北師大版八年級數學下冊第1章單元測試卷（二）

三角形的證明

學校：姓名:考號：分數：

（考試時間：100分鐘滿分：120分）

一、選擇題（本大題共12小題，每小題3分，共36分。在每小題給出的四個選項中，只

有一項是符合題目要求的）

1.如圖，在ABC中，44C的平分線與8C的垂直平分線PQ相交于點P,過點P分

別作PN_LA8于點N,PM_LAC于點〃，下列結論正確的是（）

①ZBPC+ZBAC=180°；②PM=PN；③NPBN=NCAP+/BPA；④PB=PC；

⑤CM=BN.

A.①②③④B.②③④⑤C.①②④⑤D.①②③④⑤

2.若一等腰三角形的腰長為4cm,腰上的高為2cm,則等腰三角形的頂角為（）

A.30°B.150°C.30。或150。D.以上都不對

3.如圖，在RtZ\ACB中，/C=90。，BE平分NCBA交AC于點E,過E作ED_LAB于D

點，當NA為（）時，ED恰為AB的中垂線.

A.15°B.20°C.30°D.25°

4.如圖，已知AABC中，ZC=90°,AD平分NBAC,且CD：BD=3：4.若BC=21,則點D

到AB邊的距離為（）

A.7B.9C.11D.14

5.下列命題：

①有一條直角邊和斜邊對應相等的兩個直角三角形全等；

②周長相等的兩個三角形是全等三角形

③全等三角形對應邊上的高、中線、對應角的角平分線相等；

其中正確的命題有（）

A.1個B.2個C.3個D.0個

6.如圖，在△ABC中，AC=BC,NACB=90°,AD平分NBAC,BF±AD,AD的延長線交BF于

E,且E為垂足，則結論①AD=BF,②CF=CD,③AC+CD=AB,④BE=CF,⑤BF=2BE,其中

正確的結論的個數是（）

A.4B.3C.2D.1

7.如果一個三角形的兩邊長分別為3,8,則第三邊的長可以是（）

A.5B.10C.11D.12

8.如圖，AB//CD,CF平分匕ECD,4CJ.CF交直線AB于4,AG平分//ME交”C于G,

E/〃AG交C尸于J,NAEC=80。，則下列結論正確的有（）個.

?ZBAE+ZECD=S0°f②CG平分N/CE；③N4GC=140。；@ZEJC-ZAGH=9Q°.

H

A

A.1B.2C.3D.4

9.下列說法正確的是()

①三角形的角平分線是射線;

②三角形的三條角平分線都在三角形內部，且交于同一點;

③三角形的三條高都在三角形內部;

④三角形的一條中線把該三角形分成面積相等的兩部分.

A.①②B.②③C.③④D.②④

10.如圖，依據尺規(guī)作圖的痕跡，計算Na=()

A.56°B.68°C.28°D.34°

11.如圖，AB〃CD,BE和CE分別平分NABC和NBCD,AD過點E,且與AB互相垂直,

點P為線段BC上一動點，連接PE.若AD=8,則PE的最小值為()

A.8B.6C.5D.4

12.如圖，點。是正方形ABC。內一點，Q4=l，PD=M，NA03=135。，則P5的

長為（）

A.26B.3V2C.2V2D.3G

二'填空題（本大題共6小題，每小題3分，共18分）

13.在正方形A8CD中，點E在邊。上，點P在線段AE上，且

PA=y/2,PB=2屈,PD=6.則ZAPD=度，四邊形BCDP的面積

14.如圖，在矩形ABCD中，AB=5,BC=6,點E是AD上一點，把△BAE沿BE向矩形內部

折疊，當點A的對應點Ai恰落在NADC的平分線上時，DAi=.

15.如圖，在AABC中，DE、FG分別是邊AB、AC的垂直平分線，則

ZBZl,ZCZ2；若NBAC=126°,則NEAG=度.

16.如圖所示，在即ZXABC中，/4=90°,80平分乙48C,交4c于點。，且AB=15,BD=\7,

則點。到8c的距離是

c

D

B

17.如圖是由相同的小正方形組成的網格，點A,B,C均在格點上，連接AB,AC,則

Zl+Z2=.

18.直線AB、CD相交于點0,0E平分/BOD,OF平分/COE,且Nl：N2=l：4,

三、解答題(本大題共6小題，共66分，解答應寫出文字說明'演算步驟或推理過程)

19.如圖，在AA8C中，A6=AC,NBAC=100,。是的中點。在射線AD上任

意取一點P,連接RB,將線段PB繞點P逆時針方向旋轉80°,點8的對應點是點E，連

接BE、CE.

(1)如圖1,當點E落在射線AD上時，

①ZBEP=°：

②直線CE與直線AB的位置關系是。

A

(2)如圖2,當點E落在射線AO的左側時，試判斷直線CE與直線A8的位置關系，并

證明你的結論。

圖2

20.在NMAN內有一點D,過點D分別作DBLAM,DCA.AN,垂足分別為B,C.且BD=CD,

(2)如圖2,若NBOC=120。，ZEDF=60°,猜想EF,BE,CF具有的數量關系，并說明你

的結論成立的理由.

21.已知：在平面直角坐標系中，放入一塊等腰直角三角板ABC,NBAC=90。，AB=AC,

A點的坐標為(0,a),B點的坐標為(b,0).且a,b滿足b=+J五+4，D的坐標為

(-2,0).

(1)如圖1,CFLy軸，求C點的坐標；

(2)在前面的條件下作等腰RtAADE,使AD=EA,ZEAD=90°,D點剛好落在x軸的負半

軸，連CE交y軸于M.如圖2,

①求證：ME=MC；

②求AAEC的面積；

(3)在(2)的條件下，若N的坐標是G4,-2),P在第二象限，且P,N,M構成的三角形

是等腰直角三角形，則P點坐標為.

圖1圖2

22.如圖，已知8、D、E、。在同一直線上，AD=AE，8D=CE.求證：AB^AC.

23.如圖，在AABC中，ZC=9O".

(1)用尺規(guī)作圖法作AB邊上的垂直平分線DE,交AC于點D,交AB于點E.(保留作圖痕

跡，不要求寫作法和證明)；

(2)連結BD,若BD平分NCBA,求NA的度數.

24.已知，如圖，在AABC中，A。、AE分別是AA5C的高和角平分線，若NABC=30，

（2）寫出ND4E與NC—/3的數量關系,并證明你的結論

參考答案與解析

二、選擇題（本大題共12小題，每小題3分，共36分。在每小題給出的四個選項中，只

有一項是符合題目要求的）

1.如圖，在A3c中，NB4C的平分線與8C的垂直平分線PQ相交于點P,過點P分

別作PNJ_AB于點N,PM于點M,下列結論正確的是（）

?ZBPC+zJX4C=180°；②PM=PN；③NPBN=/CAP+NBPA；④PB=PC；

A.①②③④B.②③④⑤C.①②④⑤D.①②③④⑤

【答案】D

；AP是NBAC的平分線，PN1AB,PM1AC,

，PM=PN,ZPMC=ZPNB=90°,②正確；

：P在BC的垂直平分線上，

，PC=PB,④正確；

在RtAPMC和RtAPNB中

PC=PB

PM=PN'

：.RtAPMC^RtAPNB(HL),

.,.BN=CM,⑤正確；

ZCPM=ZBPN,

VZAPN+ZPAN=90°,ZAPM+ZPAM^90°,

：.ZAPN+NPAN+ZAPM+NPAM=180°,

...N3PC+NGW=180°,①正確；

,/ZCAP=ZPAN,

：."BN=ANAP+ZBPA=ZCAP+NBPA,③正確.故選D.

2.若一等腰三角形的腰長為4cm,腰上的高為2cm,則等腰三角形的頂角為()

A.30。B.150°C.30。或150。D.以上都不對

【答案】C

如圖①，△ABC中，AB=AC=4cm,CD_LAB且CD=4cm,

.二△ABC中，CDXAB,CD=^-AC,

ZA=30°.

如圖②，△ABC中，AB=AC=4cm,CD_LBA的延長線于點D,且CD=2cm,

VZCDA=90°,CD」AC.

2

ZDAC=30°.

；./A=150。.

故選C.

B

圖①圖②

3.如圖，在RtaACB中，ZC=90°,BE平分NCBA交AC于點E,過E作ED_LAB于D

點，當NA為（）時，ED恰為AB的中垂線.

c

A.15°B.20°C.30°D.25°

【答案】C

解：當NA為30°時，ED恰為AB的中垂線，理由如下

VZC=90°,ZA=30°

AZCBA=900-ZA=60°

：BE平分NCBA

.?./ABE」NCBA=30°

2

二ZABE=ZA

AEB=EA

VEDIAB

.?.ED恰為AB的中垂線

故選C.

4.如圖，已知AABC中，ZC=90°,AD平分/BAC,且CD：BD=3：4.若BC=21,則點D

到AB邊的距離為（）

A.7B.9C.11D.14

【答案】B

解：

VCD：BD=3：4.

設CD=3x,則BD=4x,

???BC=CD+BD=7x,

VBC=21,

.*.7x=21,

；?x=3,

.'.CD=9,

過點D作DELAB于E,

〈AD是/BAC的平分線，ZC=90°,

.'.DE=CD=9,

.?.點D到AB邊的距離是9,

故選B.

5.下列命題:

①有一條直角邊和斜邊對應相等的兩個直角三角形全等：

②周長相等的兩個三角形是全等三角形

③全等三角形對應邊上的高、中線、對應角的角平分線相等；

其中正確的命題有（）

A.1個B.2個C.3個D.0個

【答案】B

解：①有一條直角邊和斜邊對應相等的兩個直角：.角形（”L）全等，故①選項正確;

②全等三角形為能夠完全重合的三角形，周長相等不一定全等，故②選項錯誤；

③全等三角形的性質為對應邊上的高線，中線，角平分線相等，故③選項正確；

綜上，正確的為①③.

故選：B.

6.如圖，在△ABC中，AC=BC,ZACB=90°,AD平分NBAC,BFXAD,AD的延長線交BF于

E,且E為垂足，則結論①AD=BF,②CF=CD,③AC+CD=AB,④BE=CF,⑤BF=2BE,其中

正確的結論的個數是（）

B

A.4B.3C.2D.1

【答案】A

【解析】

試題分析:①；BC=AC,ZACB=90°,ZCAB=ZABC=45。，丫AD平分NBAC,

ZBAE=ZEAF=22.5°,；在RtAACD與RtABFC中，ZEAF+ZF=90°,ZFBC+ZF=90°,

ZEAF=ZFBC,BC=AC,ZEAF=NFBC,ZBCF=NAEF,/.RtAADC^RtABFC,/.AD=BF；

故①正確；

②；①中RtAAD垣RtABFC,CF=CD,故②正確;

③?①中RtAAD8RtABFC,J.CF=CD,AC+CD=AC+CF=AF,?/ZCBF=ZEAF=22.5°,.?.在

RtAAEF中，ZF=90°-ZEAF=67.5°,：ZCAB=45°,/.ZABF=1800-ZF-ZCAB=180°-67.5°

-45°=67.5°,AF=AB,即AC+CD=AB,故③正確：

④由③可知，△ABF是等腰三角形，BE_LAD,二BE=；BF,〔,在心△BCF中，若BE=CF,

則NCBF=3。,與②中NCBF=22.5°相矛盾，故BExCF,故④錯誤；

⑤由③可知，4ABF是等腰三角形，:BELAD,=BF=2BE,故⑤正確.

所以①②③⑤四項正確.

故選A.

7.如果一個三角形的兩邊長分別為3,8,則第三邊的長可以是（）

A.5B.10C.11D.12

【答案】B

???一個三角形的兩邊長分別為3,8,

第三邊的取值范圍為5Vx<11

各選項中只有10符合該取值范圍

故答案為：B.

8.如圖，AB//CD,CF平分NEC。，HCJ_CF交直線AB于H,AG平分NHAE交HC于G,

EJ〃AG交b于J,ZAEC=80°,則下列結論正確的有（）個.

@ZBAE+Z￡CD=80°；②CG平分N/CE；③NAGC=140。；@ZEJC-ZAGH=90°.

【答案】D

解：ET//BH,如圖1,則/84E=NAET,

?：DC〃BH,

J.ET//CD,

：.ZECD=ACET,

：.ZAEC=NAET+NCET=ZBAE+ZECD=SO°f故①正確;

VHC1CF,

O

AZECH+ZECF=9009ZFCD+ZHC/=909

■:/ECF=/FCD,

???ZECH=NHCI,

???CH平分/EC/,故②正確；

同①的方法可證：ZAGC=ZGAH+ZGCI=—(NEAH+NECD=—(360°-ZBAE-

22

ZECD)=：(360°-80°)=140。，故③正確;

延長，C交E/的延長線于/?,如圖2,

'.'AG//ER,

：.NAGH=NR,

:NEJC=NR+NRCJ,ZRCJ=90°,

：.ZEJC-ZAGH=90°,故④正確.

故選：D.

H

9.下列說法正確的是()

①三角形的角平分線是射線；

②三角形的三條角平分線都在三角形內部，且交于同一點；

③三角形的三條高都在三角形內部；

④三角形的一條中線把該三角形分成面積相等的兩部分.

A.①②B.②③C.③④D.②④

【答案】D

①三角形的角平分線是線段，說法錯誤；

②三角形的三條角平分線都在三角形內部，且交于同一點，說法正確；

③銳角三角形的三條高都在三角形內部；直角三角形有兩條高與直角邊重合，另一條高在三

角形內部；鈍角三角形有兩條高在三角形外部，一條高在三角形內部.說法錯誤：

④三角形的一條中線把該三角形分成面積相等的兩部分，說法正確.

故選D.

10.如圖，依據尺規(guī)作圖的痕跡，計算/a=()

a

C.28°D.34°

【答案】A

解：由圖可知，Na是AC的中垂線和NDAC的角平分線相交構成的銳角,

ZACB=68°,

???ZDAC=68°,

/.Na=90°-680+2=56。,

故選A.

11.如圖，AB〃CD,BE和CE分別平分NABC和NBCD,AD過點E,且與AB互相垂直,

連接PE.若AD=8,則PE的最小值為（)

6C.5D.4

【答案】D

???P為BC的動點,

要使PE取最小值,

當PELBC時，PE最小,

VAD±AB,AB//CD,

AAD1CD,

???BE和CE分別平分NABC和ZBCD,

APE=AE=DE,

BA

21—

CD

；AD=8

；.PE=AE=DE—AD=4,

2

，PE最小值=4,

故選擇：D.

12.如圖，點P是正方形ABC。內一點，PA=]，PD=M，ZAPB=135%則Pfi的

長為（）

D,__________C

□

AB

A.2百B.3&C.2枝D.373

【答案】C

將MPD繞著點A順時針旋轉90。得到MPB，連接PP',則△抬P'是等腰直角三角形

U

Z.；,..--<8

P'

P'B=PD=M

：.AP'=AP,ZAPP=45。

???PP'=6

?：ZAPB=135°

.../PPB=90°

PB=WB?-PF?=2>/2

故選c.

二'填空題（本大題共6小題，每小題3分，共18分）

13.在正方形ABCD中，點E在邊C￡＞上，點P在線段AE上，且

PA=RPB=2VlO,PD=6.則ZAPD=度，四邊形BCDP的面積

【答案】135°，43

【解析】

解：（1）將△APD繞點A旋轉后得到APB-連接印

APD繞點A旋轉后得到APB

，AAPD三AAP'B

/.BP=PD=6,PA=PA=2,NPAB=NPAD/APD=ZAPS

ZPAP=ZPAB+ZPAB=ZPAD+NPAB=NBAD=90°

.?.NPPA=45°

22

根據勾股定理得pp=yJpA+PA=J夜2+夜2=V4=2

PP2=4,PB2=36,PB2=(2710)=40

PP2+PB2=PB2

:.NPPB=90°

ZAPD=ZAPB=ZPPA+ZPPB=45°+90°=135°

（2）過點A作AGLBP于點G

由（1）知NAP'B=135°,.?.NGP'A=45°,即A4GP'為等腰直角三角形,

PG=GA=立PA=變x0=1

22

/.BG=BP+PG=1

根據勾股定理得AB=y]BG2+AG2=,49+1==5J5

S正方形ABC。=A3?=50

X

S^gp+SADP=+SppB=-x0x0+—2X6=7

一S四邊形BCOP=$正方形一（5,?p：+SADP）=50—7=43

故答案為：⑴.135°，（2）.43

14.如圖，在矩形ABCD中，AB=5,BC=6,點E是AD上一點，把△BAE沿BE向矩形內部

折疊，當點A的對應點Ai恰落在NADC的平分線上時，DAi=.

【答案】2亞

【解析】

試題分析：過Ai作MH_LAD交AD于M,交BC于H,作AiNJ_CD于N,如圖所示:

由折疊的性質得：AiB=AB=5,

?；點、Ai恰落在NADC的平分線上，

ZADAi=ZCDAi=45°,

四邊形DMAiN是正方形，

AiM=AiN,

設AiM=AiN=x,貝I」AiH=5-x,BH=6-x,

在RtAAtBH中，由勾股定理得：（5-x）2+（6-x）2=52,

解得：x=2,或x=9（舍去），

DAI=V2x=2后；

故答案為

15.如圖，在aABC中，DE、FG分別是邊AB、AC的垂直平分線，則

ZBZl,ZCZ2；若NBAC=126°,則NEAG二度.

解：???DE、FG分別是邊AB、AC的垂直平分線,

AAE=BE,AG=CG,

AZ1=ZB,Z2=ZC,

,:ZB+ZC4-ZBAC=ZB+ZC+126°=180°,

???ZB+ZC=180o-126o=54°,

?/Z1+Z2+ZB+ZC+ZEAG=180°,

即2(ZB+ZC)+ZEAG=180°,

ZEAG=180°-2x54°=72°.

故答案為72°.

16.如圖所示，在MA4BC中，NA=90°,8。平分NA8C,交AC于點D,且AB=15,BD=17,

則點。到8c的距離是.

【解析】

如圖,在直角△ABZ）中，ZA=90°.AB=15,80=17,則由勾股定理得到：

AD^y/BD2-AB2=V172-152=8

過點D作DE_LBC于E,

在心AA8C中，NA=90°.BD平分NA8C,

即胡，

DE-AD-8,

點D到BC的距離是8.

故答案是：8.

17.如圖是由相同的小正方形組成的網格，點A,B,C均在格點上，連接AB,AC,則

Zl+Z2=________.

【答案】90°

解：根據題意得：AAEC^ABDA,

Zl+Z2=90°,

故答案為:90.

18.直線AB、CD相交于點0,OE平分/BOD,OF平分/COE,且/1：/2=1：4,

則NDOF的度數是.

【答案】105°

【解析】

OE平分N8OO，

.?.N1=NDOE，

Zl：Z2=l：4,

?,?設Nl=x，則NOOE=x，N2=4x

;.x+x+4x=180,

解得：尤=30，

Z1=ZE>OE=30，

ZBOC=180-60=120，

OF平分NCOF,

:.ZEOF=75,

...ZDOF=30+75=105.

故答案為105.

三'解答題（本大題共6小題，共66分，解答應寫出文字說明'演算步驟或推理過程）

19.如圖，在AABC中，=AC,N84C=100,。是的中點。在射線AD上任意

取一點P,連接將線段尸B繞點P逆時針方向旋轉80°,點B的對應點是點E，連接

BE、CE.

（1）如圖1,當點E落在射線AD上時，

①ZBEP=。；

②直線CE與直線AB的位置關系是

（2）如圖2,當點E落在射線AD的左側時，試判斷直線CE與直線A3的位置關系，并

證明你的結論。

圖2

【答案】（1）①50；②平行；（2）直線CE與直線A8的位置關系是平行，證明見解析.

解：⑴①?；NBPE=80°,PB=PE,

1

ZPEB=ZPBE=-x（180°-80°）=50°；

2

②結論：AB〃EC,理由如下：

：AB=AC,D是BC中點,

.,.AD±BC,

；./BDE=90。，

.,.ZEBD=90°-50°=40°,

；AE垂直平分線段BC,

.\EB=EC,

，/ECB=NEBC=40。，

VAB=AC,ZBAC=100°,

.,.ZABC=ZACB=40°,

.,.ZABC=ZECB,

AAB//EC,

故答案為50,AB〃EC：

（2）直線CE與直線A3的位置關系是平行，證明如下:

如圖，連接CP并延長到F,

?/PB=PE,NBPE=80,

NPBE=NBEP=50，

AB=AC,ZBAC=100,

???ZABC=ZACB=40，

VAB^AC,。是8C的中點,

，A。垂直平分3C,

PB=PC=PE,

...ZPBC=NBCP,/PEC=ZPCE,

NBPF=NBCP+NPBC/EPF=NECP+NPEC,

/BPE=NBPF+/EPF=2(/PBC+APEC),

?*.NPBC+NPEC=4。>

ZABE+ZBEC^40+2x50+40=180，

20.在/MAN內有一點D,過點D分別作DB1AM,DCLAN,垂足分別為B,C.且BD=CD,

點E,尸分別在邊4M和AN上.

(1)如圖1,若NBED=NCFD,請說明DE=￡>F；

(2)如圖2,若/8￡)C=120。，NEDF=60°,猜想EF,BE,CF具有的數量關系，并說明你

的結論成立的理由.

【答案】(1)說明見解析；(2)EF=FC+BE.理由見解析.

(1)DBLAM,DCLAN,

：.NDBE=NDCF=90°.

在A8OE和△(?￡)尸中，

ZBED=ZCFD,

■：<NDBE=ZDCF,

BD=CD,

：.ABDEMACDF(AAS).

...DE=DF.

(2)過點。作NCOG=NBOE,交AN于點G.

25題答圖

在△8DE和ACDG中，

NEBD=ZGCD,

：?BD=CD,

NBDE=NCDG,

：.△BDEQXCDG(ASA)

：.DE=DG,BE=CG.

VZB￡>C=120°,ZEDF=60°,

：.ZBDE+ZCDF=f)0°.

：.NFDG=NCDG+NCDF=60。.

：.NEDF=NGDF.

在AEDF和AGOF中，

DE=DG,

<ZEDF=ZGDF,

DF=DF,

：.△EDFmAGDF(SAS).

EF=FG.

：.EF=FC+CG=FC+BE.

21.已知：在平面直角坐標系中，放入一塊等腰直角三角板ABC,NBAC=90。，AB=AC,

A點的坐標為(0,a),B點的坐標為(b,0).且a,b滿足人=?工+J立+4，D的坐標為

(-2,0).

(1)如圖1,CFLy軸，求C點的坐標；

(2)在前面的條件下作等腰RtAADE,使AD=EA,ZEAD=90°,D點剛好落在x軸的負半

軸，連CE交y軸于M.如圖2,

①求證：ME=MC；

②求AAEC的面積；

(3)在(2)的條件下，若N的坐標是G4,-2),P在第二象限，且P,N,M構成的三角形

是等腰直角三角形，則P點坐標為.

圖1圖2

【答案】(1)點C(2,6)；(2)①證明見解析；②S八四=6；(3)(-11,2)或(-7,9)

或(-5.5,3.5)

(1)V^=7^2+72^+4.

a=2,b=4,

.二A點的坐標為(0,2),B點的坐標為(4,0),

，OA=2,OB=4,

如圖，過點C作CFLy軸于F,

VZBAC=90o,

AZCAF+ZACF=90",ZCAF+ZOAB=90°,

.,.ZACF=ZBAO,

在4ACF和△BAO中，

ZCFA=ZAOB

<NACF=NBAO,

AC=AB

.,.△ACF^ABAO(AAS),

AAF=OB=4,FC=OA=2,

AFO=6,

???點C(2,6)；

AOA=OD=2,ZADO=45°,

VAD=EA,ZEAD=90°,

AZADE=ZAED=45°,AD=EA=20,

???ED_Lx軸，

???點E的坐標為(-2,4),

???點C的坐標為(2,6),

.,.EK=CF=2,

在Z\MCF和△MEK中,

Z.CMF=Z.FMK

</CFM=/EKM=附,

CF=EK

/.△MCF=AMEK(AAS),

.'.MC=ME：

???MF=MK,

.,.AM=3,

—SAEM+SACM=耳AMxEK+—AMxCF

1

=—X3x(2+2)

2

=6；

(3):點M(0,5),N的坐標是(-4,-2),

如圖，當PN=MN,ZPNM=90°時，過點N作NQ_Ly軸于Q,過點P作PG_LNQ于G,

同理可證△PGN絲△N