考點(diǎn)14相似三角形

【命題趨勢(shì)】

相似三角形是中考數(shù)學(xué)中非常重要的一個(gè)考點(diǎn)，它不僅可以作為簡單考點(diǎn)單獨(dú)考察，

還經(jīng)常作為壓軸題的重要解題方法，和其他如函數(shù)、特殊四邊形、圓等問題一起考察。而且,

在很多壓軸題中，雖然題面上沒有明確考察相似三角形的判定或性質(zhì)，但是經(jīng)常通過相似三

角形的判定以及性質(zhì)來得到角相等或者邊長間的關(guān)系，也是動(dòng)點(diǎn)問題中得到函數(shù)關(guān)系式的重

要手段。需要考生在復(fù)習(xí)的時(shí)候給予加倍的重視！

【中考考查重點(diǎn)】

一、比例線段

二、相似三角形的性質(zhì)

三、相似三角形的判定

四、相似三角形的基本圖形

考向一：比例線段

一.比例的性質(zhì)

1.基本性質(zhì)：a:b=c:dad=be；

2.比例中項(xiàng)：a:c=c:bo*=ab,此時(shí)，c為a、b的比例中項(xiàng)；

二.比例線段

1.比例線段：在四條線段中，如果。和6的比等于c?和d的比，那么這四條線段

a,b,c,d叫做成比例線段簡稱比例線段；

2.黃金分割：把線段AB分成兩條線段AC,BC（AC>3。，且使AC是A3和8C的比例

中項(xiàng)，叫做把線段黃金分割，點(diǎn)。叫做線段A8的黃金分割點(diǎn)，其中=1二!■AB心

2

0.618AB.

3.平行線分線段成比例的基本性質(zhì):

如圖：AB〃CD〃EFo4￡=J?2

CFDE

【同步練習(xí)】

1.己知包=2,則三也的值為（）

b5b

A.2B.3C.7D.2

5553

【分析】直接利用同一未知數(shù)表示出小〃的值，進(jìn)而代入化筒即可.

【解答】解：?.?包=2,

b5

；?設(shè)a=2x,b=5x>

?a+b=2x+5x=7

,，-b5T~?

故選：c.

2.線段AB的長為2,點(diǎn)C是線段A8的黃金分割點(diǎn)，則線段AC的長可能是（）

A.V5+1B.2-近C.3-75D.遙-2

【分析】根據(jù)黃金分割點(diǎn)的定義，知AC可能是較長線段，也可能是較短線段，分別求

出即可.

【解答】解：???點(diǎn)C是線段AB的黃金分割點(diǎn)，AB=2,

：.AC=y^~1AB=^~1X2=V5-1,

22

或AC=2-（旄-1）=3-遙，

故選：C.

3.如圖，直線a,b,c截直線e和/,a//b//c,過_=Z,則下列結(jié)論中，正確的是（)

BC5

CBE-2

'CF^5

【分析】根據(jù)平行線分線段成比例定理即可解答本題.

【解答】'：a//b//c,坐■上,

BC5

?DE^AB^2

"EFBC"5

??——=7,EF=?，^LJL,故選項(xiàng)A正確，符合題意，選項(xiàng)8、。不正確，不符合題

DE2DE2EF5

意；

連接AF,交BE于H,

,JBE//CF,

??---B--H=,A一BZ：—2?

CFAC7

-B-E-二-2-,

CF5

選項(xiàng)c不正確，不符合題意：

故選：A.

4.若包=&=2（aWc）,則也二包=.

ac2a-c

【分析】根據(jù)等比的性質(zhì)即可求解.

【解答】解：?.?t=旦=工QWc）,

ac2

vb-d=1

a-c2

故答案為：1.

2

5.若三々一.（x、y、z均不為0）,則三堂-=

6433y-2z

【分析】設(shè)比值為％,然后用％表示出x、y、z,再代入比例式進(jìn)行計(jì)算即可得解.

【解答】解：設(shè)三=工=三=k（ZW0）,

643

則x=6k,y=4k,z=3k,

所以，x+3y=6k+l2k=3.

3y-2z12k-6k

故答案為：3.

6.如圖，在△ABC中，點(diǎn)￡>,E分別在邊AB,AC上，DE//BC,已知AE=6,迫屈

AB7

則EC的長是

【分析】根據(jù)平行線分線段成比例定理的推論得出幽=坦=3,將AE=6代入，求出

ACAB7

AC=14,那么EC=AC-AE=8.

【解答】解：

?AE=AD3

"ACABf

；AE=6,

._6_=3_

''ACT

解得：AC=14,

，EC=4C-AE=14-6=8.

故答案是：8.

考向二：相似三角形的性質(zhì)

相似三角舷的性質(zhì)

相似相似三角形的對(duì)應(yīng)角相等，對(duì)應(yīng)邊成比例

三角相似三角形的周長之比等于相似比

形的相似三角形的面積之比等于相似比的平方

性質(zhì)相似三角形的對(duì)應(yīng)“三線”（高線、中線、角平分線）之比等于相似比

【方法提煉】

相似三角形性質(zhì)的主要應(yīng)用方向：

>求角的度數(shù)

>求或證明比值關(guān)系

>證線段等積式

>求面積或面積比

相似三角形的對(duì)應(yīng)邊成比例是求線段長度的重要方法，也是動(dòng)點(diǎn)問題中得到函數(shù)關(guān)系式的

重要手段

【同步練習(xí)】

1.如圖，已知△ABES/XCDE,AD.BC相交于點(diǎn)E,/XABE與△（?￡）￡的周長之比是2,

5

若AE=2、BE=1,則BC的長為（）

A

c乙------

A.3B.4C.5D.6

【分析】首先利用周長之比求得相似比，然后根據(jù)AE的長求得CE的長，從而求得8C

的長.

【解答】解：,:△ABEs^CDE,與△CQE的周長之比是2,

5

?"氏CE=2：5,

VAE=2,

:?CE=5,

,:BE=T,

：.BC=BE+EC=H5=6,

故選：D.

2.如圖，已知△ABCs/SOEF,若/4=35°,ZB=65°,則/尸的度數(shù)是（）

【分析】先根據(jù)三角形內(nèi)角和定理求出NC的度數(shù)，再根據(jù)相似三角形對(duì)應(yīng)角相等即可

解決問題.

【解答】解：?.?△48C中，NA=35°,28=65°,

.'.ZC=180°-AX-ZB=180°-35°-65°=80°,

又：△ABSXDEF,

.,.ZF=ZC=80°,

故選：C.

3.如圖，在正方形網(wǎng)格中：△ABC、尸的頂點(diǎn)都在正方形網(wǎng)格的格點(diǎn)上，t\ABCs匕

【分析1利用相似三角形的性質(zhì)，證明NBAC=135。，可得結(jié)論.

【解答】解：；AABCSAEDF,

：.ZBAC=ZDEF=135°,

ZABC+ZACB=180°-135°=45°,

故選：B.

4.如圖，△ABCsZ\AB'C,下列說法正確的是（）

A.ZB=ZC,B.S^ABC—2SAA'BC'

C.AC=4A'CD.A'B'=6

【分析】根據(jù)相似三角形的性質(zhì)解答即可.

【解答】解：V△ABC^AA'B,C',AB=U,BC=2a,B'C=a,

ZB=ZB\S^ABC：SAA8C=2=4,AC=2A'C,A'B'=^-AB=—x12=^-

a22

故A、B、C錯(cuò)誤，。正確；

故選：D.

5.若。為△ABC中AB邊上一點(diǎn)，且。E〃BC交AC于E,AB=6,BC=8,AC=10,若

△4OE與△ABC的相似比為工，則AE=.

2

【分析】先根據(jù)OE〃8c得出△月。Es△ABC,再根據(jù)AC=10以及△AOE與△A8C的

相似比為工，即可求出AE.

2

【解答】解：...OE〃BC,

.,.△ADE^AABC,

△ADE與aABC的相似比為■!,

2

?AE_1

AC2

VAC=10,

.\AE=5,

故答案為：5.

考向三：相似三角形的判定

一.相似三角形的判定方法;

AF

判定方法-0VDE//BC

1-平行/.△ABC^AADE

判定方法VZA=ZA\ZC=ZC'

2?“AA”「?△ABCs/VVB，C*

ABBC—

判定方法.、、:、、，ZB-ZB

ABBC

3?“SAS”

???△ABCSAA，B，C，

..ABBCAC

判定方法

,ABBCAC

4?“SSS”

△ABCSAA，B'C'

二.判定三角形相似的思路：

(1)有平行截線一一用平行線的性質(zhì)，找等角

(2)有一對(duì)等角，找!另一對(duì)等角

［該角的兩邊對(duì)應(yīng)成比例

(3)有兩邊對(duì)應(yīng)成比例，找夾角相等

一對(duì)銳角相等

(4)直角三角形，找

直角邊、斜邊對(duì)應(yīng)成I：血J

一對(duì)底角相等

⑸等腰三角形，找

底邊和腰長對(duì)應(yīng)成比例

【同步練習(xí)】

1.如圖，在△ABC紙片中，/4=76°,ZB=34°.將△ABC紙片沿某處剪開，下列四種

方式中剪下的陰影三角形與原三角形相似的是()

【分析】根據(jù)相似三角形的判定定理逐個(gè)判斷即可.

【解答】解：@

圖①中，NB=NB,NA=NBDE=76°,所以△8DE和△A8C相似;

圖②中，NB=NB,不符合相似三角形的判定，不能推出△BCD和△ABC相似;

圖③中，ZC=ZC,ZCED=ZB,所以△COE和△C48相似;

圖④中,ZC=ZC,不符合相似三角形的判定，不能推出△COE和△A8C相似;

所以陰影三角形與原三角形相似的有①③,

故選：C.

2.下列條件不能判定△A。8sZvlBC的是()

A.NABD=NACBB.ZADB=AABCCAD=DBD.AB2=AD-AC

,ACBC

【分析】根據(jù)有兩個(gè)角對(duì)應(yīng)相等的三角形相似,以及根據(jù)兩邊對(duì)應(yīng)成比例且夾角相等的

兩個(gè)三角形相似，分別判斷得出即可.

【解答】解：A.'：ZABD^ZACB,Z/l-ZA,AAABC^AADB,故此選項(xiàng)不合題意;

B、'：ZADB=ZABC,ZA=ZA,A/\ABC^/\ADB,故此選項(xiàng)不合題意；

C、延屈不能判定△A。8s△ABC,故此選項(xiàng)符合題意；

ACBC

。、"：AB2=AD-AC,；.或NA=NA,/^ABC^/^ADB,故此選項(xiàng)不合題意.

ABAD

故選：C.

3.如圖，在下列四個(gè)條件：①/B=NC,?ZADB=ZAEC,③AD：AC=AE：AB,@PE：

PD=PB：PC中，隨機(jī)抽取一個(gè)能使△BPEsacp。的概率是（）

A.0.25B.0.5C.0.75D.1

【分析】根據(jù)相似三角形的判定方法判斷即可.

【解答】解：由題意得：

ZDPC=ZEPB,

①/B=/C,根據(jù)兩角相等的兩個(gè)三角形相似可得：叢BPEs/\CPD,

②；NAOB=N4EC,

:.NPDC=NPEB,

所以，根據(jù)兩角相等的兩個(gè)三角形相似可得：ABPESACPD,

@'：AD：AC^AE：AB,NA=/4

zMO8s△4￡；（7,

：.ZB=ZC,

所以，根據(jù)兩角相等的兩個(gè)三角形相似可得：△BPEsMPD,

④PE：PD=PB：PC,根據(jù)兩邊成比例且夾角相等的兩個(gè)三角形相似可得：MBPEs/\

CPD,

，在上列四個(gè)條件中，隨機(jī)抽取一個(gè)能使△BPEs^CP。的概率是：1,

故選：D.

4.如圖，在△ABC中，AB=12,8c=15,。為BC上一點(diǎn)，且8。=工BC,在AB邊上取

3

一點(diǎn)E,使以B,D,E為頂點(diǎn)的三角形與△ABC相似，則BE=

【分析】根據(jù)相似三角形對(duì)應(yīng)邊成比例得出獨(dú)型或以■典，再代值計(jì)算即可.

BCABABBC

【解答】解：:ABDEsABCA或ABDEsABAC,

.BD_BErlj；BD^BE

一而而AB'BC"

?：BD=1-BC,BC=15,

3

：.BD^5,

：A8=12,

...巨型或巨型.

15121215

解得：BE—4或至.

4

故答案為：4或空.

4

考向四：相似三角形的基本圖形

一、A字圖及其變型“斜A型”

三、一般母子型:

當(dāng)時(shí)

NABD=NACBI其中：

△ABD^AACB

■NA是公共角

性質(zhì)：jAB是公共邊

與是對(duì)應(yīng)邊

AB2=AD?AC?BDBC

［聯(lián)系應(yīng)用L

切割線定理：如圖，PB為四O切線，B為切點(diǎn),

貝！I：APABCOAPBC

得.

PEP=PA-PC

四、等甭T

同側(cè)型（通常以等腰三角形或者等邊三角形為背景）

模型名稱幾何模型圖形特點(diǎn)具有性質(zhì)

△ABC^-AADE連結(jié)BD、CE

相似型手A、D、E逆時(shí)針①△ABDS/^ACE

拉手A、B、C逆時(shí)針?△AOB^AHOC

③旋轉(zhuǎn)角相等

④A、B、C、H四點(diǎn)共圓

A

0

&C

“反向”相△ABC^AADE作aADE關(guān)于AD對(duì)稱的

似型手拉A、D、E順時(shí)針△ADE'

手A、B、C逆時(shí)針性質(zhì)同上①②③

A、D、E'逆時(shí)針

【同步練習(xí)】

1.如圖，已知，DE//BC,AD：DB=1：2,那么下列結(jié)論中，正確的是（）

B.AE：4c=1：3

C.AD：AE=\：2

D.SAADE:S四邊形8DEC=1:4

（分析］利用平行線分線段成比例定理，比例的性質(zhì)和相似三角形的性質(zhì)對(duì)每個(gè)選項(xiàng)進(jìn)

行逐一判斷即可得出結(jié)論.

【解答】解：’.?A。：DB=\：2,

,.,—AD—1?

AB3

"DE//BC,

:./\ADEs/\ABC.

.DEAD_1

"BC"AB"3"

選項(xiàng)的結(jié)論錯(cuò)誤；

'：DE//BC,

.?.△ACEs△ABC.

?AE_AD_1

"AC'AB

.?.8選項(xiàng)的結(jié)論正確；

'：DE//BC,

：./\ADE^>^ABC.

?ADAB

"AE"AC'

，c選項(xiàng)的結(jié)論錯(cuò)誤；

'CDE//BC,

：.^ADE^/\ABC.

.SAADE,AD、21

S/kABC杷9

設(shè)S^ADE=k,則SZSABC=9Z,

??5四邊形8O￡C=SAA8C-S^ADE=8k,

.SAADE1

??----------------------------------------------=1.

S四邊形BDBC8

選項(xiàng)的結(jié)論錯(cuò)誤.

綜上所述，正確的結(jié)論是B,

故選：B.

2.如圖，在矩形A8C。中，E,F,G分別在AB,BC,CZ）上，DE±EF,EF1FG,BE=3,

BF=2,FC=6,則DG的長是（）

A.4B.尤C."D.5

33

【分析】由矩形的性質(zhì)可求出NA=NB=NC=90°,AB=CD,證明△EFBs^FGC,

由相似三角形的性質(zhì)得出巫￡2,求出CG=4,同理可得出△DAES/XEB凡由相似三

FCCG

角形的性質(zhì)求出AE的長，則可求出答案.

【解答】解：???￡/」用；，

；.NEFB+NGFC=90°,

?.?四邊形A8C。為矩形，

.?./A=NB=NC=90°,AB^CD,

NG尸C+N尸GC=90°,

:"EFB=NFGC,

:.叢EFBs叢FGC,

???BEBF,

FCCG

?:BE=3,BF=2,FC=6,

?.?32,

6CG

；.CG=4,

同理可得△D4Es/\EBF,

?ADAE

"BE"BF'

?.?—8—=”AE一,

32

;.AE=K,

3

.*.8A=AE+8E=JA+3=空，

33

：.DG=CD-CG=^--4=H.

33

故選：B.

3.如圖，將△ABC繞點(diǎn)C順時(shí)針旋轉(zhuǎn)a得到△￡>EC,此時(shí)點(diǎn)￡>落在邊AB上，且。E垂直

平分BC,則星?的值是（）

A.AB.AC.3D.返

3252

【分析】根據(jù)旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)和線段垂直平分線的性質(zhì)證明△DC/SAOEC,對(duì)應(yīng)邊成比例

即可解決問題.

【解答】解：如圖，設(shè)DE與8c交于點(diǎn)凡

由旋轉(zhuǎn)可知：CA=CD,AB=DE,BC=EC,NB=NE,

垂直平分fiC,

J.DFLBC,DC=DB,CF=BF=Uc=Lc,

22

：.NDCB=NB=NE,

VZDCB+ZFDC=90°,

.?.NE+NF￡)C=90°,

：.ZDCE=9O°,

/.△DCFsADEC,

ACD=CF=1

"DECE~2

?AC=1

"DE2"

故選：B.

4.如圖，已知在△ABC中，點(diǎn)。在邊AB上，那么下列條件中不能判定△ABC'AACC的

是（）

A.B.AC2=^AD'ABC.ZB=ZACDD.ZADC=ZACB

CDBC

【分析】△ABC和△4C。有公共角，然后根據(jù)相似三角形的判定方法對(duì)各選項(xiàng)進(jìn)行判斷.

【解答】解：??,/D4C=NC48,

/?當(dāng)NACO=或/4C?C=/4CB,可根據(jù)有兩組角對(duì)應(yīng)相等的兩個(gè)三角形相似可判斷

△ACD^A/IBC；

當(dāng)￡&屈，即4c2=AO?A8時(shí)，可根據(jù)兩組對(duì)應(yīng)邊的比相等且夾角對(duì)應(yīng)相等的兩個(gè)三

ACAC

角形相似可判斷△ACDSAA5c.

故選：A.

5.如圖，AB//CD,AD與BC相交于點(diǎn)E,若AE=3,ED=5,則典的值為.

EC

【分析】利用平行線的性質(zhì)判定利用相似三角形的性質(zhì)可得結(jié)論.

【解答】解：???AB〃C￡>,

:.△ABEsXDCE.

.BEAE

"EC'ED"

：AE=3,ED=5,

?理=旦

’,而?■

故答案為：1.

5

?盡跟蹤訓(xùn)練.

1.己知且則3二目的值是（）

a13a+b

A.2B.2c.9D.A

3249

【分析】設(shè)且=旦=&a#0）,得出a=l3k,b=5k,再代入要求的式子進(jìn)行計(jì)算即可求

a13

出答案.

【解答】解：設(shè)互總=A（kWO）,

a13

則a=13k,b=5k,

?a-b=13k-5k=4.

a+b13k+5k9

故選：D.

2.如圖，在△ABC中，/A8C=3NA,AC=6,BC=4,所以A8長為（）

C.D.4

【分析】將NABC三等分，與△ABC外接圓相交，交點(diǎn)分別為：E與F,利用托勒密定

理列出方程組，求解即可解決問題.

【解答】解：將N48C三等分，與8c外接圓相交，交點(diǎn)分別為：E與F,

如圖所示：圓上依次為A8CEF,

記BE=m,AB—b,

則利用托勒密定理有：

6m=4m+4b

,62=bm+42

可得：［2m=4b,

I20=bm

即1m=2b,

120=bm

:?b=710,

故選：B.

3.如圖，在平行四邊形45co中，E是A3的中點(diǎn)，尸是4Q的中點(diǎn)，F(xiàn)E交AC于。點(diǎn),

交CB的延長線于G點(diǎn)，那么SAAOF：S^COG=（）

zDC

G

A.1：4B.1：9C.1：16D.1：25

【分析】根據(jù)平行四邊形的性質(zhì)求出4D=BC,AD//BC,推出△AFES/\BGE,△AFO

sXCGO,再根據(jù)相似三角形的性質(zhì)得出即可.

【解答】解：???四邊形ABCD是平行四邊形，

：.AD=BC,AD//BC,

為A8的中點(diǎn)，F(xiàn)為AO的中點(diǎn)，

：.AE=BE,AF=^AD=^BC,

22

\'AD//BC,

：.LAFES^BGE,

.AF_AE

"BG"BE'

:AE=BE,

：.AF=BG=^BC,

2

?AF=1

"CG3

'JAD//BC,

：./\AFO^ACGO,

S

.AAF0=（迎）2=工，

^ACGOCG9

即SzsAOF：S^COG—1：9,

故選：B.

4.如圖，在△ABC中，點(diǎn)。在BC邊上，連接A。，點(diǎn)E在力C邊上，過點(diǎn)E作E尸〃BC,

交A。于點(diǎn)凡過點(diǎn)E作EG〃AB,交BC于點(diǎn)G,則下列式子一定正確的是（)

BGEF

A_B_CCG_AFnEFEG

,FD'GC-EC'CD-BC'AD.CD'AB

【分析】根據(jù)平行線分線段成比例性質(zhì)進(jìn)行解答便可.

【解答】解：YE/〃8C,

???AFAE,

FDEC

'JEG//AB,

???'AE''=BG,

ECGC

??--AF---B-G,

FDGC

故選：A.

5.如圖，P為平行四邊形ABC。的邊A￡>上的一點(diǎn)，E,F分別為P8,PC的中點(diǎn)，/\PEF,

△PDC,ZXBAB的面積分別為S,S,52.若S=3,則S1+S2的值為（）

【分析】過P作PQ平行于OC,由OC與A8平行，得到尸。平行于AB,可得出四邊形

PQCD與ABQP都為平行四邊形，進(jìn)而確定出△PDC與△PC。面積相等，△PQ8與4

A8P面積相等，再由EF為△BPC的中位線，利用中位線定理得到￡尸為BC的一半，且

EF平行于8C,得出與△尸8c相似，相似比為1：2,面積之比為1：4,求出△

PBC的面積，而△PBC面積=4CPQ面積面積，即為△P￡><:面積+△以8面積,

即為平行四邊形面積的一半，即可求出所求的面積.

【解答】解：過P作PQ〃QC交8c于點(diǎn)。，由QC〃AB,得至ljPQ〃A8,

二四邊形PQCO與四邊形4PQB都為平行四邊形，

:.△PDgACQP,△A8P/QP8,'--------------

:.SAPDC=S&CQP,SAABP=SAQPB,........../Q

'：EF為△PCS的中位線，/

：.EF//BC,EF=LBC,

2

.,.APEF^APBC,且相似比為1：2,

:，St\PEF:S/\PBC=1:4,SAPEF=3,

S?BC=SACQP+SAQPB=S?DC+SMBP=SI+S2=12.

故選：B.

6.如圖，在平行四邊形A8CQ中，AC是一條對(duì)角線，EF//BC,且EF與AB相交于點(diǎn)E,

與AC相交于點(diǎn)F,3AE=2EB,連接OF.若S?EF=4,則SA4DF的值為（）

B

A.6B.10C.15D.至

5

【分析】因?yàn)樗倪呅蜛8co是平行邊形，所以AO〃8C,貝1J4AE尸s/XABC,得嶇=迎

ABAC

=2,根據(jù)相似三角形面積的比等于相似比的平方求出△ABC的面積為25,而△CD40

5

△ABC,則△CD4的面積為25,根據(jù)等高三角形面積的比等于底的比即可求出△AO尸的

面積.

【解答】解：如圖，???四邊形48CD是平行邊形，

J.AD//BC,

：.八4￡尸sA4BC,

'：3AE=2EB,

..AE=2,

"EB3"

???AgE—_—A,F—_2，

ABAC5

?^AAEF_（AE）2=（2）2=4

"SAABCAB25'

"?"SMEF—4,

f=紗包型=空425,

44

:.CD=AB,AD=BC,AC=C4,

.".△CDA^AABC（SSS）,

???S^CDA=S^ABC=25,

S^ADF——S/^CDA=2X25=10,

55

，S"DF的值為10,

故選：B.

7.如圖，平行四邊形A8CZ)中，E是邊2C上的點(diǎn)，AE交BC于點(diǎn)F,如果型上，那么

FD3

【分析】由平行四邊形的對(duì)邊相等可求得BC=4C,BC//AD,易證得△8EFSZ^D4凡

則巫幽=2,根據(jù)比例的性質(zhì)即可得解.

ADFD3

【解答】解：：四邊形4BCD是平行四邊形，

J.AD//BC,AD=BC-,

.?.一”B—F-—2T

FD3

■：AD//BC,

：ABEFs^DAF,

?BEBF2

一而五而，

???AD3,

BE2

.EC=BC-BE=AD-BE=1

"BEBE=BE2"

故答案為：.1.

2

8.在矩形ABC。中，A8=6,AO=8,E是BC的中點(diǎn)，連接AE,過點(diǎn)力作。尺L4E于點(diǎn)

F,連接CF、AC.

(1)線段。尸的長為；

(2)若AC交QF于點(diǎn)M,則里=

AM

【分析】(1)利用三角形面積相等，列出等式，求解即可；

(2)延長力尸交C8的延長線于K,利用相似三角形的性質(zhì)求出KE,再利用平行線分線

段成比例定理求解即可.

【解答】解：(1)根據(jù)題意，畫出下圖：

"：AB=6,AO=8,B￡=M=4,an

.ME=26，2

.?.5M0￡=A^AB=AE^F,SMD￡=A^AB=24,

222B

:.DF=48=-2W7^...

2V1313

(2)若AC交OF于點(diǎn)M,延長。尸交BC延長線于點(diǎn)K,如圖所示:

:,NKEF=NAEB,NEFK=NABE=90°,

:.△KEFsMEB,

；.KE=5,

：.CK=KE+EC=9,

'：AD//CK,

.CMCK_9

AMAD8

9.如圖，在△ABC中，AB=AC,AC為BC邊上的中線，￡>E_LAB于點(diǎn)E.

(1)求證：BD-AD^DE'AC.

(2)若AB=13,BC=10,求線段。E的長.

(3)在(2)的條件下，求cos/BDE的值.

【分析】(1)證明N8=NC,/OE3=NA￡)C=90°,可證明△BCEs/XCAZ)即可解決

問題；

(2)利用面積法：工上?A8?C￡：求解即可；

22

(3)可得出/8OE=/BAO,則cos/B￡)E=cos/84D=坦

AB13

【解答】證明：(1)'."AB=AC,BD=CD,

J.ADLBC,N8=NC,

"：DELAB,

：.NDEB=ZADC,

:.△BDEs^CAD.

?BDAC

??一一二?

DEAD

：.BA'AD=DE^CA；

(2)'：AB=AC,BD=CD,

：.ADLBC,

在RtAADB中，AD—{AB2-BD132-5,

?：^AD'BD=^AB'DE,

22

.?.￡>E=毀.

13

(3)VZADB=ZAED=9Q0,

:.NBDE=NBAD,

cosNBZ)￡=cosN8A。=坦：J2.

AB13

10.已知：四邊形ABC。中，AC=AB=20,點(diǎn)E為BC邊上一點(diǎn)，BE》CE,KDE=DC,

NAED=NB,AC、DE相交于點(diǎn)F,cosZB=A.

5

(1)求證：AABEsAECF；

(2)若BE=18,求EF的長；

(3)若/D4E=90°,求CE的長.

【分析】（1）正確作出輔助線，找到對(duì)等關(guān)系，即可證明△ABES/SECF；

（2）找到包含有要求解的邊長有關(guān)系的三角形，利用勾股定理，求出AE的邊長，再利

用相似三角形，找到對(duì)應(yīng)關(guān)系，即可求出EF的長；

（3）在直角三角形內(nèi)，根據(jù)給定的余弦值，找到對(duì)應(yīng)邊長，即可求出CE的長.

【解答】（1）證明：如圖所示：過點(diǎn)A作8c于，，

"：AB=AC=20,

：.NAED=ZB,

.,.Zl+Z2=180o-AAED,

：/3+/2=180°-ZB,

AZ1=Z3,

/XABEsAECF；

（2）解：由（1）知，過點(diǎn)A作/1HJLBC于，,

'：AB=20,cosZB=—,

5

，8〃=16,

a：AB=AC.

:?BH=CH=\6,

，BC=32,

V^E=18,

/.EC=14,

在中，AH=^/^B2-BH2=7202-162=12，

HE=BE-BH=18-16=2,

A/4￡=7AB2+HE2=V122+22=2V37,

XABEs^ECF,

.ABAEnn202737

ECEF14EF

3酒

(3)解：若/。AE=90°,貝Ij/R4E=9O°,

"：AB=2O,COSZB=A.

5

：.BE=25,

：.CE=BC-BE^32-25=7.

;騰、真題再現(xiàn)

1.(2021?浙江衢州)圖1是某折疊式靠背椅實(shí)物圖，圖2是椅子打開時(shí)的側(cè)面示意圖，

椅面CE與地面平行，支撐桿AO,8c可繞連接點(diǎn)O轉(zhuǎn)動(dòng)，且。4=。8,椅面底部有一

根可以繞點(diǎn)H轉(zhuǎn)動(dòng)的連桿HD,點(diǎn)H是C。的中點(diǎn)，F(xiàn)A,E3均與地面垂直，測(cè)得以=

54cm,EB=45cm,AB=4Scm.

(1)椅面CE的長度為cm.

(2)如圖3,椅子折疊時(shí)，連桿，。繞著支點(diǎn)，帶動(dòng)支撐桿AD,BC轉(zhuǎn)動(dòng)合攏，椅面和

連桿夾角/CHD的度數(shù)達(dá)到最小值30°時(shí)，A,8兩點(diǎn)間的距離為(結(jié)果精

確到0.1cm).

(參考數(shù)據(jù):sinl50—0.26,cosl5°?0.97,tan15°-0.27)

【分析】(1)由平行線的性質(zhì)可得/ECB=/A8凡由銳角三角函數(shù)可得理工2,即可

CEAB

求解;

(2)如圖2,延長A。，8E交于點(diǎn)N,由“ASA”可證△ABF嶺△84M可得8N=AF,

可求NE的長，由銳角三角函數(shù)可求CE的長，即可求OH的長，如圖3,連接CD,過

點(diǎn)，作〃PJ_C力于P,由銳角三角函數(shù)和等腰三角形的性質(zhì)，可求。C的長，通過相似

三角形的性質(zhì)可求解.

【解答】解：(1),：CE//AB,

：.ZECB=ZABF,

tanZECB=tanZiABF.

???B..E.二一一A一F,

CEAB

.4554

"CE"4S"

CE=40(cm),

故答案為；40；

(2)如圖2,延長AC,BE交于點(diǎn)N,

"：OA=OB,

：.ZOAB=ZOBA,圖2

在△ABF和△BAN中，

，Z0BA=Z0AB

<AB=AB>

ZFAB=ZABN=90°

:.△ABFWXBAN(ASA),

：.BN^AF=54(cm),

：.EN=9(cm),

?.七6=典望，

NEBN

?.?DE―_.48,

954

；.DE=8(cm),

：.CD=32Cem),

?點(diǎn)，是C￡＞的中點(diǎn)，

；.CH=DH=16(cM,

,JCD//AB,

△AOBsXDOC,

.C0=CD=32=_2,

"OBAB48TG

如圖3,連接CD,過點(diǎn)”作HPJ_C￡＞于P,//

■：HC=HD,HPLCD,FR

:.NPHD=L1/CHD=15°,CP=DP,物\

2+

；sinN￡WP=&＞=sinl5°^0.26,\

DH[\

???P0Q16X0.26=4.16(cm),AB

；.CO=2Pn=8.32(cm),圖3

'：CD//AB,

MAOBsXDOC,

?CDCO2

"AB"OB"3"

?.?-8-.--3-2--3:--2-,

AB3

，AB=12.48七12.5(cm),

故答案為：12.5.

2.(2021?浙江寧波)【證明體驗(yàn)】

(1)如圖1,A。為△A8C的角平分線，N4DC=60°,點(diǎn)E在AB上，AE=AC.求證:

QE平分NAD8.

【思考探究】

(2)如圖2,在(1)的條件下，尸為AB上一點(diǎn)，連結(jié)尸C交于點(diǎn)G.若FB=FC,

DG=2,CD=3,求8。的長.

【拓展延伸】

(3)如圖3,在四邊形ABCD中，對(duì)角線AC平分/BA。，NBCA=2NQC4,點(diǎn)E在

4c上，NEDC=NABC.若8c=5,CD=2娓,AD=2AE,求4c的長.

A

【分析】（1）由^￡4。絲2\。4￡）得/4）￡1=/4￡^=60°,因而/BOE=60°,所以O(shè)E

平分NAO&

（2）先證明△BQESZXCQG,其中CD=ED,再由相似三角形的對(duì)應(yīng)邊成比例求出BD

的長;

（3）根據(jù)角平分線的特點(diǎn)，在A8上截取AF=A。，連結(jié)CF,構(gòu)造全等三角形和相似三

角形，由相似三角形的性質(zhì)求出4c的長.

【解答】（1）證明：如圖1,平分N8AC,

J.ZEAD^ZCAD,

"：AE=AC,AD=AD,

.?.△EW四△CAQ(SAS),

.