高一（下）期末測試卷（A卷基礎(chǔ)鞏固）數(shù)學(xué)考試時(shí)間：120分鐘滿分：150分一、單選題：本大題共8小題，每個(gè)小題5分，共40分.在每小題給出的選項(xiàng)中，只有一項(xiàng)是符合題目要求的.1．（2020·山東德州·高一期末）已知i是虛數(shù)單位，，則復(fù)數(shù)z所對應(yīng)的點(diǎn)位于（

）A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限2．（2020·山東德州·高一期末）中國傳統(tǒng)扇文化有著極其深厚的底蘊(yùn).一般情況下，折扇可看作是從一個(gè)圓面中剪下的扇形制作而成，設(shè)扇形的面積為，圓面中剩余部分的面積為，當(dāng)扇形的圓心角的弧度數(shù)為時(shí)，扇面看上去形狀較為美觀，那么此時(shí)的值為（

）A． B． C． D．3．（2020·山東德州·高一期末）若圓錐的軸截面是頂角為的等腰三角形，且圓錐的母線長為，則該圓錐的側(cè)面積為（

）A． B． C． D．4．（2020·山東德州·高一期末）一個(gè)正三棱錐的底面邊長是，高為，則它的斜高是（

）A． B． C． D．5．（2020·湖南師大附中高一期末）甲?乙兩名奧數(shù)選手最近6次的培訓(xùn)測試成績(滿分100分)如下莖葉圖所示，記甲?乙兩人的平均成績分別為，，則下列說法正確的是（

）A．，乙比甲成績穩(wěn)定 B．，甲比乙成績穩(wěn)定C．，甲比乙成績穩(wěn)定 D．，乙比甲成績穩(wěn)定6．（2020·湖南師大附中高一期末）從分別寫有1，2，3，4，5的5張卡片中隨機(jī)抽取1張，放回后再隨機(jī)抽取1張，則抽得的第一張卡片上的數(shù)大于第二張卡片上的數(shù)的概率為（

）A． B． C． D．7．（2020·山東濟(jì)寧·高一期末）設(shè)m，n是不同的直線，，，是不同的平面，下列命題正確的是（

）A．若，，則B．若，，，，則C．若，，則D．若，，，，則8．（2020·山東濟(jì)寧·高一期末）已知某人射擊每次擊中目標(biāo)的概率都是0.5，現(xiàn)采用隨機(jī)模擬的方法估計(jì)其3次射擊至少2次擊中目標(biāo)的概率：先由計(jì)算器產(chǎn)生0到9之間的整數(shù)值的隨機(jī)數(shù)，指定0，1，2，3，4表示擊中目標(biāo)，5，6，7，8，9表示未擊中目標(biāo)；因?yàn)樯鋼?次，故每3個(gè)隨機(jī)數(shù)為一組，代表3次射擊的結(jié)果，經(jīng)隨機(jī)模擬產(chǎn)生了20組隨機(jī)數(shù)；據(jù)此估計(jì)，其中3次射擊至少2次擊中目標(biāo)的概率約為（

）A．0.45 B．0.5 C．0.55 D．0.6二、多選題：本大題共4小題，每個(gè)小題5分，共20分.在每小題給出的選項(xiàng)中，只有一項(xiàng)或者多項(xiàng)是符合題目要求的.9．（2020·山東德州·高一期末）已知是兩條不同的直線，是兩個(gè)不重合的平面，則下列結(jié)論正確的是（

）A．若，則B．若，則C．若則D．若，且與不平行，則10．（2020·山東濟(jì)寧·高一期末）是邊長為2的等邊三角形，已知向量，滿足，，則下列結(jié)論正確的是（

）A．是單位向量 B．C． D．11．（2020·山東濟(jì)寧·高一期末）分別拋擲兩枚質(zhì)地均勻的骰子（六個(gè)面上的點(diǎn)數(shù)分別為1，2，3，4，5，6），設(shè)事件“第一枚骰子的點(diǎn)數(shù)為奇數(shù)”，事件“第二枚骰子的點(diǎn)數(shù)為偶數(shù)”，則（

）A．M與N互斥 B．M與N不對立C．M與N相互獨(dú)立 D．12．（2020·山東濟(jì)寧·高一期末）已知正方體的棱長為2，點(diǎn)O為的中點(diǎn)，若以O(shè)為球心，為半徑的球面與正方體的棱有四個(gè)交點(diǎn)E，F(xiàn)，G，H，則下列結(jié)論正確的是（

）A．平面B．平面C．與平面所成的角的大小為45°D．平面將正方體分成兩部分的體積的比為三、填空題：本大題共4小題，每小題5分，共20分.把答案填在答題卡中的橫線上.13．（2020·山東德州·高一期末）若復(fù)數(shù)則________________________．14．（2020·山東德州·高一期末）如圖，在矩形中，分別為和上的中點(diǎn)，若，其中則的值為_______．15．（2020·山東濟(jì)寧·高一期末）若一個(gè)圓錐的側(cè)面展開圖是面積為的半圓面，則該圓錐的體積為.16．（2020·山東濟(jì)寧·高一期末）如圖，要計(jì)算某湖泊岸邊兩景點(diǎn)B與C的距離，由于受地形的限制，需要在岸上選取A和D兩點(diǎn)，現(xiàn)測得，，，，，則兩景點(diǎn)B與C的距離為________km.

四、解答題：本大題共6小題，共70分.解答應(yīng)寫出必要的文字說明、證明過程或演算步驟．17．（2020·山東德州·高一期末）已知向量在同一平面上，且.（1）若，且，求向量的坐標(biāo)﹔（2）若，且與垂直，求的值.18．（2020·山東德州·高一期末）如圖，已知四棱錐中，底面為菱形，平面分別為的中點(diǎn).（1）求證:;（2）求證:平面.

19．（2017·河北衡水中學(xué)高一期末（理））如圖，由三棱柱和四棱錐構(gòu)成的幾何體中，平面，，，，平面平面．（Ⅰ）求證：；（Ⅱ）若為棱的中點(diǎn)，求證：平面；（Ⅲ）在線段上是否存在點(diǎn)，使直線與平面所成的角為？若存在，求的值，若不存在，說明理由．

20．（2020·湖南師大附中高一期末）長沙梅溪湖步步高購物中心在開業(yè)之后，為了解消費(fèi)者購物金額的分布，在當(dāng)月的電腦消費(fèi)小票中隨機(jī)抽取張進(jìn)行統(tǒng)計(jì)，將結(jié)果分成6組，分別是：，，制成如下所示的頻率分布直方圖（假設(shè)消費(fèi)金額均在元的區(qū)間內(nèi)）.（1）若在消費(fèi)金額為元區(qū)間內(nèi)按分層抽樣抽取6張電腦小票，再從中任選2張，求這2張小票均來自元區(qū)間的概率；（2）為做好五一勞動節(jié)期間的商場促銷活動，策劃人員設(shè)計(jì)了兩種不同的促銷方案.方案一：全場商品打八折.方案二：全場購物滿100元減20元，滿300元減80元，滿500元減120元，以上減免只取最高優(yōu)惠，不重復(fù)減免.利用直方圖的信息分析：哪種方案優(yōu)惠力度更大，并說明理由（直方圖中每個(gè)小組取中間值作為該組數(shù)據(jù)的替代值）.

21．（2020·山東濟(jì)寧·高一期末）某中學(xué)高一年級舉行了一次數(shù)學(xué)競賽，從中隨機(jī)抽取了一批學(xué)生的成績，經(jīng)統(tǒng)計(jì)，這批學(xué)生的成績?nèi)拷橛?0至100之間，將數(shù)據(jù)按照，，，，的分組作出頻率分布直方圖如圖所示.（1）求頻率分布直方圖中a的值，并估計(jì)本次競賽成績的第80百分位數(shù)；（2）若按照分層隨機(jī)抽樣從成績在，的兩組中抽取6人，再從這6人中隨機(jī)抽取2人，求至少有1人的成績在內(nèi)的概率.

22．（2020·山東濟(jì)寧·高一期末）如圖，在棱長為2的正方體中，E，F(xiàn)分別為，的中點(diǎn).（1）求證：平面平面；（2）求平面與平面之間的距離.高一（下）期末測試卷（A卷基礎(chǔ)鞏固）數(shù)學(xué)考試時(shí)間：120分鐘滿分：150分一、單選題：本大題共8小題，每個(gè)小題5分，共40分.在每小題給出的選項(xiàng)中，只有一項(xiàng)是符合題目要求的.1．（2020·山東德州·高一期末）已知i是虛數(shù)單位，，則復(fù)數(shù)z所對應(yīng)的點(diǎn)位于（

）A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限【答案】A【解析】【分析】利用復(fù)數(shù)的運(yùn)算法則求解復(fù)數(shù)，即得.【詳解】由，得，復(fù)數(shù)z所對應(yīng)的點(diǎn)位于在第一象限，故選：A.2．（2020·山東德州·高一期末）中國傳統(tǒng)扇文化有著極其深厚的底蘊(yùn).一般情況下，折扇可看作是從一個(gè)圓面中剪下的扇形制作而成，設(shè)扇形的面積為，圓面中剩余部分的面積為，當(dāng)扇形的圓心角的弧度數(shù)為時(shí)，扇面看上去形狀較為美觀，那么此時(shí)的值為（

）A． B． C． D．【答案】A【解析】由題意知與之比即為各扇形圓心角之比，根據(jù)扇形圓心角弧度數(shù)可求剩余部分圓心角弧度數(shù)，進(jìn)而可求比值.【詳解】由扇形的圓心角的弧度數(shù)為，可知剩余部分圓心角弧度數(shù)為，故，故選：A.3．（2020·山東德州·高一期末）若圓錐的軸截面是頂角為的等腰三角形，且圓錐的母線長為，則該圓錐的側(cè)面積為（

）A． B． C． D．【答案】C【解析】由已知求出圓錐的底面半徑，根據(jù)側(cè)面積公式可得答案.【詳解】如圖圓錐的軸截面是頂角為，即，，,所以，所以圓錐的側(cè)面積為.故選：C.4．（2020·山東德州·高一期末）一個(gè)正三棱錐的底面邊長是，高為，則它的斜高是（

）A． B． C． D．【答案】D【解析】畫出正三棱錐的圖像，得到底面正三角形的中心到正三角形的的距離，再利用勾股定理求斜高即可.【詳解】正三棱錐的底面邊長,高，所以底面正三角形的中心到正三角形的的距離為，故正三棱錐的斜高；故選：D.5．（2020·湖南師大附中高一期末）甲?乙兩名奧數(shù)選手最近6次的培訓(xùn)測試成績(滿分100分)如下莖葉圖所示，記甲?乙兩人的平均成績分別為，，則下列說法正確的是（

）A．，乙比甲成績穩(wěn)定 B．，甲比乙成績穩(wěn)定C．，甲比乙成績穩(wěn)定 D．，乙比甲成績穩(wěn)定【答案】D【解析】【分析】直接利用莖葉圖數(shù)據(jù)分析即可.【詳解】由莖葉圖可知，甲的平均數(shù)是，乙的平均數(shù)是，所以乙的平均數(shù)大于甲的平均數(shù)，即；從莖葉圖可以看出乙的成績比較穩(wěn)定，故選：D.【點(diǎn)睛】(1)平均數(shù)：是指在一組數(shù)據(jù)中所有數(shù)據(jù)之和再除以這組數(shù)據(jù)的個(gè)數(shù)，表示一組數(shù)據(jù)集中趨勢的量數(shù)；(2)方差：是各個(gè)數(shù)據(jù)分別與其平均數(shù)之差的平方的和的平均數(shù)，數(shù)據(jù)和其數(shù)學(xué)期望（即均值）之間的偏離程度，反映數(shù)據(jù)離散程度．6．（2020·湖南師大附中高一期末）從分別寫有1，2，3，4，5的5張卡片中隨機(jī)抽取1張，放回后再隨機(jī)抽取1張，則抽得的第一張卡片上的數(shù)大于第二張卡片上的數(shù)的概率為（

）A． B． C． D．【答案】A【解析】【分析】利用樹圖列舉基本事件總數(shù)，再找出第一張卡片上的數(shù)大于第二張卡片上的數(shù)的事件數(shù)，代入古典概型的公式求解.【詳解】從5張卡片中隨機(jī)抽取1張，放回后再隨機(jī)抽取1張的情況如圖：基本事件總數(shù)為25，第一張卡片上的數(shù)大于第二張卡片上的數(shù)的事件數(shù)為10，故所求概率.故選：A.7．（2020·山東濟(jì)寧·高一期末）設(shè)m，n是不同的直線，，，是不同的平面，下列命題正確的是（

）A．若，，則B．若，，，，則C．若，，則D．若，，，，則【答案】D【解析】【分析】A.由或異面判斷；B.由或相交判斷；C.由則或判斷；D.由面面垂直的性質(zhì)判斷.【詳解】A.若，，則或異面，故錯誤；B.若，，，，則或相交，故錯誤；C.若，，則或，故錯誤；D.若，，，則，又，所以，故正確.故選：D【點(diǎn)睛】本題主要考查命題的真假判斷，空間中線線、線面、面面間的位置關(guān)系，還考查了空間想象和邏輯推理的能力，屬于中檔題.8．（2020·山東濟(jì)寧·高一期末）已知某人射擊每次擊中目標(biāo)的概率都是0.5，現(xiàn)采用隨機(jī)模擬的方法估計(jì)其3次射擊至少2次擊中目標(biāo)的概率：先由計(jì)算器產(chǎn)生0到9之間的整數(shù)值的隨機(jī)數(shù)，指定0，1，2，3，4表示擊中目標(biāo)，5，6，7，8，9表示未擊中目標(biāo)；因?yàn)樯鋼?次，故每3個(gè)隨機(jī)數(shù)為一組，代表3次射擊的結(jié)果，經(jīng)隨機(jī)模擬產(chǎn)生了20組隨機(jī)數(shù)；據(jù)此估計(jì)，其中3次射擊至少2次擊中目標(biāo)的概率約為（

）A．0.45 B．0.5 C．0.55 D．0.6【答案】C【解析】【分析】這是一個(gè)古典概型，已知基本事件的總數(shù)為20種，然后從中找出3次射擊至少2次擊的基本事件的種數(shù)，代入公式求解.【詳解】基本事件的總數(shù)為20種，其中3次射擊至少2次擊的基本事件有162151271932408471333027730163039共11種，所以3次射擊至少2次擊中目標(biāo)的概率約為故選：C【點(diǎn)睛】本題主要考查古典概型的概率求法，屬于基礎(chǔ)題.二、多選題：本大題共4小題，每個(gè)小題5分，共20分.在每小題給出的選項(xiàng)中，只有一項(xiàng)或者多項(xiàng)是符合題目要求的.9．（2020·山東德州·高一期末）已知是兩條不同的直線，是兩個(gè)不重合的平面，則下列結(jié)論正確的是（

）A．若，則B．若，則C．若則D．若，且與不平行，則【答案】BD【解析】結(jié)合空間線面位置關(guān)系及平行垂直的判定與性質(zhì)定理對選項(xiàng)進(jìn)行分別判斷.【詳解】A：若，則與平行或相交或，A選項(xiàng)錯誤；B：因?yàn)?，所以或，又，所以，B選項(xiàng)正確；C：若則與相交或平行或，C選項(xiàng)錯誤；D：若一個(gè)平面內(nèi)兩條相交直線都平行與另一個(gè)平面，則這兩個(gè)平面平行，D選項(xiàng)正確；故選：BD.10．（2020·山東濟(jì)寧·高一期末）是邊長為2的等邊三角形，已知向量，滿足，，則下列結(jié)論正確的是（

）A．是單位向量 B．C． D．【答案】ABD【解析】【分析】A.根據(jù)是邊長為2的等邊三角形和判斷；B.根據(jù)，，利用平面向量的減法運(yùn)算得到判斷；C.根據(jù)，利用數(shù)量積運(yùn)算判斷；D.根據(jù)，，利用數(shù)量積運(yùn)算判斷.【詳解】A.因?yàn)槭沁呴L為2的等邊三角形，所以，又，所以是單位向量，故正確；B.因?yàn)椋?，所以，所以，故正確；C.因?yàn)?，所以，故錯誤；D.因?yàn)?，，所以，所以，故正確.故選：ABD【點(diǎn)睛】本題主要考查平面向量的概念，線性運(yùn)算以及數(shù)量積運(yùn)算，還考查了運(yùn)算求解的能力，屬于中檔題.11．（2020·山東濟(jì)寧·高一期末）分別拋擲兩枚質(zhì)地均勻的骰子（六個(gè)面上的點(diǎn)數(shù)分別為1，2，3，4，5，6），設(shè)事件“第一枚骰子的點(diǎn)數(shù)為奇數(shù)”，事件“第二枚骰子的點(diǎn)數(shù)為偶數(shù)”，則（

）A．M與N互斥 B．M與N不對立C．M與N相互獨(dú)立 D．【答案】BCD【解析】【分析】相互獨(dú)立事件，互斥事件，對立事件，利用定義即可以逐一判斷四個(gè)選項(xiàng)正誤.【詳解】對于選項(xiàng)A：事件與是可能同時(shí)發(fā)生的，故與不互斥，選項(xiàng)A不正確；對于選項(xiàng)：事件與不互斥，不是對立事件，選項(xiàng)正確；對于選項(xiàng)：事件發(fā)生與否對事件發(fā)生的概率沒有影響，與相互獨(dú)立.對于選項(xiàng)：事件發(fā)生概率為，事件發(fā)生的概率，，選項(xiàng)正確.故選：【點(diǎn)睛】本題主要考查了相互獨(dú)立事件，互斥事件，對立事件，以及隨機(jī)事件的概率，屬于基礎(chǔ)題.12．（2020·山東濟(jì)寧·高一期末）已知正方體的棱長為2，點(diǎn)O為的中點(diǎn)，若以O(shè)為球心，為半徑的球面與正方體的棱有四個(gè)交點(diǎn)E，F(xiàn)，G，H，則下列結(jié)論正確的是（

）A．平面B．平面C．與平面所成的角的大小為45°D．平面將正方體分成兩部分的體積的比為【答案】ACD【解析】【分析】如圖，計(jì)算可得分別為所在棱的中點(diǎn)，利用空間中點(diǎn)線面的位置關(guān)系的判斷方法可判斷A、B的正確與否，計(jì)算出直線與平面所成的角為后可得C正確，而幾何體為三棱柱，利用公式可求其體積，從而可判斷D正確與否.【詳解】如圖，連接，則，故棱與球面沒有交點(diǎn).同理，棱與球面沒有交點(diǎn).因?yàn)槔馀c棱之間的距離為，故棱與球面沒有交點(diǎn).因?yàn)檎襟w的棱長為2，而，球面與正方體的棱有四個(gè)交點(diǎn)E，F(xiàn)，G，H，所以棱與球面各有一個(gè)交點(diǎn)，如圖各記為.因?yàn)闉橹苯侨切?，故，故為棱的中點(diǎn).同理分別為棱的中點(diǎn).由正方形、為所在棱的中點(diǎn)可得，同理，故，故共面.由正方體可得，故因?yàn)槠矫妫矫?，故平面，故A正確.因?yàn)樵谥苯侨侵校?，，，與不垂直，故與不垂直，故平面不成立，故B錯誤.由正方體可得平面，而平面，所以，所以在正方形中，因?yàn)榉謩e為的中點(diǎn)，故，因?yàn)椋势矫?，所以為直線與平面所成的角，而，故直線與平面所成的角為，因?yàn)?，故與平面所成的角的大小為45°.故C正確.因?yàn)榉謩e為所在棱的中點(diǎn)，故幾何體為三棱柱，其體積為，而正方體的體積為8，故平面將正方體分成兩部分的體積的比為，故D正確.故選：ACD.【點(diǎn)睛】本題考查空間中線面位置的判斷、空間角的計(jì)算和體積的計(jì)算，注意根據(jù)球的半徑確定哪些棱與球面有交點(diǎn)，本題屬于中檔題.三、填空題：本大題共4小題，每小題5分，共20分.把答案填在答題卡中的橫線上.13．（2020·山東德州·高一期末）若復(fù)數(shù)則________________________．【答案】【解析】利用復(fù)數(shù)的除法運(yùn)算法則化簡，然后求解復(fù)數(shù)的模．【詳解】復(fù)數(shù)滿足．則．故答案為：；14．（2020·山東德州·高一期末）如圖，在矩形中，分別為和上的中點(diǎn)，若，其中則的值為_______．【答案】【解析】由平面向量的線性運(yùn)算，化簡得到，即可求解的值得到答案．【詳解】由題意，，因?yàn)?,所以兩式相加得，,所以，得，所以，故答案為：．【點(diǎn)睛】本題主要考查了平面向量的線性運(yùn)算，以及平面向量的基本定理的應(yīng)用，其中解答中根據(jù)平面向量的基本定理，合理進(jìn)行向量的線性運(yùn)算是解答的關(guān)鍵，著重考查了運(yùn)算與求解能力，屬于基礎(chǔ)題．15．（2020·山東濟(jì)寧·高一期末）若一個(gè)圓錐的側(cè)面展開圖是面積為的半圓面，則該圓錐的體積為.【答案】【解析】【詳解】由面積為的半圓面，可得圓的半徑為2，即圓錐的母線長為2.圓錐的底面周長為.所以底面半徑為1.即可得到圓錐的高為.所以該圓錐的體積為.16．（2020·山東濟(jì)寧·高一期末）如圖，要計(jì)算某湖泊岸邊兩景點(diǎn)B與C的距離，由于受地形的限制，需要在岸上選取A和D兩點(diǎn)，現(xiàn)測得，，，，，則兩景點(diǎn)B與C的距離為________km.【答案】【解析】【分析】在中，根據(jù)，，，由余弦定理解得，然后在中，利用正弦定理求解.【詳解】在中，因?yàn)?，，，由余弦定理得，整理得，解得或（舍去），在中，因?yàn)?，，所以，由正弦定理得：，所?故答案為：【點(diǎn)睛】本題主要考查余弦定理和正弦定理的應(yīng)用，還考查了運(yùn)算求解的能力，屬于中檔題.

四、解答題：本大題共6小題，共70分.解答應(yīng)寫出必要的文字說明、證明過程或演算步驟．17．（2020·山東德州·高一期末）已知向量在同一平面上，且.（1）若，且，求向量的坐標(biāo)﹔（2）若，且與垂直，求的值.【答案】（1）或；（2）.【解析】（1）由條件設(shè)，則，求出，即可得出答案.(2)由條件可得，，則，由此可得答案.【詳解】（1），設(shè)，即，則.，或.（2），，，即即則18．（2020·山東德州·高一期末）如圖，已知四棱錐中，底面為菱形，平面分別為的中點(diǎn).（1）求證:;（2）求證:平面.【答案】（1）證明見解析；（2）證明見解析.【解析】（1）連，利用已知條件可得，，進(jìn)而得到，再利用線面垂直的判定定理得到面，即可得出結(jié)論；（2）取的中點(diǎn)，連，利用已知條件得到四邊形是平行四邊形，進(jìn)而得到，再利用線面平行的判定定理即可得出結(jié)果.【詳解】證明：（1）連，，底面為菱形，是等邊三角形，，，又，，又面面，，，面面，.取的中點(diǎn)，連，，所以，又，，四邊形是平行四邊形，，又面面，面.19．（2017·河北衡水中學(xué)高一期末（理））如圖，由三棱柱和四棱錐構(gòu)成的幾何體中，平面，，，，平面平面．（Ⅰ）求證：；（Ⅱ）若為棱的中點(diǎn)，求證：平面；（Ⅲ）在線段上是否存在點(diǎn)，使直線與平面所成的角為？若存在，求的值，若不存在，說明理由．【答案】（Ⅰ）見解析；（Ⅱ）見解析；（Ⅲ）不存在這樣的點(diǎn)．【解析】【詳解】試題分析:（Ⅰ）在直三棱柱中，由平面，推得，由平面平面，推得平面，又平面，得證．（Ⅱ）如圖建立空間直角坐標(biāo)系，寫出各點(diǎn)坐標(biāo),求出平面的法向量為,因?yàn)?所以平面．（Ⅲ）設(shè)，，根據(jù)線面角公式列出方程,解得，可得結(jié)論．試題解析:（Ⅰ）證明：在直三棱柱中，平面，故，由平面平面，且平面平面，所以平面，又平面，所以．（Ⅱ）證明：在直三棱柱中，平面，所以，，又，所以，如圖建立空間直角坐標(biāo)系，依據(jù)已知條件可得，，，，，，所以，，設(shè)平面的法向量為，由即令，則，，于是，因?yàn)闉橹悬c(diǎn)，所以，所以，由，可得，所以與平面所成角為0，即平面．（Ⅲ）解：由（Ⅱ）可知平面的法向量為．設(shè)，，則，．若直線與平面成角為，則，解得，故不存在這樣的點(diǎn)．20．（2020·湖南師大附中高一期末）長沙梅溪湖步步高購物中心在開業(yè)之后，為了解消費(fèi)者購物金額的分布，在當(dāng)月的電腦消費(fèi)小票中隨機(jī)抽取張進(jìn)行統(tǒng)計(jì)，將結(jié)果分成6組，分別是：，，制成如下所示的頻率分布直方圖（假設(shè)消費(fèi)金額均在元的區(qū)間內(nèi)）.（1）若在消費(fèi)金額為元區(qū)間內(nèi)按分層抽樣抽取6張電腦小票，再從中任選2張，求這2張小票均來自元區(qū)間的概率；（2）為做好五一勞動節(jié)期間的商場促銷活動，策劃人員設(shè)計(jì)了兩種不同的促銷方案.方案一：全場商品打八折.方案二：全場購物滿100元減20元，滿300元減80元，滿500元減120元，以上減免只取最高優(yōu)惠，不重復(fù)減免.利用直方圖的信息分析：哪種方案優(yōu)惠力度更大，并說明理由（直方圖中每個(gè)小組取中間值作為該組數(shù)據(jù)的替代值）.【答案】（1）（2）方案一的優(yōu)惠力度更大.【解析】【詳解】試題分析：(1)根據(jù)頻率分布直方圖，可知在內(nèi)抽6張，因此在內(nèi)抽4張，記為，在內(nèi)抽2張，記為，然后列舉出從中任選2張所有的選法，在從中找到兩張小票均來自的的所有情況，即可求出概率.（2）首先計(jì)算出各組頻率，然后算出方案一購物的平均費(fèi)用和方案二購物的平均費(fèi)用，通過比較得到方案一的優(yōu)惠力度更大.試題解析：（1）由直方圖可知，按分層抽樣在內(nèi)抽6張，則內(nèi)抽4張，記為，在內(nèi)抽2張，記為，設(shè)兩張小票均來自為事件，從中任選2張，有以下選法：共15種.其中，兩張小票均來自的有，共6種，∴.（2）解法一：由直方圖可知，各組頻率依次為0.1，0.2，0.25，0.3，0.1，0.05.方案一購物的平均費(fèi)用為：（元）方案二購物的平均費(fèi)用為：（元）.∴方案一的優(yōu)惠力度更大.（2）解法二：由直方圖可知，各組頻率依次為0.1，0.2，0.25，0.3，0.1，0.05，方案一平均優(yōu)惠金額為：（元）.方案二平均優(yōu)惠金額為：（元）∴方案一的優(yōu)惠力度更大.21．（2020·山東濟(jì)寧·高一期末）某中學(xué)高一年級舉行了