長沙市2023年新高考適應(yīng)性考試

數(shù)學(xué)

注意事項(xiàng)：

1.答卷前，考生務(wù)必將自己的姓名、準(zhǔn)考證號填寫在答題卡上.

2.回答選擇題時，選出每小題答案后，用鉛筆把答題卡上對應(yīng)題目的答案標(biāo)號涂

黑.如需改動，用橡皮擦干凈后，再選涂其他答案標(biāo)號.回答非選擇題時，將答案寫在

答題卡上.寫在本試卷上無效.

3.請保持答題卡的整潔.考試結(jié)束后，將本試題卷和答題卡一并交回.

一、選擇題：本題共8小題，每小題5分，共40分.在每小題給出的四個選項(xiàng)中，只

有一項(xiàng)是符合題目要求的.

1.已知復(fù)數(shù)z滿足z(l-i)=3+i,則|z1=

A.VioB.V5C.2D.應(yīng)

2.設(shè)集合A={(x,y)|y=x},8={(x,y)|y=x),則APIS的元素個數(shù)是

A.1B.2C.3D.4

/?=log3.6,c=g，

3.已知。=log?1.8,4則

A.a>b>cB.a>c>bC.b>a>cD.b>c>

4.(」-2)(1-2x)4的展開式中，常數(shù)項(xiàng)為

X

A.-4B.-6C.-8D.-10

5.在平行六面體A8C￡)-AB|GR中，己知A8=4,AD=3,A/l,=5,ZBAD=900,

ZBAAt=ZDAAt=60°,則AC-BD,的值為

A.10.5B.12.5C.22.5D.42.5

1—tan(a-.

6.若---------，貝！Jcos2a的值為

1+tan(a-,

人A-35B—5C5D—5

數(shù)學(xué)試題第1頁(共6頁)

7.斐波那契數(shù)列｛居｝,因數(shù)學(xué)家萊昂納多?斐波那契以兔子繁殖為例子而引入，故又

稱為“兔子數(shù)列”，該數(shù)列｛￡｝滿足K=8=1,且E,+2=K+I+4,（〃€N"）.盧卡

斯數(shù)列｛ZJ是以數(shù)學(xué)家愛德華?盧卡斯命名，與斐波那契數(shù)列聯(lián)系緊密，即。=1,

且41="+月+2（〃€N*），則6期=

'?7i2022+7^024B.…1尹J4

3O

12

5^022+52024D.一^022+g^2024

8.在平面直角坐標(biāo)系X。），中，己知A（3,0）,B（0,z）（r>0）,若該平面中不存在點(diǎn)P,

同時滿足兩個條件|PA『+21P。5=12與|PO|=拒||,則t的取值范圍是

A.（0坐-1）B.坐+l,+x）

C停-亭DD.（0,當(dāng)一1）U停+1,+8）

二、選擇題：本題共4小題，每小題5分，共20分.在每小題給出的四個選項(xiàng)中，有

多項(xiàng)符合題目要求，全部選對的得5分，部分選對的得2分，有選錯的得。分.

22

9.已知雙曲線的方程為七-爸=1,則

6416

A.漸近線方程為丫=±十》B.焦距為

C.離心率為卓D.焦點(diǎn)到漸近線的距離為8

10.自然環(huán)境中，大氣壓受到各種因素的影響，如溫度、濕度、風(fēng)速和海拔等方面的改

變，都將導(dǎo)致大氣壓發(fā)生相應(yīng)的變化，其中以海拔的影響最為顯著.下圖是根據(jù)一

組觀測數(shù)據(jù)得到海拔6千米?15千米的大氣壓強(qiáng)散點(diǎn)圖，根據(jù)一元線性回歸模型得

到經(jīng)驗(yàn)回歸方程為％=-4.0x+68.5,決定系數(shù)為R：=0.99；根據(jù)非線性回歸模型

得到經(jīng)驗(yàn)回歸方程為必=132.9e-°"3，，決定系數(shù)為R；=0.99,則下列說法正確的是

數(shù)學(xué)試題第2頁（共6頁）

A.由散點(diǎn)圖可知，大氣壓強(qiáng)與海拔高度負(fù)相關(guān)

B.由方程％=-4.0x+68.5可知，海拔每升高1千米，大氣壓強(qiáng)必定降低4.0kPa

C.由方程M=-4.0x+68.5可知，樣本點(diǎn)。1,22.6）的殘差為-1.9

D.對比兩個回歸模型，結(jié)合實(shí)際情況，方程y2=132.9e?/63*的預(yù)報效果更好

11.已知函數(shù)y=[4與y=e*相交于4,B兩點(diǎn),與y=lnx相交于C,O兩點(diǎn)，若

A,B,C,。四點(diǎn)的橫坐標(biāo)分別為％,x-,,x3,X4,且為<%，x3<x4,則

V|

A.+x,=0B.x3x4=1C.Inx3=1D.x4e=1

12.如圖，已知△48C是邊長為4的等邊三角形，D,E分別是AB,4c的中點(diǎn)，將

△4OE沿著DE翻折，使點(diǎn)A到點(diǎn)P處，得到四棱錐P-BCE。，貝U

A.翻折過程中，該四棱錐的體積有最大值為3

B.存在某個點(diǎn)P位置，滿足平面POE1平面P8C

C.當(dāng)P8LPC時，直線與平面所成角的正弦值為李

D.當(dāng)PB=加時，該四棱錐的五個頂點(diǎn)所在球的表面積為警■萬

數(shù)學(xué)試題第3頁（共6頁）

三、填空題：本題共4小題，每小題5分，共20分.

13.已知向量0=(1,2),。=(2,-2),c=(l,/l),若CJ.(Q+?),則4=.

14.已知函數(shù)f(x)=2sin(?x+夕)(3>0),若函數(shù)/(x)的圖象關(guān)于點(diǎn)管,0)中心對稱，

且關(guān)于直線x=專軸對稱，則。的最小值為.

15.已知。為坐標(biāo)原點(diǎn)，F(xiàn)為拋物線V=2px的焦點(diǎn)，過點(diǎn)尸作傾斜角為60。的直線與

拋物線交于A,3兩點(diǎn)(其中點(diǎn)A在第一象限).若直線AO與拋物線的準(zhǔn)線/交

于點(diǎn)。，設(shè)△AOF，/\ADB的面積分別為5,S,,則卷=.

16.已知函數(shù)f(x)=[x+LX<°,若關(guān)于x的方程f(f(x))=。恰有兩個不相等的實(shí)

[ln(x+l),x>0

根玉，％,且玉<X2,則筌：的取值范圍是.

四、解答題：本題共6小題，共70分.解答應(yīng)寫出文字說明、證明過程或演算步驟.

17.(本題滿分10分)已知數(shù)列｛%｝為等差數(shù)列，數(shù)列｛〃｝為等比數(shù)列，滿足

么=24=2,=212,“3+4=11.

(1)求數(shù)列｛4｝,｛4｝的通項(xiàng)公式;

(2)求數(shù)列伍“也｝的前〃項(xiàng)和S”.

18.(本題滿分12分)在銳角AABC中，角A,B,C所對應(yīng)的邊分別為a,b,c,

-1*.sinA-sin8_sinC

l_>知---；=------=-----

J3a-ca+b

(1)求角8的值;

(2)若a=2,求△A8C的周長的取值范圍.

數(shù)學(xué)試題第4頁(共6頁)

19.（本題滿分12分）如圖，在以A,B,C,D,E,尸為頂點(diǎn)的六面體中（其中Fe

平面EDC）,四邊形ABCZ）是正方形，ED_L平面ABC。，BF=FE,且平面

FEBL平面EDB.

（1）設(shè)M為棱E8的中點(diǎn)，證明：A,C,F,M四點(diǎn)共面；

（2）若匹=2AB=2,求平面FEB與平面E4B的夾角的余弦值.

20.（本題滿分12分）為了調(diào)動大家積極學(xué)習(xí)黨的二十大精神，某市舉辦了黨史知識

的競賽.初賽采用“兩輪制”方式進(jìn)行，要求每個單位派出兩個小組，且每個小組

都要參加兩輪比賽，兩輪比賽都通過的小組才具備參與決賽的資格.某單位派出甲、

乙兩個小組參賽，在初賽中，若甲小組通過第一輪與第二輪比賽的概率分別是1，

年，乙小組通過第一輪與第二輪比賽的概率分別是,，等，且各個小組所有輪次

比賽的結(jié)果互不影響.

（1）若該單位獲得決賽資格的小組個數(shù)為X,求X的數(shù)學(xué)期望；

（2）已知甲、乙兩個小組都獲得了決賽資格，決賽以搶答題形式進(jìn)行.假設(shè)這兩

組在決賽中對每個問題回答正確的概率恰好是各自獲得決賽資格的概率.若

最后一道題被該單位的某小組搶到，且甲、乙兩個小組搶到該題的可能性分

別是45%,55%,該題如果被答對，計(jì)算恰好是甲小組答對的概率.

數(shù)學(xué)試題第5頁（共6頁）

21.(本題滿分12分)設(shè)A,8是橢圓號+丁=1上異于尸(0,1)的兩點(diǎn)，且直線AB經(jīng)

過坐標(biāo)原點(diǎn)，直線PA,P8分別交直線y=-x+2于C,。兩點(diǎn).

(1)求證：直線抬，AB,PB的斜率成等差數(shù)列；

(2)求△「(7￡)面積的最小值.

22.(本題滿分12分)已知函數(shù)〃力=(2爐一)對知其中x>().

(1)求了㈤的最大值：

(2)若不等式/ei+llnx”對于任意的xe(0,+8)恒成立，求實(shí)數(shù)a的取值范圍.

數(shù)學(xué)試題第6頁(共6頁)

長沙市2023年新高考適應(yīng)性考試

數(shù)學(xué)參考答案

一'選擇題：本題共8小題，每小題5分，共40分.在每小題給出的四個選項(xiàng)中，只有一項(xiàng)是符

合題目要求的.

1.【答案】B

解析：由處0(1+0=1+23可得武石.

i-i(i-ixi+n

2.【答案】c

解析：聯(lián)立二,解得，=°,或尸,或卜=，

y=x'(y=0=l[y=-1

即/ns={(0,0),(1,1),(-1,-1)),共有3個元素.

3.【答案】C

解析：由g=log?&<kg?L8=logz<log?6^=loga3.6,可得c<a<b.

4.【答案】D

解析：(l-2x『的展開式的通項(xiàng)為=CX-2x)*=(-2)*Ux*,則(L-2)(1-2X)3的展開式中的常數(shù)

X

項(xiàng)為(一2)匕：-2x(-2)°C°=-10.

5.【答案】A

解析：觀察圖象，可知西=-而+數(shù)+而，AC=7B+7D,

則AC?BDi=-AB2+跖茄+詬2+款?而=-16+1°+9+7.5=10.5.

6.【答案】A

l-tan(a-^)tan^-tan(a-^)nn\

解析：由---------務(wù)=———；=tanq-(?-R)=tan(--?)=—

1+tan(a—)1+tan—tan(a-■-)

444

cos2a-sin2a1-tan2a3

可得tana=2,則cos2a=

cos2a+sin2a1+tan2a5

7.【答案】C

^2022=尸2021+尸2023=^2023~瑪022由?坦Z71,Jr

解析：由，

r_p,p,尸'口?解得瑪023二三/2。22+三4。24?

.「2024-「2023+r2025一,"2023+廣2024-02023+02022，，

8.【答案】D

解析：設(shè)點(diǎn)P坐標(biāo)為(x,y),由|P/f+2|POf=12,可得(*-3)2+/+2，+/)=12,化簡得

(X-1)2+/=2,即點(diǎn)尸的軌跡是以(1,0)為圓心,C為半徑的圓;

由|PO|=&|PB],可得—2+爐=國？+(、一)一,化簡得，+(了-2/)2=2/2,

即點(diǎn)P的軌跡是以(0,2。為圓心，72/為半徑的圓.

由題意，結(jié)合圖形可知，兩圓外離或內(nèi)含.

當(dāng)兩圓外離時，J1+4戶>萬+&,解得/>"+1；

2

當(dāng)兩圓內(nèi)含時，J1+4/〈訴解得0</〈漁一1.

2

綜上，可知7的取值范圍是(0,乎-1)U(牛+1,+8).

二、選擇題：本題共4小題，每小題5分，共20分.在每小題給出的四個選項(xiàng)中，有多項(xiàng)符合題

目要求，全部選對的得5分，部分選對的得2分，有選錯的得0分.

9.【答案】BC

解析：易知。=8,6=4,c=4y[5,則漸近線方程為》=±2丫，即A錯誤；焦距為2c=&萬，即B

正確；離心率e*爭即C正確；焦點(diǎn)到漸近線的距離八4,即D錯誤.

10.【答案】ACD

解析：觀察散點(diǎn)圖，可知大氣壓強(qiáng)與海拔高度負(fù)相關(guān)，即A正確.

通過經(jīng)驗(yàn)回歸方程必=-4.0x+68.5,可知海拔每升高1千米，大氣壓強(qiáng)降低約為4.0kPa,即B錯

誤；

當(dāng)x=ll時，代入方程計(jì)算可得預(yù)測值3=24.5,則殘差Z=22.6-$=-L9,即C正確,

隨著海拔高度的增加，大氣壓強(qiáng)越來越小，但不可能為負(fù)數(shù)，因此，方程力=132.9"?⑹，的預(yù)報效

果更好，即D正確.

11.【答案】ABD

解析：對于磁項(xiàng),由函數(shù)…與廣當(dāng)都滿足性質(zhì)〃-少看則八與F都為函數(shù)

丁=G一言的零點(diǎn)，有勺=一百，即A正確;

對于B選項(xiàng)，由函數(shù)百、與”言都滿足性質(zhì)沖一⑴，則'個都為函數(shù)

WfnrZ*UirirrHA?YC石("H*1n而、

"Inx-巖的零點(diǎn)，有一」,即B正確;

X3

對于C選項(xiàng)，如圖，由函數(shù)y=e*與y=lnx關(guān)于直線y=x對稱，可得XI=lnx3,有叫i=l,

X]

即C錯誤：

對于D選項(xiàng)，同上，由，*+?一°,可得X1+lnx4=0,

x2=InX4

有*40可=1,即D正確.

12.【答案】ACD

解析：對于A選項(xiàng)，當(dāng)平面POEJ■平面BCEO時，四棱錐P-BCED的體積最大，此時體積

P=L凹4）XEX6=3,即A正確.

32

如上左圖，設(shè)分別為8C,QE的中點(diǎn)，

對于B選項(xiàng)，設(shè)平面尸。Efl平面P8C=/,則/〃BC,有/_LPM，可得l_L平面

PMN,即N/陀歷為平面尸。E與平面PBC所成的二面角，由PN=NM可知，NNPMw90。，即B

錯誤.

對于C選項(xiàng)，過P作MN的垂線，垂足為H，則PH，平面BCED,則NPBH為直線PB與平

面BCED的所成角.依題意可知，PB=PC=2瓜PM=2,PN=NM=6,在APMN中，由

余弦定理可得cosNPMN=更,有sinNPMN=顯;在中，PH=PMsinNPMN=理,

333

從而直線PB與平面BCED所成角的正弦值為—=—，即C正確.

PB3

對于D選項(xiàng)，當(dāng)PS=Ji5時，由BN=幣,可知尸N2+BN2=P32,即PN_LBN,又

數(shù)學(xué)參考答字第3幣（共in幣）

PNA.DE,且BNDDE=N,則PNJ?平面8CED,又PNu平面PZ)E,則平面尸。EJ■平面

BCED.設(shè)四棱椎P-BCED的外接球球心為O,△如￡：的外心為G,如上右圖，易知點(diǎn)”為等

腰梯形8CED的外心，則四邊形0GNM為矩形，且OM=GN=1PN=2,可得

33

R2=OB2=OM2+MB'=11,從而該四棱錐的五個頂點(diǎn)所在球的表面積為斗;r,即D正確.

33

三.填空題：本題共4個小題，每小題5分，共20分.

13.【答案】A

2

解析：由。+2否=(5,-2),可得小(0+2利=5-24=0,解得4=』.

2

14.【答案】3

解析：依題意，/(￡)=2sin(￡0+p)=O,解得工。+夕=占陽\wZ①:/(―)=2sin(—+<p)=±1>

66633

解得50+9=/+￡2應(yīng)"2wZ②.

將①?式兩邊同時相減，解得。=3+6(左2-左|),占wZ,&wZ,當(dāng)用=”2時，0取最小值為3?

15.【答案】當(dāng)

16

解析：如圖，根據(jù)拋物線的定義，|"匹+勺而孫=]+|/F|cos60。，

法2:求得以=6。，力=%=-*「，則S|=]I°F卜力=*p2,

14G,-rzaS]9

S2=^\DB\-(yA-yB)=—p,可得才近

16.【答案】[三，廣)

數(shù)學(xué)參考答案第4頁(共10頁)

當(dāng)a<0時，方程/(。=。只有一個實(shí)根f=則方程/(x)=r也只有一個實(shí)報.不合題

意.

當(dāng)。=0時，方程〃f)=a有兩個實(shí)根，，產(chǎn)-I,/,=0,則方程有一個實(shí)根.方程

有兩個實(shí)根，不合題意.

當(dāng)0<a<ln2時，方程/(/)="有兩個實(shí)根，，尸0-1<0,，廣/-l€(O.I).

則方程f(x)=A有一個實(shí)根，方程〃x)=G行兩個實(shí)根，不合題意.

當(dāng)ln24"l時，方程/(，)=a有兩個實(shí)根，，產(chǎn)a-01n2-1.O),G=/-lw[l.e-l).則方程

/(式)=。有一個實(shí)根玉，方程〃x)=q有一個實(shí)根與,符合題意.此時,3+2=r,=a.

ln(x2+1)=c0-1?

fl

有In(?+1)=ln(x2+l)-ln(x,+2)=e-Ina-1.

Xj4-2

設(shè)g(a)=e"-lna-1,則g<a)=e'-L由g'(a)單調(diào)遞增，可得g'(a)2g，(ln2)=2-9>0，

alnz

則g(〃)單調(diào)遞增，有g(shù)(a)e[l-ln(ln2),e-l),

即&iLe[上,e1).

玉+2lln2

當(dāng)aNl時，方程/Q)=a有一個實(shí)根l=e"-12e-l>l,方程f(x)=t只有一個實(shí)根，不合題

意.

綜上可知，玉士.

演+2In2

四.解答題：本題共6小題，共70分.解答應(yīng)寫出文字說明、證明過程或演算步驟.

17.(本題滿分10分)

解析(1)設(shè)｛%｝的公差為d，也｝的公比為q.

加=2"'，消去q化簡得d+4d=5.

依題意可知用=1,4=2,且，

\+2d+2q2=11

又函數(shù)/(x)=x+4，在(-8,+8)單調(diào)遞增的函數(shù)，且/(1)=5,則d=l,q=2.

因此，a?=l+(?-l)xl=n,b"=2?2"T=2"................................................5分

(2)依題意，5?=lx21+2x22+-+nx2n0,

數(shù)學(xué)參考答案第5頁(共10頁)

兩邊同時乘以公比2,得2S.=lx22+2x23…+(〃-l)x2"+〃x2"l②，

將①，②兩邊同時相減得-S0=2+2?+2'+…+2"-"x2用=/一涔〃x2"i=(1一〃)2向-2,

1-2

故5"=(“-1)2川+2............................................................10分

18.（本題滿分12分）

解析（1）由正弦定理，可得鏟-=整理得，+。2-62=島5由余弦定理，可得

\l3a-c6

儂人叫。、"=?，解得8=2............................5分

2ac26

⑵由正弦定理已=熹即二-二_L_

可得6=-_

sinCsinAsi心sinCsinA

6

2sinC_2sin(石⑷_Csin/+co$>百+cos/

sin/sinJsin4sinA

2cos2W

則b+c=E+l+COS"=g+2

sinJ.AA

n2sin—cos—

222

0<A<-

在銳角△4BC中，由.2,解得工＜4〈工，即已＜且＜三

0<C=--y4<—32624

62

又函數(shù)y=tanx在A，?）上單調(diào)遞增，則tan^e（半,1）,可得b+ce（6+l,2Q）,

故△JBC的周長的取值范圍（6+3,26+2）................................12分

19.（本題滿分12分）

解析（1）證明：連接ZC,與8。交于點(diǎn)。，則ZC_LBD.

又EDJ?平面4BCD,則ED_L/C,且EDnBO=C,可得4c_L平面EDB.

連接FA/,由BF=FE,可知產(chǎn)又平面FEB_L平面EDB，且平面FEB。平面EDB=EB,

則好（I平面瓦犯，從而FA/〃4C,即4C,F,M四點(diǎn)共面?

5分

新學(xué)參考答案第6頁（共10頁）

則NF2=NP2+P0?+西==.

又MF=JB尸-BM。=孚,在△AW中，由余弦定理可求得

MN2+MF2-NF1

cosZMfF

2AmMF

即平面FEB與平面E4B的夾角的余弦值為半

12分

20.（本題滿分12分）

解析（1）由題意可知，甲組獲得決賽資格的的概率為P|

乙組獲得決賽資格的概率為P2=,xg=2.

X的可能取值為0，1，2,則P(X=0)=(1-PI)(1-P2)=。-令x(I-1)=(，

P(X=l)=(l-p1)p2+pI(l-p2)=(l-1)x|+|x(l-|)=l|,尸(X=2)=p"2=9,

333jD25

可得X的分布列為

X012

6136

P

252525

E（X）=0x-^+ix-+2x—=1........................................6分

252525

（2）設(shè)8表示事件“該單位的某小組對最后一道題回答正確”，人表示事件“甲小組搶到最

后一道題”，4表示事件“乙小組搶到最后一道題”，

則尸（4）=親尸⑷吟，尸⑻4）=|,P（B⑷=：.

Q1it749

根據(jù)全概率公式，可得P（B）=P（4）P（B|4）+P⑷P（B|4）=6x寸而，從而

ZU）ZU01W

93

尸（4）=^1=P（4）P⑷4）=斐=3,

5'P（B）P（B）49_49

100

即該題是甲組答對的概率為右...........................12分

49

21.（本題滿分12分）

解析（1）設(shè)直線4S:y=b,兩點(diǎn)4,8的坐標(biāo)分別為（X”,”），（XBJB），將直線與橢圓的方

2

程聯(lián)立，可得（2M+1）X2-2=0,則X/+XB=0,X/B=-彳7?

從而上+k=&二1+&二1=在匚1+紐二［=生^=2k=2A〃,,

數(shù)學(xué)參考答案第8頁（共10頁）

f即直線以，4B,P8的斜率成等差數(shù)列.§

(2)法1：點(diǎn)尸(Q1)到直線j=-x+2的距離d=固,為定值,

設(shè)兩點(diǎn)C,。的上標(biāo)分別為(大,"),%,加.直線產(chǎn)/的方程為),=a4+[,與直線方

程y=-x+2聯(lián)立，可解得七=———

X/+〃-l+\)xA-1,

同理可得XD

(k+l)xB-1

|CD|=V2

2

(k+1)xAxB-(t+l)(x^+xa)+l

故APCD面積的最小值為衿咚邛.................12分

法2：根據(jù)題意可知

X.-1.%-1=”3仇+%)+1=力(->)-(〃-〃)+!=zlzl=

xAxBxAxBx式-x”)xA

由任=rc+2同理可得和二:—?

[yc=^APXC+11+K8P

直線歹=7+2與y軸相交于點(diǎn)E(0,2),則

11|kBPA4P

SghSWED-SNECf=NIPEI?IXc-X。|=爹i+k'p-\+kBP\=R+(Q+卜⑥尸)+1

JJ(5+]J必-4x(_g[]

2〃/?>+(%"+%)+12--l-+2jt+l2，也++)2

后續(xù)過程，類似于解法1.12分

22.(本題滿分12分)

解析(1)依題意，f'(x)=(4x-3?-2x2+x3)e-=x(x-l)(x-4)e1,

則/(x)在(0,1)單調(diào)遞增，在(1,4)單調(diào)遞減，在