最短路徑課件引言圖的表示與存儲(chǔ)最短路徑算法基礎(chǔ)最短路徑算法進(jìn)階最短路徑問題的變體與應(yīng)用最短路徑問題的優(yōu)化與實(shí)現(xiàn)技巧案例分析與實(shí)戰(zhàn)演練contents目錄引言CATALOGUE010102最短路徑問題的定義這里的“最短”可以是距離最短、時(shí)間最短、費(fèi)用最低等，具體取決于問題的定義。最短路徑問題是指在圖中找到從起點(diǎn)到終點(diǎn)的最短路徑的問題。在交通網(wǎng)絡(luò)中，最短路徑問題用于尋找兩個(gè)地點(diǎn)之間的最短路線，以節(jié)省時(shí)間和成本。交通網(wǎng)絡(luò)通信網(wǎng)絡(luò)城市規(guī)劃在通信網(wǎng)絡(luò)中，最短路徑問題用于確定信息從發(fā)送方到接收方的最快路由。在城市規(guī)劃中，最短路徑問題有助于優(yōu)化城市布局，提高交通效率。030201最短路徑問題的應(yīng)用介紹最短路徑問題的基本概念、算法原理、實(shí)現(xiàn)方法和應(yīng)用案例。內(nèi)容通過本課件的學(xué)習(xí)，學(xué)生應(yīng)能夠掌握最短路徑問題的基本思想和求解方法，能夠運(yùn)用所學(xué)知識(shí)解決實(shí)際應(yīng)用問題。目標(biāo)課件內(nèi)容與目標(biāo)圖的表示與存儲(chǔ)CATALOGUE02圖(Graph)是由頂點(diǎn)的有窮非空集合和頂點(diǎn)之間邊的集合組成，通常表示為：G（V，E），其中，G表示一個(gè)圖，V是圖G中頂點(diǎn)的集合，E是圖G中邊的集合。頂點(diǎn)(Vertex)是圖中最基本的元素，用于表示實(shí)際問題的抽象元素，如城市、節(jié)點(diǎn)等。邊(Edge)是連接兩個(gè)頂點(diǎn)的關(guān)系，表示實(shí)際問題中兩個(gè)元素之間的聯(lián)系。根據(jù)邊的方向性，圖可分為有向圖和無向圖。圖的定義與基本術(shù)語鄰接矩陣表示法使用一個(gè)二維數(shù)組來表示圖中頂點(diǎn)之間的鄰接關(guān)系。對(duì)于無向圖，若頂點(diǎn)i與j之間有邊相連，則數(shù)組元素a[i][j]=1；否則a[i][j]=0。對(duì)于有向圖，若存在從頂點(diǎn)i到j(luò)的邊，則a[i][j]=1；否則a[i][j]=0。鄰接表表示法使用鏈表來表示圖中頂點(diǎn)之間的鄰接關(guān)系。對(duì)于每個(gè)頂點(diǎn)，維護(hù)一個(gè)鏈表，鏈表中存儲(chǔ)與該頂點(diǎn)相鄰的所有頂點(diǎn)。這種表示方法適用于稀疏圖，可以節(jié)省存儲(chǔ)空間。圖的表示方法使用一維數(shù)組來存儲(chǔ)圖中頂點(diǎn)的信息，使用二維數(shù)組來存儲(chǔ)頂點(diǎn)之間的鄰接關(guān)系。這種存儲(chǔ)結(jié)構(gòu)適用于稠密圖，可以方便地進(jìn)行圖的遍歷和操作。順序存儲(chǔ)結(jié)構(gòu)使用鏈表來表示圖中的頂點(diǎn)和邊。對(duì)于每個(gè)頂點(diǎn)，維護(hù)一個(gè)鏈表來存儲(chǔ)與該頂點(diǎn)相鄰的所有頂點(diǎn)。這種存儲(chǔ)結(jié)構(gòu)適用于稀疏圖，可以節(jié)省存儲(chǔ)空間并提高空間利用率。鏈?zhǔn)酱鎯?chǔ)結(jié)構(gòu)圖的存儲(chǔ)結(jié)構(gòu)最短路徑算法基礎(chǔ)CATALOGUE03算法思想：Dijkstra算法是一種單源最短路徑算法，用于計(jì)算一個(gè)節(jié)點(diǎn)到其他所有節(jié)點(diǎn)的最短路徑。該算法采用貪心策略，每次從未被訪問的節(jié)點(diǎn)中選擇距離源點(diǎn)最近的節(jié)點(diǎn)進(jìn)行訪問，并更新其鄰居節(jié)點(diǎn)的距離。Dijkstra算法算法步驟1.初始化距離數(shù)組dist[]，將源點(diǎn)到各點(diǎn)的距離初始化為無窮大，源點(diǎn)到自己的距離初始化為0。2.創(chuàng)建一個(gè)空集合S，用于存放已找到最短路徑的節(jié)點(diǎn)。Dijkstra算法4.對(duì)于節(jié)點(diǎn)u的所有鄰居節(jié)點(diǎn)v，如果通過u到達(dá)v的距離比當(dāng)前已知的最短距離更短，則更新dist[v]的值。5.重復(fù)步驟3和4，直到所有節(jié)點(diǎn)都加入集合S中。3.對(duì)于未加入集合S的節(jié)點(diǎn)，選擇距離源點(diǎn)最近的節(jié)點(diǎn)u，將其加入集合S中。Dijkstra算法算法特點(diǎn)1.適用于沒有負(fù)權(quán)邊的圖。2.時(shí)間復(fù)雜度為O(n^2)，其中n為節(jié)點(diǎn)數(shù)。3.可以得到源點(diǎn)到其他所有節(jié)點(diǎn)的最短路徑。01020304Dijkstra算法算法思想：Floyd算法是一種多源最短路徑算法，用于計(jì)算任意兩點(diǎn)之間的最短路徑。該算法采用動(dòng)態(tài)規(guī)劃的思想，通過不斷迭代更新兩點(diǎn)之間的最短路徑。Floyd算法算法步驟1.初始化距離矩陣dist[][]，將任意兩點(diǎn)之間的距離初始化為無窮大，自己到自己的距離初始化為0。2.對(duì)于每一對(duì)節(jié)點(diǎn)i和j，如果存在一條從i到j(luò)的邊，則將dist[i][j]的值更新為邊的權(quán)重。Floyd算法Floyd算法3.對(duì)于每一對(duì)節(jié)點(diǎn)i、j和中間節(jié)點(diǎn)k，如果通過k可以使得從i到j(luò)的距離更短，則更新dist[i][j]的值。4.重復(fù)步驟3，直到距離矩陣不再發(fā)生變化。算法特點(diǎn)2.時(shí)間復(fù)雜度為O(n^3)，其中n為節(jié)點(diǎn)數(shù)。1.適用于沒有負(fù)權(quán)環(huán)的圖。3.可以得到任意兩點(diǎn)之間的最短路徑。Floyd算法算法思想：Bellman-Ford算法是一種單源最短路徑算法，用于計(jì)算一個(gè)節(jié)點(diǎn)到其他所有節(jié)點(diǎn)的最短路徑。該算法采用松弛操作的思想，通過不斷遍歷所有邊來更新節(jié)點(diǎn)的最短路徑估計(jì)值。Bellman-Ford算法01算法步驟021.初始化距離數(shù)組dist[]，將源點(diǎn)到各點(diǎn)的距離初始化為無窮大，源點(diǎn)到自己的距離初始化為0。032.對(duì)于每一條邊(u,v,w)，如果通過這條邊可以使得從源點(diǎn)到v的距離更短，則更新dist[v]的值。Bellman-Ford算法3.重復(fù)步驟2，直到遍歷所有邊的次數(shù)達(dá)到節(jié)點(diǎn)數(shù)減1為止。4.檢查是否存在負(fù)權(quán)環(huán)：再次遍歷所有邊(u,v,w)，如果通過這條邊可以使得從源點(diǎn)到v的距離更短，則說明存在負(fù)權(quán)環(huán)。Bellman-Ford算法Bellman-Ford算法算法特點(diǎn)2.時(shí)間復(fù)雜度為O(VE)，其中V為節(jié)點(diǎn)數(shù)，E為邊數(shù)。1.適用于有負(fù)權(quán)邊的圖，但不能處理存在負(fù)權(quán)環(huán)的情況。3.可以得到源點(diǎn)到其他所有節(jié)點(diǎn)的最短路徑（如果不存在負(fù)權(quán)環(huán)）。最短路徑算法進(jìn)階CATALOGUE04SPFA（ShortestPathFasterAlgorithm）算法是一種用于求解加權(quán)圖中單源最短路徑問題的算法，它采用了隊(duì)列優(yōu)化的方式，能夠在某些情況下比Dijkstra算法更加高效。首先初始化距離數(shù)組和隊(duì)列，將源點(diǎn)加入隊(duì)列并標(biāo)記為已訪問。然后進(jìn)入循環(huán)，從隊(duì)列中取出一個(gè)節(jié)點(diǎn)，遍歷該節(jié)點(diǎn)的所有鄰居節(jié)點(diǎn)，如果鄰居節(jié)點(diǎn)未被訪問過或者通過當(dāng)前節(jié)點(diǎn)可以使得鄰居節(jié)點(diǎn)的距離更短，則更新鄰居節(jié)點(diǎn)的距離并將其加入隊(duì)列。循環(huán)直到隊(duì)列為空。SPFA算法適用于沒有負(fù)權(quán)環(huán)的加權(quán)圖，如果圖中存在負(fù)權(quán)環(huán)，則算法可能陷入死循環(huán)。原理步驟適用范圍SPFA算法原理Johnson算法是一種用于求解稀疏圖中所有頂點(diǎn)對(duì)之間最短路徑的算法，它通過對(duì)圖中每個(gè)頂點(diǎn)添加一個(gè)相同的勢（potential）來消除負(fù)權(quán)邊，從而將問題轉(zhuǎn)化為求解非負(fù)權(quán)圖的最短路徑問題。步驟首先計(jì)算圖中所有頂點(diǎn)的勢，使得圖中不存在負(fù)權(quán)環(huán)。然后根據(jù)勢值修改每條邊的權(quán)值，得到一個(gè)新的非負(fù)權(quán)圖。接下來使用Dijkstra算法求解新圖中任意兩點(diǎn)之間的最短路徑。最后根據(jù)勢值還原原始圖中的最短路徑。適用范圍Johnson算法適用于稀疏圖，即邊數(shù)遠(yuǎn)小于頂點(diǎn)數(shù)的平方的圖。如果圖中存在負(fù)權(quán)環(huán)，則算法無法求解。Johnson算法A搜索算法首先初始化一個(gè)優(yōu)先隊(duì)列并將起始節(jié)點(diǎn)加入隊(duì)列。然后進(jìn)入循環(huán)，從隊(duì)列中取出評(píng)估函數(shù)值最小的節(jié)點(diǎn)，遍歷該節(jié)點(diǎn)的所有鄰居節(jié)點(diǎn)，如果鄰居節(jié)點(diǎn)未被訪問過或者通過當(dāng)前節(jié)點(diǎn)可以使得鄰居節(jié)點(diǎn)的評(píng)估函數(shù)值更小，則更新鄰居節(jié)點(diǎn)的評(píng)估函數(shù)值并將其加入隊(duì)列。循環(huán)直到找到目標(biāo)節(jié)點(diǎn)或者隊(duì)列為空。步驟A*搜索算法適用于具有明確目標(biāo)狀態(tài)且狀態(tài)空間較大的問題。它需要提供一個(gè)合適的啟發(fā)式函數(shù)來估計(jì)從當(dāng)前狀態(tài)到目標(biāo)狀態(tài)的距離或代價(jià)，以便指導(dǎo)搜索過程朝著目標(biāo)狀態(tài)進(jìn)行。適用范圍最短路徑問題的變體與應(yīng)用CATALOGUE05解決方法使用Dijkstra算法或Bellman-Ford算法求解。其中，Dijkstra算法適用于沒有負(fù)權(quán)邊的圖，而Bellman-Ford算法可以處理帶有負(fù)權(quán)邊的圖。問題描述在帶權(quán)圖中，尋找從起點(diǎn)到終點(diǎn)的路徑，使得路徑上所有邊的權(quán)值之和最小。應(yīng)用場景交通網(wǎng)絡(luò)中的最短路徑規(guī)劃、通信網(wǎng)絡(luò)中的最小延遲路徑選擇等。帶權(quán)最短路徑問題

多源最短路徑問題問題描述在圖中，給定多個(gè)起點(diǎn)和終點(diǎn)，尋找從每個(gè)起點(diǎn)到對(duì)應(yīng)終點(diǎn)的最短路徑。解決方法對(duì)于每個(gè)起點(diǎn)，分別使用單源最短路徑算法（如Dijkstra算法）求解到所有其他點(diǎn)的最短路徑。然后，根據(jù)終點(diǎn)選擇對(duì)應(yīng)的路徑。應(yīng)用場景物流網(wǎng)絡(luò)中的多起點(diǎn)到多終點(diǎn)的最短配送路徑規(guī)劃、社交網(wǎng)絡(luò)中的多用戶間最短信息傳播路徑分析等。在圖中，給定一個(gè)起點(diǎn)和多個(gè)終點(diǎn)，尋找一棵包含起點(diǎn)和所有終點(diǎn)的樹，使得樹上所有邊的權(quán)值之和最小。問題描述使用Prim算法或Kruskal算法求解最小生成樹，然后從起點(diǎn)出發(fā)，按照最小生成樹的邊進(jìn)行遍歷，直到訪問所有終點(diǎn)。所得樹即為最短路徑樹。解決方法網(wǎng)絡(luò)設(shè)計(jì)中的最小成本樹構(gòu)建、電路設(shè)計(jì)中的最小電阻樹求解等。應(yīng)用場景最短路徑樹問題最短路徑問題的優(yōu)化與實(shí)現(xiàn)技巧CATALOGUE06利用問題領(lǐng)域的特性設(shè)計(jì)估價(jià)函數(shù)，指導(dǎo)搜索方向，減少搜索范圍。啟發(fā)式搜索通過剪枝策略，提前終止不可能得到最優(yōu)解的部分搜索分支。分支限界法將問題分解為子問題，保存子問題的解，避免重復(fù)計(jì)算。動(dòng)態(tài)規(guī)劃算法優(yōu)化策略針對(duì)大規(guī)模稀疏圖，采用鄰接表、鄰接鏈表等數(shù)據(jù)結(jié)構(gòu)，減少存儲(chǔ)空間占用。稀疏矩陣存儲(chǔ)在Dijkstra等算法中，使用優(yōu)先隊(duì)列存儲(chǔ)待處理節(jié)點(diǎn)，提高節(jié)點(diǎn)選擇效率。優(yōu)先隊(duì)列利用堆數(shù)據(jù)結(jié)構(gòu)維護(hù)最小距離節(jié)點(diǎn)，降低查找和更新操作的時(shí)間復(fù)雜度。堆優(yōu)化數(shù)據(jù)結(jié)構(gòu)優(yōu)化方法123將最短路徑算法設(shè)計(jì)為并行化算法，利用多核處理器或分布式計(jì)算資源加速計(jì)算過程。并行化算法設(shè)計(jì)將大規(guī)模圖劃分為多個(gè)子圖，分別在多個(gè)計(jì)算節(jié)點(diǎn)上進(jìn)行并行處理，最后合并結(jié)果。圖劃分在分布式計(jì)算中，合理分配計(jì)算任務(wù)和資源，避免某些節(jié)點(diǎn)負(fù)載過重而影響整體性能。負(fù)載均衡并行計(jì)算與分布式處理案例分析與實(shí)戰(zhàn)演練CATALOGUE0703緊急救援路線規(guī)劃在緊急情況下，快速找到最短路徑以便救援人員及時(shí)到達(dá)現(xiàn)場。01城市間最短路徑查詢通過地圖或?qū)Ш杰浖樵儍蓚€(gè)城市之間的最短路徑，以便規(guī)劃行程。02交通擁堵優(yōu)化通過分析交通網(wǎng)絡(luò)中的擁堵節(jié)點(diǎn)，尋找能夠緩解擁堵的最短路徑，提高交通效率。交通網(wǎng)絡(luò)中的最短路徑問題信息傳播范圍分析通過分析社交網(wǎng)絡(luò)中的用戶關(guān)系和信息傳播路徑，預(yù)測信息在社交網(wǎng)絡(luò)中的傳播范圍。影響力最大化找到能夠最大化信息影響力的最短路徑，以便將重要信息快速傳播給更多人。虛假信息識(shí)別