù)，①正確；是無理數(shù)，②錯(cuò)誤；－3是整數(shù)，③錯(cuò)誤；－是無理數(shù)，④正確.所以正確的個(gè)數(shù)為2.故選：B.例題2．（2022·全國·高一專題練習(xí)）用符號“”和“”填空：（1）______；

（2）1______；

（3）_____；（4）______；

（5）______；

（6）0______．【答案】

由所表示的集合，由元素與集合的關(guān)系可判斷（1）（2）（3）（4）（5）（6）.故答案為：（1）（2）（3）（4）（5）（6）同類題型演練1．（2022·全國·高一）給出下列四個(gè)關(guān)系：π∈R，0?Q，0.7∈N，0∈?，其中正確的關(guān)系個(gè)數(shù)為（

）A．4 B．3 C．2 D．1【答案】D∵R表示實(shí)數(shù)集，Q表示有理數(shù)集，N表示自然數(shù)集，?表示空集，∴π∈R，0∈Q，0.7?N，0??，∴正確的個(gè)數(shù)為1.故選:D.2．（2022·廣西桂林·高一期末）下列關(guān)系中，正確的是（

）A． B． C． D．【答案】C對于A，，所以A錯(cuò)誤；對于B，不是整數(shù)，所以，所以B錯(cuò)誤；對于C，，所以C正確；對于D，因?yàn)椴缓魏卧?，則，所以D錯(cuò)誤.故選：C..3．（2022·湖南·高一課時(shí)練習(xí)）用符號“∈”或“?”填空：1____N，－3____N，___Q，___N，1__Z，－3___Q，0___Z，___R，0___N*，π___R，___Q，___Z．【答案】

∈

?

∈

?

∈

∈

∈

∈

?

∈

∈

?表示自然數(shù)集；表示正整數(shù)集；表示整數(shù)集；表示有理數(shù)集；表示實(shí)數(shù)集.故答案為：；；；；；；；；；；；.重點(diǎn)題型三：集合中元素的特性及其應(yīng)用典型例題例題1．（2022·全國·高三專題練習(xí)）設(shè)集合，若，則的值為（

）．A．，2 B． C．，，2 D．，2【答案】D由集合中元素的確定性知或．當(dāng)時(shí)，或；當(dāng)時(shí)，．當(dāng)時(shí)，不滿足集合中元素的互異性，故舍去；當(dāng)時(shí)，滿足集合中元素的互異性，故滿足要求；當(dāng)時(shí)，滿足集合中元素的互異性，故滿足要求．綜上，或．故選：D．例題2．（2022·全國·高一專題練習(xí)）已知集合，且．求實(shí)數(shù)的值；【答案】(1)1∵，當(dāng)時(shí)，，此時(shí)，由于集合中的元素不能重復(fù)，故舍去當(dāng)時(shí)，或，當(dāng)時(shí)，符合要求；當(dāng)時(shí)，，此時(shí)集合A中有兩個(gè)0，故舍去，綜上：同類題型演練1．（2021·江蘇·常州市第一中學(xué)高一期中）已知集合，若，則實(shí)數(shù)的值為（

）．A． B． C．或 D．或【答案】B，且，或⑴、當(dāng)即或，①、當(dāng)時(shí)，，，此時(shí)，不滿足集合元素的互異性，故舍去；②、當(dāng)時(shí)，，，此時(shí)，符合題意；⑵、當(dāng)即時(shí)，此時(shí)，不滿足集合元素的互異性，故舍去；綜上所述：實(shí)數(shù)的值為1.故選：B2．（2022·全國·高一專題練習(xí)）若，則的可能值為（

）A．0，2 B．0，1C．1，2 D．0，1，2【答案】A因?yàn)椋?dāng)時(shí)，集合為，不成立；當(dāng)時(shí)，集合為，成立；當(dāng)時(shí)，則（舍去）或，當(dāng)時(shí)，集合為，成立；∴或.故選：A3．（2022·上海民辦南模中學(xué)高三階段練習(xí)）若，則實(shí)數(shù)a的取值集合為______．【答案】因?yàn)椋驶蚧?，?dāng)時(shí)，，與元素的互異性矛盾，舍；當(dāng)時(shí)，，符合；當(dāng)時(shí)，或，根據(jù)元素的互異性，符合，故a的取值集合為.故答案為：重點(diǎn)題型四：集合的表示方法(1)列舉法典型例題例題1．（2022·廣西·高二學(xué)業(yè)考試）設(shè)為我國四大河流長江、黃河、黑龍江、珠江組成的集合，那么集合等于（

）A．{長江，黃河} B．{長江，黑龍江}C．{長江，珠江} D．{長江，黃河，黑龍江，珠江}【答案】D∵M(jìn)為我國四大河流長江、黃河、黑龍江、珠江組成的集合，∴M={長江，黃河，黑龍江，珠江}.故選：D.例題2．（2022·內(nèi)蒙古·赤峰紅旗中學(xué)松山分校高一期末（文））方程的所有實(shí)數(shù)根組成的集合為（）A． B． C． D．【答案】C解：由，解得或，所以方程的所有實(shí)數(shù)根組成的集合為；故選：C例題3．（2022·全國·高一課時(shí)練習(xí)）方程組的解集是（

）．A． B． C． D．【答案】C由題意，可得，即，代入方程可得，∴解集是.故選：C同類題型演練1．（2022·廣東廣雅中學(xué)高一階段練習(xí)）方程的解集可表示為（

）A． B．C． D．【答案】C因?yàn)?，所以，故方程的解集可表示為，故選：C.2．（2022·北京·高一期中）方程組的解集是（

）A． B． C． D．【答案】C,解得：，則方程組的解集為：.故選：C.3．（2022·全國·高一課時(shí)練習(xí)）一元二次方程的解集為（

）A． B． C． D．【答案】B可化為，解得或所以一元二次方程的解集為故選：B重點(diǎn)題型四：集合的表示方法(2)描述法典型例題例題1．（2022·全國·高一課時(shí)練習(xí)）由大于且小于的偶數(shù)所組成的集合是（

）A． B．C． D．【答案】D由題意可知，由大于且小于的偶數(shù)所組成的集合是.故選：D.例題2．（2022·江西省崇義中學(xué)高一期中）集合用列舉法表示是（

）A．{1，2，3，4} B．{1，2，3，4，5}C．{0，1，2，3，4，5} D．{0，1，2，3，4}【答案】D解：由題知故選：D例題3．（2022·遼寧·大連八中高一階段練習(xí)）集合的元素個(gè)數(shù)為（

）A．4 B．5 C．10 D．12【答案】A由題意，集合中的元素滿足是自然數(shù)，且是自然數(shù)，由此可得=0，1，3，9；此時(shí)的值分別為：4，3，2，1，符合條件的共有4個(gè)，故選：A．同類題型演練1．（2022·全國·高一專題練習(xí)）用描述法表示奇數(shù)集合：①A＝{a|a＝2k+1，k∈Z}②B＝{a|a＝2k﹣1，k∈Z}③C＝{2b+1|b∈Z}④D＝{d|d＝4k±1，k∈Z}．上述表示方法正確的個(gè)數(shù)是（）A．1 B．2 C．3 D．4【答案】C由題意得：①②表示奇數(shù)集合，③的表示方法錯(cuò)誤，④D＝{x|x＝4k±1，k∈z}，表示除以4余1的整數(shù)或除以4余3的整數(shù)，∵一個(gè)奇數(shù)除以4之后，余數(shù)不是1就是3，故④表示奇數(shù)集合；故選：C．2．（2022·江蘇·高一課時(shí)練習(xí)）由大于-3且小于11的偶數(shù)所組成的集合是（

）A．{x|-3<x<11，x∈Z}B．{x|-3<x<11}C．{x|-3<x<11，x=2k}D．{x|-3<x<11，x=2k，k∈Z}【答案】D解：大于-3且小于11的偶數(shù)，可表示為-3<x<11，x=2k，k∈Z，所以由大于-3且小于11的偶數(shù)所組成的集合是{x|-3<x<11，x=2k，k∈Z}，故D符合題意；對于A，集合表示的是大于-3且小于11的整數(shù)，不符題意；對于B，集合表示的是大于-3且小于11的數(shù)，不符題意；對于C，集合表示的是大于-3且小于11的數(shù)，，但不一定是整數(shù)，不符題意.故選：D.3．（2022·湖南·雅禮中學(xué)高一階段練習(xí)）已知集合，則集合A的真子集個(gè)數(shù)為（

）A．32 B．4 C．5 D．31【答案】D∵∴為12的正約數(shù)，又，∴，4，3，2，0∴集合，∴集合A的真子集個(gè)數(shù)為31，故選：D.重點(diǎn)題型五：集合中的含參問題角度1：已知集合相等求參數(shù)典型例題例題1．（2022·浙江·慈溪市三山高級中學(xué)高二學(xué)業(yè)考試）已知集合，若，則（

）A．3 B．4 C． D．【答案】D解：因?yàn)榍?，所以，且，又，所以和為方程的兩個(gè)實(shí)數(shù)根，所以；故選：D例題2．（2022·全國·高一）集合，則的值為（

）A．0 B．1 C．－1 D．±1【答案】B因?yàn)?，且，所以，即，所以，，又因?yàn)?，所以，所以，故選B.同類題型演練1．（2022·浙江麗水·高一期末）已知集合，，若，則實(shí)數(shù)_______【答案】解：因?yàn)椋苑匠逃星抑挥幸粋€(gè)實(shí)數(shù)根，所以，解得.所以故答案為：2．（2022·湖南·衡陽市田家炳實(shí)驗(yàn)中學(xué)高一階段練習(xí)）已知，.若，則______.【答案】因?yàn)樗越庵茫汗蚀鸢笧椋?．（2022·河北唐山·高一期中）設(shè)集合，，若，則_____________．【答案】1根據(jù)題意，可知，解得.故答案為：1.角度2：已知集合元素個(gè)數(shù)求參數(shù)典型例題例題1．（2022·上海市建平中學(xué)高二階段練習(xí)）若集合有且只有一個(gè)元素，則的取值集合為__________．【答案】##①若，則，解得，滿足集合A中只有一個(gè)元素，所以符合題意；②若，則為二次方程，集合A有且只有一個(gè)元素等價(jià)于，解得.故答案為：.例題2．（2021·全國·高一專題練習(xí)）若為單元素集，則實(shí)數(shù)的取值的集合為______．【答案】由題意方程只有一解或兩個(gè)相等的實(shí)根，(*)，,，此時(shí)，方程的解為，滿足題意，；若方程(*)有一個(gè)根是，則另一根是，，；若方程(*)有一個(gè)根是，則另一根是，，．綜上，的取值集合為．故答案為：．例題3．（2022·上海市奉賢中學(xué)高一階段練習(xí)）已知集合.（1）若中只有一個(gè)元素，求及；（2）若中至多有一個(gè)元素，求的取值范圍.【答案】（1）時(shí)，；時(shí)，；（2）；（1）當(dāng)時(shí)，，解得：，所以中只有一個(gè)元素，即，當(dāng)時(shí)，，解得：，，解得：，此時(shí)綜上可知時(shí)，時(shí).（2）當(dāng)集合時(shí)，，解得：由（1）可知集合有1個(gè)元素時(shí)，或，綜上可知：或，即.同類題型演練1．（2021·福建寧德·高三期中）集合至多有一個(gè)元素，則的取值范圍是___________.【答案】解：集合至多有一個(gè)元素即集合有一個(gè)元素或者零個(gè)元素①當(dāng)集合有一個(gè)元素時(shí)，等價(jià)于有一個(gè)根即，解得②當(dāng)集合有零個(gè)元素，即時(shí)，等價(jià)于無實(shí)數(shù)根即，解得綜上，的取值范圍是故答案為：.2．（2022·全國·高一專題練習(xí)）已知集合，在下列條件下分別求實(shí)數(shù)m的取值范圍：(1)；(2)恰有一個(gè)元素.【答案】(1)(2)(1)若，則關(guān)于x的方程沒有實(shí)數(shù)解，則，且，所以，實(shí)數(shù)m的取值范圍是；(2)若A恰有一個(gè)元素，所以關(guān)于x的方程恰有一個(gè)實(shí)數(shù)解，討論：當(dāng)時(shí)，，滿足題意；當(dāng)時(shí)，，所以．綜上所述，m的取值范圍為．3．（2021·全國·高一專題練習(xí)）已知集合，其中為常數(shù)，且.（1）若A是單元素集合，求的取值范圍；（2）若A中至少有一個(gè)元素，求的取值范圍；（3）若A中至多有一個(gè)元素，求的取值范圍.【答案】（1）0或；（2）；（3）或（1）若A是單元素集合，則方程只有一個(gè)實(shí)數(shù)根，當(dāng)時(shí)，原方程為，解得，滿足題意；當(dāng)時(shí)，一元二次方程只有一個(gè)實(shí)數(shù)根，則，解得.所以a的值為0或.（2）若A中只有一個(gè)元素，由（1）知或；若A中有兩個(gè)元素，則，且，解得.綜上，時(shí)，A中至少有一個(gè)元素.（3）若A中只有一個(gè)元素，由（1）知或；若A中沒有元素，則，且，解得，此時(shí)方程沒有實(shí)數(shù)根.綜上，或時(shí)，A中至多有一個(gè)元素.重點(diǎn)題型六：集合與方程的綜合問題典型例題例題1．（2022·全國·高一專題練習(xí)）已知集合.(1)若，求，的值；(2)若，且，求，的值.【答案】(1)(2)(1)解：若，則有，解得；(2)解：，因?yàn)?，所以，解?例題2．（2021·全國·高一課時(shí)練習(xí)）已知關(guān)于的方程（、）.(1)求方程的解集.(2)若，關(guān)于上述方程僅有正整數(shù)解，求的所有取值組成的集合.【答案】(1)答案見解析(2)(1)解：由題意，可得，①當(dāng)時(shí)，解集為；②當(dāng)，時(shí)，解集為；③當(dāng)，時(shí)，解集為.(2)解：由題意及（1）問結(jié)論知，，且，所以或2或4或8，所以.同類題型演練1．（2021·全國·高一課時(shí)練習(xí)）已知集合．(1)若，求實(shí)數(shù)a的值；(2)若集合A中僅含有一個(gè)元素，求實(shí)數(shù)a的值；(3)若集合A中僅含有兩個(gè)元素，求實(shí)數(shù)a的取值范圍．【答案】(1)(2)或(3)(1)∵，∴，∴；(2)當(dāng)時(shí)，，符合題意；當(dāng)時(shí)，，∴．綜上，或；(3)集合中含有兩個(gè)元素，即關(guān)于的方程有兩個(gè)不相等的實(shí)數(shù)解，∴，且，解得且，∴實(shí)數(shù)的取值范圍為．2．（2021·全國·高一課時(shí)練習(xí)）若集合.（1）若，求的值；（2）若，求的值．【答案】（1）；（2）或（1）若，則的兩個(gè)根分別為，由韋達(dá)定理可得，故.（2）若，則或，故.綜上若，則或第五部分：新第五部分：新定義問題1．（2022·全國·高一）當(dāng)一個(gè)非空數(shù)集滿足：如果，則，且時(shí)，時(shí)，我們稱就是一個(gè)數(shù)域，以下關(guān)于數(shù)域的