專題1.1相交線與平行線全章知識(shí)典例詳解【人教版】一、直線的相交1．兩條直線的位置關(guān)系在同一平面內(nèi)，兩條直線要么相交，要么平行．【注】?jī)蓷l直線：①有且只有一個(gè)公共點(diǎn)，兩直線相交；②無(wú)公共點(diǎn)，則兩直線平行；③兩個(gè)或兩個(gè)以上公共點(diǎn)，則兩直線重合，視為一條直線．【典例1】如下圖，在一張白紙上畫1條直線，最多能把白紙分成2部分（如圖（1）），畫2條直線，最多能把白紙分成4部分（如圖（2）），畫3條直線，最多能把白紙分成7部分（如圖（3）），......，當(dāng)在一張白紙上畫20條直線，最多能把白紙分成（）A．400部分 B．221部分 C．220部分 D．211部分【分析】首先根據(jù)題意總結(jié)出畫n條直線，最多能把這張紙分成n+1?n2+1【詳解】畫1條直線，最多能把這張紙分成1+1=2塊；畫2條直線，最多能把這張紙分成1+1+2=4塊；畫3條直線，最多能把這張紙分成1+1+2+3=7塊；畫n條直線，最多能把這張紙分成1+1+2+3+4+……+則畫20條直線，最多能把白紙分成20+1?20故答案為D.【典例2】已知6條直線中的任意兩條直線都相交，若交點(diǎn)數(shù)最多為M個(gè)，最少為m個(gè)，則M?m=______．【分析】由題意可得6條直線相交于一點(diǎn)時(shí)交點(diǎn)最少，任意兩直線相交都產(chǎn)生一個(gè)交點(diǎn)時(shí)交點(diǎn)最多，由此可得出M，m的值，從而得出答案．【詳解】解：根據(jù)題意可得：6條直線相交于一點(diǎn)時(shí)交點(diǎn)最少，此時(shí)交點(diǎn)為1個(gè)，即m=1；任意兩直線相交都產(chǎn)生一個(gè)交點(diǎn)時(shí)交點(diǎn)最多，∵任意三條直線不過同一點(diǎn)，∴此時(shí)點(diǎn)為：6×（6-1）÷2=15，即M=15；∴M-m=14．故答案為：14．2．直線的相交——兩線四角（1）鄰補(bǔ)角：兩條直線相交所構(gòu)成的四個(gè)角中，有一條公共邊且另一邊互為反向延長(zhǎng)線的兩個(gè)角，互為鄰補(bǔ)角．如圖1，和，和，和，和互為鄰補(bǔ)角．圖1【注】互為鄰補(bǔ)角的兩個(gè)角一定互補(bǔ)，但兩個(gè)角互補(bǔ)不一定互為鄰補(bǔ)角．（2）對(duì)頂角：一個(gè)角的兩邊分別是另一個(gè)角的兩邊的反向延長(zhǎng)線，則這兩個(gè)角互為對(duì)頂角．如圖1，和，和，互為對(duì)頂角．【注】互為對(duì)頂角的兩個(gè)角一定相等，但兩個(gè)角相等不一定互為對(duì)頂角．【典例3】∠1與∠2是對(duì)頂角，∠2與∠3是鄰補(bǔ)角，則∠1+∠3=________度．【分析】根據(jù)對(duì)頂角相等，鄰補(bǔ)角互補(bǔ)即可得到答案．【詳解】解：由題意可得，∠1=∠2，∠2+∠3=180°，∴∠1+∠3=180°，故答案為180．【典例4】如圖，直線AB、CD相交于點(diǎn)O，OE平分∠BOD，OF平分∠COE．(1)若∠AOC=76°，求∠BOF的度數(shù)；(2)若∠BOF=36°，求∠AOC的度數(shù)；【分析】（1）先根據(jù)對(duì)頂角相等求出∠BOD=76°，再由角平分線定義得∠DOE=∠BOE=38°，由鄰補(bǔ)角得∠COE=142°，再根據(jù)角平分線定義得∠EOF=71°，從而可得結(jié)論．（2）利用角平分的定義得出∠BOE=∠EOD，【詳解】（1）∵∠AOC、∠BOD是對(duì)頂角，∴∠BOD=∠AOC=76°，∵OE平分∠BOD，∴∠DOE=∠BOE=12∠BOD=38°，∵OF平分∠COE．∴∠EOF=12∴∠BOF=∠EOF?∠BOE=71°?38°=33°，（2）∵OE平分∠BOD，OF平分∠COE，∴∠BOE=∠EOD，∴設(shè)∠BOE=x，則∠EOD=x，故∠COA=2x，∠EOF=∠COF=x+36°，則∠AOC+∠COF+∠BOF=2x+x+36°+36°=180°，解得x=36°，故∠AOC=72°．二、垂直1．垂直：一條直線與另一條直線相交成，這兩條直線互相垂直，其中一條直線叫做另一條直線的垂線，它們的交點(diǎn)叫做垂足．如圖2，，垂足為O，可記為“于點(diǎn)O”．圖22．性質(zhì)：（1）在同一平面內(nèi)，過一點(diǎn)有且只有一條直線與已知直線垂直．（2）連接直線外一點(diǎn)與直線上各點(diǎn)的所有線段中，垂線段最短．【注】直線外一點(diǎn)到這條直線的垂線段的長(zhǎng)度，叫做點(diǎn)到直線的距離．【典例5】如圖，△ABC中，∠ACB＝90°，AC＝3，BC＝4，AB＝5，P為直線AB上一動(dòng)點(diǎn)，連接PC，則線段PC的最小值是（）A．3 B．2.5 C．2.4 D．2【分析】當(dāng)PC⊥AB時(shí)，PC的值最小，利用面積法求解即可．【詳解】解：在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，AC＝3，BC＝4，AB＝5，∵當(dāng)PC⊥AB時(shí)，PC的值最小，此時(shí)：△ABC的面積＝12?AB?PC＝12?AC?∴5PC＝3×4，∴PC＝2.4，故選：C．【典例6】如圖，在三角形ABC中，∠ACB=90°．(1)過點(diǎn)C畫AB的垂線，交AB于點(diǎn)H；(2)在（1）的條件下，點(diǎn)A到直線CH的距離是線段______的長(zhǎng)度；(3)在（1）的條件下，比較CH與AB的大小，并說(shuō)明理由．【分析】（1）根據(jù)垂線的做法，過C點(diǎn)往AB作垂線即可；（2）根據(jù)點(diǎn)到直線的距離：直線外一點(diǎn)到這條直線的垂線段的長(zhǎng)度，可知點(diǎn)A到直線CH的距離是線段AH的長(zhǎng)度；（3）根據(jù)垂線段最短，進(jìn)行判定即可．【詳解】（1）解：如圖所示（2）∵AH⊥CH，∴點(diǎn)A到直線CH的距離是線段AH的長(zhǎng)度，故答案為：AH；（3）AB>CH，理由如下：∵∠ACB=90°∴AB>BC，∵AH⊥CH，∴∠BHC=90°∴BC>CH，∴AB>CH．三、三線八角1．同位角：兩條直線被第三條直線所截，位置相同的一對(duì)角（即兩個(gè)角分別在兩條直線的同一側(cè)，并且在第三條直線的同側(cè)），叫做同位角．圖3如圖3，和，和，和，和都是同位角．2．內(nèi)錯(cuò)角：兩條直線被第三條直線所截，兩個(gè)角都在兩條直線之間，并且位置交錯(cuò)的一對(duì)角（即兩個(gè)角分別在第三條直線的兩側(cè)），叫做內(nèi)錯(cuò)角．如圖3，和，和都是內(nèi)錯(cuò)角．3．同旁內(nèi)角：兩條直線被第三條直線所截，兩個(gè)角都在兩條直線之間，并且在第三條直線的同側(cè)的一對(duì)角，叫做同旁內(nèi)角．如圖3，和，和都是同旁內(nèi)角．【典例7】根據(jù)圖形填空：（1）若直線ED,BC被直線AB所截，則∠1和_____是同位角；（2）若直線ED,BC被直線AF所截，則∠3和_____是內(nèi)錯(cuò)角；（3）∠1和∠3是直線AB,AF被直線______所截構(gòu)成的內(nèi)錯(cuò)角；（4）∠2和∠4是直線AB，______被直線BC所截構(gòu)成的_____角．【分析】（1）根據(jù)圖形及同位角的概念可直接進(jìn)行求解；（2）根據(jù)圖形及內(nèi)錯(cuò)角的概念可直接進(jìn)行求解；（3）根據(jù)圖形及內(nèi)錯(cuò)角的概念可直接進(jìn)行求解；（4）根據(jù)圖形及同位角的概念可直接進(jìn)行求解．【詳解】解：由圖可得：（1）若直線ED,BC被直線AB所截，則∠1和∠2是同位角；故答案為∠2；（2）若直線ED,BC被直線AF所截，則∠3和∠4是內(nèi)錯(cuò)角；故答案為∠4；（3）∠1和∠3是直線AB,AF被直線ED所截構(gòu)成的內(nèi)錯(cuò)角；故答案為ED；（4）∠2和∠4是直線AB，AF被直線BC所截構(gòu)成的同位角；故答案為AF，同位．【典例8】如圖，已知直線a，b被直線c，d所截，直線a，c，d相交于點(diǎn)O，按要求完成下列各小題．(1)在圖中的∠1～∠9這9個(gè)角中，同位角共有多少對(duì)？請(qǐng)你全部寫出來(lái)；(2)∠4和∠5是什么位置關(guān)系的角？∠6和∠8之間的位置關(guān)系與∠4和∠5的相同嗎？【分析】根據(jù)同位角、內(nèi)錯(cuò)角和同旁內(nèi)角的特征（同位角形如“F”，內(nèi)錯(cuò)角形如“Z”，同旁內(nèi)角形如“U”）判斷即可.【詳解】解：(1)如題圖所示：同位角共有5對(duì)：分別是∠1和∠5，∠2和∠3，∠3和∠7，∠4和∠6，∠4和∠9；(2)由三線八角的判斷方法∠4和∠5是由c，b，d三線組成，并且構(gòu)成“U”形圖案，所以∠4和∠5是同旁內(nèi)角，同理可得：∠6和∠8也是同旁內(nèi)角，故∠6和∠8之間的位置關(guān)系與∠4和∠5的相同．故答案是：（1）同位角共有5對(duì)：分別是∠1和∠5，∠2和∠3，∠3和∠7，∠4和∠6，∠4和∠9；∠4和∠5是同旁內(nèi)角；（2）∠6和∠8之間的位置關(guān)系與∠4和∠5的相同.一、平行線1．平行線：在同一平面內(nèi)，永不相交的兩條直線稱為平行線．用“//”表示．2．平行公理：經(jīng)過直線外一點(diǎn)，有且只有一條直線與這條直線平行．如圖1，過直線a外一點(diǎn)A作b//a，c//a，則b與c重合．圖13．平行公理推論：如果兩條直線都和第三條直線平行，那么這兩條直線也互相平行．簡(jiǎn)記為：平行于同一條直線的兩條直線平行．如圖2，若b//a，c//a，則b//c．圖2【典例9】已知直線a，b，c是同一平面內(nèi)的三條不同直線，下面四個(gè)結(jié)論：①若a//b,b//c,則a//c；②若a//b,a⊥c,則b⊥c；③若a⊥b,b⊥c,則a⊥c；④若a⊥c且c與b相交，則a與b相交，其中，結(jié)論正確的是（）A．①② B．③④ C．①②③ D．②③④【分析】根據(jù)平行公理及其推論：在同一平面內(nèi)，垂直于同一條直線的兩直線平行；如果兩條直線都與第三條直線平行，那么這兩條直線也互相平行進(jìn)行分析即可求解．【詳解】①根據(jù)“同一平面內(nèi)，如果兩條直線都與第三條直線平行，那么這兩條直線也互相平行”判定：若a//b,b//c,則a//c；故說(shuō)法正確；②若a//b,a⊥c,則b⊥c，故說(shuō)法正確；③根據(jù)“在同一平面內(nèi)，垂直于同一條直線的兩直線平行”判定：若a⊥b,b⊥c,則a⊥c；說(shuō)法錯(cuò)誤；④若a⊥c且c與b相交，則a與b不一定相交，故說(shuō)法錯(cuò)誤故正確的有：①②故選：A二、平行線的判定圖3（1）同位角相等，兩直線平行．如圖3，若，則a//b．（2）內(nèi)錯(cuò)角相等，兩直線平行．如圖3，若，則a//b．（3）同旁內(nèi)角互補(bǔ)，兩直線平行．如圖3，若，則a//b．【典例10】如圖，下列能判定AC∥DF的條件有（①∠1+∠DEC=180°；②∠C=∠2；③∠4=∠FEC；④∠DEF=∠5；⑤∠3=∠4．A．1個(gè) B．2個(gè) C．3個(gè) D．4個(gè)【分析】根據(jù)平行線的判定條件逐一判斷即可．【詳解】解：①由∠1+∠DEC=180°可由同旁內(nèi)角互補(bǔ)，兩直線平行得到AC∥②由∠C=∠2可由同位角相等，兩直線平行得到AC∥③由∠4=∠FEC可由內(nèi)錯(cuò)角相等，兩直線平行得到AC∥④由∠DEF=∠5可由內(nèi)錯(cuò)角相等，兩直線平行得到BC∥DE，不能得到⑤由∠3=∠4可由內(nèi)錯(cuò)角相等，兩直線平行得到AB∥EF，不能得到故選C．【典例11】如圖，填空：∵∠ABD=∠BDC（已知），∴_________∥_________（

）；∵∠A=∠CBE（已知），∴_________∥_________（

）；∵∠CBE=∠DCB（已知），∴_________∥_________（

）；∵∠A+∠ADC=180°（已知），∴_________∥_________（

）．【分析】根據(jù)平行線的判定定理即可求解．【詳解】解：∵∠ABD=∠BDC（已知），∴AB∥CD（內(nèi)錯(cuò)角相等，兩直線平行）；∵∠A=∠CBE（已知），∴AD∥BC（同位角相等，兩直線平行）；∵∠CBE=∠DCB（已知），∴CD∥BE（內(nèi)錯(cuò)角相等，兩直線平行）；∵∠A+∠ADC=180°（已知），∴AB∥CD（同旁內(nèi)角互補(bǔ)，兩直線平行）．故答案為：AB，CD，內(nèi)錯(cuò)角相等，兩直線平行；AD，BC，同位角相等，兩直線平行；CD，BE，內(nèi)錯(cuò)角相等，兩直線平行；AB，CD，同旁內(nèi)角互補(bǔ)，兩直線平行．一、平行線的性質(zhì)（1）兩直線平行，同位角相等．如圖3，若a//b，則．（2）兩直線平行，內(nèi)錯(cuò)角相等．如圖3，若a//b，則．（3）兩直線平行，同旁內(nèi)角互補(bǔ)．如圖3，若a//b，則．推論1平行線間的距離處處相等推論2如果兩個(gè)角的兩邊分別平行那么這兩個(gè)角相等或互補(bǔ)【典例12】完成下面的證明：如圖，點(diǎn)B在AG上，AG∥CD，連接BC，CF平分∠BCD，∠ABE=∠FCB，BE⊥AF于點(diǎn)E．求證：證明：∵AG∥CD，∴∵∠ABE=∠FCB，∴∠ABC?∠ABE=∠BCD?∠FCB，即∠EBC=∠FCD．∵CF平分∠BCD，∴∠FCB=______（__________________）．∴∠EBC=∠FCB，∴BE∥∴__________________=∠F（________________________）．∵BE⊥AF，∴∠BEF=______°（______________________）．∴∠F=90°．【分析】根據(jù)平行線性質(zhì)與判定、角平分線定義、垂直的定義填空即可．【詳解】證明：∵AG∥CD，∴∵∠ABE=∠FCB，∴∠ABC?∠ABE=∠BCD?∠FCB，即∠EBC=∠FCD．∵CF平分∠BCD，∴∠FCB=∠FCD（角平分線的定義）．∴∠EBC=∠FCB，∴BE∥∴∠BEF=∠F（兩直線平行，內(nèi)錯(cuò)角相等）．∵BE⊥AF，∴∠BEF=90°（垂直的定義）．∴∠F=90°．故答案為：兩直線平行，內(nèi)錯(cuò)角相等；∠FCD；角平分線的定義；內(nèi)錯(cuò)角相等，兩直線平行；∠BEF；兩直線平行，內(nèi)錯(cuò)角相等；90；垂直的定義．【典例13】如圖，∠1=∠2，求證：∠B=∠C．（請(qǐng)把下面證明過程補(bǔ)充完整）證明：∵1=∠2（已知）又∵∠1=∠3（____________）∴∠2=∠3（____________）∴AE∥FD（_____________）∵∠A=∠D（已知）∴∠D=∠BFD（等量代換）∴_____∥CD∴∠B=∠C（____________）【分析】先利用對(duì)頂角的性質(zhì)證明∠2=∠3，再證明AE∥FD，可證明∠A=∠BFD，可得∠D=∠BFD，再證明【詳解】證明：∵1=∠2（已知）又∵∠1=∠3（對(duì)頂角相等）∴∠2=∠3（等量代換）∴AE∥FD（內(nèi)錯(cuò)角相等，兩直線平行）∵∠A=∠D（已知）∴∠D=∠BFD（等量代換）∴AB∥∴∠B=∠C（兩直線平行，內(nèi)錯(cuò)角相等）【典例14】如圖，l1//l2，點(diǎn)A、E在直線l1上，點(diǎn)B、C、D在直線l2上，如果BD=2CD，【分析】由BD:CD=2:1，可得出BDBC=23．根據(jù)l1∥l【詳解】∵BD:CD=2:1，∴BDBC∵l1∥l2，∴△ABC與∵S△ABC=30，∴故答案為：20．二、命題、定理、證明1.命題：①命題的概念：判斷一件事情的語(yǔ)句叫做命題；②命題的形式：命題由題設(shè)和結(jié)論兩部分組成，題設(shè)是已知事項(xiàng)，結(jié)論是由已知事項(xiàng)推出的事項(xiàng).通?？梢詫懗伞叭绻敲础钡男问?“如果”后面的部分是題設(shè)，“那么”后面的部分是結(jié)論.2.命題包括兩種：①如果題設(shè)成立，那么結(jié)論一定成立，這樣的命題稱為真命題；②題設(shè)成立時(shí)，不能保證結(jié)論一定成立，這樣的命題稱為假命題.逆命題：將一個(gè)命題的題設(shè)與結(jié)論互換位置之后，形成新的命題，就叫原命題的逆命題.注：原命題是真命題，其逆命題不一定仍為真命題；原命題為假命題，其逆命題也不一定為假命題.3.定理：經(jīng)過推理證實(shí)的真命題叫做真理，它可以作為繼續(xù)推理的依據(jù).4.證明：在很多情況下，一個(gè)命題的正確性需要經(jīng)過推理，才能作出判斷，這個(gè)推理過程叫做證明.【典例15】下列四個(gè)命題：①同一平面內(nèi)，過一點(diǎn)有且只有一條直線與已知直線垂直；②過一點(diǎn)有且只有一條直線與已知直線平行；③兩條直線被第三條直線所截，如果同旁內(nèi)角互補(bǔ)，那么這兩條直線平行；④從直線外一點(diǎn)作這條直線的垂線段叫點(diǎn)到直線的距離．其中是真命題的是_____．【分析】分析是否為真命題，需要分別分析各個(gè)條件是否能推出結(jié)論，從而利用排除法得出答案．【詳解】①過同一平面內(nèi)一點(diǎn)有且只有一條直線與已知直線垂直，故原命題是真命題，符合題意；②過直線外一點(diǎn)有且只有一條直線與已知直線平行，故原命題錯(cuò)誤，是假命題，不符合題意；③兩條平行的直線被第三條直線所截，如果同旁內(nèi)角互補(bǔ)，那么這兩條直線平行，正確，是真命題，符合題意；④從直線外一點(diǎn)作這條直線的垂線段的長(zhǎng)度叫點(diǎn)到直線的距離，